parentesi di poisson-->parentesi di commutazione
stefjnoskynov
meccanica quantistica è la sostituzione delle parentesi di poisson con
le parentesi di commutazione. Perchè si fa questo? Chi mi saprebbe fare
una discussione almeno qualitativa della cosa?
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Elio Fabri
> Uno dei passi fondamentali per passare dalla meccanica classica alla
> meccanica quantistica è la sostituzione delle parentesi di poisson con
> le parentesi di commutazione. Perchè si fa questo? Chi mi saprebbe
> fare una discussione almeno qualitativa della cosa?
1) Il cap. 4 del Dirac.
2) L'ultimo capitolo dei "principi fisici della teoria dei quanti"
di Heisenberg.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Pangloss
> Uno dei passi fondamentali per passare dalla meccanica classica alla
> meccanica quantistica è la sostituzione delle parentesi di poisson con
> le parentesi di commutazione. Perchè si fa questo? Chi mi saprebbe fare
> una discussione almeno qualitativa della cosa?
Ho letto non so piu' dove che l'idea venne a Dirac ascoltando la
conferenza di un astronomo. La circostanza e' plausibile, poiche'
all'epoca la meccanica analitica era una disciplina specialistica
usata soprattutto nella meccanica celeste.
Dirac si accorse che le proprieta' algebriche delle parentesi di
Poisson usate in meccanica analitica erano identiche alle proprieta'
algebriche dei commutatori utili in meccanica quantistica.
Questo isomorfismo algebrico indusse Dirac a postulare la corrispondenza
in oggetto, che fornisce un criterio generale semplice ed elegante per
fissare i valori delle parentesi quantistiche di commutazione per tutti
i sistemi dotati di analogo classico.
Tale approccio fondazionale e' usato da tutti i testi moderni di MQ.
Se lo confronti con i metodi piuttosto raccappriccianti un tempo usati
per formulare l'equazione di Schroedinger non potrai fare a meno di
apprezzarlo.
--
Elio Proietti
Debian GNU/Linux
Michele Andreoli
> Perchč si fa questo? Chi mi
> saprebbe fare una discussione almeno qualitativa della cosa?
Se ti basta una cosa molto qualitativa, potrei darti qualche dritta,
anche se ci sono problemi di notazioni, via email.
Innanzitutto, non e' che puoi semplicemente rimpiazzare i commutatori
[A,B] con le parentesi di Poisson {A,B}, dato che i primi agiscono su
operatori e le seconde agiscono su funzioni classiche di p e q.
Quello che e' piu' appropriato dire e' che, nel limite di h->0, puoi
rimpiazzare *i valori medi quantistici* di [A,B] col valore classico
ih{a,b}, dove h e' l'h-tagliata di Plank. In alternativa, potresti
volerla vedere cosi': le parentesi di Poisson danno il primo termine
dello sviluppo in serie di Taylor per h->0 dei valori medi del
commutatore [A,B] ( il termine di ordine zero e' nullo, perche' nel
limite classico tutte le grandezze commutano).
Per dimostrare una cosa del genere, occorrerebbe prendere una
grandezza quantistica A, calcolarne il valore medio (in funzione del
tempo) e confrontare il suo sviluppo in serie per h->0 con
l'evoluzione temporare dell'analoga grandezza classica a(q(t),p(t)).
Assumendo per semplicita' tempi di evoluzione infintesimi (t->0), per
la grandezza classica (H e' l'hamiltoniana) troveresti:
a(t)= a(0) -t {H,a} + .... (t -> 0)
(per questa, consulta un qualunque testo di Meccanica Analitica).
e per la grandezza quantistica, troveresti che:
A(t)= A(0) +it/h [H,A] + ....
(qui, per favore, devi immaginare che vi sia il simbolo di valore
medio su tutte e tre le parti: su A(t), su A(0) e su [H,A]).
A questo punto, puoi invocare il principio di corrispondenza ( i.e.
per h piccolo i valori medi quantistici ubbidiscono alla dinamica
classica), e confrontare le due equazioni: [H,A] (in media) va
sostituito con ih{H,A}.
Michele
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"I may have invented it, but B. Gates made it really famous"
David Bradley, The CTRL-ALT-DEL Inventor, IBM Research