[Fisica e magia] Particelle ultrarelativistiche e scatola Magica
Xisy
Ciao a tutti,
Supponiamo di avere una scatola magica di cui ignoriamo il contenuto.
Spariamo un fascio di particelle ultrarelativistiche sulla nostra scatola
magica.
Dentro la scatola ogni particella subisce varie interazioni (sconosciute,
magiche) che possono alterare la sua energia.
Cioè, se una particella entra nella scatola magica con energia E, dopo
averla attraversata uscirà con energia E' diversa da E.
Ipotizziamo che E' dipenda solo da E, cioè E'= f(E).
Ora supponiamo che le energie iniziali del fascio di particelle presentino
(in un certo intervallo di energie) una distribuzione di probabilità in
legge di potenza, tipo
dN/dE = A*E^(-x)
dove A è una costante di normalizzazione e l'esponente x è maggiore di 1.
Se ora osserviamo le particelle uscenti dalla scatola maggica, troviamo la
seguente distribuzione
dN'/dE' = B*E^(-y)
dove y è diverso da x. Diciamo y>x.
Cosa possiamo dire sulla f(E)??
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Bruno Cocciaro
news:81Z208Z83Z231Y1...@usenet.libero.it...
> Cosa possiamo dire sulla f(E)??
Non capisco cosa possa mai entrarci la relativita', a me pare un problema di
matematica.
Poi non capisco nemmeno a cosa serva l'ipotesi y=/=x (il che mi fa un po'
dubitare sulla validita' della soluzione da me trovata).
Ad ogni modo, nelle ipotesi x=/=1 e y=/=1, io troverei questa soluzione per
la f(E):
f(E) = [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^(1/(1-y)) * E^[(1-x)/(1-y)]
poi sarebbero da esplicitare le soluzioni nei casi
x=1 e y=/=1,
x=/=1 e y=1,
x=1 e y=1
ma intanto direi di controllare la validita' della soluzione generale
proposta sopra.
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Xisy
> > Cosa possiamo dire sulla f(E)??
> Non capisco cosa possa mai entrarci la relativita', a me pare un problema
di
> matematica.
Dato che l'ho presentato come problema fisico, mi aspetto considerazioni
fisiche: ho supposto il regime ultrarelativistico per prevenire domande
inutiili del tipo <<"ma che intendi per energia E, energia totale o
cinetica???">> dato siamo nel limite massless non tale distinzione occorre.
> Poi non capisco nemmeno a cosa serva l'ipotesi y=/=x (il che mi fa un po'
> dubitare sulla validita' della soluzione da me trovata).
Se fosse x = y avrei in uscita lo stesso spettro, cioč la scatola magica non
risulterebbe molto magica.
> Ad ogni modo, nelle ipotesi x=/=1 e y=/=1, io troverei questa soluzione
per
> la f(E):
> f(E) = [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^(1/(1-y)) * E^[(1-x)/(1-y)]
Non capisco bene se E^[..] č nell'esponente oppure, come penso, č
fattorizzato (direi la seconda). A quale soluzione ti riferisci, a questa
f(E)= { [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^(1/(1-y)) } * E^[(1-x)/(1-y)]
oppure questa
f(E)= [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^{(1/(1-y)) * E^[(1-x)/(1-y)]}
?
> poi sarebbero da esplicitare le soluzioni nei casi
> x=1 e y=/=1,
> x=/=1 e y=1,
> x=1 e y=1
> ma intanto direi di controllare la validita' della soluzione generale
> proposta sopra.
ci rifletterň, grazie ! ! !
argo
[...]
>una distribuzione di probabilità in
> legge di potenza, tipo
> dN/dE = A*E^(-x)
> dove A è una costante di normalizzazione e l'esponente x è maggiore di 1.
> Se ora osserviamo le particelle uscenti dalla scatola maggica, troviamo la
> seguente distribuzione
> dN'/dE' = B*E^(-y)
> dove y è diverso da x. Diciamo y>x.
> Cosa possiamo dire sulla f(E)??
Intanto A e B sono fissati dal numero totale di particelle e dagli
esponenti x e y.
Quanto a f(E) direi che da E'=f(E) segue
dE'/dN=df(E)/dN=df(E)/dE dE/dN
per cui si ricava un'espressione sulla derivata di f(E)
df(E)/dE=(dE'/dN)/(dE/dN)=B/A E^{x-y}
da cui, se conosci la f per un certo E0, puoi ricavarla per tutti gli
altri valori E via integrazione
f(E)=f(E0)+Int_{E0,E} dz (B/A z^{x-y})=f(E0)+B/A [E^{x-y+1}-E0^{x-y
+1}]/(x-y+1).
ciao
Bruno Cocciaro
news:fedaeae2-8798-44ed...@y21g2000hsf.googlegroups.com...
> On 18 Mag, 01:09, x...@xe.xy (Xisy) wrote:
> > Se ora osserviamo le particelle uscenti dalla scatola maggica, troviamo
la
> > seguente distribuzione
> > dN'/dE' = B*E^(-y)
> > dove y è diverso da x. Diciamo y>x.
> > Cosa possiamo dire sulla f(E)??
[...]
> Quanto a f(E) direi che da E'=f(E) segue
>
> dE'/dN=df(E)/dN=df(E)/dE dE/dN
>
> per cui si ricava un'espressione sulla derivata di f(E)
>
> df(E)/dE=(dE'/dN)/(dE/dN)=B/A E^{x-y}
Qua mi pare che ci sia uno scambio fra numeratore e denominatore.
Nella soluzione riportata da me avevo dato per scontato che la
dN'/dE' = B*E^(-y)
fosse in realta' una
dN'/dE' = B*E'^(-y)
cioe' che la distribuzione delle particelle in uscita fosse data in termini
dell'energia delle particelle in uscita.
Cosi' si ottiene
df(E)/dE=(dN/dE)/(dN'/dE')=[A*E^(-x)] / [B*E'^(-y)]
=(A/B)*[(f(E)^y)/(E^x)]
Nella soluzione che riportavo in precedente post avevo poi totalmente
dimenticato le costanti di integrazione (che e' come assumere f(0)=0).
La soluzione generale sarebbe:
[f(E)]^(y+1) = f(E0)^(y+1) + (A/B)*((y+1)/(x+1))*[E^(x+1)-E0^(x+1)]
sempre nelle ipotesi x=/=1 e y=/=1.
Interessante e' il caso x=y.
Le distribuzioni in ingresso e in uscita avranno lo stesso andamento ma la
f(E)=/=0.
In generale non si otterra' A=B e per risolvere il problema si dovranno
necessariamente dare gli estremi di integrazione (cosa che e' vera in ogni
caso). Cioe', come e' ovvio, non basta dire che la distribuzione in entrata
e' A*E^(-x) perche' la distribuzione sarebbe divergente o in 0 o
all'infinito.
Se x=y=1 si ottiene
f(E) = f(E0)*(E/E0)^(A/B).
La dN/dE=A*E^(-x) dovra' avere un taglio a E0 e uno in E1>E0.
La B potra' essere qualsiasi, e la distribuzione in uscita avra' un taglio
in f(E0) e l'altro in f(E0)*(E1/E0)^(A/B).
> ciao
Bruno Cocciaro
news:193Z205Z222Z39Y...@usenet.libero.it...
> Dato che l'ho presentato come problema fisico, mi aspetto considerazioni
> fisiche: ho supposto il regime ultrarelativistico per prevenire domande
> inutiili del tipo <<"ma che intendi per energia E, energia totale o
> cinetica???">> dato siamo nel limite massless non tale distinzione
occorre.
Sinceramente continuo a non capire. Che significa che l'hai presentato come
un problema fisico? E' un problema che hai inventato tu ? Se e' cosi', con
"cosa intendi per energia" basta che tu lo espliciti. Inoltre, per come e'
stato posto il problema, direi che non abbia alcuna importanza il "cosa si
intende per energia". Ripeto, a me pare un problema di pura matematica, non
ha importanza il cosa si intende con la variabile E.
Piuttosto c'e' da specificare per bene cosa si intende con "distribuzione in
uscita". Io l'avevo intesa come distribuzione delle particelle in uscita
rispetto all'energia che hanno in uscita. Argo l'ha intesa (coerentemente
con formula che riportavi, B*E^(-y) e non, come invece l'ho intesa io,
B*E'^(-y)) come distribuzione delle particelle in uscita rispetto
all'energia che avevano in ingresso.
> > Poi non capisco nemmeno a cosa serva l'ipotesi y=/=x (il che mi fa un
po'
> > dubitare sulla validita' della soluzione da me trovata).
>
> Se fosse x = y avrei in uscita lo stesso spettro, cioè la scatola magica
non
> risulterebbe molto magica.
Beh, non esattamente. Direi che il caso x=y sia decisamente interessante. Ne
parlavo nella risposta mandata ad argo.
> > Ad ogni modo, nelle ipotesi x=/=1 e y=/=1, io troverei questa soluzione
> per
> > la f(E):
>
> > f(E) = [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^(1/(1-y)) * E^[(1-x)/(1-y)]
>
> Non capisco bene se E^[..] è nell'esponente oppure, come penso, è
> fattorizzato (direi la seconda). A quale soluzione ti riferisci, a questa
> f(E)= { [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^(1/(1-y)) } * E^[(1-x)/(1-y)]
> oppure questa
> f(E)= [(A/B)*(1-y)/(1-x)]^{(1/(1-y)) * E^[(1-x)/(1-y)]}
> ?
Beh si', intendevo la prima, che pero', come dico nella risposta ad Argo,
assumeva la condizione f(0)=0. La soluzione generale, con condizione
generica che per particella di energia E0 si abbia in uscita E'=f(E0), l'ho
riportata nel precedente post, dove pero' ho dimenticato una serie di segni
:-(.
Bruno Cocciaro
news:483bf329$0$41662$4faf...@reader4.news.tin.it...
> La soluzione generale sarebbe:
> [f(E)]^(y+1) = f(E0)^(y+1) + (A/B)*((y+1)/(x+1))*[E^(x+1)-E0^(x+1)]
> sempre nelle ipotesi x=/=1 e y=/=1.
Qua tutte le x sono in realta' -x e tutte le y sono -y.
Xisy
> Sinceramente continuo a non capire. Che significa che l'hai presentato
come
> un problema fisico?
L'ho presentato in un ng di fisica, ho parlato di scatola magica dalle
proprietà misteriose, come se tale scatola esistesse...
> E' un problema che hai inventato tu ? Se e' cosi', con
> "cosa intendi per energia" basta che tu lo espliciti. Inoltre, per come e'
> stato posto il problema, direi che non abbia alcuna importanza il "cosa si
> intende per energia". Ripeto, a me pare un problema di pura matematica,
non
> ha importanza il cosa si intende con la variabile E.
Guarda, non capisco tutte queste obiezioni. E' chiaro che è un problema
inventato: le scatole magiche non esistono, Bruno.
Il problema è essenzialmente matematico, ma per presentarlo a un ng di
fisici scettici va reso interessante, non sei d'accordo?
Bruno Cocciaro
news:193Z205Z222Z39Y...@usenet.libero.it...
>
> > Sinceramente continuo a non capire. Che significa che l'hai presentato
> come
> > un problema fisico?
>
> L'ho presentato in un ng di fisica, ho parlato di scatola magica dalle
Ah beh, certo. Questo era ovvio.
> Guarda, non capisco tutte queste obiezioni. E' chiaro che č un problema
> inventato: le scatole magiche non esistono, Bruno.
Che il problema fosse inventato (da te o da qualcun altro) mi sembrava
abbastanza probabile, ma non certo, infatti mi chiedevo se a queste scatole
magiche corrispondese un qualche sistema reale. Che poi "scatole magiche"
come quelle descritte da te non si possano costruire direi che sia falso.
Proprio l'esplicitazione della E'=f(E) (cioe' la soluzione del problema da
te proposto) mi pare che stia a dire come andrebbe costruita una scatola
magica.
> Il problema č essenzialmente matematico, ma per presentarlo a un ng di
> fisici scettici va reso interessante, non sei d'accordo?
In via di principio ti direi di si'. Ma il punto centrale e' che *non* lo
hai reso piu' interessante.
Come detto il problema ha ragione di essere (e ha sempre la stessa
soluzione) quale che sia il significato che decidi di attribuire alla
variabile E (cioe' sia se E=p*c, sia se E=SQRT(m^2*c^4+p^2*c^2)), quindi,
nel dire
"Spariamo un fascio di particelle ultrarelativistiche sulla nostra scatola
magica."
dai una ipotesi supplementare che confonde il lettore.
Trovata la soluzione direi che venga naturale chiedersi:
"Ma l'ipotesi di essere in regime ultrarelativistico non l'ho usata. A cosa
serve questa ipotesi?"
E siccome e' buon uso non presentare ipotesi ridondanti nell'enunciato di un
problema, direi che sia opportuno non dire alcunche' riguardo al fatto che
le particelle che si sparano siano in regime ultrarelativistico o meno.
E' questo che intendevo quando dicevo che non capisco cosa possa mai
entrarci la relativita'. Volevo semplicemente dire che quell'ipotesi va
tolta.
popinga
> Che il problema fosse inventato (da te o da qualcun altro) mi sembrava
> abbastanza probabile, ma non certo, infatti mi chiedevo se a queste
scatole
> magiche corrispondese un qualche sistema reale. Che poi "scatole magiche"
> come quelle descritte da te non si possano costruire direi che sia falso.
> Proprio l'esplicitazione della E'=f(E) (cioe' la soluzione del problema da
> te proposto) mi pare che stia a dire come andrebbe costruita una scatola
> magica.
Dici? Suppondendo anche che le particelle siano elettricamente cariche (cioč
propense a interagire nella scatola maggica), e supponendo che nella mia
scatola possa esserci di tutto (campi magnetici, gas, plasmi,
assorbitori...), quale potrebbe mai essere un processo fisico reale e noto
capace di alterare la loro energia e riprodurre in unscita la f(E)?
Ionizzazione? Bremsstrahlung? Radiazione di sincrotrone? Radiazione di
transizione? Emissione Cerenkov? Mmmm...
> > Il problema č essenzialmente matematico, ma per presentarlo a un ng di
> > fisici scettici va reso interessante, non sei d'accordo?
>
> In via di principio ti direi di si'. Ma il punto centrale e' che *non* lo
> hai reso piu' interessante.
Hai ragione, ho fallito :-(
L'ipotesi č rimovibile in quanto assolutamente non necessaria