Lasciamo stare la fisica: una legge di svuotamente esponenziale non
credo sia realizzabile, epoi si cono altre obiezioni.
Ma anche prendendo per buona l'eq. diff. la soluzione è certamente
errata.
A occhio non credo che esista una sol. in forma chiusa, ma potrei
sbagliare.
Non ho voglia di perderci tempo, ma tu hai provato a verificare la
soluzione? Si tratta solo di fare qualche derivata...
Newsgroups: it.scienza.fisica
Date: Sun, 13 Mar 2022 04:27:15 -0700 (PDT)
Subject: Re: Sistema dinamico a massa variabile
From: =?UTF-8?Q?Alberto_Ras=C3=A0?= <
wakinia...@gmail.com>
Alberto_Rasà ha scritto:
> Appunto. E' questo che infatti non mi torna, come ho scritto anche a
> Giorgio Bibbiani e riferendomi anche ad Elio. A parte le
> precisazioni che fai dopo sulle dissipazioni che per me passano in
> secondo piano, il mio problema è quale o quali equazioni scrivere.
Stavo proprio pensando che forse era il caso di mostrare come
ragionerei io, ma il problema come è scritto non sta in piedi, da cima
a fondo, Quindi occorre riscriverlo.
A parte la discutibilissima legge esponenziale, che vuol dire che "il
fondo cede"? Che si stacca del tutto, lasciando la vernice del tutto
libera di cadere?
Ma se è così, la soluzione è banale: la vernice cade per suo conto,
attaccato alla molla resta solo il barattolo (che ha una massa, mai
indicata).
A parte l'assurdità di non dire niente dela viscosità della vernice,
che tipicamente è grande (*deve* essere grande, altrimenti come si
potrebbe verniciare una parete verticale?
(Ripensandoci, l'andamento esponenziale potrebbe essere dovuto proprio
alla viscosità della vernice?)
Quindi non resta che riformulare da zero il problema, per es. come
segue.
"Zio Peppe ha appeso un barattolo pieno d'acqua a una molla e ha
atteso che si realizzi l'equilibrio, con la molla estesa quanto
occorre per equilibrare il peso del barattolo + acqua.
All'istante t=0 sul fondo del barattolo si apre un foro, e il
barattolo si svuota con una legge oraria del tipo:
m(t) = m0 exp(-p*t). (1)
Si chiede il moto del barattolo.
Si trascurino:
a) viscosità e tensione superficiale dell'acqua
b) la velocità dell'acqua che rimane nel barattolo a ogni t>0,
rispetto a questo
c) la resistenza dell'aria."
Nota: ho lasciato sopravvivere la fantasiosa legge di svuotamento,
giusto per dire che sto modificando il problema originale.
Si sarebbe altresì potuto ricavare la legge di svuotamento dal teorema
di Torricelli.
Soluzione.
---------
A ogni istante t>0 la massa dell'acqua rimasta nel barattolo e ferma
rispetto a questo è data dalla (1).
La qdm nel rif. del laboratorio è
Q(t) = m(t)*v(t)
essendo v(t) (positiva verso l'alto) la velocità del secchio.
Tra t e t+dt esce dal secchio una massa
p*m(t)*dt
con velocità u(t) (verso il basso) relativa al secchio.
Per calcolare u(t) manca almeno un dato.
Se s è la sezione del foro e r la densità dell'acqua avremo
dm/dt = -p*m = -r*s*u
quindi
u = (p*m)/(r*s) = q*m
con q = p/(r*s).
Importante ricordare che u è prop. a m (p, r, s e quindi q sono
costanti).
La qdm trasportata dalla massa uscita è
p*m*(v-u)*dt
(la velocità nel rif. del lab. è v-u).
Q cambia per due ragioni distinte:
- per il trasporto come appena visto
- per effetto delle forze esterne: -k*y e -m*g.
In totale:
dQ = -k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt.
Quindi
Q(t+dt) = Q(t) + dQ = Q(t) - k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
ossia
m(t+dt)*v(t+dt) = m(t)*v(t) - k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
dm*v + m*dv = -k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
-p*m*v + m*a = -k*y - m*g - p*m*(v-u)
-p*m*y' + m*y" = -k*y - m*g + -p*m*(y'-u)
-p*y' + y" = -(k/m)*y - g + p*(y' - q*m)
y" - 2*p*y' + (k/m0)*exp(pt)*y = -p*q*m0*exp(-pt) - g. (2)
Per il momento non so dare l'integrale di questa eq.diff.
Né faccio promesse...
--
Elio Fabri