semi-cono varieta' differenziabile ?
cianfa72
definizione di varieta' differenziabile alla superficie di un semi-
cono (cono ad una sola falda con vertice).
In sostanza e' possibile realizzare un omeomorfismo (globale) tra il
semi-cono ed un disco del piano euclideo proiettando ad esempio da un
punto situato sul prolungamento dell'asse del semi-cono stesso.
L'atlante ottenuto e' costituito da una sola carta. Ovviamente se
prendiamo un altro atlante (costituito anch'esso da una sola carta) la
funzione di transizione tra le due carte non sara' differenziabile di
ordine qualsiasi. A partire da un solo atlante siamo tuttavia in grado
di dotare la superficie di una struttura di varieta' differenziabile
di ordine qualsiasi.
Se il ragionamento è corretto non mi è chiaro pero' il nesso con il
fatto (intuitivo ?) che sembra non esistere, quando pensato immerso in
E3, piano tangente nel vertice.
grazie
Elio Fabri
> Tempo fa si discusse su un forum circa l'applicabilita' della
> definizione di varieta' differenziabile alla superficie di un semi-
> cono (cono ad una sola falda con vertice).
fa (anni?) o in questo NG o in it.scienza.matematica.
E' molto probabie che oltre a me abbia partecipato alla discussione
Valter Moretti.
Forse potresti riuscire a ritrovare quel thread, con opportune chiavi
di ricerca...
> In sostanza e' possibile realizzare un omeomorfismo (globale) tra il
> semi-cono ed un disco del piano euclideo proiettando ad esempio da un
> punto situato sul prolungamento dell'asse del semi-cono stesso.
> L'atlante ottenuto e' costituito da una sola carta. Ovviamente se
> prendiamo un altro atlante (costituito anch'esso da una sola carta) la
> funzione di transizione tra le due carte non sara' differenziabile di
> ordine qualsiasi. A partire da un solo atlante siamo tuttavia in grado
> di dotare la superficie di una struttura di varieta' differenziabile
> di ordine qualsiasi.
Fin qui mi torna.
O meglio, mi tornava finche' non sono andato a cercare in wikipedia,
per maggior sicurezza.
Cercando "differential structure" si trova una pagina che tratta
l'argomento, e che porta pero' la seguente frase:
"There is only one differential structure of any manifold of dimension
smaller than 4."
Sembrerebbe quindi che comunque si realizzi l'omeomorfismo si ottenga
la stessa struttura differenziale, mentre io avrei detto di no.
Dato che la questione e' puramente matematica, temo che occorra
chiedere aiuto a qualche matematico in ism.
Io ho smesso da un po' di seguire quel NG; se vuoi provare, sarei
curioso di sapere che risposte ti arrivano.
> Se il ragionamento è corretto non mi è chiaro pero' il nesso con il
> fatto (intuitivo ?) che sembra non esistere, quando pensato immerso in
> E3, piano tangente nel vertice.
Penso che questo dipenda solo dal fatto che la struttura differenziale
di E3 non puo' essere "ereditata" dal semicono, perche' la condizione
sulle coordinate di E3 che definisce il semicono non e'
differenziabile.
Infatti l'eq. del semicono sara' qualcosa come z = sqrt(x^2+y^2).
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.
cianfa72
(it.scienza.matematica ?) nel topic "varieta' topologiche e
differenziabili" del 2003. Ho provato a riproporre anche li una
domanda in merito....
Non mi e' chiaro pero' quanto dicevi sul fatto che la non
differenziabilita' delle coordinate di E3 nel vertice prioibisce di
ereditare sul semicono la struttura diff. di E3
Elio Fabri
> grazie Elio....ho ritrovato la questione in ism
> (it.scienza.matematica ?) nel topic "varieta' topologiche e
> differenziabili" del 2003. Ho provato a riproporre anche li una
> domanda in merito....
trovata perfino peggiorata rispetto a quando ho smesso di seguirlo,
forse un anno fa.
Mi sembra che gran parte dei matematici "seri" non scrivano piu', per
cui non so se riuscirari ad avere risposta. Vedremo...
La cosa piu' curiosa e' che l'unico thread attivo su una questione
matematica, anche se banale, e' nato da una domanda, posta mi pare da
"cometa luminosa", che scrive anche su questo NG, e relativa a
spiegazioni che chiede su qualcosa che ha trovato nei miei appunti di
RG.
Mi domando perche' non l'abbia chiesta a me :)
> Non mi e' chiaro pero' quanto dicevi sul fatto che la non
> differenziabilita' delle coordinate di E3 nel vertice prioibisce di
> ereditare sul semicono la struttura diff. di E3
A essere sincero non te la so spiegare in modo preciso: l'ho detta "a
fiuto" :-)