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Commutatore di H con operatore (1/4)[(1/H)PQ + QP(1/H)]
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Alberto Rasà
Feb 25, 2023, 6:55:04 AM2/25/23
to
Definiti, per un sistema quantistico monodimensionale, libero, di massa m:
Q = operatore posizione
P = operatore quantità di moto
H = P^2/2m
T = (1/4)[(1/H)PQ + QP(1/H)]
voglio calcolare, a mero scopo di esercizio, il commutatore
[H, T] = HT - TH.
Il mio risultato è -iħ (se il simbolo non si leggesse il risultato è - i hbar).
I miei calcoli, che vi chiedo di controllare, sono i seguenti:
https://ibb.co/8rs5VnV
--
Wakinian Tanka
Q = operatore posizione
P = operatore quantità di moto
H = P^2/2m
T = (1/4)[(1/H)PQ + QP(1/H)]
voglio calcolare, a mero scopo di esercizio, il commutatore
[H, T] = HT - TH.
Il mio risultato è -iħ (se il simbolo non si leggesse il risultato è - i hbar).
I miei calcoli, che vi chiedo di controllare, sono i seguenti:
https://ibb.co/8rs5VnV
--
Wakinian Tanka
Elio Fabri
Feb 25, 2023, 8:35:03 AM2/25/23
to
Alberto Rasà ha scritto:
> ...
scritti a meno.
Non ho la minima intenzione di controllarli.
Piuttosto, seguendo il proverbio cinese, preferisco insegnarti a
pescare (ossia a fare il conto in due battute).
Intanto si buttano le costanti inutili.
Poi devi calcolare
[P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q] = (P/H) (-2i hbar) P = -2i hbar.
L'altro pezzo si fa allo stesso modo.
Ho usato
[Q,f(P)] = i hbar df/dP.
Nel tuo risultato ti sei perso il 2m a dividere.
--
Elio Fabri
> ...
> voglio calcolare, a mero scopo di esercizio, il commutatore
> [H, T] = HT - TH.
>
I tuoi conti sono di una complicazione stratosferica e per di più
> [H, T] = HT - TH.
>
scritti a meno.
Non ho la minima intenzione di controllarli.
Piuttosto, seguendo il proverbio cinese, preferisco insegnarti a
pescare (ossia a fare il conto in due battute).
Intanto si buttano le costanti inutili.
Poi devi calcolare
[P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q] = (P/H) (-2i hbar) P = -2i hbar.
L'altro pezzo si fa allo stesso modo.
Ho usato
[Q,f(P)] = i hbar df/dP.
Nel tuo risultato ti sei perso il 2m a dividere.
--
Elio Fabri
JTS
Feb 25, 2023, 12:50:03 PM2/25/23
to
Elio Fabri schrieb am Samstag, 25. Februar 2023 um 14:35:03 UTC+1:
> e per di più
> scritti a m(a)no.
> e per di più
Aggiungo la mia a quella di Elio. Hai un sacco di possibilità.
- TeX/LaTeX (con vari ausilii)
- i word processor (Word adesso scrive le equazioni bene con qualche difetto, LibreOffice lo ho usato da poco e mi è parso migliorato)
- Markdown con estensione per LaTeX, esportabile in pdf (vari editor, ad esempio Zettlr)
- TeXmacs (quello che uso io, per me il migliore)
e ce ne sono altri che non ho in mente
Scrivendo a mano, migliora la leggibilità (anche io vengo respinto dal tuo foglio scritto a mano)
- scrivere in maniera regolare, senza correzioni e rimandi con frecce
- rispettare margini più larghi nel foglio (almeno 2 cm sui lati e un po' di più in alto e in basso)
- usare un foglio senza quadri e senza buchi.
Le formule devono essere allineate bene. Se una formula è spezzata su due righe, la seconda riga deve rientrare rispetto alla prima.
Infine mi pare che il servizio che hai scelto permetta di vedere la pagina o troppo piccola o troppo grande. Ci sono servizi che mostrano le pagine di un documento in pdf in formato A4 in maniera comoda con un solo click.
Alberto Rasà
Feb 25, 2023, 5:50:04 PM2/25/23
to
Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 14:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
...
4T = (1/H)PQ + QP(1/H).
4(HT - TH) (i fattori 2m sopra e sotto si cancellano,
H(1/H) è 1, P(1/P^2) è 1/P)
= PQ + P(PQ)(1/P) - (1/P)(QP)P - QP = - ihbar + P(QP-ihbar)(1/P) - (1/P) (PQ+ihbar)P = -ihbar + PQ - ihbar - QP - ihbar = -4ihbar
=> (HT - TH) = - ihbar.
Ciao.
--
Wakinian Tanka
...
> Poi devi calcolare
> [P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q]
>
Questa non capisco da dove viene fuori.
> [P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q]
>
>
= (P/H) (-2i hbar) P = -2i hbar.
...
= (P/H) (-2i hbar) P = -2i hbar.
> Ho usato
> [Q,f(P)] = i hbar df/dP.
<
Come si dimostra?
> [Q,f(P)] = i hbar df/dP.
<
>
> Nel tuo risultato ti sei perso il 2m a dividere.
>
Perché?
> Nel tuo risultato ti sei perso il 2m a dividere.
>
4T = (1/H)PQ + QP(1/H).
4(HT - TH) (i fattori 2m sopra e sotto si cancellano,
H(1/H) è 1, P(1/P^2) è 1/P)
= PQ + P(PQ)(1/P) - (1/P)(QP)P - QP = - ihbar + P(QP-ihbar)(1/P) - (1/P) (PQ+ihbar)P = -ihbar + PQ - ihbar - QP - ihbar = -4ihbar
=> (HT - TH) = - ihbar.
Ciao.
--
Wakinian Tanka
Alberto Rasà
Feb 26, 2023, 2:20:05 AM2/26/23
to
Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 23:50:04 UTC+1 Alberto Rasà ha scritto:
> Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 14:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> ...
> > Poi devi calcolare
> > [P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q]
>
> Questa non capisco da dove viene fuori.
>
Nel senso che non capisco come si passa (immediatamente) da sinistra a destra.
> Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 14:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> ...
> > Poi devi calcolare
> > [P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q]
>
> Questa non capisco da dove viene fuori.
>
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Feb 26, 2023, 5:50:04 AM2/26/23
to
Il 26/02/23 03:23, Alberto Rasà ha scritto:
Il commutatore tra due qualsiasi funzioni di P è identicamente nullo.
Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
Giorgio
PS ti puo` essere utile dare un'occhiata alle formule per l'algebra dei
commutatori (cfr https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator identities
(ring thery). Si ricavano in modo banae e velocizzano i conti.
Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
Giorgio
PS ti puo` essere utile dare un'occhiata alle formule per l'algebra dei
commutatori (cfr https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator identities
(ring thery). Si ricavano in modo banae e velocizzano i conti.
Alberto Rasà
Feb 26, 2023, 3:05:04 PM2/26/23
to
Il giorno domenica 26 febbraio 2023 alle 11:50:04 UTC+1 Giorgio Pastore ha scritto:
...
(Comunque, a prescindere dal fatto che bisogna ricordarsi bene quella regola, "a me" non risultava immediato ;-) ).
>
Grazie.
Ciao.
--
Wakinian Tanka
...
> Il commutatore tra due qualsiasi funzioni di P è identicamente nullo.
> Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
> ( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
> segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
>
Grazie.
> Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
> ( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
> segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
>
(Comunque, a prescindere dal fatto che bisogna ricordarsi bene quella regola, "a me" non risultava immediato ;-) ).
>
> PS ti puo` essere utile dare un'occhiata alle formule per l'algebra dei
> commutatori (cfr https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator identities
> (ring thery). Si ricavano in modo banale e velocizzano i conti.
> PS ti puo` essere utile dare un'occhiata alle formule per l'algebra dei
> commutatori (cfr https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator identities
>
Grazie.
Ciao.
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Feb 27, 2023, 2:40:04 AM2/27/23
to
Il 26/02/23 19:54, Alberto Rasà ha scritto:
sull'algebra dei commutatori non è strano.
La regola non ha bisogno di essere ricordata a memoria. Basta sapere che
si deve andare a finire in qualcosa di affine alla regola di Leibnitz
per la derivata di un prodotto. Dopo di che ritrovare l'ordine giusto
tra i vari operatori è semplice;
[A,BC] = (per def) A BC - BC A
occorre trasformare questo commutatore nella somma di due commutatori.
Prevedibilmente occorre sottrarre e sommare lo stesso prodotto di 3
operatori in modo opportuno. Provando con BAC - BAC otteniamo:
ABC - BAC + BAC- BCA = [A,B]C + B[A,C]
ci siamo!
Giorgio
> Il giorno domenica 26 febbraio 2023 alle 11:50:04 UTC+1 Giorgio Pastore ha scritto:
> ...
>> Il commutatore tra due qualsiasi funzioni di P è identicamente nullo.
>> Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
>> ( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
>> segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
>>
> Grazie.
> (Comunque, a prescindere dal fatto che bisogna ricordarsi bene quella regola, "a me" non risultava immediato ;-) ).
Che possa non risultare immediato se non si sono fatti esercizi
> ...
>> Il commutatore tra due qualsiasi funzioni di P è identicamente nullo.
>> Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
>> ( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
>> segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
>>
> Grazie.
> (Comunque, a prescindere dal fatto che bisogna ricordarsi bene quella regola, "a me" non risultava immediato ;-) ).
sull'algebra dei commutatori non è strano.
La regola non ha bisogno di essere ricordata a memoria. Basta sapere che
si deve andare a finire in qualcosa di affine alla regola di Leibnitz
per la derivata di un prodotto. Dopo di che ritrovare l'ordine giusto
tra i vari operatori è semplice;
[A,BC] = (per def) A BC - BC A
occorre trasformare questo commutatore nella somma di due commutatori.
Prevedibilmente occorre sottrarre e sommare lo stesso prodotto di 3
operatori in modo opportuno. Provando con BAC - BAC otteniamo:
ABC - BAC + BAC- BCA = [A,B]C + B[A,C]
ci siamo!
Giorgio
Alberto Rasà
Feb 27, 2023, 10:20:05 AM2/27/23
to
Il giorno lunedì 27 febbraio 2023 alle 08:40:04 UTC+1 Giorgio Pastore ha scritto:
...
...
Provando con BAC - BAC otteniamo:
> ABC - BAC + BAC- BCA = [A,B]C + B[A,C]
>
Buon trucco. Grazie.
> ABC - BAC + BAC- BCA = [A,B]C + B[A,C]
>
--
Wakinian Tanka
Alberto Rasà
Mar 2, 2023, 8:45:04 AM3/2/23
to
Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 23:50:04 UTC+1 Alberto Rasà ha scritto:
> Il giorno sabato 25 febbraio 2023 alle 14:35:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
...
...
> > Ho usato
> > [Q,f(P)] = i hbar df/dP.
>
> Come si dimostra?
>
Trovato.
> > [Q,f(P)] = i hbar df/dP.
>
> Come si dimostra?
>
Si dimostra facilmente per induzione che:
[Q, P^n] = ihbar n P^{n-1}
Dopodiché basta scrivere F(P), che deve essere sviluppabile in serie di potenze, come:
F(P) = Somme_{n=0}^oo a_n P^n
ed applicare la linearità del commutatore:
[A, B+C] = [A, B] + [A, C]
[A, kB] = k [A, B]
e si può scrivere:
[Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1} = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar dF/dP.
--
Wakinian Tanka
Alberto Rasà
Mar 2, 2023, 12:00:03 PM3/2/23
to
Il giorno giovedì 2 marzo 2023 alle 14:45:04 UTC+1 Alberto Rasà ha scritto:
...
Corrige:
[Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = =Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1}
= ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar (d/dP) [Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = ihbar dF/dP.
--
Wakinian Tanka
...
> [Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] ihbar + ihbar
> Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1} = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar dF/dP.
>
Mi è sparito qualche segno di uguaglianza.
> Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1} = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar dF/dP.
>
Corrige:
[Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = =Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1}
= ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar (d/dP) [Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = ihbar dF/dP.
--
Wakinian Tanka
Alberto Rasà
Mar 3, 2023, 10:20:05 AM3/3/23
to
Il giorno giovedì 2 marzo 2023 alle 18:00:03 UTC+1 Alberto Rasà ha scritto:
...
...
> Corrige:
> [Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = =Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1}
> = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar (d/dP) [Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = ihbar dF/dP.
>
C'era un ihbar di troppo :-)
> [Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = =Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1}
> = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar (d/dP) [Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = ihbar dF/dP.
>
Corrige-2:
[Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] =
= ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP =
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