Accoppiamento particella e campo e.m.
Francesco
a capire molto bene una cosa ben particolare dell'accoppiamento tra campo e
particella carica:
Quando si introducono le trasformazioni di gauge l'Hamiltoniano del sistema
cambia, ma con esso cambia anche la funzione d'onda di un fattore di fase
locale, nonostantre non cambino i vettori E e B. Quello che ho provato a
fare č riscrivere l'eq.ne d'onda con le gauge ma mi sono impantnato nei
conti, e non riesco proprio a vedere come salta fuori il fattore di fase
locale che cambia la mia f.d'onda.
Altra cosa, nel frattempo abbiamo visto la prima approssimazione dell'atomo
di idrogeno (cioč il problema a due corpi con potenziale centrale). Volevo
sapere se oltre alla correzione dello spin dell'elettrone non serviva anche
quella dell'accoppiamento col campo e.m. generato dalle due particelle (p+
ed e-) che ruotano l'una intorno all'altra.
Grazie dell'attenzione
Francesco
Elio Fabri
> Quando si introducono le trasformazioni di gauge l'Hamiltoniano del
> sistema cambia, ma con esso cambia anche la funzione d'onda di un
> fattore di fase locale, nonostantre non cambino i vettori E e B.
> ma mi sono impantnato nei conti, e non riesco proprio a vedere come
> salta fuori il fattore di fase locale che cambia la mia f.d'onda.
La trasf. di gauge manda A in A' = A + grad f.
Se trasformi psi in psi' = psi * exp(ief/hc) (h sta per h tagliato)
quando applichi p a psi' hai:
Francesco
> p psi' = -ih grad psi' = (-ih grad psi + (e/c)(grad f)*psi)*exp(if/h)
exp(if/h) * [(p + (e/c)grad f)psi]
>
> per cui
>
> (p - (e/c)A')psi' = (p - (e/c)A - (e/c)grad f)psi' exp(if/h) * (p -
(e/c)A)psi.
>
> Ne segue che l'eq. di Schr. resta invariata.
>
Si questo l'ho parzialmente capito, in realtà quello che non ho ben capito è
un'approccio a questo problema al "contrario": volevo vedere se applicando
questo "nuovo hamiltoniano" alla psi (non corretta del fattore di fase)
saltava agli occhi, magari facendo un po' di passaggi, che c'erano dei
termini in più che facevano pensare di introdurre un fattore di fase locale.
Altra cosa: ad certo punto il prof. ci fa vedere che:
grad psi --------> grad psi' = exp(ief/hc) (grad psi) + (ie/hc)(grad f)*psi
[Non omogenea --> Perchè?]
(grad - (e/c)A) psi --------> (grad -(e/c)A) psi' = exp(ief/hc)*(grad -
(e/c)A) psi [Omogenea --> Perchè?]
e da queste segue (magicamente?) che l'eq.ne di Schr. è covariante sotto
trasformazioni di Gauge, introducendo poi due derivate covarianti. Cosa vuol
dire tutto ciò? Purteoppo il libro su cui studio (Sakurai) da per scontate
queste nozioni che noi in realtà non conosciamo minimamente.
> > Altra cosa, nel frattempo abbiamo visto la prima approssimazione
> > dell'atomo di idrogeno (cioè il problema a due corpi con potenziale
> > centrale). Volevo sapere se oltre alla correzione dello spin
> > dell'elettrone non serviva anche quella dell'accoppiamento col campo
> > e.m. generato dalle due particelle (p+ ed e-) che ruotano l'una
> > intorno all'altra.
> Chi e' che ruota?
> Il modello di Bohr faresti bene a scordartelo...
> Capisco che forse hai visto in quel modo l'interazione spin-orbita, ma
> tieni presente che e' una toppa messa all'eq. di Schr.
>
> A meno che non si voglia andare alle correzioni radiative, ma non ti
> vorrei confondere maggiormente le idee :)
No in realtà non abbiamo ancora fatto la correzione spin-orbita ma sarà
imminente.
Quello che volevo dire a riguardo delle due particelle che ruotano una con
l'altra è effettivamente molto errato concettualmente (anche se non si
parlava di atomo). Forse riformulando la domanda in questo modo sarò più
preciso: ammettendo che il problema sia già stato corretto con l'interazione
spin-orbita, quello che mi chiedo è se si può considerare un'hamiltoniano di
interazione che oltre a dipendere dal potenziale coulombiano dipenda anche
da un accoppiamento campo e.m. particelle, dove per quest'ulimo mi riferisco
al campo generato dalle due particelle (l'analogo quantistico...) e non ad
un campo e.m. esterno (anche in questo caso sono un po' impreciso ma spero
di essermi fatto capire...).
Elio Fabri
> ...
> Forse riformulando la domanda in questo modo sarò più preciso:
> ammettendo che il problema sia già stato corretto con l'interazione
> spin-orbita, quello che mi chiedo è se si può considerare
> un'hamiltoniano di interazione che oltre a dipendere dal potenziale
> coulombiano dipenda anche da un accoppiamento campo e.m. particelle,
> dove per quest'ulimo mi riferisco al campo generato dalle due
> particelle (l'analogo quantistico...) e non ad un campo e.m. esterno
> (anche in questo caso sono un po' impreciso ma spero di essermi fatto
> capire...).
sono state un grattacapo per i teorici fino a circa 60 anni fa, a
causa delle divergenze.
Risolto da Feynman, Schwinger e Tomonaga.
Nell'atomo d'idrogeno un effetto e' la separazione in energia dei
livelli 2s 1/2 e 2p 1/2, che fu scoperta sperimentalmente da Lamb e
Retherford nel 1947. La differenza in frequenza e' circa 1 GHz:
calcola tu la differenza di energia ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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