Raggio di curvatura spaziotempo attorno alla Terra

[af44...@gmail.com]

Ciao,
vi mando il link di due pagine tratte da un libro di Tullio Regge
dal titolo - Infinito - su cui avrei due domanda da porre.
https://ibb.co/kQ5SJTZ
1) L'area che viene chiamata A = r³c²/GM non ho capito che area è.
2)Regge scrive : sulla superficie della Terra lo spazio-tempo ha un raggio di curvatura di SQRT(A) = 3*10^8 Km = 3*10^11m

Ma questa misura sarà pure come dice Regge all'incirca uguale

al diametro dell'orbita terrestre intorno al Sole, però questa misura del raggio di curvatura 3*10^11m è diverso da quello che si legge negli appunti del Prof. Fabri (Insegnare relatività nel XXI secolo)
dove nella lezione 10 a pag. 138 si legge :
Possiamo anche toglierci la curiosità di calcolare quanto viene
Rc = 1.7*10^11
Come si spiegano queste diverse misure ?

saluti
af

[Pier Franco Nali]

Non conosco quel libro di Regge però ho letto un suo libro più recente scritto con Giulio Peruzzi (Spazio, tempo e universo, UTET, 2003) dove Regge torna sullo stesso argomento in modo più dettagliato. Intanto Regge fa stime qualitative e ragiona su ordini di grandezza; perciò, è naturale che possano esservi differenze con i valori calcolati con le formule esatte. Nel caso specifico Regge utilizza per la curvatura K=GM/c^2r^3 tralasciando il fattore 2 della formula corretta K=2GM/c^2r^3 riportata ad es. nel testo del Prof. Fabri.



L’area A rappresenta l’area di un triangolo geodetico sferico, legata alla curvatura gaussiana K di una sfera di raggio R dalla relazione K=1/R^2 =(α+β+γ-π)/A, dove α+β+γ-π è l’eccesso angolare del triangolo sferico. Regge considera la curvatura di una sfera perché sta facendo riferimento alla metafora del telo di Eddington, inoltre anche qui ragiona sugli ordini di grandezza e scrive semplicemente K=1/R^2 =1/A.

[Elio Fabri]

af44...@gmail.com ha scritto:

> vi mando il link di due pagine tratte da un libro di Tullio Regge
> dal titolo - Infinito - su cui avrei due domanda da porre.
> https://ibb.co/kQ5SJTZ

> 1) L'area che viene chiamata A=r^3 c^2/GM non ho capito che area è.
Premetto che non conosco quel libro, e non so se si possa
correttamente rispondere alla tua domanda basandosi solo su quelle due
pagine.
Con questa riserva, io direi che non è felice chiamare A "un'area". È
una grandezza avente le dimensioni di una lunghezza al quadrato,
quindi di un'area. Ma ciò non significa che rappresenti una qualche
area identificabile. È molto meglio, secondo me, chiamarla "quadrato
di una lunghezza"; infatti poco dopo verrà identificata col quadrato
del "raggio di curvatura dello spazio-tempo".

> 2)Regge scrive: sulla superficie della Terra lo spazio-tempo ha un
> raggio di curvatura di SQRT(A) = 3*10^8 Km = 3*10^11m
> Ma questa misura sarà pure come dice Regge all'incirca uguale al
> diametro dell'orbita terrestre intorno al Sole, però questa misura
> del raggio di curvatura 3*10^11m è diverso da quello che si legge
> negli appunti del Prof. Fabri (Insegnare relatività nel XXI secolo)
> dove nella lezione 10 a pag. 138 si legge:
> "Possiamo anche toglierci la curiosità di calcolare quanto viene

> Rc = 1.7*10^11 m"

> Come si spiegano queste diverse misure?

Qui la risposta richiede due diversi ordini di considerazioni.
In primo luogo A appare per la prima volta a pag. 218, dove si legge:
"Un calcolo qualitativo mostra che l'ecceso comporta accelerazioni
residue dell'ordine di D c^2/A, dove A=r^3 c^2/GM."
Le parole chiave sono "qualitativo" e "dell'ordine".
Regge lascia nel mistero che cosa si nasconde dietro queste parole:
come si fa quel calcolo? perché è qualitativo e il risultato è
"dell'ordine di"?
Al contrario, nel mio Q16 all'argomento sono dedicate diverse pagine:
da 130 a 133. Non so se hai riconosciuto nell'accelerazione residua di
Regge la mia (10-2). C'è una differenza: io ragiono sull'ascensore di
Einstein, Regge su un laboratorio in orbita. Non posso intrattenermi
qui sul perché delle due scelte, anche se la cosa sarebbe piuttosto
importante.
Ciò che ho detto può spiegare a sufficienza il fattore 2 che ti turba.
Comunque posso rifarmi alla prima parte della risposta di Pier Franco
Nali:

> Non conosco quel libro di Regge però ho letto un suo libro più
> recente scritto con Giulio Peruzzi (Spazio, tempo e universo, UTET,
> 2003) dove Regge torna sullo stesso argomento in modo più
> dettagliato. Intanto Regge fa stime qualitative e ragiona su ordini di
> grandezza; perciò, è naturale che possano esservi differenze con i
> valori calcolati con le formule esatte. Nel caso specifico Regge
> utilizza per la curvatura K=GM/c^2r^3 tralasciando il fattore 2 della
> formula corretta K=2GM/c^2r^3 riportata ad es. nel testo del Prof.
> Fabri.

Ora debbo passare al secondo ordine di considerazioni che avevo
annunciato. Ci sarebbe molto da dire, credo troppo per un NG. Dovrò
sacrificare qualcosa, ed è un problema...
Cominciamo dal termine "curvatura dello spazio-tempo". All'inizio
della sezione "Curvatura esterna" Regge scrive:
"Veniamo ora a un punto di estrema importanza concettuale nella nostra
discussione: la relatività generale identifica la quantità 1/A con le
componenti esterne della curvatura K dello spazio-tempo quali emergono
dalla metafora di Eddington."
Notate: "estrema", mica bruscolini :-) E continua:
"Nell'identificazione K=GM/c^2r^3=1/A vengono a contatto elementi di
geometria e di fisica in una sintesi che non ha precedenti. Le forze
di marea sono quindi la manifestazione più immediata e visibile della
curvatura dello spazio-tempo."

Purtroppo noi non sappiamo che cosa c'è nelle pagine precedenti,
quindi possiamo capire poco di questo brano.
Che cosa ha spiegato Regge prima di scrivere questo? Come ha definito
le "componenti esterne"? Che cos'è la metafora di Eddington per il
lettore di quel libro?
Penso di sapere che cosa si chiama con questo nome, anche se il
termine "metafora" mi pare poco appropriato.
Non sono sicuro di sapere che cosa intende (tecnicamente, non in senso
divulgativo) con "curvatura dello spazio-tempo". Il fatto che parli di
componenti mi farebbe pensare che sia qualcosa di vicino al tensore di
Riemann; ma "esterne"?

Mi limito a rimandare alla pag. 139 in fondo del Q16, da dove si legge
"In verità" e alla discussione del Problema 1.
In breve, lo spazio-tempo non ha *una* curvatura; ne ha molte, a
seconda della sezione 2D che si considera. Nel caso particolare di
simmetria sferica parecchie di queste curvature sono nulle, e le poche
che sopravvivono hanno valori GM/c^2r^3, 2GM/c^2r^3, oppure gli stessi
valori cambiati di segno.
Un fattore -2 è presente nella curvatura t-z, non nella t-x, che è
positiva.

Molto più importante: Regge dà qualche spiegazione della frase "la
relatività generale identifica la quantità 1/A con le componenti
esterne della curvatura K"?

Pier Franco Nali ha scritto:

> L'area A rappresenta l'area di un triangolo geodetico sferico,
> legata alla curvatura gaussiana K di una sfera di raggio R dalla

> relazione K=1/R^2=(alfa+beta+gamma-pi)/A, dove alfa+beta+gamma-pi è

> l'eccesso angolare del triangolo sferico.

Non direi. La relazione
K=1/R^2=(alfa+beta+gamma-pi)/A (*)
è corretta, ed è uno dei modi di definire la curvatura gaussiana.
Ma qui A è l'area di un generico triangolo geodetico; per la sfera la
curvatura ha lo stesso valore in ogni punto e non importa quale
triangolo si prenda. Quindi A può essere qualunque numero.
Per una superficie diversa da una sfera (e per lo spazio-tempo vicino
alla Terra) la curvatura gaussiana varia da punto a punto, e la (*) va
modificata passando al limite A-->0.

> Regge considera la curvatura di una sfera perché sta facendo
> riferimento alla metafora del telo di Eddington,

Ahi ahi... Il telo?
Credevo fosse un palloncino.
Potresti chiarire che cosa dice Regge?

Comunque l'identificazione di cui parla Regge mi pare sia tutt'altra
cosa.
Se si parte dal diverso moto di un corpo in un satellite (o
nell'ascensore, come preferisco io) a seconda che sia sopra o sotto
del centro, si sta studiando la *deviazione delle geodetiche*.
È questa che giustifica l'identificazione; punto veramente di estrema
importanza, e che io discuto ampiamente.
Ripeto però che come proceda l'esposizione di Regge non lo posso
capire da quelle due pagine.
E con questo chiudo.
--
Elio Fabri

[Pier Franco Nali]

Elio Fabri ha scritto:

> Ma qui A è l'area di un generico triangolo geodetico; per la sfera la
> curvatura ha lo stesso valore in ogni punto e non importa quale
> triangolo si prenda. Quindi A può essere qualunque numero.
> Per una superficie diversa da una sfera (e per lo spazio-tempo vicino
> alla Terra) la curvatura gaussiana varia da punto a punto, e la (*) va
> modificata passando al limite A-->0.

Naturalmente la precisazione è del tutto corretta e anche opportuna. In effetti nel testo di Regge e Peruzzi cui ho fatto riferimento si parte dall’esempio di un triangolo sferico (non dimentichiamo il taglio divulgativo del testo), precisamente un ottante trirettangolo, con eccesso angolare π/2 e area πR^2/2, che consente una verifica immediata della (*), ma poi prosegue: "La formula (*) dà un metodo utile per misurare il coefficiente K=1/R^2 a partire dall’area e dagli angoli interni di triangoli sferici generici sulla sfera. In questa forma il risultato ha un significato universale, indipendente dalla scelta del triangolo, legando K al raggio della sfera su cui è disegnato il triangolo. Questo raggio (o anche il coefficiente K) è un parametro che descrive la violazione del quinto postulato di Euclide, e il suo significato universale caratterizza la geometria locale." (Spazio, tempo e universo, UTET, 2003, p.61)

> > Regge considera la curvatura di una sfera perché sta facendo
> > riferimento alla metafora del telo di Eddington,
> Ahi ahi... Il telo?
> Credevo fosse un palloncino.
> Potresti chiarire che cosa dice Regge?
>

Sulla questione della metafora (del telo) di Eddington e della curvatura esterna, nel frattempo, ho recuperato una copia di “Infinito" (Mondadori, 1996), dove a p. 210 Regge scrive: "In quest’analogia [del telo] emerge anche una distinzione fondamentale nel tipo di curvatura. La porzione di telo che è a contatto immediato con la biglia ha una curvatura, che chiameremo interna, che dipende direttamente dalla forma e dal peso della biglia, ma fuori di questa occorre invece risolvere equazioni che descrivono il propagarsi della deformazione o curvatura esterna del telo a partire dalla massa che le ha prodotte. Occorre quindi distinguere tra componenti interne ed esterne della curvatura. Quelle interne sono direttamente legate alla distribuzione delle masse. Quelle esterne sono più propriamente l’analogo del campo gravitazionale, e per calcolarle occorre risolvere le equazioni del campo."

Un caro saluto,
Pier Franco