Emissione onde em da sfera carica in rigonfiamento

[Soviet_Mario]

premessa : non ho la più tenue idea se la mia domanda sia
facile, media, o inaffrontabile per me (non tanto da
rispondere, ma proprio nel capire la risposta).
Potrebbe anche essere formulata in modo incompleto o
improprio, ma non so rendermene conto.


Immaginiamo questo sistema : una distribuzione SFERICA
ESTESA (non "puntiforme", ma bella grossa, tipo una stella)
di elettroni, cava internamente (gli elettroni sono quindi
disposti ad es. UNIFORMEMENTE, sulla superficie di un
palloncino, isolante ? conduttore ? cambia ? non so)
INFINITAMENTE LASTICO.

Ora il palloncino interno viene gonfiato con una pompa il
cui flusso d'aria cresce come il tempo al cubo, in altre
parole il raggio della sfera dovrebbe aumentare linearmente
nel tempo, e la velocità di spostamento delle cariche essere
uniforme. Se ho già cannato qui, correggete la portata della
pompa, in modo da avere cariche che si allontanano a
velocità lineare.


Genera un'onda em ?
Che forma spaziale ha questa onda em ?
(mi riferisco a distanza entro alcune decine di raggi della
sfera, non a distanza infinita tale che la sfera sia
puntiforme ... ma può andare bene anche capire come sarebbe
l'onda che arriva lontano.
Ha una frequenza o copre una gamma di frequenze ?

P.S. la sfera non vibra, si espande sempre, indefinitamente,
a velocità cmq minore di un millesimo di C, diciamo, di modo
che l'onda generata non veda altre "complicazioni"
relativistiche (almeno nella mia visione naif :D)


Ogni barlume bene accetto.
Krassie



--
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

[Giorgio Bibbiani]

Il 14/05/2021 20:25, Soviet_Mario ha scritto:
...

> Immaginiamo questo sistema : una distribuzione SFERICA ESTESA (non "puntiforme", ma bella grossa, tipo una stella) di elettroni, cava
> internamente (gli elettroni sono quindi disposti ad es. UNIFORMEMENTE, sulla superficie di un palloncino, isolante ? conduttore ? cambia ?
> non so) INFINITAMENTE LASTICO.
>
> Ora il palloncino interno viene gonfiato con una pompa il cui flusso d'aria cresce come il tempo al cubo, in altre parole il raggio della
> sfera dovrebbe aumentare linearmente nel tempo, e la velocità di spostamento delle cariche essere uniforme. Se ho già cannato qui, correggete
> la portata della pompa, in modo da avere cariche che si allontanano a velocità lineare.
>
>
> Genera un'onda em ? Che forma spaziale ha questa onda em ?

Supponendo che all'inizio dell'espansione della sfera il campo
sia in tutto lo spazio quello elettrostatico generato dalla
distribuzione di carica totale Q a simmetria sferica, all'esterno della
sfera il campo elettrico iniziale è diretto radialmente (verso l'interno)
e a distanza r dal centro ha modulo |Q| / (4Pi eps_0 r^2), all'interno
della sfera è nullo, il campo magnetico è ovunque nullo.
Quando la sfera comincia a espandersi, a ogni istante di tempo il campo
esterno alla sfera rimane invariato, quello interno nullo, indipendentemente
dalla velocità di espansione della sfera, perché data la simmetria centrale
il campo mantiene la stessa simmetria quindi è ovunque diretto radialmente
alla sfera e ha modulo dipendente solo dalla distanza dal centro, allora
per la legge di Gauss il campo elettrico esterno sarà lo stesso già presente
prima dell'inizio dell'espansione, quello interno sarà nullo, e il campo
magnetico sarà ovunque nullo.
In sostanza, nella sua espansione, la sfera si limita a "mangiare" il campo
nella regione di spazio che va a ricoprire, lasciando invariato quello esterno,
quindi non si genera alcuna onda e.m..

Ciao

--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

[Daniele Fua]

Il 14/05/2021 21:50, Giorgio Bibbiani ha scritto:

>
snip

> In sostanza, nella sua espansione, la sfera si limita a "mangiare" il campo
> nella regione di spazio che va a ricoprire, lasciando invariato quello
> esterno,
> quindi non si genera alcuna onda e.m..
>
> Ciao
>

Interessante dimostrazione ma non ci credo! Direi che non puoi applicare
le equazioni di elettrostatica ad una situazione dinamica come se si
trattasse di una sequenza di fotogrammi.
Comunque attendo con grande interesse i commenti di chi ha il cervello
più sveglio di me...

Daniele Fuà

[Elio Fabri]

Daniele Fua ha scritto:

> Interessante dimostrazione ma non ci credo! Direi che non puoi
> applicare le equazioni di elettrostatica ad una situazione dinamica
> come se si trattasse di una sequenza di fotogrammi.

Primo: chi ti ha detto che le eq. che ha usato GB siano
"dell'elettrostatica"?

div D = rho (1)

è una delle eq. di Maxwell, quindi di validità generale,
anche se il tempo non ci figura, come non figura in

div B = 0. (2)

Secondo: spero tu convenga che se la sorgente ha *a ogni tempo*
simmetria sferica, lo stesso deve accadere per i campi generati, sia
elettrico sia magnetico.
Simmetria sferica significa invarianza per rotazioni: la distribuzione
spaziale dei campi a un dato istante deve restare invariata per
*qualsiasi rotazione*.

Ti sfido a trovare un campo vettoriale che sia invariante per
rotazioni (intendo - per eccesso di chiarezza - rotazioni di qualsiasi
angolo attorno a una qualsiasi retta per il centro della sfera) e che
non sia un campo radiale con la stessa intensità su tutti i punti di
una stessa sfera.

A questo punto il teorema di Gauss, stante la citata eq. di Maxwell
(1), ti dice che il campo elettrico fuori della superficie carica è
sempre Q/(4pi*eps0*r^2) e che il campo magnetico stante la (2) è
nullo.

Come vedi non ho fatto altro che ripetere quanto aveva scritto GB. Ho
solo aggiunto alcuni puntini sulle "i", ossia sul modo esatto in cui
debbono essere formulati gli argomenti di simmetria.

Nota finale: non è la prima volta (e non sarà l'ultima) che debbo
rilevare (questo lo scrivo per tucboro...) che nell'insegnamento della
fisica, *a qualunque livello*, gli argomenti di simmetria vengono
insegnati poco e male.
In varie occasioni ho cercato di fare quello che potevo, ma l'ambiente
è sordo :-(
Comunque ti segnalo questo, che ha solo 8 anni:

http://www.sagredo.eu/articoli/simmetria-q.pdf

(in particolare la sez. 10).
--
Elio Fabri

[Giorgio Bibbiani]

Il 16/05/2021 18:11, Daniele Fua ha scritto:
...

> Interessante dimostrazione ma non ci credo! Direi che non puoi applicare le equazioni di elettrostatica ad una situazione dinamica come se
> si trattasse di una sequenza di fotogrammi. Comunque attendo con grande interesse i commenti di chi ha il cervello più sveglio di me...

Non ho applicato equazioni solo dell'elettrostatica,
ma le generali equazioni di Maxwell, che valgono in
_elettrodinamica_ classica.
Sia Q la carica distribuita uniformemente sulla superficie
sferica S_e di centro C in espansione avente raggio R al tempo t,
considerando condizioni al contorno per cui al tempo iniziale
in cui S_e inizia a espandersi allora il campo sia in tutto lo spazio
quello elettrostatico generato dalla sola distribuzione di carica Q
(cioè tenda ad annullarsi all'oo), la legge di Gauss
in forma integrale dà su una superficie gaussiana S
che sia una sfera di raggio r centrata in C,
se q è la carica contenuta in S al dato tempo t:
int_{S} E dot ds = q / eps_0
dato che il campo E ha simmetria sferica rispetto
a C allora si ha al tempo t
|E| = |Q| / (4Pi eps_0 r^2) se r > R
|E| = 0 V/m se r < R,
analogamente per la legge di Gauss in forma integrale per
il campo magnetico si ottiene, sfruttando ancora la
simmetria sferica e la data condizione al contorno,
che B è costantemente nullo ovunque.

Equivalentemente si sarebbe potuta usare la condizione
di simmetria sferica per dimostrare immediatamente che
non si progaga un'onda e.m., dato che non possono esistere
onde e.m. a simmetria sferica dei campi E e B (analogamente
per le onde gravitazionali).

[Giorgio Pastore]

Il 14/05/21 21:50, Giorgio Bibbiani ha scritto:
.....

> Supponendo che all'inizio dell'espansione della sfera il campo
> sia in tutto lo spazio quello elettrostatico generato dalla
> distribuzione di carica totale Q a simmetria sferica, all'esterno della
> sfera il campo elettrico iniziale è diretto radialmente (verso l'interno)
> e a distanza r dal centro ha modulo |Q| / (4Pi eps_0 r^2), all'interno
> della sfera è nullo, il campo magnetico è ovunque nullo.
> Quando la sfera comincia a espandersi, a ogni istante di tempo il campo
> esterno alla sfera rimane invariato, quello interno nullo,
> indipendentemente

...
>... il campo elettrico esterno sarà lo stesso già

> presente
> prima dell'inizio dell'espansione, quello interno sarà nullo, e il campo
> magnetico sarà ovunque nullo.
> In sostanza, nella sua espansione, la sfera si limita a "mangiare" il campo
> nella regione di spazio che va a ricoprire, lasciando invariato quello
> esterno,
> quindi non si genera alcuna onda e.m..

Concordo sulla conclusione. Circa la dimostrazione forse occorrerebbe
spendere qualche parola in più sul campo magnetico. Una densità di
corrente c'è.

Giorgio

[Giorgio Bibbiani]

Il 16/05/2021 19:59, Giorgio Pastore ha scritto:
...

>> In sostanza, nella sua espansione, la sfera si limita a "mangiare" il campo nella regione di spazio che va a ricoprire, lasciando invariato
>> quello esterno, quindi non si genera alcuna onda e.m..
>
> Concordo sulla conclusione. Circa la dimostrazione forse occorrerebbe spendere qualche parola in più sul campo magnetico. Una densità di
> corrente c'è.

Sì, me n'ero accorto ma non l'ho scritto perché tanto
il risultato era già compreso nel modico prezzo dell'uso
della simmetria e della legge di Gauss per il campo
magnetico ;-).
Per simmetria tutte le grandezze vettoriali hanno la sola
componente radiale e nel seguito le rappresenterò solo con essa,
se R(t) è il raggio della sfera S di centro C in espansione
al tempo t, v(t) = dR(t)/dt la velocità di espansione,
Q la carica totale costante distribuita uniformemente su S,
la densità di carica nello spazio è in funzione del raggio r
(distanza da C) al tempo t

(1) rho(r, t) = Q / (4Pi r^2) DiracDelta(r - R(t))

la densità di corrente è

(2) J(r, t) = Q / (4Pi r^2) DiracDelta(r - R(t)) v(t)

lo spostamento elettrico è per la legge di Gauss

(3)
D(r, t) = Q / (4Pi r^2) se r > R(t)
D(r, t) = 0 C/m^2 se r < R(t),

la 4^a eq.e di Maxwell è

(4) rot(H) = J + @D/@t

dalla (3) si ottiene la corrente di spostamento

(5) @D/@t = @D/@R dR/dt = @D/@R v(t) = -Q / (4Pi r^2) DiracDelta(r - R(t)) v(t)

e dalla (4) allora rot(H) = 0, che assieme alla eq.e di Maxwell div(B) = 0
e alla condizione iniziale per cui B è nullo ovunque dà un campo magnetico
costantemente nullo ovunque.

Comunque, come scrivevo, il risultato per cui non si propagano onde e.m.
si poteva ottenere direttamente, dato che per simmetria sferica sia
D che B devono essere sempre radiali, si deduce che @D/@t deve
essere radiale e al difuori di S allora rot(H) deve essere
radiale, ma dato che rot(H) è perpendicolare a H allora H è nullo
e il campo è puramente elettrico.

[Giorgio Pastore]

Il 16/05/21 21:09, Elio Fabri ha scritto:
...

> Secondo: spero tu convenga che se la sorgente ha *a ogni tempo*
> simmetria sferica, lo stesso deve accadere per i campi generati, sia
> elettrico sia magnetico.

Per il campo elettrico ok. Per quello magnetico anche ok. Ma non vedo un
modo *elementare* per mostarre che una densità di corrente a simmetria
sferica debba generare un campo magnetico unicamente radiale e quindi
nullo. Mi sfugge qualcosa di ovvio?

[Giorgio Bibbiani]

_Se_ concordiamo che fissata la sorgente del campo
(densità di corrente) allora B sia determinato
in modo univoco, io penso che il seguente si
possa considerare un ragionamento "elementare".

Supponendo che la densità di corrente mantenga simmetria sferica,
allora B in ogni punto dello spazio deve essere diretto
radialmente rispetto al centro di simmetria C, infatti supponiamo che B
abbia in un punto P una componente trasversa rispetto alla direzione radiale,
allora se immaginiamo di ruotare la distribuzione di corrente intorno
all'asse che congiunge P con C di un angolo che non sia un multiplo intero
di un angolo giro, anche il campo in P deve ruotare dello stesso angolo,
ma la distribuzione di corrente che genera il campo è invariata dopo
la rotazione a causa della sua simmetria, e lo stesso deve accadere al campo,
che quindi non può avere componenti trasverse, in modo analogo si ottiene
che l'intensità di B dipende solo dalla distanza da C.

Nota: ovviamente non intendo _spiegarti_ questo ragionamento
da S.S.S.G., ma solo capire cosa non avrebbe di elementare...

[Soviet_Mario]

Il 16/05/21 21:13, Giorgio Bibbiani ha scritto:

intanto grazie per la risposta ...
(anche alle integrazioni di Elio)

>
> Equivalentemente si sarebbe potuta usare la condizione
> di simmetria sferica per dimostrare immediatamente che
> non si progaga un'onda e.m., dato che non possono esistere
> onde e.m. a simmetria sferica dei campi E e B (analogamente
> per le onde gravitazionali).

mi spiegheresti meglio questa conclusione che non mi risuta
ovvia ?

Non sono sicuro di averla capita, ma per come l'ho capita,
implicherebbe che distribuzioni di carica sferiche,
connesse da *QUALSIASI* legge di evoluzione temporale
(quindi ben oltre la velocità di propagazione lineare del
fronte, che a ben vedere è un moto lineare uniforme di
ciascun elettrone, ma anche MOTI ACCELERATI) non genererebbe
impulsi em.

È vero, è così ?

La ragione sono gli effetti di reciproca cancellazione o
qualcosa di più "profondo" ?

P.S. quando mi sono riferito all'analisi dei soli casi
statici non stavo obiettando che tu avessi usato
l'elettrostatica, ma solo facendo un'osservazione di un
metodo che avevo trovato "elegante".


>
> Ciao

[Soviet_Mario]

Il 17/05/21 18:02, Giorgio Pastore ha scritto:

anche io ci stavo rimuginando, ma in effetti non immagino
nessun campo magnetico a simmetria sferica .... o meglio,
salvo invocare un MONOPOLO magnetico isolato di qualche
natura ...

P.S. non avevo già in mente a priori di arrivare a parare a
questo, lo giuro, è stato il penultimo post di Giorgio
Bibbiani a spingermici !

Che campo genererebbe un monopolo magnetico ?
Non sarebbe chiuso, vero ? E quindi linee radiali andrebbero
pure bene .... mboh

[Giorgio Bibbiani]

Il 17/05/2021 20:22, Soviet_Mario ha scritto:
...

>> Equivalentemente si sarebbe potuta usare la condizione di simmetria sferica per dimostrare immediatamente che non si progaga un'onda e.m.,
>> dato che non possono esistere onde e.m. a simmetria sferica dei campi E e B (analogamente per le onde gravitazionali).
>
> mi spiegheresti meglio questa conclusione che non mi risuta ovvia ?

L'ho scritto un po' più in dettaglio nell'ultimo paragrafo
del mio messaggio alle h 7.34 di oggi.

> Non sono sicuro di averla capita, ma per come l'ho capita, implicherebbe che distribuzioni di carica sferiche, connesse da *QUALSIASI* legge
> di evoluzione temporale (quindi ben oltre la velocità di propagazione lineare del fronte, che a ben vedere è un moto lineare uniforme di
> ciascun elettrone, ma anche MOTI ACCELERATI) non genererebbe impulsi em.
>
> È vero, è così ?

Sì, è così.

> La ragione sono gli effetti di reciproca cancellazione o qualcosa di più "profondo" ?

Puoi vedere la cosa in entrambi i modi:
- ogni elettrone accelerato emette radiazione,
per sovrapposizione l'effetto totale è nullo
nel limite in cui si può considerare la
distribuzione di carica continua e uniforme
sulla sfera
- è impossibile che sulla superficie di una sfera
abbia dominio un campo vettoriale continuo tangente
alla superficie e ovunque non nullo, dunque un campo
vettoriale tangente alla superficie non presenterebbe
la richiesta simmetria sferica, e un campo vettoriale
a simmetria sferica può essere solo radiale (ciò implica
che non sarà associato a un'onda e.m.), v. il famoso teorema:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem

> P.S. quando mi sono riferito all'analisi dei soli casi statici non stavo obiettando che tu avessi usato l'elettrostatica, ma solo facendo
> un'osservazione di un metodo che avevo trovato "elegante".

Non so a cosa tu ti riferisca, forse è saltata una parte del messaggio,
oppure ho perso qualche tuo messaggio?

[Elio Fabri]

Soviet_Mario ha scritto:

> Che campo genererebbe un monopolo magnetico?

> Non sarebbe chiuso, vero? E quindi linee radiali andrebbero pure
> bene .... mboh
Se esistessero i monopoli magnetici l'eq. div B = 0 andrebbe
modificata in

div B = rho_m

dove rho_m è la densità di carica magnetica.
Mantenendo come ipotesi la simmetria sferica si applicherebbe pari
pari a B quello che vale per E, quindi campo statico radiale, e niente
onde.

PS: non mi aspettavo che la tua domanda suscitasse tante
perplessità...
Parafrasando Mao, la situazione è eccellente (oppure tu essendo Soviet
non sei maoista? :-)
--
Elio Fabri

[Soviet_Mario]

Il 18/05/21 21:08, Elio Fabri ha scritto:

> Soviet_Mario ha scritto:
>> Che campo genererebbe un monopolo magnetico?
>> Non sarebbe chiuso, vero? E quindi linee radiali
>> andrebbero pure
>> bene .... mboh
> Se esistessero i monopoli magnetici l'eq. div B = 0 andrebbe
> modificata in
>
> div B = rho_m
>
> dove rho_m è la densità di carica magnetica.
> Mantenendo come ipotesi la simmetria sferica si
> applicherebbe pari
> pari a B quello che vale per E, quindi campo statico
> radiale, e niente
> onde.
>
> PS: non mi aspettavo che la tua domanda suscitasse tante
> perplessità...

beh dai, di codeste perplessità, per quanto meno
significative di quelle altrui, l'80% erano le mie :D :D

> Parafrasando Mao, la situazione è eccellente (oppure tu
> essendo Soviet
> non sei maoista? :-)

uahahahah :D

ab uno disce omnis !!!

mah, cmq, ormai, cosa sono ? Non so. Sono complicato e irto
anche di (apparenti) contraddizioni, per cui posizionarmi da
qualche parte mi risulta praticamente impossibile.
Fortunatamente ciò è irrilevante pure per me stesso :D

[Elio Fabri]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Comunque, come scrivevo, il risultato per cui non si propagano onde
> e.m. si poteva ottenere direttamente, dato che per simmetria sferica
> sia D che B devono essere sempre radiali, si deduce che @D/@t deve
> essere radiale e al difuori di S allora rot(H) deve essere radiale, ma
> dato che rot(H) è perpendicolare a H allora H è nullo e il campo è
> puramente elettrico.

Molto più semplicemente, B=0 si deduce da div B = 0 con la simmetria
sferica.
--
Elio Fabri

[Giorgio Bibbiani]

Che poi è la stessa cosa che avevo scritto nel primo periodo dello
stesso messaggio, si vede che avendo iniziato a fare le cose difficili(!)
allora inconsciamente ritenevo di non potermi ripetere ;-).