Teorema di Mozzi - Appello accorato

[ladyk...@excite.it]

Ho meccanica razionale giovedě 21: c'č un'anima pia che mi spiega la
dimostrazione del Teorema di Mozzi??? Vi pregoooo!!! LadyKelvin

[Andrea]

<ladyk...@excite.it> wrote in message a4m6s6$tdo$1...@gossip.excite.it...
> Ho meccanica razionale giovedì 21: c'è un'anima pia che mi spiega la

> dimostrazione del Teorema di Mozzi??? Vi pregoooo!!! LadyKelvin

Cosa c'è da dimostrare? Se il programma di M.R. è svolto per bene, si
fa prima l'analisi vettoriale e poi la cinematica, geometria delle
masse,ecc.
Per cui hai già dimostrato il teorema dell'asse centrale di un campo
vettoriale. Allora osserva la formula dei moti rigidi:
V_P=V_O+(P-O)^W
( dove con W indico la velocità angolare, che non dipende dal punto per
il moto rigido, e con ^ il prodotto vettoriale).
La formula di variazione del momento di un campo vettoriale, al variare del
polo P, era:
M_P=M_O+(P-O)^R
con R che non dipende dal punto. Questa formula definisce un altro campo
vettoriale, il campo vettoriale dei momenti del campo di partenza rispetto
ai punti di |R^3. Vedi che questo nuovo campo ha esattamente la stessa
dipendenza da P, che ha il campo delle velocità di un moto rigido. Allora,
con gli stessi passaggi con cui dimostravi che, nel caso R=\=0, esiste ed è
unica la retta di |R^3 lungo la quale |M_P| è minimo <=> M_P // R, puoi
dimostrare che se W=\=0, esiste ed è unica la retta di |R^3 lungo la quale
|V_P| è minimo <=> V_P // W.
Se invece non ti è chiara la dimostrazione del teorema dell'asse centrale
di un campo vettoriale, riscrivi e te la riporto in breve.
Ciao,

Andrea

[ladyk...@excite.it]

Ciao Andrea, sei stato davvero molto gentile ad aiutarmi! I tuoi
passaggi non fanno una piega, ma temo che il mio problema sia proprio
sul teorema dell'asse centrale! ps.Hai ragione a dire che se avessi
studiato un po' meglio di problemi non ne avrei ma...ho solo 15 giorni
per preparare questo esame! Grazie ancora. LadyKelvin

[Gabriele]

On Sun, 17 Feb 2002 09:39:32 GMT, "Andrea"
<yhj1j49s...@sneakemail.com> wrote:

>Per cui hai già dimostrato il teorema dell'asse centrale di un campo
>vettoriale. Allora osserva la formula dei moti rigidi:
>V_P=V_O+(P-O)^W
>( dove con W indico la velocità angolare, che non dipende dal punto per
>il moto rigido, e con ^ il prodotto vettoriale).
>La formula di variazione del momento di un campo vettoriale, al variare del
>polo P, era:
>M_P=M_O+(P-O)^R

Non so come voi abbiate definito il prodotto vettoriale, ma usando la
definizione "all'italiana" c'è un segno che non quadra ;-). Le due
formule sarebbero:

V_P=V_O+W^(P-O)=V_O+(O-P)^W
M_P=M_O+(O-P)^R

Però probabilmente avrete usato il prodotto vettoriale "all'inglese"
dove c'è un -1 traballante...

Ciao e 73-51 de Tartaruga .

..oO-=> TARTARUGA (* Gabriele *) <=-Oo.

E-Mail: ru...@libero.it

Packet CB: http://www.geocities.com/ita490/
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(C) Tartaruga 1999 ;-)

[Andrea]

<ladyk...@excite.it> wrote in message a4ocna$m0s$1...@gossip.excite.it...

Io non parlavo di come hai studiato, ma di come il tuo professore ha
organizzato il corso. Cioè volevo dirti che se, come credo, il tuo prof ha
fatto le cose per bene spiegando prima i teoremi sui campi vettoriali che
poi userai trecento volte dopo, allora potevi risolvere i tuoi dubbi facendo
un collegamento che ti era sfuggito.
Andiamo avanti:
Teorema dell'asse centrale (caso discreto, il caso continuo è simile)

Dato l'insieme I costituito da n punti di E^3 ( spazio affine euclideo
di dimensione 3), diciamo campo vettoriale una qualsiasi funzione F(P)
da I ad R^3. Sia per ipotesi R = Sum(i = 1..n)[F(P_i)] =\= 0, allora
esiste unica la retta A costituita da tutti e soli i punti P di E^3 rispetto
ai quali il momento risultante è parallelo ad R.

Dim.: Cerco i punti P tali che M_P // R <=> M_P = k_P*R. Allora
scrivo la formula di variazione del momento risultante col polo, per un
punto siffatto: ho

1) M_O+(P-O)^R=k_P*R

Moltiplico vettorialmente primo e secondo membro per R ed ottengo

2) R^M_O+R^[(P-O)^R]=0

da cui

3) R^M_O+[R· R]*(P-O)-[(P-O)· R]*R=0

Scrivo (P-O) = (P-O)_o+(P-O)_p, componenti rispettivamente
ortogonale e parallela ad O. Allora semplici passaggi forniscono

4) (P-O)_o = R^M_O/|R|^2

Posto (P-O)_o = (P1_O), (P1-O) è una soluzione. Qualsiasi altra
ha componente ortogonale ad R pari a (P1-O), e componente parallela
qualunque, poichè sostituendo in 1) il prodotto (P-O)_p^R è sempre 0.
Per cui tutte e sole le soluzioni di 1) hanno espressione

(P-O) = (P1-O)+t*R

che è l'equazione parametrica di una retta per P1 parallela ad R, c.v.d.

Nota: il momento risultante rispetto ad un qualsiasi punto di A è, per
quanto detto, pari a k_P*R. E' interessante notare che
M_P· R = k_P*R· R = M_O· R => k_P = M_O· R/|R|^2. Dunque k_P
non dipende dal punto P su A, in altre parole il momento rispetto a
qualsiasi punto di A è costante. Questo corrisponde alla proprietà
dell'asse di Mozzi per cui la velocità dei punti dell'asse, oltre ad essere
parallela ad W, è pure costante e pari alla minima velocità dell'atto di
moto,pari a 0 se e solo se è nullo l'ìnvariante cinematico.

Dato che la precedente dimostrazione assoluta (cioè senza riferimenti ad
un sistema di coordinate), pur semplice, è tutta farina del mio sacco,
correzioni di eventuali errori che mi siano sfuggiti sono particolarmente
gradite.
Ciao a tutti,

Andrea