Simboli di Christoffel simmetrici?
Massimo Brighi
Il Landau (teoria dei campi) "dimostra"
che il simbolo di Christoffel {i,jk} deve
essere simmetrico rispetto gli indici
j k in questo modo:
Prende un tensore A_i = df/dx^i cioč il
gradiente di uno scalare f.
Poi osserva che la differenza delle due
derivate covarianti
A_k;_i - A_i;_k = ({n,ik} -{n,ki})df/dx^n
č nulla perchč in coordinate galileane il
la derivata covariante si riduce a derivata
ordinaria e quindi il primo membro di questa
eq. č zero. E fin qui siamo d'accordo.
Ma da questo fa seguire che
{n,ik} -{n,ki} = 0,
da cui la simmetria dei simboli di Cristoffel.
A me sembra che per giungere a questa
conclusione il tensore A_j dovrebbe
essere un tensore qualunque. Mentre il
gradiente di uno scalare non lo č.
Sbaglio?
Sembrerebbe che la simmetria dei simboli di C.
sia ipotizzabile solo se ci limitiamo a
vettori A_j irrotazionali.
C'č qualche nesso con la torsione dello spazio?
Grazie
ciao
Massimo
Valter Moretti
Massimo Brighi wrote:
> Il Landau (teoria dei campi) "dimostra"
> che il simbolo di Christoffel {i,jk} deve
> essere simmetrico rispetto gli indici
> j k in questo modo:
> Prende un tensore A_i = df/dx^i cioč il
> gradiente di uno scalare f.
>
> Poi osserva che la differenza delle due
> derivate covarianti
>
> A_k;_i - A_i;_k = ({n,ik} -{n,ki})df/dx^n
>
> č nulla perchč in coordinate galileane il
> la derivata covariante si riduce a derivata
> ordinaria e quindi il primo membro di questa
> eq. č zero. E fin qui siamo d'accordo.
> Ma da questo fa seguire che
>
> {n,ik} -{n,ki} = 0,
>
> da cui la simmetria dei simboli di Cristoffel.
>
> A me sembra che per giungere a questa
> conclusione il tensore A_j dovrebbe
> essere un tensore qualunque. Mentre il
> gradiente di uno scalare non lo č.
> Sbaglio?
>
Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
solo incompleta. Ora la completiamo.
Landau prova che per ogni sistema
di coordinate locali e in ogni punto in
esso, vale:
({n,ik} -{n,ki})df/dx^n = 0 (1)
per ogni funzione f differenziabile.
Fissa un indice j e considera la funzione
che estrae la j-esima coordinata
(x^0,...,x^n) |--> x^j
allora
dx^j/dx^n = delta^j_n (2)
dove delta e' il delta di Kroneker.
Inserito (2) in (1), tenendo conto
dell'arbitrarieta' di j , trovi
({j,ik} -{j,ki}) = 0
in ogni punto per ogni scelta di
i,j e k. Questa e' la tesi.
Ciao, Valter
Massimo Brighi
Valter Moretti wrote:
> Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
> solo incompleta. Ora la completiamo.
> Landau prova che per ogni sistema
> di coordinate locali e in ogni punto in
> esso, vale:
>
> ({n,ik} -{n,ki})df/dx^n = 0 (1)
>
> per ogni funzione f differenziabile.
> Fissa un indice j e considera la funzione
> che estrae la j-esima coordinata
>
> (x^0,...,x^n) |--> x^j
>
> allora
>
> dx^j/dx^n = delta^j_n (2)
>
> dove delta e' il delta di Kroneker.
> Inserito (2) in (1), tenendo conto
> dell'arbitrarieta' di j , trovi
>
> ({j,ik} -{j,ki}) = 0
>
> in ogni punto per ogni scelta di
> i,j e k. Questa e' la tesi.
>
> Ciao, Valter
Un momento,
Se prendi come funzione f quella che
(x^0,...,x^n) |--> x^j
allora f non e' uno scalare e non e' neanche un
tensore.
Si puo' dire chi se ne frega, l'importante e' che:
df/dx^n = dx^j/dx^n = delta^j_n
e' chiaramente un tensore.
Certo, ma allora la sua derivata covariante e'
delta^j_n,k =
ddelta^j_n/dx^k - {m,nk}delta^j_m + {j,mk}delta^m_n
(che tra l'altro e' =0)
e non, come vorrebbe Landau,
delta^j_n,k = ddelta^j_n/dx^k - {m,nk}delta^j_m
che gli permette di ottenere, scambiando gli indici n k
e sottraendo la relazione:
({n,ik} -{n,ki})df/dx^n = 0
Per me Landau, come al solito, fa le cose
troppo facili.
Ciao
Massimo
Massimo Brighi
Dumbo wrote:
> Da come viene introdotto, direi che il campo di
> spostamento infinitesimo { } non dipende dal
> tipo di vettore che trasporti.
>
> L'accrescimento D A_i delle componenti A_ i
> nel trasporto parallelo infinitesimo deve dipendere
> linearmente dalle componenti del vettore stesso.
> (questo indipendentemente dal fatto che A_i sia
> irrotazionale o no). Questa esigenza implica, da
> sola, l'esistenza del campo { }, e implica anche che
> { } sia legato alle componenti del vettore e al loro
> incremento in un modo ben preciso che è D A_i =
> = { k, i p } A_k dx ^ p.
>
> In questo discorso non si fa nessuna ipotesi sul
> vettore trasportato (a parte la covarianza). Quindi la
> struttura di { } e in particolare le sue proprietà di
> simmetria non dipendono minimamente dal fatto
> che il vettore sia o no derivato da uno scalare.
> A causa di questa generalità nessuno può vietarti,
> (una volta trovata la simmetria di { } usando un vettore
> particolare) di dire che il risultato ottenuto è del tutto
> generale.
> Concordi?
No, scusa ma non sono d'accordo.
Se usi dei tensori particolari A per dimostrare la simmetria
di { k, i p } puoi solo dire che { k, i p } agisce nello
stesso modo di (1/2)({ k, i p } + { k, p i }) (che e'
simmetrico in p,i), nella moltiplicazione con i vettori del
tipo A. Se tutti i tensori fossero del tipo A si potrebbe
tranquillamente considerare { k, i p } simmetrico;
Ma siccome i tensori di tipo A non rappresentano tutti i
tensori prendere { k, i p } simmetrico e' una scelta del
tutto arbitraria.
La dimostrazione che da' Landau a
pag.316, dela simmetria di { } non dimostra
assolutamante niente.
Ciao,
Massimo
P.S.
Ho postato due volte il precedente messaggio perche'
non riuscivo a capire se era arrivato o no.
Inoltre la tua risposta non mi e' mai apparsa;
lo pescata guardando in Mailgate.
Com'e' che non mi appaiono dei messaggi?
Sono io che non so fare o e' un problema comune?
( uso Collabra di Netscape)
Mailgate References:
Simboli di Cristoffel simmetrici?, Massimo Brighi
Massimo Brighi
Valter Moretti
Massimo Brighi wrote:
> Un momento,
> Se prendi come funzione f quella che
> (x^0,...,x^n) |--> x^j
> allora f non e' uno scalare e non e' neanche un
> tensore.
Allora, ripeto la dimostrazione con piu' dettagli.
Scelgo un sistema di coordinate arbitrario
sull'aperto A
x^1,...,x^n.
Questo significa in particolare
che esistono n funzioni *scalari *
x^1 : A -> R
.
.
.
x^n : A -> R
cha associano ad ogni punto p di A la corrispondente
coordinata.
A questo punto su A DEFINISCO il campo scalare
f : p |-> x^k(p)
dove k e' *fissato*.
Non c'e' niente di male no? Non capisco cosa
obbietti!
Poi deve essere, se calcolo il commutatore delle
derivate covarianti in coordinate arbitrarie
z^1,...,z^n nel punto P nell'aperto A
D_p D_q f - D_p D_q f = 0
per quanto dice CORRETTAMENTE Landau:
posso sempre calcolare le derivate di sopra
in un sisitema di coordiante galileiane in X
ed in tal caso il secondo membro di sopra
e' nullo perche' il primo membro si riduce alle
derivate ordinarie e vale il teorema di Schwarz
(f e' C^2 almeno). D'altra parte il primo membro,
al variare degli indici p e q in tutti i modi
definisce le componenti di un tensore,
per cui, dato che le trasformazioni tra
tensori sono lineari omogenee
il risultato e' lo stesso in tutti i sistemi
di coordinate. A questo punto vado proprio a
prendere le coordinate iniziali x^1,...,x^n e
deve essere, esplicitando le derivate covarianti
in queste coordinate e notando che:
NELLE COORDINATE DETTE
f(x) = x^k
(cambiando coordiante f avra' la forma che
avra' tenendo conto che e' uno scalare)
ed eseguendo le derivate covarianti trovi
che (d indica la derivata parziale e ho messo la
parentesi attorno all'indice alto di delta per indicare
che NON e' un indice di componente tensoriale
e {a,bc} indica Gamma^a_{bc})
d_p delta^(k)_q - {r, qp} delta^(k)_r
- d_q delta^(k)_p + {r, pq} delta^(k)_r = 0
che tenendo conto che le due derivate sono nulle
perche' derivano costanti, significa
- {r, qp} delta^(k)_r + {r, pq} delta^(k)_r = 0
ossia
-{k,pq} + {k, qp} = 0 (1)
Facendo lo stesso ragionamento ridefinendo
f come
f(x) = x^h
con h diverso da k e per tutti gli indici possibili
arrivci a dire che la (1), nelle coordinate considerate
vale per tutti i k. Dato che le coordinate le avevo scelte
in modo arbitrario, ho provato la (1) in un sisitema
di coordinate arbitrario.
OK?
Mi pare ch hai un po' di confusione su come si
definiscono i tensori e gli scalari, pensaci un po' su.
Ciao, Valter
Biagio
Valter Moretti <mor...@science.unitn.it> wrote in message
397E8B67...@science.unitn.it...
>
> Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
> solo incompleta. Ora la completiamo.
No in realtà credfo sia proprio sbagliata!!
Ovviamente l'arbitrarietà della funzione è sufficiente a giustificare tutto
cio' che segue nel tuo ragionamneto, ma il peccato di forma commessa dal
landau sta nelle premesse.
Premetto che anch'io ero convinto della giustezza della dimostrazione che le
gamma fossero simmetriche, tuttavia durante il corso il prof. teneva
continuamente ad affermare che il fatto che le gamma siano simmetriche è
un'assunzione pura è non è in alcun modo dimostrabile, in altre parole la
simmetria delle gamma deve essere messa a mano nella teoria. A questo punto
non ci ho capito piu' nulla e sono andato a chiedere spiegazioni. Il prof mi
ha detto che con una tr. di coordinate è possibile annullare, alla landau,
solo la parte simmetrica delle gamma e non tutte,. vale a dire che la
torsione non è annullabile. Detto cio' tutta la dimostrazione del Landau
cade di sana pianta. Né tantomeno il principio di equivalenza viene
inficiato, perché nell'equazione della geodetica compare solo la parte
simmetrica delle gamma e non la torsionone.
Per giustificare il fatto che con una tr. di coordinate è possibile
annullare le gamma il landau ricorre (mi dispiace per chi non ha il libro
per poter controllare) alla formula 85,18 o meglio alla trasformazione di
coordinate indicata. Tuttavia se le gamma fossero antisimmetriche la formula
85,18 si riduce all'identità e quindi non è affatto vero che le gamma sono,
tutte, annullabili con una trasformazione di quel tipo, ma solo se
antisimmetriche. In pratica Landau a quel punto si sta mordendo la coda.
Dimostra che le gamma sono anrtisimmetriche dopo aver affermato che sono
annulabili con una trasformazione, che in realtà, ne annulla solo la parte
simmetrica!!
Bella fregatura eh!!
Una dimostrazione analoga, che le gamma sono simmetriche, è riportata anche
dal Weimberg, ma quella non sono andato a rivederla dopo le dritte
propostemi dal prof.
Valter, c'è qualcosa di sbagliato in questo??
Se si dimmelo assolutamente!! Ciao e grazie anticipatamente.
Renzo G.
Valter Moretti <mor...@science.unitn.it> wrote in message
397E8B67...@science.unitn.it...
>
>
>
> Massimo Brighi wrote:
>
> > Il Landau (teoria dei campi) "dimostra"
> > che il simbolo di Christoffel {i,jk} deve
> > essere simmetrico rispetto gli indici
> > j k in questo modo:
> > Prende un tensore A_i = df/dx^i cioč il
> > gradiente di uno scalare f.
> >
> Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
> solo incompleta. Ora la completiamo.
>
Intervengo con particolare interesse al quesito posto perche', nella lettura
del Landau, ero stato colpito dalla stessa perplessita' di Brighi circa la
dimostrazione di simmetria dei simboli di Cristoffel (e rileggendo per
l'occasione il libro ho ritrovato ancora un mio appunto critico a lato !)
L'osservazione che a suo tempo avevo fatto e' la stessa di Brighi.
Debbo dire che non ho capito bene l'integrazione fatta da Moretti perche' il
punto dolente e' che A,ik-A,ki=0 sempre (se Ai e' un gradiente) , e quindi
l'equazione di partenza si riduce sempre ad un'identita'.
Correggetemi se mi e' sfuggito qualcosa.
Ma soprattutto, ad avvalorare queste osservazioni, c'e' l'importante punto
di vista di numerosi ricercatori (a partire dallo stesso Einstein nelle
appendici al testo sulla RG datate 1951 e seguenti) che hanno sottolineato
l'arbitrarieta' di porre {n,ik}simmetrico; di qui, generalizzando, il punto
di partenza per tentativi di unificazione tra gravita' ed elettromagnetismo
(la parte antisim metrica di {j,ik} sarebbe ne' piu' ne' meno che
l'equivalente del tensore campo E., mentre quella antisimmetrica di gik
l'equivalente del potenziale vettore).
Sarei interessato a spunti o riferimenti in materia.
Renzo Guerzoni
Valter Moretti
Ciao, guarda un po' il mio ultimo lunghissimo post sulla questione,
dovrebbe chiarire le cose.
Ciao, Valter
Valter Moretti
Biagio wrote:
> Valter Moretti <mor...@science.unitn.it> wrote in message
> 397E8B67...@science.unitn.it...
>
> >
> > Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
> > solo incompleta. Ora la completiamo.
> No in realtà credfo sia proprio sbagliata!!
> Ovviamente l'arbitrarietà della funzione è sufficiente a giustificare tutto
> cio' che segue nel tuo ragionamneto, ma il peccato di forma commessa dal
> landau sta nelle premesse.
Ciao, sono dovuto andare a rileggere il Landau per le "premesse" che dici.
In effetti fa un bel po' di casino. Ma credo ancora che la dimostrazione che
lui fornisce, completata come ho fatto io funzioni purche' si chiariscano
*bene* le ipotesi.
Prima di ritornare sul pasticcio di Landau vorrei chiarire come stanno le cose
"davvero". Usero' il linguaggio indiciale dei fisici piuttosto che quello dei
matematici intrinseco, visto che siamo su it.scienza.FISICA, OK?
Prendiamo una varieta' a n dimensioni, assumo che tutti sappiate cosa sia
o almeno come maneggiarla in coordinate. NON assumo che sulla varieta'
ci sia una metrica per il momento.
Ora sapete bene che se prendo un campo tensoriale e ne derivo, in coordinate
le sue componenti (A e B sono insiemi di indici)
t^A_B -> @_c t^A_B = u^A_{B c}
dove @_c indica la derivata parziale rispetto alla coordinata c-esima,
l'insiemi dei coefficienti ottenuti al variare dei valori di A, B e c in
tutti i modi possibili NON definisce un tensore (a meno che t non sia
uno scalare).
Esiste una procedura per estendere il concetto di derivata in modo
da produrre tensori per derivazione. Dal punto di vista matematico
cio' significa definire una "connessione affine" sulla varieta'.
Senza farla tanto lunga, significa precisare, in ogni sisitema
di coordinate, dei coefficienti G^a_{bc} con a,b,c = 1,...,n
dipendenti dal posto, che si trasformano cambiando coordinate
con la solita legge che trovate nella formula (85,17) del capitolo X
del Landau. Ma attenzione, io ora sono espilcitamente
in un ambito molto piu' generale: non c'e' nemmeno una
metrica sulla varieta'. Assegno solo questi n^3
coefficienti in ogni sisitema di coordinate ed in ogni punto, ed
assumo che variando le coordinate e tenendo fisso il punto valga
la legge di trasformazione detta.
Infine si definisce la derivata covariante di un campo scalare come
D_a f := @_a f
di un vettore controvariante come
D_a t^b := @_a t^b + G^b_{ac} t^c
e si richiede che tale legge si estenda all'algebra tensoriale
imponendo la linearita', la legge di Leibnitz, la commutativita'
con le contrazioni. Si arriva alla fine alla solita regola
di derivazione covariante di un tensore arbitrario con
indici di qualsiasi tipo che Landau dice in (85,13) (85,14)
e generalizza nel commento sotto tali formule. Tuttavia ora
i coefficienti della metrica non sono i gamma di Landau delle (86,3),
ma sono molto piu' generali.
Nota una connessione possiamo definire il concetto di
geodetica rispetto a tale connessione, richiedendo che
il vettore tangente della curva sia trasportato con derivata
covariante nulla rispetto a se stesso. La formula che viene fuori
e' quella solita (87,3) di landau dove pero' i gamma sono i nostri
piu' generali coefficienti di connessione. Si noti un punto importante
a cui accennava Biagio: in tale equazione, se sostituisco ai coefficienti
G^i_{kl}, la loro parte simmetrica negli indici bassi
T^i_{kl} = (1/2) [G^i_{kl}+ G^i_{lk}]
l'equazione non cambia affatto. Ne consegue che, nel caso
staimo facendo la relativita' generale, anche se aggiungiamo
una parte antisimmetrica alla connessione usata da Landau
(connessione di Levi-Civita), le geodetiche rimangono le
stesse e non ce ne possimo accorgere studiando il moto
di singoli corpi in caduta libera! Questa e' stata una delle idee
che Einstein ha seguito per cercare di "infilare" nella geometria
dello spaziotempo anche il campo elettromagnetico, legato
ad una eventuale parte antisimmetrica della connessione.
Che io sappia la cosa non si e' pero' sviluppata.
La parte antisimmetrica pero' e' stata ripresa per cambiare
la relativita' generale in connessione allo spin delle particelle
come "Dumbo" ci ha spiegato un po' di tempo fa.
Torniamo alla strada principale.
Una volta che abbiamo dato una connessione, cioe' la nozione
di derivata covariante, possiamo osservare che benche' i coefficienti
della connessione G^a_{bc} non definiscano tensori a causa della
loro legge di trasformazione, la differenza simmetrica nei loro
T^i_{kl} = (1/2) [G^i_{kl}+ G^i_{lk}]
definisce un tensore (provare a cambiare coordinate per credere!)
Questo tensore viene detto tensore di torsione della connessione
o piu' semplicemente *torsione* della connessione.
Infine, SE sulla varieta' c'e' una metrica g_{ab}, allora una connessione
G e' detta essere compatibile con la metrica se la derivata covariante
della metrica si annulla ovunque:
D_a g_{bc} = 0
Sussiste il seguente teorema:
"Data una varieta' con metrica g_{ab} ESISTE ed e'
UNICA una connessione G detta di Levi-Civita
tale che:
1) la connessione ha torsione nulla, cioe' sia
*simmetrica*
2) la connessione e' compatibile con la metrica
In tal caso, i coefficienti di connessione sono dati
dai simboli di Christoffel [(86,3) del Landau] "
Sussite un secondo teorema per la connessione
di Levi-Civita
"Data una varieta' con metrica e connessione di
Levi-Civita, per ogni punto p, c'e' un sistema
di coordinate centrato in p in cui i coefficienti
di connessione si annullano in p (e la base
nello spazio cotangente in p puo' essere sempre
scelta in modo che g_{ab} sia in forma canonica
diagonale in p)"
ATTENZIONE: si puo' estendere il teorema a
connessioni generiche (cioe' tipi di derivate
covarianti non dedotte da una metrica in generale)
PURCHE' il *tensore di torsone sia nullo*
cioe' la connessione sia *simmetrica*. Viceversa,
se la torsione non e' nulla, in generale , fissato un punto
p, NON esistono coordinate in cui i coefficienti
di connessione si annullino in p.
DEFINIZIONE. Data una varieta' dotata di connessione
affine e fissato un punto p, un sistema di coordinate
centrato in p e' detto sistema di coordinate normali
riemanniane sse i coefficienti
di connessione si annullano in p (e la metrica in p
ha forma canonica diagonale) ".
NOTA1: I matematici definiscono le coordinate
normami in un modo piu' complicato usando
la funzione esponenziale e selezionando una classe
ancora piu' ridotta di coordinate. per quello che
ci interessa, la definizione data e' sufficiente.
NOTA2: se la connessione e' quella di Levi-Civita
l'annullarsi dei simboli di Christoffel e' *equivalente*
all'annullarsi di tutte le derivate prime dei
coefficienti della metrica (nel punto considerato).
=======================================
Veniamo al pasticcio di Landau.
Landau non chiarisce bene cosa intenda per
"coordinate galileiane".
Le definisce nel paragrafo 82 del capitolo X,
pero' fa del casino. La definizione e' (nell'edizione
italiana) in alto a pagina 299. E dice che sono
coordinate in cui la metrica ha forma diagonale canonica.
Pero' NON si capisce se la forma diagonale deve vale
1) OVUNQUE nelle coordinate oppure
2) in un punto solo.
Nel primo caso, se siamo in relativita' generale NON esistono
in generale coordinate galileiane, per cui la definizione e'
vuota a meno che non la stia dando nello spazio di Minkowski
(ma non lo dice!). Nel secondo caso NON servirebbero a niente!
I sistemi di coordinate rilevanti per il principio d equivalenza
non sono quelli in cui la metrica ha forma canonica ma
quelli in cui vale cio' e *in piu'* i coefficienti della metrica
ha anche derivate nulle nel punto considerato. In queste
coordinate, le geodetiche che escono dal punto centrale,
fino al secondo ordine delle coordinate sono delle rette
(= moto rettilineo uniforme) [usando le coordinate normali
dei matematici si arriva a provare che le geodetiche
sono davvero "rette" in coordinate normali dei matematici
quandoescono dall'origine] .
Nel paragrafo 85 in alto Landu dice che "in coordinate
galileiane i differenziali di un vettore formano
un tensore" Qui e' chiaro che sta usando coordinate
galileiane nel senso 1) di coordiante minkowskiane ed e'
*nello spazio di Minkowski*. La definizione 2) alternativa
che e' contraddittoriamente ribadita all'inizio di pagina
300, non e' ammissibile per che' non sarebbe vero che
"in coordinate galileiane i differenziali di un vettore formano
un tensore". (c'e' una nota di fondopagina 300
che sembra dire qualcosa in proposito ma non capisco).
In ogni caso, sembra di capire che nel paragrafo 85,
****ed e' questo il punto da avere bene chiaro per capire
il "teorema" incriminato ****,
Landau stia generalizzando il concetto di derivata a derivata
covariante **senza fare riferimento alla metrica**.
Landau introiduce qui il concetto di derivata covariante rispetto
ad una *connessione affine arbitraria* esattamente come
dicevo sopra.
I coefficienti Gamma (pag 313 in fondo) che introduce, malgrado
li chiami "simboli di Christoffel" NON lo sono ancora (almeno nella
definizione moderna che ho dato sopra che fa esplicito riferimento
alla metrica):
sono invece solo i coefficienti di una connessione affine che
non "conosce la metrica" per ora.
Arriviamo al "teorema" incriminato a pag. 316. L'unico modo
di fare funzionare le cose e' quello di pensare che
"coordinate galileiane" significhi coordinate in cui
i coefficienti di connessione si annullino nel punto considerato
(centro delle coordinate), cioe' coordinate Riemanniane normali.
Il teorema si enuncia cosi' ed e' il contenuto di una NOTA
che ho scritto sopra.
"Se una connessione generica per ogni fissato punto
ammette un sistema di coordinate galileiane
(= *normali riemanniane*) centrate in tale punto, allora
la connessione ha coefficienti di connessione simmetrici
negli indici bassi (cioe' ha torsione nulla)"
La dimostrazione e' quella che fa Landau a pagina 316
tra "Dimostriamo che i simboli di Christoffel sono simmetrici..."
e la (85,16) inclusa. con le precisazioni che
1) I simboli di Christoffel di cui parla sono coefficienti
di una connessione affine generica;
2) le coordinate galileiane che ammette esistere sono
coordinate normali riemanniane (non e' necessario
che la metrica nel centro delle coordinate abbia forma diagonale
e' sufficiente che si annullino i coefficienti di connessione
in tale punto);
3) se necessario la dimostrazione deve essere integrata
con quanto ho aggiunto nei precedenti post.
Ho perso 2,5 ore a scrivere! Spero che le guadagnerete voi!
Ciao, Valter
Valter Moretti
Ho scritto
"Si noti un punto importante
a cui accennava Biagio: in tale equazione, se sostituisco ai
coefficienti
^^^^^^^^^
G^i_{kl}, la loro parte simmetrica negli indici bassi
T^i_{kl} = (1/2) [G^i_{kl}+ G^i_{lk}]
l'equazione non cambia affatto. Ne consegue che, nel caso
staimo facendo la relativita' generale, anche se aggiungiamo
una parte antisimmetrica alla connessione usata da Landau
(connessione di Levi-Civita), le geodetiche rimangono le
stesse e non ce ne possimo accorgere studiando il moto
di singoli corpi in caduta libera! Questa e' stata una delle idee
che Einstein ha seguito per cercare di "infilare" nella geometria
dello spaziotempo anche il campo elettromagnetico, legato
ad una eventuale parte antisimmetrica della connessione.
Che io sappia la cosa non si e' pero' sviluppata.
La parte antisimmetrica pero' e' stata ripresa per cambiare
la relativita' generale in connessione allo spin delle particelle
come "Dumbo" ci ha spiegato un po' di tempo fa."
Mi scuso con tutti, non era Biagio, ma Renzo Guerzoni!
Ciao, Valter
Valter Moretti
"Renzo G." wrote:
>
> Debbo dire che non ho capito bene l'integrazione fatta da Moretti perche' il
> punto dolente e' che A,ik-A,ki=0 sempre (se Ai e' un gradiente) , e quindi
> l'equazione di partenza si riduce sempre ad un'identita'.
Ciao, ti rispondo separatamente. Se hai letto il mio precedente lunghissimo
post avrai visto che bisogna distiguere tra connessione di Levi-Civita e
connessione arbitraria. Landau fa un vero casino, pero' si riesce a capire
dipanando la matassa. Quello che dici tu e' vero se sai gia' che la connessione
e' quella di Levi-Civita (che e' simmetrica ed ammette coordinate in cui i
coefficienti
della metrica si annullano in un punto fissato). Landau nel paragrafo
incriminato
NON fa tale identificazione (anche se nel casino non lo dice esplicitamente),
mentre
assume solo che esista un sistema di coordinate normali riemanniane per ogni
punto
(che lui chiama "galileiane" e definisce in diversi modi anche
inconsistentemente,
ma la stessa confusione si trova gia' nei vecchi articoli a libri di
Einstein...).
Il teorema prova che sotto tali ipotesi (esistenza delle coordinate galileiane)
la connessione deve essere simmetrica.
Aggiungo che poi, sempre nella solita confusione, nel paragrafo 86
arriva anche al teorema finale:
"se una connessione e' simmetrica ed e' compatibile con la metrica
allora e' quella di Levi-Civita"
(cioe' i coefficienti di connessione sono quelli
dati dalle (86,3) che *oggi* si chiamano simboli di Christoffel, mentre nel
casino di Landau, ogni coefficiente di connessione viene chiamato
simbolo di Christoffel).
Ladau dimostra il teorema mostrando che la derivata covariante
del tensore metrico deve essere nulla se si assume che che la
"procedura di alzare ed abbassare gli indici commuti con la derivazione
covariante"
Oggi questo e' un noto teorema: "dire che la derivata covariante,
per una connessione affine genenrica, del tensore metrico sia nulla e'
equivalente a dire che la derivata covariante commuti con la procedura
di alzare ed abbassare gli indici".
Ovviamente pero' Landau non dice *perche'* assume che
"la procedura di alzare ed abbassare gli indici commuti con la derivazione
covariante". Per lui e' evidente, pero' magari per chi studia sarebbe
meglio fare notare che questa e' un'assunzione esplicita.
Devo fare un'altra precisazione. Ho scritto
"Arriviamo al "teorema" incriminato a pag. 316. L'unico modo
di fare funzionare le cose e' quello di pensare che
"coordinate galileiane" significhi coordinate in cui
i coefficienti di connessione si annullino nel punto considerato
(centro delle coordinate), cioe' coordinate Riemanniane normali."
Devo precisare che in effetti Landau, definendo per la (probabilmente)
terza volta le coordinate galileiane, in fondo a pagina 313 dice
che le coordinate galileiane sono quelle che io ho chiamato
riemanniane normali. E afferma che e' esse esistono.
Nell'ipotesi che esistano come dicevo nel precedente post,
lui dimostra che la connessione deve essere simmetrica.
Infine prova che per la connessione di Levi-Civita, che ha ottenuto
imponendo l'esistenza delle coordinate galileiane e della compatibilita'
della metrica on la derivazione covariante, vale l'esistenza di coordinate
galileiane.
Nota che poteva non essere vero: prima aveva provato solo che
SE esiste una connessioneche ammette coordinate galileiane allora
deve essere simmetrica, ma c'e' il SE. Alla fine prova che tutta la
baracca e' consistente e determina univocamente la connessione
di Levi-Civita.
In definitiva mi avete convinto che per queste cose piu' matematiche
il Landau sia veramente di basso livello , deleterio direi,
perche' la struttura logica cede all'intuito fisico e questo non e'
bello per chi deve capire queste cose. Sarebbe stato meglio
procedere in maniera piu' elementare
mostrando che nello spazio di Minkowski la derivata *ordinaria*
in coordinate Minkowskiane produce tensori e che tale operazione
si legge in coordinate arbitrarie, sempre nella varieta' di Minkowski,
tale derivata si esprime come una derivata covariante i cui simboli
di connessione sono dati dalle (86,3), che non sono nulli anche se
lo spazio e' piatto, in coordinate arbitrarie. A questo punto avrebbe
potuto semplicemente notare che il formalismo cosi' costruito
nello spazio di M. ma in coordinate arbitrarie si puo' trasferire
di sana pianta in varieta' che non ammettono coordinate in cui
la metrica sia ovunque in forma diagonale! Tutto qui.
A posteriori avrebbe potuto poi definire la curvatura quando c'e'!
Invece fa un casino dell'altro mondo!
Infine c'e' una cosa di carattere fisico che ho sempre odiato
del landau: non si capisce bene nel libro cosa significhi che in uno
spaziotempo c'e' gravita'. Mi pare (non l'ho mai letto tutto
il libro, potrei sbagliarmi) che lui si fermi al
principio di equivalenza per cui localmente non te ne
puoi accorgere se c'e' o non c'e' gravita'. Peccato pero' che
la definizione di gravita' che usa in tal caso sia quella *classica*,
per cui alla fine non c'e' modo di capire *relativisticamente*
parlando cosa significhi che c'e' gravita'. Eppure arriva alla
"deviazione geodetica" nel paragrafo 86. Bastava dire che
*per definizione*^c'e' gravita' se e solo se c'e' deviazione
geodetica...
Aggiunta: La nota in fondo alla pagina 317 mi pare che sia
una fesseria.E' quello che dice a meno che
la "linea di universo" non sia una geodetica (e le coordinate
di cui parla sono le "coordinate di Fermi"). Anche qui il
testo brilla per chiarezza!
Vabbe' . Vi conviene studiare sul Weinberg o meglio ancora
sul Wald la relativita' generale...e' meglio... ;-)
Ciao, Valter
PS Vorrei pero' spezzare una lancia in favore di Landau.
Ho notato che il traduttore in italiano dei libri della Mir
A. Machov, spesso non capendo nulla scrive delle fesserie,
una buona parte delle difficolta' del lettore sono colpa sua. Una volta
leggendo un libro tradotto da lui tho trovato
nel testo di una dimostrazione:
"quindi sostanzialmente l'operatore A e' autoaggiunto..."
che non significa nulla! Riflettendo sulla
dimostrazione e trovando conferma per confronto
con l'edizione inglese ho poi capito che il testo avrebbe
dovuto essere.
" quindi l'operatore A e'
ESSENZIALMENTE AUTOAGGIUNTO".
No comment.
Renzo G.
Valter Moretti <mor...@science.unitn.it> wrote in message
39816006...@science.unitn.it...
>
>
> > Ciao, Valter
>
Attenzione che il messaggio non e' stato trasmesso
Renzo Guerzoni
Valter Moretti
"Renzo G." wrote:
Ciao, io qui lo vedo arrivato un minuto prima di quello
al quale hai appena replicato! E' una risposta a Biagio di oggi.
Ciao, Valter
Massimo Brighi
Innanzitutto grazie par la chiara ed esauriente
risposta; che tra l'altro mi conferma che Landau
ogni tanto fa dei pasticci.
Anche se devo dire che a volte e' geniale nel
riuscire ad arrivare con pochi passaggi
a risultati che altri autori ottengono in pagine
di calcoli (vedi ad esempio i potenziali di
Lienard-Wiechert sempre su "teoria dei campi")
Riguardo la mia obiezione sul tuo completamento
della dimostrazione di Landau ammetto di aver
male interpretato:
naturalmente si puo' definire
una funzione scalare f che ad ogni punto P
associa la cua coordinata i-esima (in un definito
sistema di coordinate).
Ho affermato che "f non e' uno scalare e neanche un
tensore" perche' ho interpretato f come la coordinata
i-esima stessa e non un campo scalare che nel punto
P (x^0,...,x^n) assume il valore x^i. ( la notazione
non aiuta).
Ciao
Massimo
Valter Moretti
Massimo Brighi wrote:
>
> Anche se devo dire che a volte e' geniale nel
> riuscire ad arrivare con pochi passaggi
> a risultati che altri autori ottengono in pagine
> di calcoli (vedi ad esempio i potenziali di
> Lienard-Wiechert sempre su "teoria dei campi")
>
Si lo penso anche io, pero' Landau non puo' (poteva)
pretendere che i suoi lettori siano tutti dei Landau !
A volte bisogna essere chiari anche sulle cose "banali".
>
> Riguardo la mia obiezione sul tuo completamento
> della dimostrazione di Landau ammetto di aver
> male interpretato:
> naturalmente si puo' definire
> una funzione scalare f che ad ogni punto P
> associa la cua coordinata i-esima (in un definito
> sistema di coordinate).
> Ho affermato che "f non e' uno scalare e neanche un
> tensore" perche' ho interpretato f come la coordinata
> i-esima stessa e non un campo scalare che nel punto
> P (x^0,...,x^n) assume il valore x^i. ( la notazione
> non aiuta).
>
Vedo che hai capito perfettamente. Ciao, valter