Modello dissipativo quantistico e circuiti RLC
Davide Venturelli
guardando un esercizio di mec. quantistica II, per introdurre il
concetto di coerenza si chiede di mostrare l'equivalenza tra un
circuito RLC diffipativo e un circuito LC non-dissipativo accoppiato
ad una line di trasmissione.
Il testo comincia con lo scrivere l'hamiltoniana del circuito LC.
E già qui sono un po' scombussolato... qualcuno mi consiglia un testo
o un link dove guardare per bene l'applicazione della mecc.
lagrangiana e hamiltoniana ai circuiti?
In ogni caso.. l'hamiltoniana è
H= eQ^2/2C + TERM -eQV
e il termine "cinetico" TERM dell'hamiltoniana per l'esercizio è
1/2L (hbar/e)^2 phi^2
dove L è l'induttanza, phi la differenza di fase elettromagnetica ai
bordi dell'induttanza, nonchè la variabile canonica coniugata a Q.
E qui sono ancora più scombussolato! perchè? se una spiegazione è
lunga.. dove posso trovare un esempio simile?
Cioè... come fa un flusso magnetico a diventare una fase ai bordi?
L'esercizio è molto più lungo e sicuramente vi chiederò altri
chiarimenti se potrete aiutarmi. Ma per ora è il caso che chiarisca
queste basi :)
Dopo parla di linea di trasmissione semi-infinita che può essere
descritta da una "teoria dei campi a 1+1 dimensione"... e anche qua
sono un po' nel pallone anche se più o meno ho capito l'idea.
Il prof mi ha fortemente consigliato di capire la teoria dietro a
questo esercizio e se avete un qualche riferimento bibliografico
sull'argomento vi sarò grato!
Davide (2 anno di fisica)
Valter Moretti
Davide Venturelli wrote:
> Ciao,
> guardando un esercizio di mec. quantistica II, per introdurre il
> concetto di coerenza si chiede di mostrare l'equivalenza tra un
> circuito RLC diffipativo e un circuito LC non-dissipativo accoppiato
> ad una line di trasmissione.
> Il testo comincia con lo scrivere l'hamiltoniana del circuito LC.
> E già qui sono un po' scombussolato... qualcuno mi consiglia un testo
> o un link dove guardare per bene l'applicazione della mecc.
> lagrangiana e hamiltoniana ai circuiti?
(cut)
Ciao, non conosco testi che si occupino specificamente della
questione, conosco solo una parte del Goldstein
"Classical Mechanics" edizione in inglese sezione 2-5, dove c'e'
un'interessante discussione su queste cose.
Dacci un'occhiata se non lo hai gia' fatto.
>
> L'esercizio è molto più lungo e sicuramente vi chiederò altri
> chiarimenti se potrete aiutarmi. Ma per ora è il caso che chiarisca
> queste basi :)
> Dopo parla di linea di trasmissione semi-infinita che può essere
> descritta da una "teoria dei campi a 1+1 dimensione"...
interessante... pero' penso che si passi al caso "continuo"
per avere una teoria dei campi...
Ciao Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Elio Fabri
> guardando un esercizio di mec. quantistica II, per introdurre il
> concetto di coerenza si chiede di mostrare l'equivalenza tra un
> circuito RLC diffipativo e un circuito LC non-dissipativo accoppiato
> ad una line di trasmissione.
Tu dici di essere al secondo anno. In quale c... di universita' si
pretende di far capire queste cose a studenti del secondo anno?
(Sempre ammesso che le abbiano capite i docenti, perche' quando leggo
certe cose mi vengono sacrosanti dubbi...)
> Il testo comincia con lo scrivere l'hamiltoniana del circuito LC.
> E già qui sono un po' scombussolato... qualcuno mi consiglia un testo
> o un link dove guardare per bene l'applicazione della mecc.
> lagrangiana e hamiltoniana ai circuiti?
> In ogni caso.. l'hamiltoniana è
>
> H= eQ^2/2C + TERM -eQV
>
> e il termine "cinetico" TERM dell'hamiltoniana per l'esercizio è
>
> 1/2L (hbar/e)^2 phi^2
>
> dove L è l'induttanza, phi la differenza di fase elettromagnetica ai
> bordi dell'induttanza, nonchè la variabile canonica coniugata a Q.
> E qui sono ancora più scombussolato! perchè? se una spiegazione è
> lunga.. dove posso trovare un esempio simile?
> Cioè... come fa un flusso magnetico a diventare una fase ai bordi?
Cose 'e pazzi :-<
Per cominciare: una lagrangiana scritta
La = (1/2) LI^2 - Q^2/2C
la capiresti? (ho scritto "La" per la lagrangiana, per distinguerla
dall'induttanza).
Q e' la coordinata, I la sua derivata rispetto al tempo.
DLa/DI = LI, DL/DQ = -Q/C,
per cui l'eq. di Lagrange e'
L dI/dt = -Q/C.
Ora calcola il momento coniugato: P = DLa/DI = LI = Phi (flusso
concatenato con l'induttanza.
Quindi
H = Phi*I - La = Phi^2/2L + Q^2/2C
(non ho capito che ci facciano le "e", ne' il termine eQV).
E fin qui era facile...
Ora la fase: si tratta della fase di Aharonov-Bohm.
Il problema e' che non ho idea di come ti sia stata presentata la
m.q., per cui non so come spiegarti la cosa.
Potremmo anche accontentarci di una definizione formale:
phi = (e/hbar) Phi
e quindi usare phi in luogo di Phi in H.
Ti dico in piu' solo questo: se hai un campo magnetico e una
particella che ci viaggia attraverso, la differenza di fase della sua
funzione d'onda su due possibili percorsi tra gli stessi punti e'
appunto la phi di cui sopra, se Phi e' il flusso del campo concatenato
con la linea chiusa formata dai due percorsi.
Ma fino a questo punto non si capisce perche' tirare in ballo phi...
> ...
> Dopo parla di linea di trasmissione semi-infinita che può essere
> descritta da una "teoria dei campi a 1+1 dimensione"... e anche qua
> sono un po' nel pallone anche se più o meno ho capito l'idea.
Va bene, vuole dire soltanto che tanto V (diff. di potenziale) quanto
I (corrente) sono funzioni di due variabili: x e t. E che soddisfano
un'equazione delle onde:
D^2 V/Dx^2 = 1/c^2 D^2 V/Dt^2 (nel vuoto).
Poi dovresti dimostrare che una linea semi-infinita equivale,
all'estremo finito, a una resistenza pari alla sua impedenza
caratteristica...
> Il prof mi ha fortemente consigliato di capire la teoria dietro a
> questo esercizio e se avete un qualche riferimento bibliografico
> sull'argomento vi sarò grato!
I casi sono due: o il prof restituisce lo stipendio, o *spiega lui*
tutto quello che occorre. E' pagato per questo, mi pare!
P.S. Mi farebbe molto piacere se leggesse quanto ho scritto, e ancor
di piu' se avesse voglia di replicare.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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F
Davide Venturelli
Elio Fabri <mc8...@mclink.it> wrote in message news:<cd41jh$19m0$1...@newsreader2.mclink.it>...
> Sono trasecolato...
> Tu dici di essere al secondo anno. In quale c... di universita' si
> pretende di far capire queste cose a studenti del secondo anno?
> (Sempre ammesso che le abbiano capite i docenti, perche' quando leggo
> certe cose mi vengono sacrosanti dubbi...)
beh non ho ben spiegato la storia.. è un po' complicata. In ogni caso
ho studiato a grenoble quest'anno e se vuoi un parere la formazione
funziona molto male. Mentre per quel che riguarda le possibilità di
ricerca, di borse di studio e di stage anche a livello laureando è un
ambiente fantastico, la formazione degli studenti è veramente uno
schifo se paragonata all'organizzazione e all'attenzione che ho
ricevuto il primo anno a Modena.
Solo qualche esempio: i corsi sono divisi in lezioni ed esercizi,
assegnati a due persone diverse e spesso non coordinate. E' capitato
più volte che per motivi "di segreteria" dovessimo fare gli esercizi
prima del corso. Senza contare che gli esami sono tutti in una
settimana, anche due-tre al giorno.
Non ci sono orali, in nome "dell'uguaglianza degli studenti".
La mia situazione è un po' diversa perchè non ho potuto presenziare
all'esame di meccanica quantistica e il prof gentilmente mi ha fatto
un orale, ma dato che l'orale non è valido in francia devo formalmente
anche fare uno scritto e allora dicendomi "non tanto per darti un
voto, ma per farti apprendere della fisica interessante" mi ha dato
questo esercizione da fare a casa entro questi giorni.
> (non ho capito che ci facciano le "e", ne' il termine eQV).
colpa mia che non sono stato chiaro.
Il circuito è attaccato ad una batteria che forza una tensione V
dipendente dal tempo.
> Potremmo anche accontentarci di una definizione formale:
>
> phi = (e/hbar) Phi
>
> e quindi usare phi in luogo di Phi in H.
è esattamente quello che ha fatto lui.
Non mi chiede di dimostrarlo, posso benissimo fare il compito senza
sapere che ci sta dietro, però è frustrante non capire e volevo
saperne di più.
> Ti dico in piu' solo questo: se hai un campo magnetico e una
> particella che ci viaggia attraverso, la differenza di fase della sua
> funzione d'onda su due possibili percorsi tra gli stessi punti e'
> appunto la phi di cui sopra, se Phi e' il flusso del campo concatenato
> con la linea chiusa formata dai due percorsi.
Ok, infatti in questi giorni mi sono imbattuto in questi esperimenti,
dato che ho visto che buona parte del compito dopo ha forte analogie
con la teoria che sta dietro gli SQUID e l'effetto Josephson (infatti
è su quello che lavora il prof).
> Poi dovresti dimostrare che una linea semi-infinita equivale,
> all'estremo finito, a una resistenza pari alla sua impedenza
> caratteristica...
mhhh... sono proprio a questo punto.
Ho trovato le equazioni d'onda della linea e ora mi dice di
concentrarmi su q e di capire cosa sia la quantità e/C dq/dx in (x=0)
e di dimostrare che si può scrivere in funzione di q(x=0) e di q2(x=0)
dove q2 è l'onda progressiva associata a q(x,t) che si propaga
dall'infinito verso x=0.
Sono un po' confuso ma penso che in effetti mi chieda in altre parole
di dimostrare quello che dici.
> I casi sono due: o il prof restituisce lo stipendio, o *spiega lui*
> tutto quello che occorre. E' pagato per questo, mi pare!
No, beh, non voglio male a questo professore :)
In ogni caso è vero che nessuno mi ha dato le basi per farlo, ma ci
sono abbastanza abituato. E' che veramente qua se ne fregano se la
gente capisce le cose. Pensa che l'ho impressionato *perchè avevo
imparato a memoria* qualche dimostrazione teorica, cosa che sembra
assurda per uno studente francese, dato che non ci sono orali.
..ne approfitto per copiarvi la parte finale, su cui mi metterò a
lavorare tra oggi e domani, così faccio capire un po' meglio quel che
devo fare.
Eppoi ogni aiuto è apprezzato :)
(traduzione dal francese)
"Le energie e gli stati propri del circuito LC non-dissipativo in
presenza di una tensione V sono
E_n = hbar*omega*(n+1/2)
psi_n(Q) = psi_n(x) = H_n exp(-x^2/2)
dove H_n sono i polinomi di Hermite e x = sqrt(hbar)/e*[(C/L)^1/4]*q.
..
..(domande standard)
..
Supponiamo che il potenziale V(t) sia una funzione classica aleatoria
e gli diamo una rappresentazione di Fourier V(t)=integr dw/2pi V(w).
Vogliamo trattare l'effetto della perturbazione -eQV(t) in maniera
perturbativa.
Utilizzano la regola d'oro di Fermi calcolate il tasso di transizione
tra lo stato |1> e lo stato |0> esprimendo il risultato nei termini di
V(omega).
E' differente dal tasso di transizione dallo stato |0> a |1> ?
"
(notare che nel corso non abbiamo fatto ne la teoria delle
perturbazioni (il che è un po' uno scandalo a mio avviso, ma in
francia è programma del 4 anno. Io sono al 3 anno qua in francia) ne
la regola d'oro di fermi .. che comunque ho visto è spiegata un po' in
giro e dovrei farcela)
"
Concludere che non è possibile introdurre la dissipazione per via di
un potenziale classico. Però se consideriamo il potenziale come una
sovrapposizione di fotoni quantistica
V(t) = integr dw/2pi (A*(w)a+ exp(-iwt) + A(w) a exp(iwt)
dove a+ e a sono gli operatori di distruzione e annichilazione dei
fotoni, il tasso di transizione da 0 a 1 non è lo stesso del tasso da
1 a 0. Quindi diventa possibile descrivere la dissipazione del
circuito LC quantistico per via di un rumore quantistico aleatorio in
tensione.
"
...ammetto di non aver ancora iniziato a guardare la teoria che sta
dietro a ste cose, però sono un po' spaventato dall'ultima frase che
proprio non ho capito.
Senza fare i calcoli, se qualcuno mi consiglia un po' cosa guardare,
risparmierò sicuramente molto tempo.
Grazie ancora,
Davide
Elio Fabri
> beh non ho ben spiegato la storia.. è un po' complicata. In ogni caso
> ho studiato a grenoble quest'anno e se vuoi un parere la formazione
> funziona molto male.
Lo dico sempre che di quello che dicono gli studenti in materia
didattica non c'e' da fidarsi... ;-)
Comunque ora che ti sei spiegato meglio non e' che mi trovi a cambiare
giudizio...
Un sistema del genere potra' (forse) funzionare col top 5% degli
studenti; e gli altri?
> mhhh... sono proprio a questo punto.
> Ho trovato le equazioni d'onda della linea e ora mi dice
> ...
> Sono un po' confuso ma penso che in effetti mi chieda in altre parole
> di dimostrare quello che dici.
Sto pensando se conosco un testo che parli in modo semplice di linee
di trasmissione, ma il fatto e' che e' roba da ingegneri.
Forse se hai contatti con qualche studente d'ingegneria
doversti chiedere a loro.
Parole chiave: "linee di trasmissione" e "impedenza caratteristica". :)
> ...
> Concludere che non è possibile introdurre la dissipazione per via di
> un potenziale classico.
Questo e' ovvio: regola d'oro appunto, e bilancio dettagliato.
Hai mai studiato il lavoro di Einstein del 1917?
E' un lavoro formidabile: dedusse le cose che stai appunto cercando di
capire, senza avere in mano neppure un stravvio di m.q.; tanto meno la
toeria dei campi...
> Però se consideriamo il potenziale come una
> sovrapposizione di fotoni quantistica
> ...
> il tasso di transizione da 0 a 1 non è lo stesso del tasso da
> 1 a 0.
Molto semplice (quando uno sa tutto quello che serve :-) ).
Sia |0,n> uno stato in cui il circuito e' nello stato fondamentale, e
il campo (potenziale esterno contiene n fotoni, e analogamente per
|1,n>.
Allora l'emissione di un fotone e' una transizione da |1,n> a |0,n+1>,
l'assorbimento una transizione da |0,n> a |1,n-1>.
L'elemento di matrice <0,n+1|a+|1,n> va come sqrt(n+1), invece
<1,n-1|a|0,n> va come sqrt(n). Percio' la prob. di trans. da 0 a 1
(assorb.) e' minore di quella da 1 a 0 (emissione), a parita' di
fotoni presenti.
La differenza e' l'emissione spontanea.