Dinamica del movimento di una sfera all'interno di un cono
Marco M.
pallina che ruota all'interno di un cono e piano piano ragginge il
vertice spinta dalla forza di gravità. Conosco la posizione e la
velocità iniziale e le dimensioni del cono. Credo che la forza che
spinge la pallina verso il basso sia la somma(vettoriale) della forza
peso e della forza centripeta. Purtroppo per conoscere la dinamica
completa bisogna lavorare di derivate...
Chi sa continuare?
Elio Fabri
Ma visto che ti preoccupano le derivate, assumo che sarai al liceo.
Cominciamo col dire che se non ci fosse l'attrito, la pallina non
raggungerebbe *mai* il vertice.
E solo in quest'ipotesi il calcolo si puo' fare in modo abbastazna
semplice.
Secondo: tu dici pallina, ma se si tratta davvero di una pallina che
rotola, per piccola che sia, nascono altre terribii complicazioni, che
non ti posso neppure spiegare.
Supponiamo qundi che si tratti di un dischetto o qualcosa del genere,
che scivola senza attrito sulla superficie del cono.
Terzo: quello che hai scritto:
> Credo che la forza che spinge la pallina verso il basso sia la
> somma(vettoriale) della forza peso e della forza centripeta.
e' nettamente errato.
Se dici questo, vuol dire che non hai capito che cos'e' la forza
centripeta (per tua consolazione, non sei affatto solo...).
La forza centripeta in questo problema e' meglio che te la scordi del
tutto: ti dico solo che *non e'* una qualche forza che si aggiunge ad
altre, ma (quando e' utile usarla) e' la forza che *occorre* per
produrre un dato moto.
Le forze _reali_ saranno prodotte da agenti esterni (ora vediamo) e
caso mai sara' la loro risultante che dovra' valere esattamente quanto
la f. centripeta richiesta per quel moto.
Ma nel nostro caso la f. centripeta non serve a niente: non aiuta a
risolvere il problema.
Le forze *reali* sono soltanto due: la forza di gravita' (verticale) e
la reazione vincolare del cono, che e' normale alla superficie, ma di
grandezza incognita.
Questa e' una difficolta', che si supera in questo caso cercando se
c'e' qualche legge generale che non richieda di conoscere quanto vale
la reazione vincolare.
C'e', anzi ce ne sono due:
1) La conservazione dell'energia.
2) La conservazione del momento angolare (calcolato rispetto all'asse
del cono.
Se sai scrivere le corrispondenti equazioni, arrivi molto vicino alla
soluzione del problema.
Pero', se non ricordo male, una soluzione in formule semplici non
esiste.
Tuttavia puoi rispondere ad alcune domande, per es. questa:
date posizione e velocita' iniziale, a quale distanza minima dal
vertice arrivera' il dischetto? E a quale distanza massima?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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serse
"Elio Fabri" <mc8...@mclink.it> ha scritto nel messaggio
news:d8nc6l$2oa3$3...@newsreader1.mclink.it...
>
> Cominciamo col dire che se non ci fosse l'attrito, la pallina non
> raggungerebbe *mai* il vertice.
> E solo in quest'ipotesi il calcolo si puo' fare in modo abbastazna
> semplice.
>
Scusate se mi introduco nella discussione.
Leggendo questo post mi sono sorte alcune perplessita'.
In assenza di attrito il disco si muoverebbe quindi
all'interno del cono in modo circolare senza raggiungere mai
il vertice. Ma cio' vale per tutte le velocita' iniziali?
Mi spiego meglio: nel caso limite v_i=0 e in assenza di attrito
il disco raggiungerebbe il vertice sotto la spinta della forza di gravita'.
Nel caso v_i diverso da zero e in assenza di attrito cosa succede?
Se la velocita' fosse abbastanza piccola il disco non raggiungerebbe
comunque il vertice?
C'e' forse una velocita' limite per cui il disco rimane per cosi'
dire in "orbita" all'interno del cono?
Spero di non aver frainteso il senso del post e ringrazio
anticipatamente per le eventuali risposte.
Sergio
serse
"Elio Fabri" <mc8...@mclink.it> ha scritto nel messaggio
news:d8nc6l$2oa3$3...@newsreader1.mclink.it...
> raggungerebbe *mai* il vertice.
> E solo in quest'ipotesi il calcolo si puo' fare in modo abbastazna
> semplice.
Scusate se mi introduco nella discussione.
Marco M.
> Cominciamo col dire che se non ci fosse l'attrito, la pallina non
> raggungerebbe *mai* il vertice.
Ammettiamo velocità iniziale = 0[m/s^2] la pallina cade anche senza
attrito!
> Supponiamo qundi che si tratti di un dischetto o qualcosa del genere,
> che scivola senza attrito sulla superficie del cono.
OK
> Se dici questo, vuol dire che non hai capito che cos'e' la forza
> centripeta (per tua consolazione, non sei affatto solo...).
Certo che l'ho capito credo di aver "solo" sbagliato i calcoli
Elio Fabri
> In assenza di attrito il disco si muoverebbe quindi
> all'interno del cono in modo circolare senza raggiungere mai
> il vertice.
sara' neppure un traiettoria chiusa.
> Mi spiego meglio: nel caso limite v_i=0 e in assenza di attrito il
> disco raggiungerebbe il vertice sotto la spinta della forza di
> gravita'.
Questo e' vero: qui sono stato impreciso.
Tutte le volte che la velocita' iniziale e' diretta lungo la
generatrice, il dischetto arrivera' nel vertice.
In ogni altro caso no.
> Se la velocita' fosse abbastanza piccola il disco non raggiungerebbe
> comunque il vertice?
Naturalmente stiamo supponendo il dischetto "infinitesimo"...
La riposta e' si': nonlo raggiungerebbe mai, perche' nel vertice,
qualunque sia la velocita', il momento angolare sarebbe nullo, mentre
all'inizio non lo era.
> C'e' forse una velocita' limite per cui il disco rimane per cosi' dire
> in "orbita" all'interno del cono?
Nessuna velocita' limite, e come ho detto sopra non ci si deve
aspettare una traiettoria chiusa, salvo in casi eccezionali.
Marco M. ha scritto:
> Ammettiamo velocità iniziale = 0[m/s^2] la pallina cade anche senza
> attrito!
OK: vedi sopra.
> Certo che l'ho capito credo di aver "solo" sbagliato i calcoli
Naaa...
Io ho detto quello che ho detto perche' tu avevi detto
> Credo che la forza che spinge la pallina verso il basso sia la
> somma(vettoriale) della forza peso e della forza centripeta.
E questo e' proprio sbagliato: non e' questione di calcoli, ma di
concetti.
Marco M.
forza peso(F1) nelle due componenti (perpendicolare(F2) e
parallela(F3) alla sezione del cono). Ho anche scomposto la forza di
reazione del "piano": una uguale a F3 ma di verso opposto e F5 con un
angolo di 180=B0. La forza che tira verso il vertice =E8:
Fr =3D F3-F4
Fr =3D F3-(-F2-F5)
Fr =3D F3+F2+F5
Fr =3D F1+F5
Questo era il mio calcolo sbagliato.