Dinamica relativistica - diffusione di due particelle

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Alberto Rasà

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Jan 2, 2022, 2:00:03 PMJan 2
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In un riferimento inerziale K due particelle di massa non nulla si allontanano da un punto comune, in linea retta, formando un angolo θ (theta, spero che il simbolo si legga).
La particella 1 ha massa m1, velocità |v1| in modulo e quindi fattore γ1 (gamma1), energia E1;
la particella 2: m2, |v2|, E2; v1, v2 sono i vettori velocità.
Ponendo la traiettoria e il verso della prima nelle x positive (verso destra) e il moto della 2 nel primo quadrante, si ha (p1 e p2 sono vettori):

p1 = γ1 m1 v1
E1 = γ1 m1 c^2
p2 = γ2 m2 v2 = γ2 m2 |v2| (cosθ, sinθ)
E2 = γ2 m2 c^2

Ho calcolato (E1+E2)^2-c^2|p1+p2|^2


Il mio problema è calcolare la stessa cosa in un riferimento inerziale K' in moto a velocità u verso destra e verificare che risulta lo stesso che in K, ma i calcoli sono troppi lunghi e "voluminosi", anche perché ovviamente cambia anche l'angolo.

Ci deve essere un modo più semplice (che avrò studiato a suo tempo ma non ricordo) per fare il conto.

Inoltre: a parte i dettagli, cambia qualcosa del fatto che quelle due quantità sono le stesse in K e K' se le particelle hanno massa nulla? (per quello che mi ricordo non dovrebbe, ma posso sbagliarmi tranquillamente)
Qualcuno può aiutarmi?

--
Wakinian Tanka

Elio Fabri

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Jan 2, 2022, 3:35:03 PMJan 2
to
Alberto Rasà ha scritto:
> Ci deve essere un modo più semplice (che avrò studiato a suo tempo
> ma non ricordo) per fare il conto.
Prima cosa da non fare: esprimere p ed E mediante v e gamma.
Seconda: non usare modulo e angolo ma solo le componenti cartesiane.

Usa sempre e solo le componenti dei quadrivettori:
E1,p1,0,0 per la prima particella
E2,p2x,p2y,0 per la seconda
(le comp. z le puoi ignorare, visto che sono sempre nulle).
Quando opportuno userai le identità tra E,p,m.

E' imprescindibile porre c=1.

Se conosci le funzioni iperboliche, per la trasf. di Lorentz di
un 4-vettore puoi scrivere
E' = E cosh(t) - px sinh(t)
px' = px cosh(t) - E sinh(t)
py' = py

dove t (rapidità=speed) è definito da
u = tgh(t)
gamma(u) = cosh(t)
u*gamma = sinh(t).

Naturalmente occorre conoscere la "trigonometria iperbolica", che è
quasi uguale a quella solita, salvo per alcuni segni :-)
Per es. cosh^2 - sinh^2 = 1
Dato che hai una solo trasf., conviene (banale ma utile) non
trascinarsi dietro cosh(t) e sinh(t) ma abbreviare con c e s.

> Inoltre: a parte i dettagli, cambia qualcosa del fatto che quelle due
> quantità sono le stesse in K e K' se le particelle hanno massa nulla?
> (per quello che mi ricordo non dovrebbe, ma posso sbagliarmi
> tranquillamente) Qualcuno può aiutarmi?
Perché dovebbe fare differenza?
C'è qualche punto dove si debba sapere se m=0 oppure no?
--
Elio Fabri

Alberto Rasà

unread,
Jan 2, 2022, 6:10:03 PMJan 2
to
Il giorno domenica 2 gennaio 2022 alle 21:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
...
Grazie mille Elio!

--
Wakinian Tanka

Alberto Rasà

unread,
Jan 3, 2022, 2:00:05 AMJan 3
to
Il giorno domenica 2 gennaio 2022 alle 21:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
...
Fatto e torna!
Ho imparato 2 cose:
1. Le trasformazioni che hai scritto sono veramente potenti e consentono di fare questi calcoli con disinvoltura (un liceale li farebbe in 3 minuti).
2. Finalmente ho capito a che serve porre c=1: con tutti quei C e S e altri simboli, se ci mettevo pure c, c^2 immattivo! :-)

Ora mi manca di capire come si ottengono quelle trasformazioni :-)

Ciao.

--
Wakinian Tanka

Elio Fabri

unread,
Jan 3, 2022, 10:40:02 AMJan 3
to
Alberto_Rasà ha scritto:
> Ora mi manca di capire come si ottengono quelle trasformazioni :-)
Non mi è chiaro di quali trasf. parli.
Forse delle
E' = E cosh(t) - px sinh(t)
px' = px cosh(t) - E sinh(t)
?

Se è così, osservo anzitutto, a scanso di equivoci, che t non è il
tempo, ma la rapidità. Avrei fatto meglio a scrivere "th", visto che di
solito la rapidità viene indicata con theta.
Poi per sapere "come si ricava" bisogna sapere da dove si parte, ossia
che cosa è noto e/o dimostrato.
Nel mio caso, mi appoggerei sulle formule (12-1) e (12-3) del Q16:
px = m dx/dtau
E = m dt/dtau.
Dato che m e dtau sono invarianti, si vede che E e px si trasformano
come dt e dx:
dt' = g*(dt - v*dx)
dx' = g*(dx - v*dt)
con g = cosh(th), v*g = sinh(th).

Farei però un commento più generale.
Ci sono infiniti (beh, infiniti mo, ma tantissimi) modi di costruire
la dinamica relativistica.
Per cominciare, molto dipende dal livello di studi.
Il livello liceale è una cosa, quello universitario un'altra.
Il Q16 si pone al livello liceale.

Salendo un po' di livello farei qualche considerazione diversa.
Da ciò che abbiamo visto segue che

1) le coordinate t,x,y,z sono le componenti di un 4-vettore, che si
trasforma secondo le trasf. di Lorentz

2) anche E,px,py,pz sono componenti di un 4-vettore, con la stessa
legge di trasf.

3) da queste leggi di trasf. segue che per ogni 4-vettore
(qt,qx,qy,qz) l'espressione
qt^2 - qx^2 - qy^2 - qz^2
è invariante.

4) Se hai due particelle hai due 4-vettori energia-impulso:
E1,p1x,p1y,p1z e poi E2,p2x,p2y,p2z.

5) la somma di due 4-vettori è un 4-vettore, con la solita legge di
trasf.

6) Ergo:
(E1 + E2)^2 - (p1x + p2x)^2 - (p1y + p2y)^2 - (p1z + p2z)^2
è invariante.

Quindi che bisogno c'è del tuo calcolo?

Tutto questo insegna che non di rado ci sono vantaggi nell'assumere un
punto di vista più astratto.
Ricavare il risultato 6) su un esempio particolare può avere valore da
un punto di vista didattico, se ci sono allievi che fanno fatica a
seguire discorsi astratti.
Ma prima o poi quel passo bisogna farlo, altrimenti non si fa molta
strada.
--
Elio Fabri

Alberto Rasà

unread,
Jan 3, 2022, 2:50:03 PMJan 3
to
Il giorno lunedì 3 gennaio 2022 alle 16:40:02 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> Alberto_Rasà ha scritto:
> > Ora mi manca di capire come si ottengono quelle trasformazioni :-)
>
> Non mi è chiaro di quali trasf. parli.
> Forse delle
> E' = E cosh(t) - px sinh(t)
> px' = px cosh(t) - E sinh(t)
> ?
Si, certo.
>
> Se è così, osservo anzitutto, a scanso di equivoci, che t non è il
> tempo, ma la rapidità. Avrei fatto meglio a scrivere "th", visto che
> di solito la rapidità viene indicata con theta.
>
Ma lo avevi scritto, che cos'era, e per me la rapidità non è un concetto nuovo. Es.:
nel thread di poco tempo fa
"moti uniformemente accelerati in relatività" iniziato da tucboro, nell'ultima parte del tuo ultimo post avevi scritto che:
"tau = (1/a0) int_0^v dv'/(1 - v'^2/c^2) che s'integra con la stessa sostituzione [v'/c = sin(u)]".
Integrando viene:
tau = (c/a0) atanh(v/c)

che usando la definizione di rapidità, w (scusa se uso questo simbolo ma non vorrei confonderla con la theta usata finora) si scrive semplicemente:
tau = c*w/a0
quindi tau tende a +oo se v-->c perché la rapidità tende a +oo
ovvero si può scrivere:
c*w = a0*tau
che è analoga a:
v = a*t
del moto uniformemente accelerato in cinematica non relativistica, se c*w si intende come l'analogo di v (w è adimensionale).
Inoltre avevi scritto che:
"t = (1/a0) int_0^v dv'/(1 - v'^2/c^2)^(3/2)"
che si integra, come hai spiegato, con la stessa sostituzione e viene:
t = v*gamma/a0
che si può scrivere:
t = (c/a0) sinh(w).
>
> Poi per sapere "come si ricava" bisogna sapere da dove si parte, ossia
> che cosa è noto e/o dimostrato.
>
Naturalmente.
>
> Nel mio caso, mi appoggerei sulle formule (12-1) e (12-3) del Q16:
> px = m dx/dtau
> E = m dt/dtau.
> Dato che m e dtau sono invarianti, si vede che E e px si trasformano
> come dt e dx:
> dt' = g*(dt - v*dx)
> dx' = g*(dx - v*dt)
> con g = cosh(th), v*g = sinh(th).
>
Ecco!
>
...
> Salendo un po' di livello farei qualche considerazione diversa.
> Da ciò che abbiamo visto segue che
> 1) le coordinate t,x,y,z sono le componenti di un 4-vettore, che si
> trasforma secondo le trasf. di Lorentz
> 2) anche E,px,py,pz sono componenti di un 4-vettore, con la stessa
> legge di trasf.
> 3) da queste leggi di trasf. segue che per ogni 4-vettore
> (qt,qx,qy,qz) l'espressione
> qt^2 - qx^2 - qy^2 - qz^2
> è invariante.
>
Se q è invariante. Giusto?
>
> 4) Se hai due particelle hai due 4-vettori energia-impulso:
> E1,p1x,p1y,p1z e poi E2,p2x,p2y,p2z.
> 5) la somma di due 4-vettori è un 4-vettore, con la solita legge di
> trasf.
> 6) Ergo:
> (E1 + E2)^2 - (p1x + p2x)^2 - (p1y + p2y)^2 - (p1z + p2z)^2
> è invariante.
> Quindi che bisogno c'è del tuo calcolo?
>

Hai ragione. Volevo solo "toccare con mano" che torna. Lo faccio spesso per cristallizzare i concetti in modo che mi rimangano meglio in memoria e che li senta più "miei".

Ciao e grazie.

--
Wakinian Tanka
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