Aiuto-Moto di caduta libera
arco....@hotmail.com
qualsiasi altezza?
Partendo dalla legge di conservazione dell'energia "Energia
potenziale= G.(M.m/r)" si stabilisce facilmente l'energia cinetica e
la velocità ottenuta da un grave che cade partendo da qualsiasi
altezza. Mi sfugge il metodo di calcolo necessario a stabilire il
tempo di caduta!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Rebbe
gnappa
La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo, quindi per
sapere il tempo bisogna integrare lungo il percorso di caduta.
Determiniamo quindi la velocità a distanza generica r dal centro della
Terra. L'uguaglianza che hai scritto tu non è la conservazione
dell'energia, ma dice solo che l'energia potenziale è uguale alla
quantità che hai scritto. La conservazione dell'energia in questo caso
si può scrivere:
GMm/r + 1/2 mv^2 = GMm/R
supponendo che la "caduta" parta da distanza R e da fermo.
La velocità a distanza r è quindi:
v = dr/dt = sqrt( 2GM(1/R-1/r) )
per integrare si può usare il metodo della separazione delle variabili:
dr / sqrt( 2GM(1/R-1/r) ) = dt
Per trovare il tempo di caduta bisogna integrare a sinistra tra R e RT
(raggio della terra), e a destra tra 0 e T (tempo di caduta).
Cioè
T = integrale( 1/sqrt(2GM(1/R-1/r)) , R, RT )
Buon lavoro :-)
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org
Errori nei test di ammissione alla SSIS
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/index.php
Paolo
l'altro metodo,che in questo caso mi sembra più semplice (alle ore 00:15)
trascurando l'attrito dell'aria, il grave inizialmente t=t0 è fermo
all'altezza h (y0=h), la sua velocità (v0) è zero.
Dopo un tempo t il grave tocca il suolo e quindi y(t)=0.
Trascurando appunto la forza d'attrito, il moto è uniformemente
accelerato e l'accelerazione è -g (a=-g).
Poichè nel moto uniformemente accelerato si ha:
y(t)=(1/2)at^2+v0*t+y0 e poichè v0=0 e y0=h e a=-g allora, semplicemente
si ha:
y(t)=-(1/2)gt^2+h
sostituendo i valori al tempo t si ha:
0=-(1/2)gt^2+h
che fornisce due soluzioni, l'unica che però ha significato è:
t=sqrt(2*h/g)
Col tuo metodo, trovi la velocità finale quindi sai che v=a*t e trovi t.
Si, forse fai prima...
ciao.
Giorgio Bibbiani
...
> Determiniamo quindi la velocità a distanza generica r dal centro della
> Terra. L'uguaglianza che hai scritto tu non è la conservazione
> dell'energia, ma dice solo che l'energia potenziale è uguale alla
> quantità che hai scritto. La conservazione dell'energia in questo caso
> si può scrivere:
> GMm/r + 1/2 mv^2 = GMm/R
> supponendo che la "caduta" parta da distanza R e da fermo.
Ti segnalo un refuso, l'energia potenziale gravitazionale di due punti
materiali aventi rispettivamente massa M e m distanti r e':
U = -GMm/r, quindi la formula
della conservazione dell'energia diventa:
-GMm/r + 1/2 mv^2 = -GMm/R
e stessa correzione nelle formule successive.
(E' capitato diverse(!) volte anche a me di sbagliare a scrivere
il segno dell'energia potenziale, probabilmente a causa dell'analogia
tra la formula dell'energia potenziale gravitazionale e quella della
energia potenziale elettrostatica, in cui manca il segno -, quando
sono in dubbio mi tolgo d'imbarazzo ricordandomi che due
cariche puntiformi dello stesso segno si respingono, mentre
due masse si attraggono :-)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
arco....@hotmail.com
> arco.bal...@hotmail.com ha scritto:> Come si calcola il tempo di caduta dei gravi che cadono partendo da
> > qualsiasi altezza?
> Trascurando appunto la forza d'attrito, il moto è uniformemente
> accelerato e l'accelerazione è -g (a=-g).
> Poichè nel moto uniformemente accelerato si ha:
> y(t)=(1/2)at^2+v0*t+y0 e poichè v0=0 e y0=h e a=-g allora, semplicemente
> si ha:
> y(t)=-(1/2)gt^2+h
> sostituendo i valori al tempo t si ha:
> 0=-(1/2)gt^2+h
> che fornisce due soluzioni, l'unica che però ha significato è:
> t=sqrt(2*h/g)
>
> Col tuo metodo, trovi la velocità finale quindi sai che v=a*t e trovi t.
> Si, forse fai prima...
>
> ciao.
Il problema è che il moto di caduta non è per nulla uniformemente
accelerato. L'accelerazione di gravità cambia in ogni punto dello
spazio attraversato dal grave. Un corpo che cade partendo da grandi
altezze (esempio dall'orbita lunare fino alla terra), percorre pochi
metri in minuti di caduta. Dopo "ore" di caduta, la velocità inizia ad
essere sostenuta. Dubito che esista la possibilità di affrontare
questi problemi utilizzando la velocità finale ottenuta dai gravi.
Persino i teoremi energetici mi sembrano inappropriati perché
comportano una grossolana contraddizione.
La legge di conservazione dell'energia: 1/2.m.v^2= G.M.m.( 1/Rt - 1/Rt
+H) include che la velocità finale ottenuta da un grave che cade
partendo da grandissime distanze, sia sempre vicinissima alla velocità
di fuga "11176 m/s". Per ottenere la velocità di fuga 11176 m/s
servirebbe l'energia potenziale definita da "Ep= G.M.m.( 1/Rterra)" ma
nessun grave potrà mai ragguingere questa velocità perché, questa
equazione "Ep=G.M.m.( 1/Rt - 1/Rt+H) " lo impedisce. La sottrazione
( 1/Rterra - 1/Rterra+H), impone che la velocità di fuga dai pianeti
sia un limite di velocità invalicabile per i gravi che cadono partendo
da qualsiasi altezza (fin qui mi sta bene).
A questo punto, proviamo ad utilizzare il principio di conservazione
dell'energia ammettendo che un grave raggiunga il centro della terra
partendo dalla superficie terrestre.
1/2.m.v^2= G.M.m.( 1/Rt - 1/Rt + 0metri)
1/2.m.v^2= G.M.m.( 0)
1/2.m.v^2= 0
Non so che dire... l'energia potenziale sparisce! Da un lato (verso
l'alto), l'energia potenziale della gravità tende ad infinito senza
mai poter raggiungere l'energia cinetica associabile alla velocità di
fuga. Dall'altro lato ( verso il basso), l'energia potenziale sparisce
sul nascere. Non vi sembra che i teoremi energetici siano un bisticcio
tra zero ed infinito? Tra i due estremi (zero ed infinito), si possono
costruire compromessi matematici con gli integrali, ma il tutto, non
mi convince.
Jack
"gnappa" <lagiraffa77Q...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:48a80604$0$1080$4faf...@reader2.news.tin.it...
> arco....@hotmail.com ha scritto:
>
> Buon lavoro :-)
>
> --
Quanto tempo... Ben tornata :-)
gnappa
>
> A questo punto, proviamo ad utilizzare il principio di conservazione
> dell'energia ammettendo che un grave raggiunga il centro della terra
> partendo dalla superficie terrestre.
All'interno della Terra, assumendo una densità uniforme, l'energia
potenziale non va come -1/r, ma come r^2. Quindi, assumendo che la Terra
sia in qualche modo trasparente alla caduta di questo grave che parte da
fermo dalla superficie e arriva al centro, la conservazione dell'energia
direbbe:
Energia totale sulla superficie = - GMm/R
Energia totale a distanza r = 1/2 mv^2 + GMm/(2R^3)*r^2 - 3GMm/(2R)
da cui
1/2 mv^2 = GMm (-1/R - r^2/(2R^3)) + 3GMm/(2R)
dove r è la distanza dal centro e R il raggio della Terra. Per r=0:
1/2 m V^2 = 1/2 GMm/R -> V = sqrt(GMm/R)
salvo errori di calcolo.
>
> Non so che dire... l'energia potenziale sparisce! Da un lato (verso
> l'alto), l'energia potenziale della gravità tende ad infinito senza
> mai poter raggiungere l'energia cinetica associabile alla velocità di
> fuga. Dall'altro lato ( verso il basso), l'energia potenziale sparisce
> sul nascere. Non vi sembra che i teoremi energetici siano un bisticcio
> tra zero ed infinito? Tra i due estremi (zero ed infinito), si possono
> costruire compromessi matematici con gli integrali, ma il tutto, non
> mi convince.
>
L'energia potenziale al centro della terra non sparisce, raggiunge
giustamente un minimo ( U(0)= -3GMm/(2R) ), perché un corpo non può
essere attratto ulteriormente dopo aver raggiunto il centro, quindi in
un certo senso ha "esaurito" tutta l'energia potenziale che aveva, non
può diminuirla. Inoltre, non tende mai a infinito, perché la forma che
va come -1/r vale solo per r>R, quindi l'energia non tende a infinito
per r->0, ma alla costante -3GMm/(2R).
Il fatto che cadendo da qualunque distanza, non si riesca ad acquistare
una velocità sufficiente a superare la velocità di fuga, è dovuto al
fatto che l'attrazione gravitazionale agisce a qualsiasi distanza,
quindi un sistema di corpi soggetto solo alla gravità sarà sempre
legato, a meno di non introdurre un'energia dall'esterno. Cioè per
raggiungere una velocità maggiore di quella di fuga bisogna per forza
dare al corpo che cade una velocità iniziale.
ciao
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org
gnappa
> gnappa ha scritto:
> ....
>> Determiniamo quindi la velocità a distanza generica r dal centro della
>> Terra. L'uguaglianza che hai scritto tu non è la conservazione
>> dell'energia, ma dice solo che l'energia potenziale è uguale alla
>> quantità che hai scritto. La conservazione dell'energia in questo caso
>> si può scrivere:
>> GMm/r + 1/2 mv^2 = GMm/R
>> supponendo che la "caduta" parta da distanza R e da fermo.
>
> Ti segnalo un refuso, l'energia potenziale gravitazionale di due punti
> materiali aventi rispettivamente massa M e m distanti r e':
> U = -GMm/r, quindi la formula
> della conservazione dell'energia diventa:
> -GMm/r + 1/2 mv^2 = -GMm/R
> e stessa correzione nelle formule successive.
Sì certo, grazie, sono andata in automatico usando la formula del post a
cui rispondevo :-)
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org
Paolo
> Il problema è che il moto di caduta non è per nulla uniformemente
> accelerato. L'accelerazione di gravità cambia in ogni punto dello
> spazio attraversato dal grave. Un corpo che cade partendo da grandi
> altezze (esempio dall'orbita lunare fino alla terra), percorre pochi
> metri in minuti di caduta. Dopo "ore" di caduta, la velocità inizia ad
Grazie! Questo lo so anche io ma dalla tua domanda mica immaginavo che
per altezza tu intendessi distanze astronomiche.
Noi terrestri usiamo "g" e immaginiamo che sia costante (anche se non lo
è) per altezze "umane",il tuo è un altro problema. E' chiaro che quello
che ti ho detto non è più valido.
Puoi cercare con google "problema dei due corpi", dovresti trovare qualcosa.
Inoltre a questo punto dovresti anche considerare le forze dovute agli
altri corpi celesti nelle "vicinanze", che potrebbero non essere
trascurabili.
arco....@hotmail.com
> Energia totale sulla superficie = - GMm/R
> Energia totale a distanza r = 1/2 mv^2 + GMm/(2R^3)*r^2 - 3GMm/(2R)
>
> da cui
>
> 1/2 mv^2 = GMm (-1/R - r^2/(2R^3)) + 3GMm/(2R)
ragionamento. Ho provato ad usare il tuo calcolo per stabilire
l'energia potenziale di una massa di 1 kg posta 100 metri al di sopra
della superficie terrestre. Il risultato è insensato perché la massa
possiede un'energia potenziale che le permette di raggiungere una
velocità pari a 915 volte la velocità della luce.
Riporto la tua equazione assumendo di calcolare l'energia potenziale
di una massa di 1 kg posizionata 100 metro al di sopra del raggio
terrestre 6370000 metri.
---------------------------
1/2 mv^2 = GMm . [-1/R - r^2/(2R^3) + 3GMm/(2R)]
Dividendo tra parentesi quadre
R= 6370000
r= 6370100
-1/R = -1.5698587127158555729984301412873e-7
r^2 = 4.057817401e+13
(-1/R - r^2)= -4.0578174010000000000156985871272e+13
Divisore tra parentesi quadre
2R^3= 5.16949706e+20
Divisione
[(-1/R - r^2)/ (2R^3)] = -7.8495400111514910118078267891058e-8
Somma tra parentesi quadre
GMm = 4e+14
3 GMm/2R = 9.4191522762951334379905808477237e+7
[-1/R - r^2/(2R^3) + 3GMm/(2R)] = 9.419152276295125588450569696232e+7
Somma moltiplicata per GMm = 4e+14
Energia potenziale= [-1/R - r^2/(2R^3) + 3GMm/(2R)] 3.7676609105180502353802278784928e+22
Velocità = Radice quadrata di 2 volte Energia potenziale
Velocità = 2.745e+11
915 volte la velocità della luce!
Non mi sembra proprio che vi siano errori di calcolo--ma per non
complicarci la vita propongo di risolvere un problema molto più
semplice.
Prima di aprire questa discussione, avevo cercato di risolvere il
problema apparentemente più semplice. Stabilire quanto tempo impiega
un grave per cadere fino al centro della terra. La velocità finale
deve coincidere alla velocità di fuga (11176 m/s) e l'energia
potenziale iniziale è data da
Energia totale sulla superficie = - GMm/R
In questo caso non dovrebbe mancare nulla ma non trovo equazioni che
permettono di trattare col tempo di caduta...
gnappa
>> Energia totale sulla superficie = - GMm/R
>> Energia totale a distanza r = 1/2 mv^2 + GMm/(2R^3)*r^2 - 3GMm/(2R)
>>
>> da cui
>>
>> 1/2 mv^2 = GMm (-1/R - r^2/(2R^3)) + 3GMm/(2R)
> Grazie per la risposta. Purtroppo non sono riuscito a seguire il tuo
> ragionamento. Ho provato ad usare il tuo calcolo per stabilire
> l'energia potenziale di una massa di 1 kg posta 100 metri al di sopra
> della superficie terrestre. Il risultato è insensato perché la massa
> possiede un'energia potenziale che le permette di raggiungere una
> velocità pari a 915 volte la velocità della luce.
Quello che riporti era il calcolo applicato al tuo esempio di grave che
parte dalla superficie e raggiunge il centro della terra, ovviamente non
puoi applicarlo a un grave che parte a 100 m dalla superficie e cade
raggiungendo la superficie, perché l'energia potenziale ha un'altra
espressione.
Mi sembra di averlo già detto, ma ripeto:
Chiamo r la distanza dal centro della terra, e R il raggio terrestre.
L'energia potenziale gravitazionale è:
U(r) = - GMm/r se r>R
U(r) = GMm/(2R^3)*r^2 - 3GMm/(2R) se 0<r<R
Quindi per un grave che, partendo da fermo, va da R+h, con h=100m, a R:
-GMm/(R+h) = 1/2 mv^2 - GMm/R
1/2 mv^2 = GMm (1/R-1/(R+h)
v = sqrt( 2GM * h/(R(R+h)) ) = 44 m/s circa (*)
In questo caso, il campo gravitazionale si può approssimare costante
durante la caduta, e il risultato coincide con quello ottenuto con la
solita formula:
v = sqrt (2gh) = 44 m/s
infatti g = GM/R^2, e nella (*) vale l'approssimazione
2GM/(R(R+h)) = 2GM/R^2, perché h<<R.
> In questo caso non dovrebbe mancare nulla ma non trovo equazioni che
> permettono di trattare col tempo di caduta...
Su questo ti ho già risposto, nel post del 17/08, non lo hai visto?