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Sistema oscillante molla-cilindro
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GiovanniC
Dec 23, 2013, 3:31:18 AM12/23/13
to
Salve a tutti
Propongo il seguente problema
Un cilindro di massa M e raggio R � collegato ad una molla senza massa disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una parete verticale. La molla ha costante elastica k. Il cilindro pu� rotolare, senza scivolare, su una superficie orizzontale. Se il sistema viene rilasciato dopo che la molla � stata allungata di una quantit� x0, qual � il periodo T del moto armonico semplice per il centro di massa del cilindro?
Un piccolo disegno si trova qui:
https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni
Propongo il seguente problema
Un cilindro di massa M e raggio R � collegato ad una molla senza massa disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una parete verticale. La molla ha costante elastica k. Il cilindro pu� rotolare, senza scivolare, su una superficie orizzontale. Se il sistema viene rilasciato dopo che la molla � stata allungata di una quantit� x0, qual � il periodo T del moto armonico semplice per il centro di massa del cilindro?
Un piccolo disegno si trova qui:
https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni
Giorgio Bibbiani
Dec 24, 2013, 1:37:49 AM12/24/13
to
GiovanniC wrote:
> Un cilindro di massa M e raggio R � collegato ad una molla senza
> massa disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una
> parete verticale. La molla ha costante elastica k. Il cilindro pu�
> rotolare, senza scivolare, su una superficie orizzontale. Se il
> sistema viene rilasciato dopo che la molla � stata allungata di una
> quantit� x0, qual � il periodo T del moto armonico semplice per il
> centro di massa del cilindro?
>
> Un piccolo disegno si trova qui:
> https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
>
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a
> capo.
Conviene utilizzare da subito la conservazione
> Un cilindro di massa M e raggio R � collegato ad una molla senza
> massa disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una
> parete verticale. La molla ha costante elastica k. Il cilindro pu�
> rotolare, senza scivolare, su una superficie orizzontale. Se il
> sistema viene rilasciato dopo che la molla � stata allungata di una
> quantit� x0, qual � il periodo T del moto armonico semplice per il
> centro di massa del cilindro?
>
> Un piccolo disegno si trova qui:
> https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
>
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a
> capo.
dell'energia meccanica, come coordinata indipendente
scegliamo ad es. lo spostamento del cilindro lungo l'asse
x su cui avviene il moto rispetto alla posizione iniziale
in cui la molla e' a riposo, indico con ' la derivata
temporale, l'energia potenziale elastica della molla e'
Ep = 1/2 k x^2, l'energia cinetica di traslazione del
cilindro e' Ect = 1/2 M x'^2, l'energia cinetica di
rotazione del cilindro nel riferimento del suo centro di
massa (momento d'inerzia I = 1/2 M R^2 rispetto
all'asse di simmetria cilindrica ) e'
Ecr = 1/2 I (x' / R)^2 = 1/4 M x'^2 (usiamo la
condizione di rotolamento puro, la velocita' angolare
e' allora x' / R), l'energia meccanica risulta
(usiamo il teorema di Koenig per ottenere l'energia
cinetica nel riferimento del laboratorio):
E = Ect + Ecr + Ep = 1/2 (3/2 M) x'^2 + 1/2 k x^2,
riconosciamo l'energia meccanica di un oscillatore
armonico di costante elastica k e "massa efficace"
m = 3/2 M, il periodo allora e':
T = 2Pi sqrt(m / k) = 2 Pi sqrt(3/2 M / k),
osserva che, come noto, il periodo non dipende
dall'ampiezza di oscillazione x0 (supposta abbastanza
piccola perche' il cilindro non vada a urtare la parete).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
marcofuics
Dec 24, 2013, 6:37:09 AM12/24/13
to
Il giorno luned� 23 dicembre 2013 09:31:18 UTC+1, GiovanniC ha scritto:
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
> Gradirei qualche indicazione.
come mai con l'energia non ne vieni a capo? In che senso?
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
> Gradirei qualche indicazione.
Puoi usare anche le 2 di Newton: Momento e Forza
M a = F_tot
I alfa = Tau
avendo cura di non tralasciare alcuna forza (nemmeno una...:) spesso una si tralascia ) e scegli un polo conviente [ricorda il teo del momento]
1 solo grado di libert� inoltre ti serve per legare l'angolo di rotazione con lo spostamento orizzontale del cil.
BlueRay
Dec 24, 2013, 6:29:27 AM12/24/13
to
Il giorno luned� 23 dicembre 2013 09:31:18 UTC+1, GiovanniC ha scritto:
> Un cilindro di massa M e raggio R e' collegato ad una molla senza massa
> disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una parete
> verticale. La molla ha costante elastica k. Il cilindro puo' rotolare, senza
> scivolare, su una superficie orizzontale. Se il sistema viene rilasciato dopo
> che la molla e' stata allungata di una quantita' x0, qual e' il periodo T del
> moto armonico semplice
>
E come sai che e' un moto armonico prima di risolvere il problema? Lo dice il testo?
>
> per il centro di massa del cilindro?
> Un piccolo disegno si trova qui:
> https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
>
Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
> per il centro di massa del cilindro?
> Un piccolo disegno si trova qui:
> https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
> Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
>
Si risolve sicuramente con le cardinali della dinamica, ma faccio prima con la equazione di Lagrange.
Se x e' la coordinata del centro di massa e L tale coordinata quando la molla e' a riposo, x' la derivata temporale di x, fi l'angolo di rotazione del cilindro e fi' la sua derivata temporale, I il momento d'inerzia del cilindro, l'energia cinetica T e l'energia potenziale V del sistema sono:
T = 1/2 I (fi')^2 + 1/2 M (x')^2
V = 1/2 k (x - L)^2
ma il rotolamento puro implica la relazione: (fi')^2 = (x')^2 / R^2 ed inoltre per il cilindro il momento d'inerzia I vale 1/2 MR^2; ponendo inoltre x - L = q:
T = 1/4 M(q')^2 + 1/2 M(q')^2
V = 1/2 k q^2
La lagrangiana L vale quindi:
L(q,q') = T - V = 1/4 M(q')^2 + 1/2 M(q')^2 - 1/2 k q^2
= 3/4 M (q')^2 - 1/2 k q^2
e l'equazione di Lagrange d/dt (@L/@q') = (@L/@q) risulta:
q'' + 2/3 (k/M) q = 0 <-- Equazione di moto
che e' effettivamente l'equazione di un moto armonico di pulsazione
w = sqrt(2/3 k/M) e quindi il periodo vale:
T = 2(pi)/w = 2(pi)sqrt(3/2 M/k).
(Se non ho sbagliato qualche conto).
Poiche' si tratta di un moto armonico, le oscillazioni sono isocrone quindi il periodo non dipende da x0.
Interessante pero' il fatto (non evidente) che il raggio R non compare nell'equazione di moto.
--
BlueRay
Elio Fabri
Dec 24, 2013, 3:39:04 PM12/24/13
to
BlueRay ha scritto:
Teorema:
Se il sistema possiede un integrale primo della forma
a*x'^2 + b*x^2 (1)
tutti i moti sono armonici con lo stesso periodo.
Dim.
Primo modo (pedestre).
Scrivi
a*x'^2 + b*x^2 = c. (2)
Separando le variabili:
dt = (a*dx)/(c - b*x^2)
che puoi integrare elemntarmente per avere il periodo.
Secondo modo (cambiamento di scala).
Nella (2) poni
t = u*sqrt(a/b)
x = y*sqrt(c/b)-
Ottieni
(dy/du)^2 + y^2 = 1.
Un qualunque osc. armonico ha l'energia data dalla (1) con opportuni
valori per a, b. La c in (2) dipende dal valore scelto per la costante
del moto.
Questo dimostra il teorema (debbo spiegare di pi�?).
Nota in particolare che il cambiamento di scala in t non dipende dal
vaore dell'energia, il che dimostra che tutte le oscillazioni sono
isocrone, qualunque sia l'ampiezza.
> Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si
> conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra
> cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
Come non si conserva!
Tra l'altro tu stesso hai scritto una lagrangiana, che non dipende da
t. Quindi?
Ma poi nel puro rotolamento la forza d'attrito nn fa lavoro. Non lo sai?
--
Elio Fabri
> E come sai che e' un moto armonico prima di risolvere il problema? Lo
> dice il testo?
Ci sono almeno 10 modi per vederlo, che poi sono tutti la stessa cosa...
> dice il testo?
Teorema:
Se il sistema possiede un integrale primo della forma
a*x'^2 + b*x^2 (1)
tutti i moti sono armonici con lo stesso periodo.
Dim.
Primo modo (pedestre).
Scrivi
a*x'^2 + b*x^2 = c. (2)
Separando le variabili:
dt = (a*dx)/(c - b*x^2)
che puoi integrare elemntarmente per avere il periodo.
Secondo modo (cambiamento di scala).
Nella (2) poni
t = u*sqrt(a/b)
x = y*sqrt(c/b)-
Ottieni
(dy/du)^2 + y^2 = 1.
Un qualunque osc. armonico ha l'energia data dalla (1) con opportuni
valori per a, b. La c in (2) dipende dal valore scelto per la costante
del moto.
Questo dimostra il teorema (debbo spiegare di pi�?).
Nota in particolare che il cambiamento di scala in t non dipende dal
vaore dell'energia, il che dimostra che tutte le oscillazioni sono
isocrone, qualunque sia l'ampiezza.
> Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si
> conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra
> cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
Tra l'altro tu stesso hai scritto una lagrangiana, che non dipende da
t. Quindi?
Ma poi nel puro rotolamento la forza d'attrito nn fa lavoro. Non lo sai?
--
Elio Fabri
cometa_luminosa
Dec 25, 2013, 12:42:16 PM12/25/13
to
Il giorno marted� 24 dicembre 2013 21:39:04 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> BlueRay ha scritto:
Ma quello che piu' mi fa incavolare e' che problemi con rotolamento puro ne ho risolti a decine, usando la conservazione dell'energia...
--
cometa_luminosa
> BlueRay ha scritto:
>
> > Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si
> > conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra
> > cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
>
> Come non si conserva!
> Tra l'altro tu stesso hai scritto una lagrangiana, che non dipende da
> t. Quindi?
>
Quindi ... ho scritto una stupidaggine (me ne sono accorto poco dopo e ho inviato una rettifica, ma qui i tempi sono lunghetti).
> > Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si
> > conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra
> > cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
>
> Come non si conserva!
> Tra l'altro tu stesso hai scritto una lagrangiana, che non dipende da
> t. Quindi?
>
Ma quello che piu' mi fa incavolare e' che problemi con rotolamento puro ne ho risolti a decine, usando la conservazione dell'energia...
--
cometa_luminosa
BlueRay
Dec 24, 2013, 7:46:29 AM12/24/13
to
Il giorno marted� 24 dicembre 2013 12:29:27 UTC+1, BlueRay ha scritto:
> Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva:
> il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano
> d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
Ho sbagliato: l'energia SI conserva perche' quel vincolo non compie lavoro :-)
> Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva:
> il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano
> d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
(Mi scuso, sono un po' arrugginito...)
Si puo' risolvere facilmente anche con le due cardinali:
F = forza della molla = kq
T = forza d'attrito
I = momento d'inerzia = 1/2 MR^2
q' = -R fi'
|T*R = I fi''
|T-F = Mq''
--> T = - I q''/R^2 = -1/2 Mq''
--> T - kq = Mq''
--> -1/2 Mq'' - kq - Mq'' = 0;
q'' + 2/3 k/M q = 0.
--
BlueRay
marcofuics
Dec 25, 2013, 10:41:19 AM12/25/13
to
Il giorno marted� 24 dicembre 2013 12:29:27 UTC+1, BlueRay ha scritto:
> Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
we we we
e che fai ti impaperi? rifletti bene ... non scivola... L=Fs
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