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Tempo di riempimento di un serbatoio
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Enrico B
Feb 6, 2012, 9:17:19 AM2/6/12
to
Ho un problemino:
un serbatoio cilindrico ha un foro in fondo dal quale esce la stessa
quantità di acqua che entra dalla cima (condizioni di regime)
Ad un certo momento interrompo la portata entrante ed aspetto che il
serbatoio di svuoti. Mi calcolo il tempo di svuotamento con un semplice
integrale dell'eq diff a variabili separabili.
Quando il serbatoio è vuoto riattivo dalla sommità la stessa portata che
avevo in condizioni di regime: vorrei calcolare il tempo di riempimento, ma
da un punto di vista matematico c'è qualcosa che non mi torna perchè il
risultato non sembra finito.
Grazie a tutti
Enrico da Pisa
un serbatoio cilindrico ha un foro in fondo dal quale esce la stessa
quantità di acqua che entra dalla cima (condizioni di regime)
Ad un certo momento interrompo la portata entrante ed aspetto che il
serbatoio di svuoti. Mi calcolo il tempo di svuotamento con un semplice
integrale dell'eq diff a variabili separabili.
Quando il serbatoio è vuoto riattivo dalla sommità la stessa portata che
avevo in condizioni di regime: vorrei calcolare il tempo di riempimento, ma
da un punto di vista matematico c'è qualcosa che non mi torna perchè il
risultato non sembra finito.
Grazie a tutti
Enrico da Pisa
lefthand
Feb 6, 2012, 12:53:54 PM2/6/12
to
Il Mon, 06 Feb 2012 15:17:19 +0100, Enrico B ha scritto:
> Ho un problemino:
> un serbatoio cilindrico ha un foro in fondo dal quale esce la stessa
> quantità di acqua che entra dalla cima (condizioni di regime) Ad un
> certo momento interrompo la portata entrante ed aspetto che il serbatoio
> di svuoti. Mi calcolo il tempo di svuotamento con un semplice integrale
> dell'eq diff a variabili separabili.
Potresti specificare meglio?
> Ho un problemino:
> un serbatoio cilindrico ha un foro in fondo dal quale esce la stessa
> quantità di acqua che entra dalla cima (condizioni di regime) Ad un
> certo momento interrompo la portata entrante ed aspetto che il serbatoio
> di svuoti. Mi calcolo il tempo di svuotamento con un semplice integrale
> dell'eq diff a variabili separabili.
> Quando il serbatoio è vuoto
> riattivo dalla sommità la stessa portata che avevo in condizioni di
> regime: vorrei calcolare il tempo di riempimento, ma da un punto di
> vista matematico c'è qualcosa che non mi torna perchè il risultato non
> sembra finito.
> Grazie a tutti
> Enrico da Pisa
una soluzione tipo V(t)=Veq(1-exp(-kt)).
Piuttosto, anche per lo svuotamento mi aspetterei qualcosa del tipo V(t)
=Veq*exp(-kt), per cui il serbatoio non diventerebbe mai completamente
vuoto.
--
Firma in allestimento
deltaquattro
Feb 7, 2012, 7:29:34 AM2/7/12
to
Ciao!
Sarebbe utile se scrivessi le ipotesi che hai fatto e le equazioni che hai dedotto :) anche se son quasi sicuro che hai posto la velocità di svuotamento pari alla radice dell'altezza del pelo libero (spero che la sezione del cilindro sia molto maggiore di quella del forellino da cui si svuota il serbatoio!). Quindi ottieni un'ODE non lineare (non è Lipschitziana, per di più), che nel caso di forzamento nullo (portata in ingresso nulla), ha una bella soluzione semplice, quadratica nel tempo, in cui il tempo di svuotamento è finito. Quando però metti un forzamento non nullo, ottieni qualcosa di un pò più "nasty" . A me è venuta una soluzione in forma implicita con dei logaritmi, SE&O. E chiaramente ti risulta che il tempo in cui arrivi alla quota limite è infinito. E' un pò il caso dei sistemi lineari stabili, in cui le soluzioni sono del tipo y(t)=C(1-e^(-kt)), solo che qui essendo l'equazione non lineare le cose si complicano un pò. Ma vale il solito discorso: il tuo è solo un modello continuo, monodimensionale, non viscoso, ecc. di un problema nella realtà più complesso. Ci sono vari fattori che hai trascurato, ma qual è il tempo che ci vuole per riempire il serbatoio fino al 99% dell'altezza di regime? E fino al 99.9%? Sono tutti tempi finiti: nel problema lineare, più semplice, sono legati alla costante k, detta appunto costante di tempo del problema. Viste le approssimazioni insite nel tuo modello, puoi considerare che il tempo a cui raggiungi il 99.9% (p.es.) della quota di regime, è il tempo "pratico" di riempimento. Dopotutto, anche in una verifica sperimentale misureresti la quota di riempimento con una certa approssimazione, e ti risulterebbe che la raggiungi in un tempo finito.
Ciao
Sergio
Sarebbe utile se scrivessi le ipotesi che hai fatto e le equazioni che hai dedotto :) anche se son quasi sicuro che hai posto la velocità di svuotamento pari alla radice dell'altezza del pelo libero (spero che la sezione del cilindro sia molto maggiore di quella del forellino da cui si svuota il serbatoio!). Quindi ottieni un'ODE non lineare (non è Lipschitziana, per di più), che nel caso di forzamento nullo (portata in ingresso nulla), ha una bella soluzione semplice, quadratica nel tempo, in cui il tempo di svuotamento è finito. Quando però metti un forzamento non nullo, ottieni qualcosa di un pò più "nasty" . A me è venuta una soluzione in forma implicita con dei logaritmi, SE&O. E chiaramente ti risulta che il tempo in cui arrivi alla quota limite è infinito. E' un pò il caso dei sistemi lineari stabili, in cui le soluzioni sono del tipo y(t)=C(1-e^(-kt)), solo che qui essendo l'equazione non lineare le cose si complicano un pò. Ma vale il solito discorso: il tuo è solo un modello continuo, monodimensionale, non viscoso, ecc. di un problema nella realtà più complesso. Ci sono vari fattori che hai trascurato, ma qual è il tempo che ci vuole per riempire il serbatoio fino al 99% dell'altezza di regime? E fino al 99.9%? Sono tutti tempi finiti: nel problema lineare, più semplice, sono legati alla costante k, detta appunto costante di tempo del problema. Viste le approssimazioni insite nel tuo modello, puoi considerare che il tempo a cui raggiungi il 99.9% (p.es.) della quota di regime, è il tempo "pratico" di riempimento. Dopotutto, anche in una verifica sperimentale misureresti la quota di riempimento con una certa approssimazione, e ti risulterebbe che la raggiungi in un tempo finito.
Ciao
Sergio
Aleph
Feb 7, 2012, 11:05:52 AM2/7/12
to
Enrico B ha scritto:
Dal punto di vista matematico torna tutto, semmai sono le idealizzazioni
alle base del calcolo a dover essere riviste.
Comunque se ti limiti a richiedere il raggiungimento di una frazione
dell'altezza del liquido in condizioni di regime (poniamo il 95%) torna
tutto.
Saluti,
Aleph
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
alle base del calcolo a dover essere riviste.
Comunque se ti limiti a richiedere il raggiungimento di una frazione
dell'altezza del liquido in condizioni di regime (poniamo il 95%) torna
tutto.
Saluti,
Aleph
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
Enrico B
Feb 9, 2012, 4:53:46 AM2/9/12
to
Grazie in effetti č come pensavo, la cosa "pratica" č una
integrazione al 99% dell'altezza.
Mi vengono in mente gli integrali impropri.
Grazie di nuovo
Enrico
"lefthand" <nonte...@qui.da.me> ha scritto nel messaggio
news:jgp43i$gut$2...@nnrp.linuxfan.it...
integrazione al 99% dell'altezza.
Mi vengono in mente gli integrali impropri.
Grazie di nuovo
Enrico
"lefthand" <nonte...@qui.da.me> ha scritto nel messaggio
news:jgp43i$gut$2...@nnrp.linuxfan.it...
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