Chiarimenti sul principio di minima azione.
Quantum Leap
questo sito
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/PrincipioDiMinimaAzione.htm
dove viene riportata una spiegazione del principio di minima azione.
Quasi sul finire della spiegazione l'autore afferma che il "moto reale"
fra il punto iniziale ed il punto finale è quello per cui l'area,
formata dal grafico della lagrangiana L, è minima. Poi continua "Le
varie funzioni orarie possibili determinano grafici della lagrangiana
con relative aree via via diverse. il moto avverà solo con l'equazione
oraria che rende minima quell'area.....il principio di minima azione si
esprime affermando che l'integrale (l'azione) deve essere minimo."
Una cosa, tra le tante altre :-), che non ho capito è che per quella
particolare funzione oraria scelta il punto sarà soggetto a particolari
forze e conseguenti velocità che saranno peculiari per ogni legge
oraria, quindi, dov'è che si effettua la scelta? Se ad ogni funzione
oraria è associata una lagrangiana perchè devo considerare quella per
cui l'area del grafico della lagrangiana sia minimo, se ad ogni funzione
oraria corrisponde una altro moto? Perchè mettere insieme le diverse
funzione orarie che non hanno niente in comune se non il tempo e
posizione iniziale e tempo e posizione finale?
Naturalmente da queste domande si evince che non ho colto l'essenza del
principio di Hamilton spero che riusciate a farmelo capire.
Grazie
--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: ne...@netfront.net ---
cometa_luminosa
> Nel cercare informazioni sul principio di Hamilton mi sono imbattutto su
> dove viene riportata una spiegazione del principio di minima azione.
> Quasi sul finire della spiegazione l'autore afferma che il "moto reale"
> formata dal grafico della lagrangiana L, minima. Poi continua "Le
> varie funzioni orarie possibili determinano grafici della lagrangiana
> oraria che rende minima quell'area.....il principio di minima azione si
> esprime affermando che l'integrale (l'azione) deve essere minimo."
Per essere piu' precisi, l'azione (l'integrale nel tempo della
lagrangiana) e' *stazionaria*, infatti ci sono dei casi
in cui non e' minima, e' massima.
> Una cosa, tra le tante altre :-), che non ho capito che per quella
> particolare funzione oraria scelta il punto sar soggetto a particolari
> forze e conseguenti velocit che saranno peculiari per ogni legge
> oraria, quindi, dov' che si effettua la scelta?
Quando si effettua lavariazione, si intende, di solito, a fissare
posizione ed istante iniziale e posizione ed istante
finale della traiettoria. Il resto e' arbitrario. Il che significa che
ti scegli una traiettoria *qualunque* e ti
calcoli l'azione (fisate gli estremi come su scritto). Poi ti scegli
un'altra traiettoria che rispetti quelle condizioni
e vedi se l'azione e' diversa o meno.
Il campo di forze e la forma matematica dell'energia cinetica (che ti
permettono di calcolare la lagrangiana) ti
determinano il moto una volta nota la posizione iniziale e la
velocita' iniziale, qui invece la velocita' iniziale non
ce l'hai ed inoltre e' fissa la posizione finale, dunque e' un
problema di tipo differente.
Il calcolo delle variazioni ti permette di concludere che, sotto
opportune altre ipotesi, l'azione e' stazionaria sulla
traiettoria reale e le equazioni di Lagrange che se ne deducono:
d/dt (@L/@q'_i) = @L/@q_i
q_i = i-esima coordinata generalizzata
q'_i = derivata temporale di q_i
L = lagrangiana
ti permettono di trovarla, questa traiettoria reale.
Facciamo un esempio: all'istante t = 0, lancio un proiettile con un
cannone, inclinazione 45°, dal punto di coordinate
(0,0) e voglio colpire il punto di coordinate (100,0) all'istante t 7. Quale sara' la traiettoria del proiettile?
Tenuto conto che l'energia potenziale e' mgy, la lagrangiana, che e' T
- V,
dove T e' l'energia cinetica e V e' l'energia potenziale, si scrive:
L = m/2 (x'^2 + y'^2 - 2gy)
Calcoliamo le derivate di L rispetto alle due coordinate generalizzate
(x e y) e rispetto alle loro velocita':
@L/@x = 0 ; @L/@y = -mg
@L/@x' = mx' ; @L/@y' = my'
Allora le due equazioni di Lagrange sono:
1. d/dt (mx') = 0
2. d/dt (my') = -mg
Dalla prima si ricava che x' e' costante: x' = V0x, ovvero x(t) V0x*t
dalla seconda si ricava l'equazione differenziale:
y'' = - g
che integrata da':
y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2
Le due equazioni che hai trovato:
|x(t) = V0x*t
|
|y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2
sono le note equazioni del moto in un campo gravitazionale uniforme.
Elio Fabri
> Nel cercare informazioni sul principio di Hamilton mi sono imbattutto
> su questo sito
>
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/PrincipioDiMinimaAzione.htm
> dove viene riportata una spiegazione del principio di minima azione.
C'e' troppa insistenza su un'interpretazione "finalistica": la natura
che sceglie il percorso piu' economico, e cose del genere.
Ma per fortuna questo che secondo me e' un difetto, non conta per la
dimanda che fai.
> Una cosa, tra le tante altre :-), che non ho capito è che per quella
> particolare funzione oraria scelta il punto sarà soggetto a particolari
> forze e conseguenti velocità che saranno peculiari per ogni legge
> oraria, quindi, dov'è che si effettua la scelta? Se ad ogni funzione
> oraria è associata una lagrangiana
> ...
Vedo che ti ha gia' risposto cometa luminosa, ma secondo me e' andato
troppo oltre rispetto al tuo problema.
In effetti Amadori ha mancato di spiegare con chiarezza che cosa sia
questa misteriosa "lagrangiana".
cometa luminosa te l'ha detto: intanto la trattazione lagrangiana non
e' possibile per qualsiasi problema di meccanica. Per es. non lo e' se
sono presenti forze d'attrito.
Il caso piu' semplice e comune e' quello in cui le forze agenti siano
*conservative*, e allora la lagrangiana e' semplivemente la differenza
tra en. cinetica ed en. potenziale.
C'e' *una sola* lagrangiana per un dato problema, e per una data legge
oraria del moto (non solo traiettoria, ma anche legge temporale con
cui e' percorsa) tu puoi istante per istante calcolare T e V, fare la
differenza ottenendo L, e poi eseguire l'integrale (azione) fra i due
istanti t1 e t2: l'area di cui parla Amadori.
Quindi puoi confrontare gli integrali ottenuti per diverse leggi
orarie e vedere quale sia quella per cui l'azione e' minima.
(Parentesi: e' vero che a rigore l'azione non e' sempre minima, ma solo
stazionaria; pero' in molti casi semplici e' effettivamente minima,
quindi possiamo tralasciare la complicazione per capire l'essenziale
del discorso.)
Spero che questo ti abbia aiutato a capire meglio.
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.
Quantum Leap
Faccio qualche premessa.
Sto studiando, per diletto, le dispense di Galgani "appunti di meccanica
razionale 1". Nell'affrontare il capitolo che riguarda gli argomenti
relativi al principio di minima azione sono stato condizionato dalle
letture fugaci che avevo fatto in precedenza. La cosa che mi era rimasta
impressa e che il principio di minima azione si concretizzava nella
"scelta" che faceva la natura di determinati moti rispetto ad altri in
termini di economicita' di qualche grandezza.
Ritornando al sito citato in precedenza quello che non riesco a capire
e' questa frase. "Le varie funzioni orarie possibili determinano grafici
della lagrangiana con relative aree via via diverse. Il moto
avverra' solo con l'equazione oraria che rende minima quell'area !!!"
Ma se sono possibili diverse funzioni orarie esse non stanno gia' a
dimostrare che sono possibili diversi moti? Perchè sceglierne solo uno
possibile?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge ed è molto probabile che anche se
stia cercando di studiare il Galgani ci abbia capito poco.
Quantum Leap
> Per essere piu' precisi, l'azione (l'integrale nel tempo della
> lagrangiana) e' *stazionaria*, infatti ci sono dei casi
>
> in cui non e' minima, e' massima.
Ok
> Il campo di forze e la forma matematica dell'energia cinetica (che ti
> permettono di calcolare la lagrangiana) ti
>
> determinano il moto una volta nota la posizione iniziale e la
> velocita' iniziale, qui invece la velocita' iniziale non
>
> ce l'hai ed inoltre e' fissa la posizione finale, dunque e' un
> problema di tipo differente.
Differente a come l'ho descritto io? non ho capito "differente a che
cosa si riferisce.
> Il calcolo delle variazioni ti permette di concludere che, sotto
> opportune altre ipotesi, l'azione e' stazionaria sulla
>
> traiettoria reale e le equazioni di Lagrange che se ne deducono:
>
> d/dt (@L/@q'_i) = @L/@q_i
>
> q_i = i-esima coordinata generalizzata
> q'_i = derivata temporale di q_i
> L = lagrangiana
>
>
> ti permettono di trovarla, questa traiettoria reale.
ok
> Facciamo un esempio: all'istante t = 0, lancio un proiettile con un
> cannone, inclinazione 45°, dal punto di coordinate
Si ho capito l'esempio.
Forse non ho esplicitato bene il problema o forse hai cercato di
rispondermi ma non ho capito in pieno la tua risposta.
Io no riesco a capire come da questa affermazione, presente sul sito,
"fra le varie possibilita' di moto inanimato, la natura sceglie sempre
il cammino piu' vantaggioso". Derivato tutto il resto.
Cioè da dove si evince che "...la natura sceglie sempre il cammino piu'
vantaggioso"
Grazie per l'eventuale risposta.
Elio Fabri
> Ritornando al sito citato in precedenza quello che non riesco a capire
> e' questa frase. "Le varie funzioni orarie possibili determinano
> grafici della lagrangiana con relative aree via via diverse. Il moto
> avverra' solo con l'equazione oraria che rende minima quell'area !!!"
> Ma se sono possibili diverse funzioni orarie esse non stanno gia' a
> dimostrare che sono possibili diversi moti? Perchè sceglierne solo uno
> possibile?
Proviamo ad aggirare il problema, parlando (apprentemente) d'altro.
Considera un oscillatore armonico, e dimentica azione e lagrangiana.
Ti domandi: come si move questo oscillatore?
Ossia vuoi conoscere la funzione x(t), fra tutte quelle possibili, che
rappresenta il moto reale di quell'oscillatore, di data massa, data
costante elastica, e con date condizioni iniziali.
Sai benissimo come fare: scrivi F=ma, la consideri come un'eq. diff.
(di secondo ordine) per la funzione x(t), risolvi il problema
di Cauchy con le date cond. iniziali, et voila': hai trovato la legge
oraria del moto.
Perche' non ti poni lo stesso problema?
Anche qui "sono possibili diverse funzioni orarie", ma tutte tranne
una non soddisfano l'equazione e le cond. iniziali.
Nel caso del princ. variazionale e' lo stesso: sono "possibili"
infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
BlueRay
> Il 01/12/2010 17.25, cometa_luminosa ha scritto:
>
> > Per essere piu' precisi, l'azione (l'integrale nel tempo della
> > lagrangiana) e' *stazionaria*, infatti ci sono dei casi
>
> > in cui non e' minima, e' massima.
>
> Ok
>
> > Il campo di forze e la forma matematica dell'energia cinetica (che ti
> > permettono di calcolare la lagrangiana) ti
>
> > determinano il moto una volta nota la posizione iniziale e la
> > velocita' iniziale, qui invece la velocita' iniziale non
>
> > ce l'hai ed inoltre e' fissa la posizione finale, dunque e' un
> > problema di tipo differente.
>
> Differente a come l'ho descritto io? non ho capito "differente a che
> cosa si riferisce.
Il "differente" si riferisce al caso in cui utilizzi solo le leggi di
Newton: date le forze e fissate *le posizioni e le velocita' iniziali*
di tutti i punti del sistema, risolvi il problema e trovi un'unica
legge oraria. Qui inoltre non hai da scegliere prima le diverse
traiettorie/leggi orarie.
Se invece utilizzi il principio di Hamilton, non fissi posizioni e
velocita' iniziali, ma fissi posizioni iniziali e finali. Poiche'
prima di risolvere il problema non sai qual'e' la traiettoria giusta,
hai un certo range di variabilita' di questa, a priori.
Nell'esempio che avevo fatto, tu sai soltanto *a priori* che il
proiettile parte dal punto iniziale A ed arriva al punto finale B, il
percorso che potrebbe fare, a priori, e' qualunque: potrebbe salire in
verticale, tornare indietro, andare su Marte e ed infine dirigersi nel
punto B. Di tutte le infinite traiettorie che partono da A e finiscono
in B, tu calcoli per ognuna l'integrale temporale della Lagrangiana e
poi ti accorgi che, attorno ad una di tutte queste infinite
traiettorie, l'integrale varia di poco, al variare della traiettoria,
proprio come una funzione f(x) varia poco, al variare di x, in
corrispondenza di un punto c per cui f'(c) = 0.
Richard Feynman ha avuto la geniale idea di correlare questo fatto al
fatto che l'ampiezza di un'onda che e' data dalla sovrapposizione di
altre onde (pensa alla luce) e' massima per quelle traiettorie
(cammini ottici nel caso della luce) per cui la fase varia di poco: le
onde infatti in questo caso interferiscono costruttivamente
rinforzandosi.
> > Facciamo un esempio: all'istante t = 0, lancio un proiettile con un
> > cannone, inclinazione 45 , dal punto di coordinate
>
> Si ho capito l'esempio.
> Forse non ho esplicitato bene il problema o forse hai cercato di
> rispondermi ma non ho capito in pieno la tua risposta.
> Io non riesco a capire come da questa affermazione, presente sul sito,
> "fra le varie possibilita' di moto inanimato, la natura sceglie sempre
> il cammino piu' vantaggioso". Derivato tutto il resto.
> Cioe' da dove si evince che "...la natura sceglie sempre il cammino piu'
> vantaggioso"
"Piu' vantaggioso" non so quanto appropriato sia in questo caso, direi
solo che l'azione e' minima (piu' precisamente, stazionaria, come
avevo scritto).
Nell'analogo ottico di cui ti ho fatto un accenno, il
"piu' vantaggioso" ha invece un significato piu' intuibile: significa
che la luce sceglie il percorso di minor tempo di percorrenza
(principio di Fermat).
--
cometa_luminosa
Quantum Leap
> Considera un oscillatore armonico, e dimentica azione e lagrangiana.
> Ti domandi: come si move questo oscillatore?
> Ossia vuoi conoscere la funzione x(t), fra tutte quelle possibili, che
> rappresenta il moto reale di quell'oscillatore, di data massa, data
> costante elastica, e con date condizioni iniziali.
> Sai benissimo come fare: scrivi F=ma, la consideri come un'eq. diff.
> (di secondo ordine) per la funzione x(t), risolvi il problema
> di Cauchy con le date cond. iniziali, et voila': hai trovato la legge
> oraria del moto.
>
> Perche' non ti poni lo stesso problema?
> Anche qui "sono possibili diverse funzioni orarie", ma tutte tranne
> una non soddisfano l'equazione e le cond. iniziali.
> Nel caso del princ. variazionale e' lo stesso: sono "possibili"
> infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
Caro Elio cercherò di farti capire i miei dubbi anche usando un
linguaggio "brutale".
Se per determinate condizioni iniziali è possibile, nel senso che nella
realtà si verifica, solo quel particolare moto non capisco perchè
confrontare questo particolare moto, cioè funzione oraria, con le altre
che tanto non sono possibili, cioè non accadono in natura. A me sembra
di capire, e non so se sbaglio, che per ogni determinata funzione
oraria, che soddisfa l'equazione e le condizioni iniziali, l'azione sarà
minima. Questa è una caratterizzazione che certamente mi sarà utile in
argomenti che affronterò in futuro, spero, ma che al momento mi sembra
solo un processo matematico privo di una qualche utilità. Una cosa del
tipo. Considero il punto iniziale q1 e il punto finale q2. Consideriamo
il moto che si svolge partendo al tempo t1 in q1 fino al punto q2 al
tempo t2. I moti possibili saranno infiniti e dipenderanno dalle
condizioni iniziali. Quello che si realizzerà nella realtà sarà solo uno
legato a quelle particolari condizioni iniziali. Allora che faccio
considero anche i moti che non si sono verificati, calcolo l'azione per
essi, e mi rendo conto che l'azione è minima per il moto che realmente
si è verificato in natura? Non lo so c'è qualcosa che mi sfugge e non
riesco a capire. Soprattutto per l'affermazione che la natura "sceglie
propio quel moto". Forse sto facendo troppa confusione e non ne riesco
ad uscire.
Adesso ripropongo l'esempio che fa anche Galgani. Scusami per la
notazione che, forse non sarà appropiata.
Caso della particella libera vincolata ad una retta in assenza di forze
attive. La lagrangiana sarà 1/2v^2 con m=1. Consideriamo i moti
nell'intervallo t0=0 e t1=1 con x(0)=0 e x(1)=1. Esisteranno infiniti
moti. Per esempio x(t)=t o x(t)=t^2 o in generale x(t)=t^n. Se
consideriamo il moto x(t)=t^2 l'azione S=2/3. Per x(t)=t^n S=0,5
n^2/(2n-1). Per x(t)=t S=1/2. Quindi considerando tutti moti del tipo
t^n, con n=1,2..., per la funzione x(t)=t l'azione sarà minima rispetto
a quelle che soddisfano i moti su descritti.
Che significa fisicamente questo? C'è qualche particolarità che dovrei
cogliere?
Scuasami per questo lungo post, spero almeno di aver esplicitato i miei
dubbi. Se non sono riuscito nell'intento spero che vorrai continuare a
rispondermi anche successivamente.
Tommaso Russo, Trieste
> ...quello che non riesco a capire
> della lagrangiana con relative aree via via diverse. Il moto
> avverra' solo con l'equazione oraria che rende minima quell'area !!!"
> Ma se sono possibili diverse funzioni orarie esse non stanno gia' a
> dimostrare che sono possibili diversi moti? Perchè sceglierne solo uno
> possibile?
Penso sia semplicemente un'indeterminazione del termine "possibile" nel
linguaggio naturale. "Fisicamente possibile" e' una sola funzione
oraria, quella che si realizza in realta'. Le altre "possibili"
probabilmente stanno a significare solo "concepibili", "tracciabili" o
simili.
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
StefanoD
> Anche qui "sono possibili diverse funzioni orarie", ma tutte tranne
> una non soddisfano l'equazione e le cond. iniziali.
> Nel caso del princ. variazionale e' lo stesso: sono "possibili"
> infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
>
Ne approfitto per una domanda:
esiste un teorema di esistenza e unicita' della soluzione del moto
anche nella formulazione variazionale della meccanica?
Ad occhio sembra di si', visto che il principio di stazionarieta'
dell'azione porta alle equazioni di Lagrange, per cui vale il teorema
di esistenza e unicita'.
Ma e' possibile dimostrare l'esistenza e l'unicita' dalla formulazione
variazionale, senza dover passare dalla formulazione integrale alla
formulazione in termine di equazioni differenziali?
Elio Fabri
> Richard Feynman ha avuto la geniale idea di correlare questo fatto al
> fatto che l'ampiezza di un'onda che e' data dalla sovrapposizione di
> altre onde (pensa alla luce) e' massima per quelle traiettorie
> (cammini ottici nel caso della luce) per cui la fase varia di poco: le
> onde infatti in questo caso interferiscono costruttivamente
> rinforzandosi.
di Feynman. Risale a un articolo di Dirac del 1933.
Nella quarta edizione (1947) dei "The Principles of Quantum nechanics"
di Dirac c'e' una lunga sezione dedicata proprio a questo argomento.
Te ne cito una frase:
"The quantum analogue of the action principle is thus absorbed in the
composition law (60) and the classical requirement that the the values
of the intermediate q's shall make S stationary corresponds to the
condition in quantum mechanics that all values of the intermediate q's
are important in proportion to their contribution to the integral in
(60)."
La (60) non e' altro che il "path integral".
Consulta anche "path integral" in wikipedia.
> "Piu' vantaggioso" non so quanto appropriato sia in questo caso, direi
> solo che l'azione e' minima (piu' precisamente, stazionaria, come
> avevo scritto).
> Nell'analogo ottico di cui ti ho fatto un accenno, il "piu'
> vantaggioso" ha invece un significato piu' intuibile: significa che la
> luce sceglie il percorso di minor tempo di percorrenza (principio di
> Fermat).
Ho gia' detto all'OP che io aborro questo linguaggio
sette-ottocentesco (forse anche seicentesco: Fermat) sulla "natura"
che cercherebbe la via piu' economica...
Elio Fabri
> Ne approfitto per una domanda:
> esiste un teorema di esistenza e unicita' della soluzione del moto
> anche nella formulazione variazionale della meccanica?
> Ad occhio sembra di si', visto che il principio di stazionarieta'
> dell'azione porta alle equazioni di Lagrange, per cui vale il teorema
> di esistenza e unicita'.
> Ma e' possibile dimostrare l'esistenza e l'unicita' dalla formulazione
> variazionale, senza dover passare dalla formulazione integrale alla
> formulazione in termine di equazioni differenziali?
l'equivalenza in materia di esistenza e unicita' non sussiste perche'
sono diverse le condizioni.
In sostanza tu chiedi: fissate q(t1)=q1 e q(t2)=q2, e' possibile
scegliere q'(t1)=q'1 in modo che la soluzione (esistente e unica)
dell'eq. diff. con condizioni iniziali q1 e q'1, assuma il valore q2
al tempo t2?
In generale la risposta e' negativa, tanto per l'esistenza come per
l'unicita'. Forse qualche controesempio riesci a trovarlo da solo ;-)
A quanto ne so, credo si dimostri che per un dato sistema la risposta
e' invece affermativa se fissi t2 in un intorno abbastanza piccolo di
t1. Ma non ho mai visto la dimostrazione.
Elio Fabri
> Se per determinate condizioni iniziali è possibile, nel senso che
> nella realtà si verifica, solo quel particolare moto non capisco
> perchè confrontare questo particolare moto, cioè funzione oraria, con
> le altre che tanto non sono possibili, cioè non accadono in natura.
Qui siamo comunque all'interno di un discorso teorico, che tu faccia
meccanica newtoniana, lagrangiana, o principi variazionali.
La discussione e' solo sul significato che ha l'equivalenza tra diverse
formulazioni della meccanica.
> A me sembra di capire, e non so se sbaglio, che per ogni determinata
> funzione oraria, che soddisfa l'equazione e le condizioni iniziali,
> l'azione sarà minima.
No. Come ti e' gia' stato detto ripetutamente, da me e da altri (hai
la testa un po' dura? :) ) le condizoni per un principio variazionale
sono diverse.
Non si danno condizioni iniziali, ma "condizioni al contorno", ossia
posizione a due istanti diversi, mentre non si dice nietne sulle
velocita'.
Del resto questo e' ben chiaro anche nell'esempoio di Galgani che
riporti dopo.
> ...
> Soprattutto per l'affermazione che la natura "sceglie propio quel
> moto". Forse sto facendo troppa confusione e non ne riesco ad uscire.
La natura scordatela!
E accidenti a chi usa quelle espressioni!!
> Adesso ripropongo l'esempio che fa anche Galgani.
> ...
> Che significa fisicamente questo? C'è qualche particolarità che dovrei
> cogliere?
Che cosa significa *fisicamente* F=ma?
Sono soltanto le risposte a due domande diverse: una con le condizioni
iniziali, l'altra con le condizioni al contorno.
Quantum Leap
> Penso sia semplicemente un'indeterminazione del termine "possibile" nel
> linguaggio naturale. "Fisicamente possibile" e' una sola funzione
> oraria, quella che si realizza in realta'. Le altre "possibili"
> probabilmente stanno a significare solo "concepibili", "tracciabili" o
> simili.
Ti ringrazio Tommaso per la risposta.
In effetti la fonte delle mie perplessità era proprio quel termine
"possibile". Purtroppo studio male e anche se il termine non era il più
adatto potevo arrivare al giusto ragionamento per altre strade.
Giovanni Ruggieri
> No. Come ti e' gia' stato detto ripetutamente, da me e da altri (hai
> la testa un po' dura? :) )
Purtroppo è così. Mia moglie non manca mai di ricordarmelo :-)
> Che cosa significa *fisicamente* F=ma?
>
> Sono soltanto le risposte a due domande diverse: una con le condizioni
> iniziali, l'altra con le condizioni al contorno.
Ok, perfetto, adesso ho capito e non so come ringraziarti.
Ciao
Quantum Leap
> Il "differente" si riferisce al caso in cui utilizzi solo le leggi di
> Newton: date le forze e fissate *le posizioni e le velocita' iniziali*
> di tutti i punti del sistema, risolvi il problema e trovi un'unica
> legge oraria. Qui inoltre non hai da scegliere prima le diverse
> traiettorie/leggi orarie.
>
> Se invece utilizzi il principio di Hamilton, non fissi posizioni e
> velocita' iniziali, ma fissi posizioni iniziali e finali. Poiche'
> prima di risolvere il problema non sai qual'e' la traiettoria giusta,
> in B, tu calcoli per ognuna l'integrale temporale della Lagrangiana e
> poi ti accorgi che, attorno ad una di tutte queste infinite
> traiettorie, l'integrale varia di poco, al variare della traiettoria,
> proprio come una funzione f(x) varia poco, al variare di x, in
> corrispondenza di un punto c per cui f'(c) = 0.
Ok vediamo se ho capito.
Detto in modo semplice, dati posizione e tempi , iniziali e finali, la
stazionarietà dell'azione mi fornisce la chiave per ricavarmi la giusta
traiettoria, tra le infinite che considero inizialmente (in quanto
ignoro quale sia).
> "Piu' vantaggioso" non so quanto appropriato sia in questo caso, direi
> solo che l'azione e' minima (piu' precisamente, stazionaria, come
> avevo scritto).
> Nell'analogo ottico di cui ti ho fatto un accenno, il
> "piu' vantaggioso" ha invece un significato piu' intuibile: significa
> che la luce sceglie il percorso di minor tempo di percorrenza
> (principio di Fermat).
L'affermazione che la natura possa scegliere è sempre qualcosa che mi ha
dato fastidio.
> cometa_luminosa
Ciao e grazie.
Quantum Leap
Aleph
...
> Se per determinate condizioni iniziali è possibile, nel senso che nella
> realtà si verifica, solo quel particolare moto non capisco perchè
> confrontare questo particolare moto, cioè funzione oraria, con le altre
> che tanto non sono possibili, cioè non accadono in natura.
Il confronto non avviene esplicitamente, ma implicitamente: si tratta di
trovare l'equazione del moto risolvendo in pratica un problema di massimo
(o minimo).
> Questa è una caratterizzazione che certamente mi sarà utile in
> argomenti che affronterò in futuro, spero, ma che al momento mi sembra
> solo un processo matematico privo di una qualche utilità.
L'utilità sta nel fatto che m,olti problemi sono più facili da risolvere
via Principio di Hamilton, piuttosto che via equazioni di Newton (il
problema della brachistocrona ad esempio).
Senza contare l'importanza teorica di un approccio del genere, sia nello
stabilire l'equivalenza tra meccanica newtoniana e meccanica lagrangiana,
sia in settori come la teoria dei campi (classici e quantistici).
...
> Allora che faccio
> considero anche i moti che non si sono verificati, calcolo l'azione per
> essi, e mi rendo conto che l'azione è minima per il moto che realmente
> si è verificato in natura? Non lo so c'è qualcosa che mi sfugge e non
> riesco a capire.
Credo che non ti sia chiaro il concetto matematico di funzionale: il
calcolo che dici viene fatto, anche qui implicitamente, con strumenti
analitici, non è che uno si mette caso per caso a calcolare esplicitamente
il valore del funzionale per ogni legge oraria (e come potrebbe?).
...
> Soprattutto per l'affermazione che la natura "sceglie
> propio quel moto".
...
Affermazioni del genere fanno storicamente parte del sottofondo metafisico
a cui si ispirarono gli scopritori del principio di minima azione (o
principio di Maupertuis).
C'è un brano abbastanza noto di Maupertuis (ma anche Eulero mi pare di
ricordare scrisse cose simili) in cui dice, grosso modo, siccome Dio è
infinitamente saggio i moti devono avvenire in modo economico, tale da
minimizzare una data quantità divina, etc. etc.
Ma non c'è proprio nulla nella fisica moderna che accrediti o si appoggi a
una tale visione metafisica del mondo, anzi direi che la sensibilità è
assolutamente opposto rispetto ai tempi di Maupertuis (anche se non ho
sentito Zichichi in proposito).
> Caso della particella libera vincolata ad una retta in assenza di forze
> attive. La lagrangiana sarà 1/2v^2 con m=1. Consideriamo i moti
> nell'intervallo t0=0 e t1=1 con x(0)=0 e x(1)=1. Esisteranno infiniti
> moti. Per esempio x(t)=t o x(t)=t^2 o in generale x(t)=t^n. Se
> consideriamo il moto x(t)=t^2 l'azione S=2/3. Per x(t)=t^n S=0,5
> n^2/(2n-1). Per x(t)=t S=1/2. Quindi considerando tutti moti del tipo
> t^n, con n=1,2..., per la funzione x(t)=t l'azione sarà minima rispetto
> a quelle che soddisfano i moti su descritti.
> Che significa fisicamente questo? C'è qualche particolarità che dovrei
> cogliere?
Dovresti cogliere il fatto che tra tutte le traiettorie definibili
matematicamente (in questo come in casi analoghi), la traiettoria reale
che si realizza compiendo l'esperimento è quella che rende minima il
funzionale che definiosce l'azione.
Saluti,
Aleph
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Quantum Leap
> Perche' non ti poni lo stesso problema?
> Anche qui "sono possibili diverse funzioni orarie", ma tutte tranne
> una non soddisfano l'equazione e le cond. iniziali.
> Nel caso del princ. variazionale e' lo stesso: sono "possibili"
> infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
Ti ringrazio Elio penso, adesso ,di aver capito.
Era i termini "traiettorie possibili" che mi traevano in inganno.
Pensavo che possibile significasse egualmente verificabili dati i tempi
e le posizioni, iniziali e finali.
Purtroppo studiare poco e male porta a questo genere di confusione.
Fortunatamente ci siete voi del gruppo.
Quantum Leap
BlueRay
> Ok vediamo se ho capito.
> Detto in modo semplice, dati posizione e tempi , iniziali e finali, la
> stazionarieta' dell'azione mi fornisce la chiave per ricavarmi la giusta
> traiettoria, tra le infinite che considero inizialmente (in quanto
> ignoro quale sia).
Si, esatto, tra le infinite, che pero' soddisfino quelle condizioni al
contorno. Tu non sai a priori nulla della legge oraria, tranne che le
posizioni iniziali e finali sono quelle; per cui sei, a priori, libero
di sceglierne una *qualunque* che passi per quei 2 punti a quei 2
istanti di tempo.
[...]
> L'affermazione che la natura possa scegliere sempre qualcosa che mi ha
> dato fastidio.
Concordo, e' un modo sbagliato di descrivere le cose, in fisica.
--
BlueRay.