far rotolare senza strisciare

[Enrico Le Donne]

Qualche anima pia mi puņ aiutare a fare questo problema? sono 2 notti che
non dormo per colpa di questo problema! ho coinvolto pure tutti i miei
amici...
es:
Per far rotolare senza strisciare una palla da biliardo dall'inizio, la
stecca deve colpire la palla non al centro ma esattamente 2/5 R sopra il
centro. Si dimostri questo risultato.

ringrazio in anticipo!
Enrico

[Valar]

modellizziamo la spinta della stecca con un urto con un punto materiale
(pero' con una piccola differenza che spiego piu' avanti), perche' la
spinta puo' essere considerata istantanea ela superficie di contatto
puntuale
sia M la massa della boccia, V la velocita' della boccia dopo l'urto, p
la quantita' di moto del punto materiale prima dell'urto, p' dopo l'urto
(la differenza sta nel considerare tutti i veootir velocita' paralleli,
anche se l'urto non e' centrale, questo perche' sappiamo che la stecca
colpisce in modo da rendere trascurabile la componente ortogonale al
tavolo della velocita' della boccia, se non fosse cosi' la boccia
salterebbe, per effetto del rimbalzo istantaneo con il tavolo, cosa che
accade quando si colpisce la boccia con la stecca inclinata fortemente
verso il basso)
Per conservazione dell'energia abbiamo

p^2/m=M*V^2+p'^2/m (m e' la massa del punto materiale)

per conservazione della quantita' di moto abbiamo

p=M*V+p'

sia L la distanza del punto di urto da tavolo, dato che nel calcolo del
momento angolare subito prima dell'urto dovremmo moltiplicare p per d
(distanta del punto di urto dal punto di contatto) per il seno
dell'angolo tra i due vettori, si vede immediatamente (basta disegnare)
che d per sil seno restituisce L quindi il momento angolare del punto
materiale prima dell'urto e' p*L
Dalla conservazione del momento angolare abbiamo che

p*L=p'*L+8/5*M*R^2*w

dove w e' la velocita' angolare del centro della boccia subito dopo
l'urto, per essere puro rotolamento deve essere w*R=V, quindi adesso
abbiamo 4 equazioni in quattro incognite (L, V, w, p', p non va
considerata incognita ma come parametro del sistema), con un po' di
algebra si dovrebbe arrivare al risultato desiderato
--
Saluti
Valar

collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
ex-Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994

"Diciamo la verita': a tutti piacciono le minorenni, per questo c'e' una
legge!" Daniele Luttazzi

[Valter Moretti]

Ciao, prendi come polo per calcolare il momento angolare
il punto di contatto tra la sfera e la stecca (parallela al piano
orizzontale). Lascia indicata l'altezza di tale punto perche'
e' proprio quella che bisogna determinare.
In questo modo la forza violenta dell'urto non
fornisce contributo al momento totale delle forze rispetto
a quel polo. Se l'urto e' violento puoi anche trascurare i
contributi delle altre forze (la reazione d'attrito con il terreno).
A questo punto il momento angolare immediatamente
prima dell'urto e quello dopo l'urto calcolati rispetto
al polo detto dovranno coincidere. Imponi che
subito dopo l'urto ci sia il rotolamento (velocita' del CM
= R omega) e scrivi che il momento angolare totale e' nullo
come prima dell'urto. Il momento angolare e' fatto da due pezzi:
quello del CM e quello attorno al CM. Imponendo che si
annullino reciprocamente ottieni un'equazione nell'altezza
del punto di contatto con la stecca (cioe' il polo). La velocita'
sparisce dai calcoli. Quest'equazione ha come soluzione
quella che dici tu.

Ciao, valter

[Valter Moretti]

Enrico Le Donne wrote:

> Qualche anima pia mi puņ aiutare a fare questo problema? sono 2 notti che
> non dormo per colpa di questo problema! ho coinvolto pure tutti i miei
> amici...
> es:
> Per far rotolare senza strisciare una palla da biliardo dall'inizio, la
> stecca deve colpire la palla non al centro ma esattamente 2/5 R sopra il
> centro. Si dimostri questo risultato.
>

> ringrazio in anticipo!
> Enrico

[Elio Fabri]

Enrico Le Donne ha scritto:

> Per far rotolare senza strisciare una palla da biliardo dall'inizio, la
> stecca deve colpire la palla non al centro ma esattamente 2/5 R sopra il
> centro. Si dimostri questo risultato.

Quando la palla rotola senza strisciare, la sua q. di moto e' Q = Mv (v
vel. del centro di massa) e il suo momento angolare rispetto al punto di
contatto col tavolo e' L = Iv/R = 7 MvR / 5. (Infatti I = 7 M R^2 / 5).
Il loro rapporto e' L/Q = 7R/5.
La stecca trasmette una forza impulsiva, orizzontale. Il rapporto tra
momento dell'impulso e impulso stesso e' h: altezza del punto di
contatto rispetto al tavolo.
Dunque h = 7R/5.

Spero che la risposta, anche se sintetica, possa illuminarti.
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica