Entalpia, Cp e temperatura
Konx
Stiamo parlando di acqua. Tramite le formule date da un organismo
internazionale (www.iapws.org) ho scritto un programma in grado di
calcolare, dati due dati iniziali (temperatura e pressione, di solito)
una serie di quantit� per l'acqua, fra cui l'entalpia e il calore
specifico (a pressione costante).
A questo punto, moltiplicando il calore specifico per la temperatura
uno si aspetta ragionevolmente di trovare il valore di entalpia: nel
mio caso questo avviene, ma con un certo scarto.
Esempio numerico che ho sottomano:
- T = 59,72 �C
- P = 4,9 bar
Il programma mi da in output:
- Cp = 4,18 (KJ/Kg K)
- h = 250,37 KJ/Kg
Se moltiplico Cp * T ottengo invece 249,62 (KJ/Kg).
La domanda �: la discrepanza rilevata � da attribuirsi esclusivamente
alle formule che mi vengono date dallo IAPWS (che quindi sono
ovviamente approssimate, e in certi casi tra approssimazioni ed errori
numerici potrebbero darmi problemi) o c'� qualcosa di pi� "fisico"
sotto, nel senso che la relazione h=Cp*T � una relazione approssimata?
(potrebbero anche essere entrambe le cose, in realt�, ma la domanda di
fisica � chiaramente la parte che pi� mi interessa del post).
Grazie
ciao
Konx.
Elio Fabri
> ...
> A questo punto, moltiplicando il calore specifico per la temperatura
> uno si aspetta ragionevolmente di trovare il valore di entalpia:
La relazione valida in generale e'
C_p = (dH/dT)_p
e solo se C_p e' costante in un certo intervallo di temperature puoi
integrarla a
Delta H = C_p * Delta T.
Inoltre non capisco che cosa indichi con h (perche' minuscola?) e
perche' usi T Celsius per fare il calcolo.
--
Elio Fabri
Konx
> Konx ha scritto:> ...
> > A questo punto, moltiplicando il calore specifico per la temperatura
> > uno si aspetta ragionevolmente di trovare il valore di entalpia:
>
> Perche'?
> La relazione valida in generale e'
>
> C_p = (dH/dT)_p
>
> e solo se C_p e' costante in un certo intervallo di temperature puoi
> integrarla a
>
> Delta H = C_p * Delta T.
indico con p minuscola la pressione, con T maiuscola la temperatura,
con h piccolo intendevo l'entalpia, pensavo fosse chiaro, scusate per
l'imprecisione.
Grazie delle due relazioni di cui sopra (che avevo trovato) ma il
problema � leggermente diverso: quello che succede � che in un piano
(p,T) tramite delle formule numeriche mi vengono restituiti una serie
di valori di varie quantit� (entalpia, entropia, etc...). Insomma, non
sto trattando delle variazioni, ma sto semplicemente ricavando dei
valori specifici per ogni quantit� in ogni punto del piano.
Per cui, la questione che sorge � questa: la discrepanza tra il valore
di entalpia calcolato direttamente dal programma, e il valore di
entalpia calcolato come Cp * T � secondo voi da attribuirsi a problemi
numerici "del computer" (e quindi alla precisione con cui le cifre
sono scritte memorizzate e gestite) o � da attribuirsi al fatto che la
relazione H = Cp * T _non_ � perfetta, ma un'approssimazione al primo
ordine di una qualche espressione generale?
O, se vogliamo girare la domanda: H = Cp * T, � un'espressione
completa, o un'approssimazione? e in quest'ultimo caso,
approssimazione di cosa? (cio�, da quale relazione si ricava? e qual �
il primo termine scartato?)
> Inoltre non capisco che cosa indichi con h (perche' minuscola?) e
> perche' usi T Celsius per fare il calcolo.
Uso T in Celsius per una convenzione che credo sia solamente tecnica
(nel senso di usata dagli ingegneri).
Grazie per l'aiuto
Konx.
Elio Fabri
> Grazie delle due relazioni di cui sopra (che avevo trovato) ma il
> problema � leggermente diverso:
Evidentemente non hai capito molto di quello che ho scritto.
Mi ripeti tutto daccapo, e io non potrei fare altro che ripetere a
mia volta.
Quindi forse e' meglio che chiudiamo qui.
--
Elio Fabri
Peltio
> On 11 Nov, 21:36, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>> La relazione valida in generale e'
>>
>> C_p = (dH/dT)_p
>>
>> e solo se C_p e' costante in un certo intervallo di temperature puoi
>> integrarla a
>>
>> Delta H = C_p * Delta T.
> H = Cp * T, ￜ un'espressione completa, o un'approssimazione?
> e in quest'ultimo caso, approssimazione di cosa? (cioￜ, da
> quale relazione si ricava? e qual ￜ il primo termine scartato?)
Scusa, ma credo che la risposta alla tua domanda sia contenuta nel post
che hai quotato.
Direi che la discrepanza potrebbe essere dovuta al fatto che tu
consideri Cp costante su tutto l'intervallo di temperatura.
Ma per evitare di dover tirar fuori la palla di cristallo per scoprire
che calcoli hai fatto, che ne dici di fornire qui la particolare
formula che hai usato e l'algoritmo che hai usato per implementarla
(nonchￜ il linguaggio usato e i tipi di dato impiegati)?
Tetis
Seguendo questo link fornito dalla pagina che hai dato tu ho trovato
questa formulazione che dovrebbe essere concorde con quella usata per
la compilazione delle tabelle del NIST.
http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/WSP/GasesProperties.xmcd
la formula che viene fornita � ovviamente approssimativamente valida
per gli intervalli in cui il calore specifico � costante. Come puoi
controllare direttamente mettendo diversi valori di temperatura trovi
diversi valori del calore specifico. Se guardi la formula per
l'entalpia con attenzione ti accorgi che non � per nulla simile a c_p
* T. E' piuttosto il risultato dell'integrale del calore specifico con
l'aggiunta di una costante di integrazione che viene scelta in modo da
accordarsi con la convenzione. Il fatto che il primo termine della
formula compaia moltiplicato per T deriva solo dall'integrazione, ma
non significa che la formula � lineare in T, infatti dentro
l'espressione appare un polinomio interpolatore che contiene le
potenze di T/T*. In breve non puoi affatto usare l'espressione c_p * T
come approssimazione, in generale otterresti risultati completamente
sbagliati, tutt'al pi� puoi usare l'espressione: h0 + c_p * (T-T_0)
per intervalli in cui c_p varia poco.
Konx
[cut]
> In breve non puoi affatto usare l'espressione c_p * T
> come approssimazione, in generale otterresti risultati completamente
> sbagliati, tutt'al pi� puoi usare l'espressione: h0 + c_p * (T-T_0)
> per intervalli in cui c_p varia poco.
Grazie mille dell'aiuto! :)
ciao ciao
Konx.
Konx
> Konx scriveva il 11-11-09 :
>
> > On 11 Nov, 21:36, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> >> La relazione valida in generale e'
>
> >> � � C_p = (dH/dT)_p
>
> >> e solo se C_p e' costante in un certo intervallo di temperature puoi
> >> integrarla a
>
> >> � � Delta H = C_p * Delta T.
> > e in quest'ultimo caso, approssimazione di cosa? (cio�, da
> > quale relazione si ricava? e qual � il primo termine scartato?)
>
> Scusa, ma credo che la risposta alla tua domanda sia contenuta nel post
> che hai quotato.
> Direi che la discrepanza potrebbe essere dovuta al fatto che tu
> consideri Cp costante su tutto l'intervallo di temperatura.
Ho evitato di rispondere ad Elio perch� non mi sembrava utile alla
discussione, ma dopo la risposta di Tetis ho visto dove sta il
problema quindi per me � risolto.
Ora, io non ho problemi a dire di essere stupido, per cui pu�
benissimo darsi (anzi, diamolo pure per scontato) che io non capisca
la soluzione di Elio, per� la differenza che noto tra la sua risposta
e la mia domanda � questa (ribadisco: poi magari la differenza non c'�
e sono io che capisco male, possibilissimo).
Elio mi fornisce una relazione matematica, dopodich� la _integra_ e mi
fornisce una soluzione che ha a che fare con _differenze_ di entalpia
e temperatura. Il fatto che considerando _differenze_ di T e volendo
calcolare _differenze_ (o variazioni) di entalpia porti ad
un'approssimazione usando un Cp supposto costante in quell'intervallo
di temperature mi era noto da prima.
Ma l'algoritmo implementato non calcola differenze di entalpia o di
temperatura, ma calcola _un_punto_ in un piano, a cui associa (per
ogni punto del piano) un valore per ogni quantit�.
Per cui, al momento, ancora non capisco come la risposta di Elio mi
avrebbe dovuto aiutare a dirimere la questione (ma ribadisco, sono io
che non ci arrivo!).
>
> Ma per evitare di dover tirar fuori la palla di cristallo per scoprire
> che calcoli hai fatto, che ne dici di fornire qui la particolare
> formula che hai usato e l'algoritmo che hai usato per implementarla
> (nonch� il linguaggio usato e i tipi di dato impiegati)?
Le formule le trovi nei documenti all'interno del sito citato
inizialmente o nel link riportato da Tetis.
Ho usato Java, e i dati sono trattati come double.
Grazie a tutti per l'aiuto :D
Konx.
Tetis
> Ma per evitare di dover tirar fuori la palla di cristallo per scoprire
> che calcoli hai fatto, che ne dici di fornire qui la particolare
> formula che hai usato e l'algoritmo che hai usato per implementarla
> (nonch� il linguaggio usato e i tipi di dato impiegati)?
Ma a prescindere dai calcoli che ha fatto lui i risultati dell'esempio
li ho ottenuti pari pari usando le tabelle automatiche del NIST. La
questione � che la concordanza � frutto di una coincidenza. Infatti il
secondo test che ho fatto, senza sapere come erano costruite queste
tabelle, � stata di andare a valori di temperatura e pressione a cui
so che l'acqua � vapore ed il legame fra entalpia assoluta e
temperatura assoluta � lineare, ma ho trovato che in quel caso non �
affatto vero che il calore contenuto coincide con il calore specifico
per la temperatura assoluta, quindi ho pensato che il riferimento
dovesse essere un'altro. Seguendo un link alla pagina del NIST:
in particolare dalla pagina
ho seguito il men� laterale alla voce:
Main Thermodynamic formulation
e poi da quella pagina ho cliccato al primo link ipertestuale che
compare nella frase:
"Software implementing this formulation is available from NIST
(described at this website), and from Prof. Dr.-Ing. W. Wagner
(described at this website). "
che � quello alla ditta che ha prodotto un software per generare
automaticamente le tabelle, sono andato alla User's guide del codice
alla pagina:
http://www.nist.gov/data/WebGuide/nist10v2.2/10v2.22-2008.htm
dove ho letto che la convenzione usata � di porre a zero entropia ed
energia interna al punto triplo ed infatti si vede che anche allo
stato liquido se ci si allontana dai valori proposti nel teso non si
verifica quella proporzionalit� con la temperatura assoluta. Fatto
questo non riuscivo ancora a capire che cosa lo portasse fuori strada.
Ho continuato ad esplorare la suddetta pagina (main thermodynamic
formulation) ed ho trovato questa pagina che forse spiega l'arcano:
http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/WSP/GasesProperties.xmcd
infatti nell'espressione del calore compare il calore specifico in
termini della variabile \tau = T/T*:
cp(\tau)
e poi il calore espresso come l'integrale della prima formula;
h(\tau) = T* f(tau) + h(0)
dove T* = 1000 K � la temperatura di riferimento e l'asterisco non va
confuso con il segno per. Pu� darsi che questa formula abbia tratto in
inganno il proponente, conducendolo a pensare ad un legame lineare del
calore con la temperatura assoluta. Ma pu� essere anche di no.