Velocità di fuga

[Luca M]

Buongiorno a tutti



Avrei una domanda: visto che la gravità nasce da una curvatura dello spazio, come è possibile che esista una velocità che consente di "opporsi" a questa curvatura? penso al classico disegno di Newton (non so se fosse di suo pugno :) ) del sasso lanciato a sempre maggiore velocità da un'altura: a rigor di logica non dovrebbe trovarsi sempre nella stessa "orbita" con solo maggiore velocità di rotazione se è lo spazio ad essere curvo?
Immagino le vostre teste che si scuotono con pietà mista a rabbia...siate comprensivi :)
Grazie

[JTS]

Luca M schrieb am Montag, 11. April 2022 um 12:15:03 UTC+2:
> Buongiorno a tutti
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> Avrei una domanda: visto che la gravità nasce da una curvatura dello spazio, come è possibile che esista una velocità che consente di "opporsi" a questa curvatura? penso al classico disegno di Newton (non so se fosse di suo pugno :) ) del sasso lanciato a sempre maggiore velocità da un'altura: a rigor di logica non dovrebbe trovarsi sempre nella stessa "orbita" con solo maggiore velocità di rotazione se è lo spazio ad essere curvo?

Domanda del tutto incomprensibile.

[Elio Fabri]

Luca M ha scritto:

> Avrei una domanda: visto che la gravità nasce da una curvatura dello
> spazio, come è possibile che esista una velocità che consente di
> "opporsi" a questa curvatura? penso al classico disegno di Newton (non
> so se fosse di suo pugno :) ) del sasso lanciato a sempre maggiore
> velocità da un'altura: a rigor di logica non dovrebbe trovarsi sempre
> nella stessa "orbita" con solo maggiore velocità di rotazione se è
> lo spazio ad essere curvo?

Anch'io avrei una domanda.
Ci eravamo lasciati un paio di mesi fa con la tua intenzione di
studiare il Q16 (veramente la parola "studiare" non l'avevi scritta:
ce l'aggiungo io in quanto la reputo necessaria).
La domanda sono due:
1) Ha tenuto fede al tuo proposito?
2) Se sì, hai trovato qualcosa del genere nel Q16?
Io penserei di no; ci avrai trovato piuttosto il principio di
equivalenza e il principio della geodetica, che non mi sembrano andare
molto d'accordo con quello che scrivi.
Come la mettiamo?
--
Elio Fabri

[Luca M]

Il giorno martedì 12 aprile 2022 alle 12:10:06 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:

> Anch'io avrei una domanda.
> Ci eravamo lasciati un paio di mesi fa con la tua intenzione di
> studiare il Q16 (veramente la parola "studiare" non l'avevi scritta:
> ce l'aggiungo io in quanto la reputo necessaria).
> La domanda sono due:
> 1) Ha tenuto fede al tuo proposito?

Fino alla lezione 2...

> 2) Se sì, hai trovato qualcosa del genere nel Q16?
> Io penserei di no; ci avrai trovato piuttosto il principio di
> equivalenza e il principio della geodetica, che non mi sembrano andare
> molto d'accordo con quello che scrivi.
> Come la mettiamo?

La mettiamo che ho capito: ritiro la domanda, mi rimetto a studiare e comprenderò evidentemente l'assurdità della mia domanda .
Chiedo perdono ma il tempo per studiare è pochino in questo periodo...
> --
> Elio Fabri

[Christian Corda]

In realtà non esiste nessun "principio della geodetica". Il moto geodetico è un corollario ed una diretta conseguenza del principio di equivalenza, cosa per altro parecchio intuitiva. La dimostrazione rigorosa, non semplicissima, ma neppure complicatissima, può essere trovata nel libro di gravitazione e cosmologia del compianto Steven Weinberg. Se chi fosse interessato non ha accesso al libro di Weinberg mi può contattare privatamente e gli giro un mio articolo di ricerca dove la dimostrazione stessa è stata riutilizzata.

[Elio Fabri]

Christian Corda ha scritto:

> In realtà non esiste nessun "principio della geodetica". Il moto
> geodetico è un corollario ed una diretta conseguenza del principio di
> equivalenza, cosa per altro parecchio intuitiva.

Sull'intuitivo, ognuno può avere le sue opinioni.
Certamente il PG non l'ho inventato io :-)
Senza questo nome, si trova enunciato e usato in "Il significato della
relatività" di Einstein.
Credo non esista testo di RG che non ne parli, più o meno
approfonditamente.
Nel mio Q16 si può leggere, a pag. 245, in una pagina riassuntiva:

"Le linee orarie dei corpi in moto naturale sono geodetiche dello
spazio-tempo}."
Questo, che si chiama il "principio della geodetica", l'ho trattato un
po' troppo di sfuggita: meritava una discussione più accurata.

In realt\`a nel Q16 di PG si parla assai poco.
Ne avevo trattato più diffusamente in una versione precedente:
"Per un insegnamento moderno dela relatività",
di cui ho messo in rete (per ora) solo alcuni capitoli:
http://www.sagredo.eu/Ins-mod-rel/Ins-mod-rel-19.pdf

Nelle mie lezioni di "Introduzione alla relatività generale", al
cap. 2
http://www.sagredo.eu/irg02.pdf
si legge:
"Passando a uno spazio-tempo curvo, occorre trovare la naturale
generalizzazione di una retta dello spazio-tempo piatto: Einstein
postula che si tratti di una geodetica, come già detto. E' questo il
'principio della geodetica' (PG). Nella formulazione iniziale della RG
il PG appare come un postulato indipendente; solo anni dopo Einstein e
Infeld dimostrano che lo si pu\`o dedurre dalle equazioni di Einstein.

"Gravitation" dedica alcune pagine, a partire da pag. 476, a una
deduzione del PG, che non mi sembra di poter ritenere rigorosa.

Rindler in "Essential relativity" parla del PG in più punti. A pag.
283 si legge:
"A most interesting property of Einstein's field equations is that
they, by themselves, imply the geodesic law of motion, which had been
originally introduced as a separate axiom. [...] The general proof is
long and difficult; suffice to say that it has been given (in a
series of papers by Einstein and collaborators beginning in 1927),
though perhaps still not with sufficient rigour to satisfy the
mathematicians.

I due libri sono dal 1972 e del 1977, quindi è possibile che in
seguito siano state date dimostrazioni più rigorose. Ma in ogni caso
non ritengo che siano alla portata di Luca, come minimo perché
presuppongono la conoscenza delle eq. di Einstein.
--
Elio Fabri

[Christian Corda]

In realtà il Gravitation parla di "geodesic motion" o di "geodesic equation of motion" mentre il Rindler parla di "geodesic law of motion". In nessun caso si parla di "geodesic principle".  E' poi vero che Einstein e Infeld dimostrarono che il moto geodetico si può ottenere dalle equazioni di Einstein, ma questo è un caso particolare. In realtà, come conseguenza del principio di equivalenza, il moto geodetico è una caratteristica di tutte le teorie metriche della gravitazione (non solo della relatività generale), ossia, di quelle teorie metriche ad alto ordine che tentano di estendere la relatività generale (teorie scalar-tensoriali o teorie con azioni che modificano l'azione standard di Einstein-Hilbert, che è funzione lineare dello scalare di Ricci, con azioni che sono funzioni non-lineari dello scalare di Ricci) o di quella che storicamente precedette  la relatività generale, ossia la teoria metrica scalare di Nordstrom (1914)  che non è però consistente con le osservazioni.  Per teorie metriche intendo che rispettano il principio di equivalenza intermedio, o di Einstein. Per definire  le teorie metriche non basta infatti il principio di equivalenza debole e non è necessario quello forte (le uniche teorie conosciute che rispettano quest'ultimo sono  proprio la relatività generale e la teoria scalare di Nordstrom). Quindi, se scriviamo "principio di equivalenza e principio della geodetica"  lasciamo intendere che stiamo parlando di due cose indipendenti, mentre in realtà utilizziamo una terminologia ridondante, perché il moto geodetico, o legge  del moto geodetico, è un corollario del principio di equivalenza.  Seguendo il libro di Weinberg, ecco la dimostrazione di quest'ultima affermazione:


Supponiamo di non avere particelle che stanno accelerando nelle vicinanze di un evento arbitrario rispetto ad un sistema di riferimento in caduta libera che chiamiamo X^{\mu}. Ponendo T=X^{0}, possiamo scrivere la seguente equazione, localmente applicabile in caduta libera:

\frac{d^{2}X^{\mu}}{dT^{2}}=0  (1).

Utilizzando la regola della catena abbiamo subito

\frac{dX^{\mu}}{dT}=\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}. (2)

Derivando la (2) rispetto a T si ha


\frac{d^{2}X^{\mu}}{dT^{2}}=\frac{d^{2}x^{\nu}}{dT^{2}}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}+\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}. (3)

Ora, combinando a (1) con la (3) otteniamo


\frac{d^{2}x^{\nu}}{dT^{2}}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=-\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}. (4)

Se ora moltiplichiamo ambo i membri della (4) per \partial x^{\lambda} otteniamo


\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dT^{2}}=-\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial X^{\mu}}\right].  (5)

Ponendo t=x^{0} ed usando ancora  la regola della catena possiamo eliminare T e scrivere in termini della coordinata temporale t



\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dt^{2}}=-\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial X^{\mu}}\right]+\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\lambda}}{dt}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{0}}{\partial X^{\mu}}\right]. (6)


Poiché i termini dentro le parentesi quadre che riguardano le relazioni tra le coordinate locali X^{\mu} e quelle generali x^{\mu} sono funzioni delle coordinate generali, utilizziamo la coordinata temporale t come parametro, otteniamo subito l'equazione del moto geodetico


\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dt^{2}}=-\Gamma_{\nu\alpha}^{\lambda}\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}+\Gamma_{\nu\alpha}^{0}\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\lambda}}{dt}, (7)

che è equivalente all'equazione standard del moto geodetico in termini del parametro s

\frac{d^{2}x^{\lambda}}{ds^{2}}=-\Gamma_{\nu\alpha}^{\lambda}\frac{dx^{\nu}}{ds}\frac{dx^{\alpha}}{ds}. (8)

[condor pasa1]

Christian corda ha scritto :

Se chi fosse interessato non ha accesso al libro di Weinberg mi può contattare privatamente e gli giro un mio articolo di ricerca dove la dimostrazione stessa è stata riutilizzata.

Sarei interessato a ricevere il tuo articolo, però non riesco a contattarti privatamente perché del tuo indirizzo e-mail
leggo solo <cordac....@gmail.com>
In alternativa ti scrivo la mia mail in modo che se vuoi mi potrai mandare il tuo articolo.
condor...@gmail.com

saluti

[Alberto Rasà]

Il giorno mercoledì 13 aprile 2022 alle 16:45:03 UTC+2 cordac....@gmail.com ha scritto:
...

> Quindi, se scriviamo "principio di equivalenza e principio
> della geodetica" lasciamo intendere che stiamo parlando
> di due cose indipendenti, mentre in realtà utilizziamo una
> terminologia ridondante, perché il moto geodetico, o legge
> del moto geodetico, è un corollario del principio di
> equivalenza.
>

Allora non si dovrebbe nemmeno mai parlare di "Principio di Indeterminazione di Heisenberg" in una trattazione formale della MQ che utilizza i postulati. Ma lo si fa in alcuni testi, per ragioni storiche, e si aggiunge che con quella trattazione è un teorema e non più un principio.

--
Wakinian Tanka

[Luciano Buggio]

Il giorno mercoledì 13 aprile 2022 alle 08:45:04 UTC+2 cordac....@gmail.com ha scritto:

> In realtà non esiste nessun "principio della geodetica". Il moto geodetico è un corollario ed una diretta conseguenza del principio di equivalenza,

Ma il P.d.E (in quanto proprio *principio* ed un principio non può essere approssimabile) è falsificato dall'effetto mareale (Einstein ipotizza un campo gravitazionale uniforme, col suo ascensore in caduta libera, quindi senza trazione mareale, cosa che non è nella realtà).

Se il moto geodetico è un corollario del P.d.E è di conseguenza anch'esso falsificato.

Ti pregherei di dirmi dove il mio ragionamento è sbagliato.

Luciano Buggio

[Christian Corda]

Molto interessante, ma direi leggermente più complicato (come ogni volta che si passa da fisica classica a quantistica). Io la vedo così, ma non dico di esser certo di aver ragione. Se assumiamo l'ipotesi duale di de Broglie come postulato, allora ricaviamo la relazione di indeterminazione (così la chiamano molti testi di matematica pura, anziché principio) da un teorema della trasformata di Fourier sulle onde. Però la relazione di indeterminazione rimane "scoperta" come teorema riguardo la parte particellare. L'opposizione di Einstein al principio di indeterminazione riguardava proprio questo: quando interagiamo con una particella è il nostro interagire a generare l'indeterminazione, ma non possiamo escludere che, se non interagiamo con essa, non abbia sia posizione che velocità ben definite senza indeterminazione.