[fisica matematica]: repulsione 1/r

[El Filibustero]

Si puo' dimostrare che f(x):=-cos(x) e' l'unica funzione
[0,pi]-->[-1,1] continua e monotona crescente, che vale -1 in 0 e 1 in
pi, tale che, qualunque sia u in ]0,pi[,

lim{epsilon-->0}

integrale{dx=0..u-epsilon} 1/(f(u)-f(x)) +
integrale{dx=u+epsilon..pi} 1/(f(u)-f(x))

= 0?

[El Filibustero]

Forse e' piu' semplice metterla in questi termini:

si puo' dimostrare che g:]-1,1[--->[1,+inf[: x-->1/sqrt(1-xx) e'
l'unica funzione a valori non-negativi, con integrale su ]-1,1[
uguale a pi tale che, qualunque sia u in ]-1,1[,

lim{epsilon-->0}

integrale{dx=-1..u-epsilon} g(x)/(u-x) +
integrale{dx=u+epsilon..1} g(x)/(u-x)

= 0?

Ciao

[El Filibustero]

On Wed, 01 Jun 2022 09:29:19 +0200, El Filibustero wrote:

>si puo' dimostrare che g:]-1,1[--->[1,+inf[: x-->1/sqrt(1-xx) e'
>l'unica funzione a valori non-negativi, con integrale su ]-1,1[
>uguale a pi tale che, qualunque sia u in ]-1,1[,
>
>lim{epsilon-->0}
>
> integrale{dx=-1..u-epsilon} g(x)/(u-x) +
> integrale{dx=u+epsilon..1} g(x)/(u-x)
>
>= 0?

Stessa questione, altro punto di vista:

f(u,x) := log|(sqrt((1-uu)(1-xx))-ux+1)/(u-x)|

e' l'unica funzione di u,x tale che:

1) f(u,-1) = f(u,1) per ogni u in ]-1,1[

2) @f/@x = h(u)*k(x)/(u-x) con h,k opportune funzioni rispettivamente
di u e x (@: derivata parziale)?

Ciao

[El Filibustero]

On Wed, 08 Jun 2022 12:26:08 +0200, El Filibustero wrote:

>>si puo' dimostrare che g:]-1,1[--->[1,+inf[: x-->1/sqrt(1-xx) e'
>>l'unica funzione a valori non-negativi, con integrale su ]-1,1[
>>uguale a pi tale che, qualunque sia u in ]-1,1[,
>>
>>lim{epsilon-->0}
>>
>> integrale{dx=-1..u-epsilon} g(x)/(u-x) +
>> integrale{dx=u+epsilon..1} g(x)/(u-x)
>>
>>= 0?

Aggiungendo l'ipotesi che g sia di classe C^inf(]-1,1[), si puo'
dimostrare che l'unica funzione g tale che, per ogni u in ]0,1[,

integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x =

integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x)

e g(0)=1 e' g(x):=1/sqrt(1-xx)? Ciao

[El Filibustero]

On Mon, 06 Mar 2023 22:06:50 +0100, El Filibustero wrote:

>Aggiungendo l'ipotesi che g sia di classe C^inf(]-1,1[), si puo'
>dimostrare che l'unica funzione g tale che, per ogni u in ]0,1[,
>
>integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x =
>
>integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x)
>
>e g(0)=1 e' g(x):=1/sqrt(1-xx)?

Poniamo la questione in altri termini ancora. Sia

g(x) := somma{k=1..+inf} a_{2k} x^(2k) con a0=1.

(non e' restrittivo supporre g una funzione pari).

[per andare al dunque, si puo' skippare a #]

Dato che, per ogni k=0..+inf si ha

integrale{dx=0..1-u} ((u-x)^(2k)-(u+x)^(2k))/x -
integrale{dx=-1..2u-1} x^(2k)/(u-x) =

u^(2k) log((1-u)/(1+u)) + 2*somma{j=1..k} u^(2j-1) /(2k-2j+1) =
(taylorando log)

= 2*somma{j=1..+inf} u^(2j-1) /(2k-2j+1),

e quindi

integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x -
integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x) =

= 2*somma{k=0..+inf} a_{2k} somma{j=1..+inf} u^(2j-1) /(2k-2j+1) =

= 2*somma{j=1..+inf} u^(2j-1) somma{k=0..+inf} a_{2k}/(2k-2j+1)

sicche' la condizione in oggetto equivale a richiedere che questo
"polinomio" in u di grado infinito sia idenicamente nullo, o sia che

[#]

per soddisfare la condizione in oggetto basta che per ogni j=0..+inf
si abbia

somma{k=0..+inf} a_{2k}/(2k-2j+1) = 0

"sistema" di infinite equazioni lineari nelle infinite incognite
a_{2k}, risolto da (ponendo a0=1)

a_{2k} := (2k-1)!!/(2k)!!

che corrisponde appunto a g(x) = 1/sqrt(1-xx). Mi domando se il fatto
di avere infinite relazioni tra gli a_{2k} sia sufficiente per provare
l'unicita' di questa soluzione, o non ci sia un metodo piu' sintetico
e rigoroso, dato che oltretutto l'unicita' e' intuitivamente ovvia,
trattandosi della densita' di carica nella configurazione di
equilibrio di particelle equispaziate in un ago, che si respingono con
legge 1/r. Ciao