Decodificata Struttura E8
Luca Andreoli
su televideo ho letto :
Decodificata la struttura E8
Dopo quattro anni di studi, ricercatori americani ed europei hanno
svelato il segreto di una delle più complesse strutture matematiche,
scoperta nel diciannovesimo secolo. Lo ha annunciato l' Istituto
americano delle matematiche.
E' stata decodificata la struttura E8, un esempio del Gruppo di Lie,
concetto scoperto nel 1887 dal matematico norvegese Sophus Lie per
studiare la simmetria. Si tratta di una scoperta importante per la
comprensione di fenomeni in molte discipline matematiche e scientifiche
spiegano i ricercatori.
Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
spiegare una cosa così difficile in modo elementare ?
Luca
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Michele
Ciao,
qui trovi una spiegazione esauriente: http://aimath.org/E8/
Se non ti sono familiari i concetti di gruppo, gruppo di Lie e
rappresentazione di un gruppo, credo che non ci siano modi semplici
per descrivere il lavoro di questi ricercatori. E' un argomento
estremamente astratto. Tuttavia potresti approfittarne per studiare un
po' di teoria dei gruppi: e' molto interessante ed e' alla base di
tutta la fisica moderna!
Saluti.
Paolo Brini
> Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> spiegare una cosa così difficile in modo elementare ?
Il prodotto cartesiano di quel gruppo di Lie (rango 8 dimensione 248, lo
puoi immaginare come una matrice 453060x453060 in cui ogni elemento può
essere un polinomio di Kazdhan-Lusztig) per se stesso (E8xE8) trova
applicazioni in una teoria delle stringhe (supersimmetrica). In
particolare, è il gruppo di simmetria per la teoria delle supercorde (o
superstringhe, come preferisci) di tipo HE a 10 dimensioni dello
spaziotempo, con corde chiuse.
Se vuoi possiamo approfondire ma ti assicuro (o almeno io la vedo cosi)
che sia i concetti, sia il formalismo di tutte le teorie delle
supercorde (per teoria delle supercorde intendo teoria delle corde con
supersimmetria forze-materia) sono un incubo.
Non ho idea se E8 serva a qualsiasi altra cosa, probabilmente qualche
matematico lo saprà.
Una precisazione sulla notizia del Televideo: E8 è stato "decodificato"?
Forse vogliono dire mappato (rappresentato come combinazioni lineari di
spazi vettoriali)? E' un risultato notevolissimo in termini di calcolo.
Ciao,
Paolo
Tetis
E' un gruppo di Lie, e fin qui nulla di particolarmente
esaltante, ne esistono tanti, ad esempio il gruppo delle
rotazioni, il gruppo delle trasformazioni conformi, il
gruppo ad un parametro delle evoluzioni temporali
di un flusso per effetto di un campo di velocità su una
varietà, il gruppo di Lorentz, il gruppo di Poincarè, il
gruppo di De Sitter, il gruppo di monodromia dell'oscillatore
armonico in tre dimensioni (SU(3)). Quello che ha di eccezionale,
è la posizione privilegiata, rispetto agli altri gruppi di Lie, che
risulta essere il gruppo degli automorfismi della propria stessa
algebra di Lie. Questa proprietà lo caratterizza (non so se in maniera
univoca, dovremmo chiedere ad un matematico, ma certamente insieme
al rango che è otto dovrebbe essere un aspetto decisivo del perchè
ha interesse in fisica), Dal punto di vista della
fisica quello che ha di particolare è che contiene tutti gli altri gruppi,
e contiene anche una particolarissima struttura che non è ulteriormente
espandibile, ovvero contiene una complessificazione del gruppo degli
ottonioni (a rigore contiene il piano proiettivo ottonionico che stabilisce
le
regole moltiplicativa di elementi che agiscono sul prodotto tensoriale di
ottonioni) ricordiamo un attimo che con una procedura di
ipercomplessificazione
della retta complessa si ottengono i quaternioni (C^2 -> H) , con un insieme
di
procedure di complessificazione della retta quaternionica (parametrizzate
dal
piano proiettivo di Fano) si ottengono gli ottonioni (nelle molteplici copie
possibili)
A questo punto, per via di una famosa osservazione di Streater, circa il
fatto che
non c'è modo di tensorializzare gruppalmente spazi vettoriali su ottonioni
ed in
genere su nessuna algebra ipercomplessa che non sia data dai numeri
complessi e
dalla loro "complessificazione" i quaternioni. In accordo a questa
intuizione di
Streater C ed H risultano sufficienti a tutte le necessità logiche di una
teoria dei campi,
ciò è relazionato al fatto che gli ottonioni sono la più grande algebra di
Clifford che
forma un'algebra di divisione, quindi gli ottonioni intervengono nello
studio
delle interazioni fra particelle che vivono in spazi di Hilbert sui
quaternioni,
ma non sono ulteriormente suscettibili di dar luogo a "campi" . Tuttavia
a livello astratto, ma forse anche in concreto nella QCD, i loop
(quasigruppi)
di unità rappresentabili in O^2, e che danno vita al cosiddetto piano
proiettivo
ottonionico (la versione del piano di Fano, che potremmo chiamare piano
proiettivo
quaternionico, per gli ottonioni) sono ancora di molto interesse perchè
potrebbero intervenire a livello di vincoli sulle cosiddette strutture
confinate.
Quindi il gruppo E8 potrebbe contenere alcune delle segrete alchimie della
fisica del sapore, del colore, e delle cosiddette simmetrie interne. Questi
alcuni
dei motivi per cui E8 è importante. Sulla struttura matematica, ed i
rapporti con
lo spazio euclideo complesso in 8 dimensioni, E_8, sulla struttura specifica
dell'algebra (che ha 8 radici, legate ad 8 sottoalgebre irriducibili, ma due
sottoalgebre principali, date rispettivamente dai generatori di SO(16) che
sono
16x15/2 =120 e dai neutrini di Majorana Weyl associati a Spin(16) che sono
2^7=128, per un totale di 248, che come osserva Piergiorgio Odifreddi è la
metà di un numero perfetto, nel senso degli antichi greci, ovvero pari alla
somma
dei propri divisori; 496, cosa che sarebbe piaciuta a S.Agostino che
prediligeva
il ruolo del 6 nella teologia, su tutto questo, dicevo non mancheranno
occasioni di
riflessione in futuro.
> Luca
>
>
> --
> Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
>
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Elio Fabri
> su televideo ho letto :
>
> Decodificata la struttura E8
> Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> spiegare una cosa così difficile in modo elementare ?
perche' non so su che conoscenze posso contare da parte tua.
Perdona se non me lo ricordo: fai ingegneria?
Occorre definire prima di tutto un gruppo di Lie compatto.
Non tento la definizione generale, che temo non ti direbbe niente, ma
faccio qualche esempio.
Sicuramente sai che una generica rotazione nello spazio viene
individuata assegnando tre parametri, solitamente gli angoli di
Eulero.
Ecco: l'insieme di tutte le rotazioni e' un esempio di gruppo di Lie,
a 3 dimensioni in questo caso.
Il termine "gruppo" si riferisce al fatto che le rotazioni si possono
"comporre", con certe proprieta' di questa composizione, in cui non
entro.
Il nome di Lie sta a ricordare che si tratta di un gruppo dotato di
coordinate (gli angoli di Eulero) per individuare un elemento.
Altro esempio: il gruppo di Lorentz. In questo caso, per il gruppo
completo i parametri occorrenti sono 6.
Ma anche i gruppi delle traslazioni nel piano o nello spazio sono
gruppi di Lie.
E' poi facile intuire che gruppi del genere si possono considerare
anche in piu' dimensioni.
Il termine "compatto" si riferisce a una proprieta' topologica: detto
molto male, ha a che fare col fatto che i parametri abbiano un campo
di definizione limitato o no.
Per es. il gruppo delle rotazioni e' compatto, perche' gli angoli di
Eulero variano in intervalli finiti.
Il gruppo di Lorentz e quelli delle traslazioni non sono compatti.
Se ora ci si pone il problema di classificare tutti i possibili gruppi
di Lie compatti, si scopre che essi si raggruppano in 4 famiglie, piu'
5 gruppi "eccezionali", che non fanno parte di nessuna famiglia.
Questo risultato e' noto da oltre un secolo: Killing e Lie.
E8 e' il piu' "grosso" dei gruppi eccezionali: ha dimensione 248.
Fin qui arriva quello che so.
Ma non ho la minima idea di come E8 sia "fatto", e non so che cosa
esattamente significhi averne trovato la "struttura".
Forse ne sono stati trovati tutti i sottogruppi di Lie?
Oppure sono state classificate tutte le rappresentazioni?
--
Elio Fabri
Giorgio Pastore
...
> Ma non ho la minima idea di come E8 sia "fatto", e non so che cosa
> esattamente significhi averne trovato la "struttura".
Qui c' e' qualche dettaglio:
http://www.liegroups.org/AIM_E8/technicaldetails.html
Giorgio
Michele
> Fin qui arriva quello che so.
> Ma non ho la minima idea di come E8 sia "fatto", e non so che cosa
> esattamente significhi averne trovato la "struttura".
> Forse ne sono stati trovati tutti i sottogruppi di Lie?
> Oppure sono state classificate tutte le rappresentazioni?
Per quello che ne ho capito, l'ultima che hai detto. (le
rappresentazioni irriducibili)
Qualcuno mi corregga se sbaglio.
Elio Fabri
Peccato che non ci abbia capito praticamente una parola...
--
Elio Fabri
Tetis
scritto:
> Luca Andreoli ha scritto:
>
> > Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> > spiegare una cosa così difficile in modo elementare ?
>
> Il prodotto cartesiano di quel gruppo di Lie (rango 8 dimensione 248, lo
> puoi immaginare come una matrice 453060x453060 in cui ogni elemento può
> essere un polinomio di Kazdhan-Lusztig) per se stesso (E8xE8) trova
> applicazioni in una teoria delle stringhe (supersimmetrica). In
> particolare, è il gruppo di simmetria per la teoria delle supercorde (o
> superstringhe, come preferisci) di tipo HE a 10 dimensioni dello
> spaziotempo, con corde chiuse.
>
> Se vuoi possiamo approfondire ma ti assicuro (o almeno io la vedo cosi)
> che sia i concetti, sia il formalismo di tutte le teorie delle
> supercorde (per teoria delle supercorde intendo teoria delle corde con
> supersimmetria forze-materia) sono un incubo.
>
> Non ho idea se E8 serva a qualsiasi altra cosa, probabilmente qualche
> matematico lo saprà.
Forse il modo più semplice di vederlo è come gruppo di
simmetria della varietà Spin(16)/SU(8). Questa struttura,
semplice da scrivere, è topologicamente molto ricca.
E corrisponde comunque solo ad una delle forme, quella
compatta, del gruppo.
Questa ricchezza dà luogo alla varietà di strutture ed alla
complessità computazionale del problema di trovare le
rappresentazioni irriducibili ed il reticolo dei sottogruppi.
Per un assaggio basti pensare che Spin(4)/SU(2), poichè
Spin(4) ammette una fibrazione naturale in termini di
SU(2) x SU(2) è tridimensionale, ed ha la topologia del guscio
(tridimensionale) di una sfera in quattro dimensioni: S^3.
Per il problema del polimorfismo
basti pensare che l'inviluppo dell' algebra di
Lie di Spin(4) può dare luogo a diversi gruppi che hanno una
struttura locale essenzialmente isomorfa
fra queste la più nota in fisica è data
dal gruppo di Lorentz. A parte il gruppo SU(2) quasi tutti i
gruppi di Lie danno luogo alla circostanza di avere più
rappresentazioni fondamentali inequivalenti, ed esiste
un nesso fra il rango, le radici del gruppo,
e le rappresentazioni irriducibili. Quando si parla di E8 si
intende principalmente l'algebra di Lie associata al gruppo
compatto delle simmetrie di Spin(16)/SU(8), il cui rango è
otto e le cui radici formano un sistema concreto estremamente
complesso.
Altro esempio classico delle problematiche connesse alla
mappatura di problemi semplici è
fornito dal gruppo di simmetria del cubo. Il sistema geometrico
è molto semplice (il cubo appunto), ma lo studio delle rappresentazioni
irriducibili
e del reticolo connesso a queste rappresentazioni porta a notevole
complessità combinatoria. Per un assaggio dei problemi connessi
al gruppo del cubo e le rappresentazioni irriducibili puoi consultare
gli appunti di Elio Fabri sulla teoria dei gruppi. Non c'è molto sulla
parte relativa alle tecniche computazionali concrete, che fanno uso dei
polinomi discreti, ma la problematica relativa alle rappresentazioni
(non solamente quelle irriducibili) ed alla loro costruzione è ben
legata ad alcuni esempi applicativi in fisica.
> Una precisazione sulla notizia del Televideo: E8 è stato "decodificato"?
> Forse vogliono dire mappato (rappresentato come combinazioni lineari di
> spazi vettoriali)? E' un risultato notevolissimo in termini di calcolo.
> Ciao,
>
> Paolo
>
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
PaoloB
Mi permetto di segnalare il post di John Baetz.
http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/03/news_about_e8.html
Comunque, prof. Fabri, grazie moltissimo per la spiegazione
"informale" sui gruppi di Lie.
Cordiali saluti.
PaoloB
Tetis
scritto:
>
> > Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> > spiegare una cosa così difficile in modo elementare ?
>
> Il prodotto cartesiano di quel gruppo di Lie (rango 8 dimensione 248, lo
> puoi immaginare come una matrice 453060x453060 in cui ogni elemento può
> essere un polinomio di Kazdhan-Lusztig) per se stesso (E8xE8) trova
> applicazioni in una teoria delle stringhe (supersimmetrica). In
> particolare, è il gruppo di simmetria per la teoria delle supercorde (o
> superstringhe, come preferisci) di tipo HE a 10 dimensioni dello
> spaziotempo, con corde chiuse.
>
> Se vuoi possiamo approfondire ma ti assicuro (o almeno io la vedo cosi)
> che sia i concetti, sia il formalismo di tutte le teorie delle
> supercorde (per teoria delle supercorde intendo teoria delle corde con
> supersimmetria forze-materia) sono un incubo.
Caso vuole che il giorno dopo aver letto questa cosa che avevi scritto,
mentre mi trovavo a riflettere sulla mia personale convinzione che la teoria
delle stringhe sia un modo di raccontare top-down una serie di indizi
accumulati
fenomenologicamente negli anni e che deve avere un corrispettivo bottom-up,
ricostruibile dal basso. Questo sarebbe, mi dicevo, da ritrovare nella
teoria
conforme delle transizioni di fase. Riflettendo su questi argomenti mi sono
ritrovato in libreria fra le mani un volume sul modello di Ising uno dei più
semplici
e studiati modelli di magnetismo (è studiato molto perchè quasi tutto si sa
risolvere)
Il modello di Ising può essere arricchito di contenuto fisico includendo
vincoli
dinamici. Ed ecco che fra le pagine di questo volume spunta che fra le
diverse
parametrizzazioni possibili quella dello spazio dei cosets in termini del
gruppo
E8 x E8 / E8.
> Non ho idea se E8 serva a qualsiasi altra cosa, probabilmente qualche
> matematico lo saprà.
Uno dei contesti più curiosi dove compare è a proposito delle evolventi,
ovvero le caustiche di riflessione, di una curva di equazione y = x^3.
E' noto da tempo, Arnold lo ha messo in evidenza, che l'equazione di
questa evolvente può essere pensata in campo complesso, ed ha una
simmetria nota dal tempo di Klein. Klein si era trovato a studiare le
equazioni di quinto grado in termini di integrali ellittici, aveva
incontrato
il problema di legare le simmetrie di Galois delle equazioni con
l'effetto sulle soluzioni in termini di integrali ellittici. Aveva trovato
che un gruppo, che faceva spesso la sua comparsa era, irriducibilmente
il gruppo degli automorfismi descritto da una quintica che Klein conosceva
per essere un fattore, del ponomio di grado 20 i cui zeri riportati sulla
sfera di Riemann sono i vertici dell'icosaedro. E quindi curiosamente
Arnold rileggendo i libri del passato si emoziona a scoprire che
questo stesso gruppo, il gruppo delle isometrie dell'icosaedro è
coinvolto nella equazione della evolvente di una equazione semplicissima
come y = x^3. Arnold se ne accorge perchè ha passato qualche anno a
classificare le singolarità che si possono trovare nelle forme normali
dei sistemi dinamici. Quello che io non sapevo ed ho scoperto in questi
giorni è che E8 ha a sua volta a che fare con il gruppo dell'icosaedro.
Il nesso è il seguente: i gruppi di simmetria puntuale sono sottogruppi
del gruppo delle rotazioni. Un risultato evidenziato da Coxeter è che la
geometria discreta di questi gruppi è rappresentata da diagrammi di
Dynkin (un libro di Antonio Pasini, allievo di Segre è dedicato a questo
intrigante soggetto delle geometrie combinatorie), bene il diagramma di
Dynkin del gruppo dell'icosaedro è il diagramma di Dynkin dell'algebra
di Lie di E8. Un diagramma ad otto vertici. Un altro nome di questo gruppo
è A5, il gruppo delle permutazioni pari di cinque elementi (noto appunto
a Klein per lo studio delle quintiche). Ovvero anche il diagramma dei
punti critici di x^5+y^3+z^2. C'è di più:
Un signore ha studiato le strutture quasi periodiche che possono essere
derivate da E8. Questo reticolo, ragionevolmente orientato, guida ad un
quasicristallo 4D che ha simmetria (3,3,5). Costui ha sviluppato una
versione modificata del metodo di proiezione. Il reticolo E8 è prima foliato
in gusci successivi che raccolgono i vertici, i gusci sono immersi in S7,
la sfera di dimensione 7. A questo punto questo signore usa la fibrazione
di Hopf di S7 per raccogliere le famiglie dei gusci dei siti di E8 in fibre
S3
che contengono 24 siti (o multipli di 24) che sono disposti simmetricamente
in S3. Grazie a questo stratagemma riesce alla fine a catalogare tutti i
gusci,
uno per uno, mediante uno schema simile a quello ad albero che prende
il nome di Fibonacci (detto anche schema ad albero della riproduzione nelle
colonie di conigli) , ed ottiene una formula aritmetica che dà il numero di
punti
dei gusci. Questo quasicristallo 4D ha l'interessante proprietà che può
essere
suddiviso, sgusciato, diciamo, in quasicristalli di dimensione più bassa,
per
esempio con simmetria icosaedrica e tetraedrica in tre dimensioni.
Ma il procedimento può, in un certo senso, essere invertito, in altre parole
questo esempio dà una concreta evidenza di come strutture geometriche
dello spazio euclideo ordinario possano dare luogo a simmetrie che
vivono in spazi di dimensione più elevata, come i sistemi di radici
dell'algebra di Lie di E8.
Infine ritorniamo alla "caratterizzazione" che avevo proposto nella prima
e-mail: E8 come gruppo degli automorfismi di E8 stesso. Vediamo di
precisare: E8 è l'unico gruppo la cui più piccola rappresentazione (di
dimensione minima), ovvero la rappresentazione fondamentale,
coincide con la rappresentazione aggiunta, per cui lo spazio le cui
simmetrie forniscono la rappresentazione, è generato dalla stessa
algebra di Lie di E8. E' tuttavia più comodo caratterizzarlo come il gruppo
delle isometrie del piano proiettivo ottonionico. Dove si intende che O
è uno spazio vettoriale su O e che le coppie di elementi di O (o1, o2)
possono essere attrezzate con la relazione di equivalenza:
(o1,o2) equivale (O1,O2) se la seconda è multipla della prima mediante
un ottonione (esistono quindi due possibili definizioni di equivalenza:
rispetto alla moltiplicazione a destra, o rispetto alla moltiplicazione a
sinistra, ho visto usata la seconda convenzione). E' opportuno fare
ancora riferimento ad Antonio Pasini ed al manuale di Buekenhout
per una costruzione dal basso di questa struttura. Dove per costruzione dal
basso si intende: mediante gerarchia di reti di Moebius ovvero
di spazi proiettivi di dimensione finita. Questo tipo di approccio seguito
per la prima volta da Jordan in via algebrica, permette di ridurre al minimo
i riferimenti allo spazio euclideo per le strutture di incidenza,
evidenziando
solo costruzioni algebriche, come i prodotti tensoriali e gli ideali
algebrici,
che sono di uso universalmente riconosciuto nella teoria dei campi,
per esempio. Questo tipo di approccio agli spazi proiettivi è presentato
molto bene nel libro di Projective Geometry di Beutelspacher Albrecht
(autore anche di un libro in forma di romanzo: Pasta all'infinito, il mio
viaggio matematico in Italia, libro che tradisce a momenti qualche giudizio
piuttosto severo sul nostro paese, sembra che qualcuno gli ne abbia dato
ragione, purtroppo: racconta di un tentativo di furto subito coltello alla
mano
in un ristorante di Catania). Seguendo questo approccio il dialogo fra
algebre
di Lie e gruppi di inviluppo delle algebre diventa alquanto trasparente.
> Una precisazione sulla notizia del Televideo: E8 è stato "decodificato"?
> Forse vogliono dire mappato (rappresentato come combinazioni lineari di
> spazi vettoriali)? E' un risultato notevolissimo in termini di calcolo.
>
> Ciao,
>
> Paolo
>
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/