oscillatori caotici
extrabyte
mi hanno detto che l'evoluzione di due oscillatori armonici (1-dim)
accoppiati e a frequenza variabile, ha una dipendenza sensibile dalle
condizioni iniziali. Vorrei sapere se esiste qualche pubblicazione su
oscillatori e caos.
Ho provato a vedere su http://xxx.lanl.gov/, ma non ho trovato niente. Se
qualcuno può darmi qualche diritta, lo ringrazio infinitamente.
--
extrabyte
P.S. In effetti, facendo delle simulazioni con 2 oscillatori la cui
frequenza varia con una legge molto complicata, ho visto che c'è una
dipendenza sensibile dal valore iniziale della derivata prima della
posizione di uno dei due oscillatori, nel senso che si passa da un regime
oscillatorio smorzato (nell'eq. c'è un termine di smorzamento) ad un regime
di 'allontamento esponenziale'.
rez
>Vorrei sapere se esiste qualche pubblicazione su
>oscillatori e caos.
Facilmente:
Giulio Krall; Meccanica tecnica delle vibrazioni; Zanichelli.
--
Ciao, | Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda | E-mail: remi...@tiscali.it
-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"
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> Facilmente:
> Giulio Krall; Meccanica tecnica delle vibrazioni; Zanichelli.
>
grazie x la diritta. A me perň non interessa proprio la meccanica tecnica.
Il mio problema č questo: ho un campo di fluttuazioni scalari in regime
lineare (cioč le fluttuazioni sono sufficientemente 'piccole'). Faccio la
trasformata di Fourier passando cosě dallo spazio fisico allo spazio k (n
d'onda). Siccome il regime č lineare le singole componenti evolvono
indipendentemente l'una dell'altra. Inoltre, per ogni componente ho trovato
2 equazioni differenziali accoppiate che guarda caso sono proprio quelle di
2 oscillatori accoppiati e a frequenza variabile (le equazioni sono 2 perchč
il campo delle fluttuazioni č relativo ad un fluido a 2 componenti
gravitazionalmente accoppiate)
ho dato un'occhiata in rete x il libro e ho trovato questo link:
http://www.slimmit.com/go.asp?DW
--
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Elio Fabri
From: rez <r...@rez.localhost>
Subject: Re: oscillatori caotici
Date: Sat, 01 Mar 2003 13:57:45 GMT
rez ha scritto:
>> Vorrei sapere se esiste qualche pubblicazione su
>> oscillatori e caos.
>
> Facilmente:
> Giulio Krall; Meccanica tecnica delle vibrazioni; Zanichelli.
E ci risiamo...
Vorresti sostenere che Krall in quel libro parla di oscillatori non
lineari e di caos?
Qual e' la data di pubblicazione?
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
rez
>"rez" <r...@rez.localhost> wrote
>>Facilmente:
>>Giulio Krall; Meccanica tecnica delle vibrazioni; Zanichelli.
>grazie x la diritta. A me perђ non interessa proprio la meccanica tecnica.
NOn e` quello che pensi. Se hai occasione dagli un'occhiata..
extrabyte
>
> NOn e` quello che pensi. Se hai occasione dagli un'occhiata..
>
HO dato un'occhiata su www.zanichelli.it, ma non ho trovato nulla. forse č
fuori catalogo? cmq ho scritto alla zanichelli e sto aspettando la risposta.
mica sai quando č stato scritto questo libro?
thanx
--
regards
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rez
>rez ha scritto:
>>>Vorrei sapere se esiste qualche pubblicazione su
>>>oscillatori e caos.
>>Facilmente:
>>Giulio Krall; Meccanica tecnica delle vibrazioni; Zanichelli.
>E ci risiamo...
E leggitelo una buona volta che diamine:-)
>Vorresti sostenere che Krall in quel libro parla di oscillatori non
>lineari e di caos?
Non lo so, ho letto "oscillazioni" e quello e` il top.
Tanto si puo` solo consultare, comprare non avrebbe potuto neppure
per sbaglio. Purtroppo! :-(
>Qual e' la data di pubblicazione?
Non la so, ho solo alcune parti cianografate:-(
rez
>"rez" <r...@rez.localhost> wrote in message
>>NOn e` quello che pensi. Se hai occasione dagli un'occhiata..
>HO dato un'occhiata su www.zanichelli.it, ma non ho trovato nulla. forse ш
>fuori catalogo? cmq ho scritto alla zanichelli e sto aspettando la risposta.
>mica sai quando ш stato scritto questo libro?
Circa alla meta` del secolo scorso (19xx, non 800!). Avevano fatto
ristampe anagrafiche tempo fa, ora e` da anni che non c'e` piu`,
neppure quelle:-(
Ma ti conviene dargli un'occhiata in una biblioteca, tra l'altro
sara` facilmente di circa un migliaio di pagine.. e non sai neppure
se ci trovi cio` che cerchi. Se pero` e` un qualunque fenomeno
legato a oscillazioni di qualsiasi tipo, allora e` OK.
Per le non lineari c'e` il cap. III (che non ho), del quale dice:
"..ci occuperemo nei capitoli seguenti, eccezion fatta per uno,
il III, rivolto allo studio, ben piu` difficile e certamente non
esaurito, della circostanza in cui questa vien meno. Si tratta
della _linearita`_ delle equazioni di moto."
Ma perche' non posti il problema che qualcuno (non io!) magari sa
dirti qualcosa? Tra l'altro molti fanno simulazioni al computer..
extrabyte
>
> >Qual e' la data di pubblicazione?
>
> Non la so, ho solo alcune parti cianografate:-(
>
È del 1940 (l'ho chiesto alla Zanichelli). Mooolto datato, direi!! Infatti,
è fuori catalogo, anche se poi danno la possibilità di fotocopiarlo dal loro
archivio storico.
--
regards
extrabyte
Adriano Amaricci
"extrabyte" <extr...@NSP.it> ha scritto nel messaggio
news:YQ08a.167164$ZE.49...@twister2.libero.it...
> Salve a tutti,
>
> mi hanno detto che l'evoluzione di due oscillatori armonici (1-dim)
> accoppiati e a frequenza variabile, ha una dipendenza sensibile dalle
> condizioni iniziali. Vorrei sapere se esiste qualche pubblicazione su
> oscillatori e caos.
ciao, potresti essere un po' più preciso su cosa hai effetivamente in mente
(scusa il gioco di parole :-)). "dipendenza sensibile dalle c.i." è un modo
per dire andamento caotico? In effetti esistono dei modelli hamiltoniani di
oscillatori e/o rotatori accoppiati che presentano, in determinate
cisrcostanze, un andamento caotico, però ho l'impressione che non sia quello
che intendi tu... Se mi dici cosa sai (per essere preciso non è che io ne
sappia poi molto), potrei rimandarti a qualche lavoro o spedirti qualcosa se
non lo trovi. Fammi sapere.
Saluti, Adriano
extrabyte
> ciao, potresti essere un po' più preciso su cosa hai effetivamente in
mente
> (scusa il gioco di parole :-)). "dipendenza sensibile dalle c.i." è un
modo
> per dire andamento caotico? In effetti esistono dei modelli hamiltoniani
di
> oscillatori e/o rotatori accoppiati che presentano, in determinate
> cisrcostanze, un andamento caotico, però ho l'impressione che non sia
quello
> che intendi tu... Se mi dici cosa sai (per essere preciso non è che io ne
> sappia poi molto), potrei rimandarti a qualche lavoro o spedirti qualcosa
se
> non lo trovi. Fammi sapere.
Senza scendere in dettagli il mio problema è questo: sto studiando
l'evoluzione delle fluttuazioni di densità di un fluido a 2 componenti.
Facendo la trasformata di Fourier delle equazioni del fluido esce un sistema
di 2 equazioni differenziali accoppiate che sono proprio quelle di 2
oscillatori armonici smorzati e accoppiati.
Sto facendo delle simulazioni con Mathematica per vedere se ad un certo
istante si esce dalla linearità, nel senso che le fluttuazioni sono >>1.
Tutto ciò nello spazio k (di fourier), e per un assegnato spettro iniziale.
Nel mio caso, lo spettro iniziale è definito a meno di una costante di
normalizzazione che posso assumere come parametro, anche se poi il range di
variazione non è molto ampio, visto che le fluttuazioni devono essere <<1.
Ho notato una dipendenza sensibile dalla derivata prima nelle condizioni
iniziali. Con i dati che ho, la derivata è inizialmente di 10^-6 (è
adimensionale (al pari della fluttuazione), perché gli oscillatori evolvono
in funzione del redshift) e con tale valore le fluttuazioni di densità
rimangono cmq nel regime lineare. Ma se passo a valori + alti, ad
esempio -1, la crescita è esplosiva.
Avevo pensato anch'io ad una formulazione hamiltoniana del problema in modo
da studiarne l'evoluzione nell'appropriato spazio delle fasi. Forse così si
potrebbe stabilire un criterio in grado di discriminare le traiettorie
caotiche da quelle per così dire regolari, considerando poi che data la
forma complicata della pulsazione degli oscillatori, Mathematica impiega
circa 4 ore per simulare la dinamica di 5-6 componenti di Fourier.
Thanx;-)
--
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Adriano Amaricci
"extrabyte" <extr...@NSP.it> ha scritto nel messaggio
> Senza scendere in dettagli il mio problema è questo: sto studiando
> l'evoluzione delle fluttuazioni di densità di un fluido a 2 componenti.
> Facendo la trasformata di Fourier delle equazioni del fluido esce un
sistema
> di 2 equazioni differenziali accoppiate che sono proprio quelle di 2
> oscillatori armonici smorzati e accoppiati.
ciao, scusa ma l'accoppiamento è comandato da un parametro perturbativo?
> Avevo pensato anch'io ad una formulazione hamiltoniana del problema in
modo
> da studiarne l'evoluzione nell'appropriato spazio delle fasi. Forse così
si
> potrebbe stabilire un criterio in grado di discriminare le traiettorie
> caotiche da quelle per così dire regolari, considerando poi che data la
> forma complicata della pulsazione degli oscillatori, Mathematica impiega
> circa 4 ore per simulare la dinamica di 5-6 componenti di Fourier.
Si è pressapoco l'idea che ti dicevo nell'altro post. Se hai l'equazioni
differenziali che reggono il moto puoi ricavarti l'hamiltoniana, dopo ci può
lavorare un po' sopra. Se puoi scrivi come sono fatte queste equazioni
(magari parti dall'inizio ma fai a gradni linee, giusto per capire..), se
vuoi puoi scrivermi in privato, ma in fondo non essendo OT e potendo
interessare qualcuno potremmo continuare qui.
saluti, Adriano
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>
> ciao, scusa ma l'accoppiamento è comandato da un parametro perturbativo?
ecco le equazioni (delta è il 'contrasto di densità': la fluttuazione di
densità deltarho, diviso la media spaziale della densità):
delta1''(k,z)+ p(z)*delta1'(k,z)+m1(k, z)*delta1(k,z)=n2(z)*delta2(k,z)
delta2''(k,z)+ p(z)*delta2'(k,z)+m2(k, z)*delta2(k,z)=n1(z)*delta1(k,z)
Qui "1" e "2" etichettano gli oscillatori. L'apice indica la derivata
rispetto alla variabile reale e adimensionale z, che varia da 0 a +oo.
Questa variabile svolge il ruolo di 'tempo' per i due oscillatori (in realtà
va a ritroso: quando è z=+oo, risulta t=0).
p(z) va come (1+z)^-1, mentre le altre funzioni sono più complicate, specie
la m1(k,z) che è il quadrato della frequenza dell'oscillatore 1. Penso che
sia proprio questa funzione ad aumentare i tempi di computazione di
mathematica.
La variabile k è il numero d'onde rispetto a cui ho fatto la trasformata di
Fourier. Ad un certo z_ini (dell'ordine di 1000) le fluttuazioni sono in
regime lineare, quindi i singoli modi evolvono indipendentemente. Quindi per
un fissato k ho due oscillatori accoppiati, e per k variabile gli
oscillatori sono disaccoppiati.
Da quello che ho potuto capire, una volta costruita l'hamiltoniana di questo
sistema, occorre studiare lo spazio delle fasi. Mi hanno detto che la
dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali non è sufficiente perché il
sistema sia caotico. Occore che lo spazio delle fasi sia compatto
(ergodicità: il sistema perde memoria delle condizioni iniziali).
--
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PS Grazie per la disponibilità.
Alberto d'Onofrio
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> ecco le equazioni (delta è il 'contrasto di densità': la fluttuazione di
> densità deltarho, diviso la media spaziale della densità):
>
> delta1''(k,z)+ p(z)*delta1'(k,z)+m1(k, z)*delta1(k,z)=n2(z)*delta2(k,z)
>
> delta2''(k,z)+ p(z)*delta2'(k,z)+m2(k, z)*delta2(k,z)=n1(z)*delta1(k,z)
essendo un sistema lineare, sia pure a coefficienti tempo variabili,
NON puoi ottenere una soluzione caotica, al piu' fenomeni di risonanza
parametrica nel caso in cui la variazione dei parametri fosse periodica o
quasiperiodica, cosa che non e' nel tuo caso almeno per il parametro p:
> p(z) va come (1+z)^-1
dato che suppongo tu sia interessato ad un comportamento asintotico
del sistema , bisogna anzitutto vedere se , oltre p anche m1 , m2, n1 e n2
ammettono
un limite per z>>1 , in tal caso dovrersti poter usare il teorema di
markus, che ci dice che il comportamento
asintotico del tuo sistema sara' uguale a quello di un semplice sistema
lineare a coeff costanti....
a prop... se z e' l'inverso di un tempo, perche' non riscrivi le equazioni
in funzione di y = 1/z ?
c'e' un motivo particolare ? e, a prop, visto che z e' l'inverso di un
tempo.. ma tu sei interessato
al comporetamento per Z>>1 o per Z<<1 ?
nota a margine: e' sempre affascinante vedere come e con quale fantasia voi
fisici manipoliate le trasformate di fourier.. ehm... :-)
ciau
a.
extrabyte
> extrabyte
>
> > ecco le equazioni (delta è il 'contrasto di densità': la fluttuazione di
> > densità deltarho, diviso la media spaziale della densità):
> >
> > delta1''(k,z)+ p(z)*delta1'(k,z)+m1(k, z)*delta1(k,z)=n2(z)*delta2(k,z)
> >
> > delta2''(k,z)+ p(z)*delta2'(k,z)+m2(k, z)*delta2(k,z)=n1(z)*delta1(k,z)
>
>
> essendo un sistema lineare, sia pure a coefficienti tempo variabili,
> NON puoi ottenere una soluzione caotica, al piu' fenomeni di risonanza
> parametrica nel caso in cui la variazione dei parametri fosse periodica o
> quasiperiodica, cosa che non e' nel tuo caso almeno per il parametro p:
>
però a me è stato detto il contrario, e cioè che esistono degli oscillatori
a frequenza variabile che hanno un comportamento caotico.
Forse ti riferisci al fatto che la dinamica deve essere necessariamente NON
lineare?
>
>
> dato che suppongo tu sia interessato ad un comportamento asintotico
> del sistema , bisogna anzitutto vedere se , oltre p anche m1 , m2, n1 e n2
> ammettono
> un limite per z>>1 , in tal caso dovrersti poter usare il teorema di
> markus, che ci dice che il comportamento
> asintotico del tuo sistema sara' uguale a quello di un semplice sistema
> lineare a coeff costanti....
>
> a prop... se z e' l'inverso di un tempo, perche' non riscrivi le equazioni
> in funzione di y = 1/z ?
> c'e' un motivo particolare ? e, a prop, visto che z e' l'inverso di un
> tempo.. ma tu sei interessato
> al comporetamento per Z>>1 o per Z<<1 ?
le equazioni le ho scritte anche nel dominio del tempo che non è proprio
1/z. precisamente:
t(z) = (2/(3*H0*(1+z))
dove H0=(circa)=10^-18 sec^-1
quindi z è adimensionale. Questo però è il modello + semplice. IN generale
non esiste una relazione in forma chiusa tra t e z, quindi non si può
passare dal dominio del tempo a quello di z. Cmq sia, sono passato al
dominio di z, in modo da adimensionalizzare il problema (le funzioni
incognite e le loro derivate di qualunque ordine sono adimensionali).
Non sono interessato al comportamento asintotico. Precisamente ho i valori
iniziali (funzione e derivata prima per un certo k (che a sua volta varia in
un determinato range)) fissati a z_ini=10^3, e devo integrare le equazioni
da z_ini a z=10. Mi interessa sapere se a z=10 qualche componente di Fourier
assume una ampiezza maggiore di 1.
--
regards
extrabyte
rez
>Da quello che ho potuto capire, una volta costruita l'hamiltoniana di questo
Ieri m'e` capitato di guardare questo..
<http://math.unipd.it/~benettin/postscript/hamilt.ps>
magari c'azzecca;-)
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> Ieri m'e` capitato di guardare questo..
> <http://math.unipd.it/~benettin/postscript/hamilt.ps>
> magari c'azzecca;-)
>
è giusto l'url?? a me la pagina non si apre:-(. ho provato anche con
http://math.unipd.it (forse non è al momento disponibile).
cmq THANX:-)
--
regards
extrabyte
rez
>ш giusto l'url?? a me la pagina non si apre:-(. ho provato anche
>con http://math.unipd.it (forse non ш al momento disponibile).
No scusa eccolo, mancava www:-((
Puoi andare pero` anche alla sua home, a' rieccolo:
<http://www.math.unipd.it/~benettin/index.html>
extrabyte
<snipped>
l'ho appena scaricato: è un bel malloppo di roba. Parla di sistemi dinamici.
yes, penso che possa fare al mio caso.
**THANX**;-)
--
regards
extrabyte
ps. E poi dicono che internet non serve!!
Adriano Amaricci
"extrabyte" <extr...@NSP.it> ha scritto nel messaggio
>
> però a me è stato detto il contrario, e cioè che esistono degli
oscillatori
> a frequenza variabile che hanno un comportamento caotico.
> Forse ti riferisci al fatto che la dinamica deve essere necessariamente
NON
> lineare?
>
Ciao, rispondo solo a questo perchè per il resto non sono in grado di
aiutarti (tranne dirti cose che probabilmente già sai..). Quello che ti è
stato detto e che è poi è un po' il contenuto del lavoro che ti ha "linkato"
rez nell'altro post (a proposito per scaricarlo di conviene cercare su
google *benettin università padova*, ci sono delle dispense in fondo),
dicevo, quello che ti è stato detto non è sbagliato ma non è proprio come
pensi tu. Il fatto è che se prendi un modello di oscillatore e lo perturbi,
allora quello che succede è che ci sono superfici ad energia costante sulle
quali il moto diventa di un certo tipo che è tipicamente caotico (sistemi
iperbolici-Anosov), però questo non è vero per ogni punto della superficie.
Per fissare le idee considera un pendolo forzato, allora puoi decidere di
considerare la curva cosidetta separatrice nel piano delle fasi x,v. Questa
curva ha due (in verità uno soloo mod(2pi)) fissi +/- pi ed è costituita da
due rami che si incrociano sull'asse v in un certo punto v* con angolo 0
(quindi ti appare una sola curva continua). Quando accendi la perturbazione
stai cambiando la frequenza dell'oscillatore è la curva in questione ne
risente in modo che i due rami non si incrociano più nello stesso punto x=0
v* con angolo 0 ma lo fanno con un certo angolo, \phi\_e dove e è il
parametro che comanda la perturbazione, questo angolo definisce la
separazione delle due varietà stabili ed instabili (i due rami). Adesso, nel
punto in questione (detto omoclinico) hai qualcosa che assomiglia ad un
sistema iperbolico che è tipicamente caotico. Tutto qui. Quindi ad una certa
energia, quella che definisce la curva separatrice, hai un oscillatore che
se lo perturbi si comporta per certi versi come un sistema caotico. Per
inciso quando cerchi di fare le cose in più dimensioni le cose diventano
abbastanza complicate ma sostanzialmente simili. Tutto questo è il
"background" della mia tesi..:-)) se vuoi ti posso fornire delle referenze
adeguate, ma dovresti essere un po' ferrato di perturbazioni in mecc.
classica, teorema KAM, sviluppi perturbativi, ecc. Comunque non sono sicuro
che tutto questo si possa fare con il modello a cui stai lavorando.. :-((
saluti, Adriano
Alberto d'Onofrio
> a frequenza variabile che hanno un comportamento caotico.
> Forse ti riferisci al fatto che la dinamica deve essere necessariamente NON
> lineare?
non tutti gli oscillatori sono lineari !
inoltre...
\begin{moltogrossolanamenteparlando}
il fatto e' che il caos e' dato dall'accoppiate: sistema dinamico
con insieme o sottoinsieme invariante finito + almeno un esponente
di liapunov positivo (esp di liapunov = misura della divegenza di due
traiettorie inizialmente vicine).
se un sistema e' davvero lineare non si ha insieme invariante finito e
e se vi sono esponenti positivi.. si ha in corrispondenza
semplicemente
una bella divergenza infinita delle triettorie.
Se poi il sistema e' un finto sistema lineare, il chaos lo si puo'
trovare.
Es: un sistema matyhieuesco con spazio delle fasi tipo S*\R , come
\theta'' + A(1 + b*Cos(\omega*t)*\theta = 0
\theta \in \R mod 2*\pi , theta' \in \R
)
per cui mi pare difficilissimo se non impossibile che vi possano
essere
sistemi dinamici lineari con comportamento caotico.
o si tratta di finti sistemi lineari come quello dell'esempietto
di cui sopra oppure di sistemi non lineari, sia pur "debolmente"
("perturbativamente").
\end{moltogrossolanamenteparlando}
> Non sono interessato al comportamento asintotico.
bene, allora il caos c'entra poco, visto che rivela le sue belle
proprieta' asintoticamente (un sistema dinamico e' detto caotico
proprio se ha, asintoticamente, of course, attrattori strani... ossia
diversi da punti fissi, cicli limite, superfici inviluppo di soluzioni
quasiperiodiche etc..)
ciao
a.
extrabyte
>
> Ciao, rispondo solo a questo perchè per il resto non sono in grado di
> aiutarti (tranne dirti cose che probabilmente già sai..). Quello che ti è
> stato detto e che è poi è un po' il contenuto del lavoro che ti ha
"linkato"
> rez nell'altro post (a proposito per scaricarlo di conviene cercare su
> google *benettin università padova*, ci sono delle dispense in fondo),
[cut]
grazie per la diritta (e soprattutto x la disponibilità), il documento l'ho
poi scaricato (mancava il www).
Ciao
extrabyte
extrabyte
[cut]
>
> > Non sono interessato al comportamento asintotico.
>
> bene, allora il caos c'entra poco, visto che rivela le sue belle
> proprieta' asintoticamente (un sistema dinamico e' detto caotico
> proprio se ha, asintoticamente, of course, attrattori strani... ossia
> diversi da punti fissi, cicli limite, superfici inviluppo di soluzioni
> quasiperiodiche etc..)
>
asintoticamente... cioč nemmeno per tempi 'molto lunghi'?? Andando a naso,
deve essere un tempo finito (scusa, ma sono ignorante in fatto di caos).
--
regards
extrabyte
Elio Fabri
> ...
> Il fatto e' che se prendi un modello di oscillatore e lo perturbi,
> allora quello che succede e' che ci sono superfici ad energia costante sulle
> quali il moto diventa di un certo tipo che e' tipicamente caotico
> ...
Piccolo contributo: un sistema non autonomo con 2 gradi di liberta' puo'
sempre essere visto come sistema autonomo con 3 gdl.
Basta sostituire in H q3 al posto di t, e usare come hamiltoniana H' = H
+ p3.
Nel caso in questione, mentre il sistema di partenza e' lineare (non
autonomo) quello di arrivo e' non lineare (autonomo).
Cosi' si spiega come possa essere caotico (ferme restando le altre
condizoni).
Alberto d'Onofrio
extrabyte
> asintoticamente... cioč nemmeno per tempi 'molto lunghi'??
> Andando a naso,
> deve essere un tempo finito (scusa, ma sono ignorante in fatto di caos).
no: asintoticamente significa proprio "per tempi molto lunghi".
***ma*** tu hai scritto esplicitamente due post orsono:
"Non sono interessato al comportamento asintotico",
dalla qual cosa si deduceva che il tempo massimo che ti interessa doveva
essere non "molto lungo"
(in rapporto ai "tempi caratteristici" del tuo sistema).
comunque, prima di imbarcarti in avventure piu' o meno caotiche, ti
consiglio
caldamente di farti delle basi piu' solide sulla teoria delle equazioni
differenziali,
ad esempio studiando su questo libro:
Hale -Kockack "Dynamics and bifurcations" Springer-Verlag
ciao
a.