Resistenza all'urto al cambio di SRI

[tuc...@katamail.com]

Mi sono imbattuto su facebook in una questione banale, relativa alle trasformazioni di Lorentz, che mi ha portato ad un’altra questione, apparentemente altrettanto banale, e che però mi lascia in scacco.

Permettetevi di rappresentarla con un esempio, mi piacerebbe mi indicaste il punto (o i punti, sono propenso a credere che siano più d’uno) in cui sbaglio.

Diciamo che sono un vetraio e un gioielliere mi chiede di realizzare un vetro antiproiettile che resista al proiettile tal dei tali (massa, forma, caratteristiche del materiale note).



Mi parrebbe ragionevole dire che, noto il proiettile, per sapere se ho fatto un buon lavoro mi manca ancora di conoscere a che velocità viene accelerato dalla pistola. Siccome la risposta potrebbe essere “dipende dalla pistola che usi”, faccio una serie di esperimenti e concludo che se il ladro usa la pistola x resta fuori, ma se invece usa la pistola y il vetro non regge. Immaginando che le pistole possano anche essere “infinite” in buona sostanza concludo che il mio vetro regge fino a una v fissata, e non oltre.

Questo naturalmente viene sperimentalmente verificato nel sistema di riferimento in cui il vetro è fermo, ed in cui il parametro che ho individuato è la velocità del proiettile.



Se però passo ad un sistema di riferimento in cui il vetro non è fermo, e nemmeno il proiettile, con cosa sostituisco il parametro “velocità del proiettile”? Mi parrebbe ragionevole dire: la somma delle velocità di vetro e proiettile nel nuovo riferimento. Questo numero però, pur essendo parente strettissimo (per velocità basse), della velocità del proiettile nell'altro riferimento, non è a rigore uguale. Basta usare “proiettili relativistici” (e vetri resistentissimi) per rendersene conto.


Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo, indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema. Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non solidale al vetro? Non posso farlo così, e devo per forza ricondurmi ad un problema d’urto svolto in modo diverso? La resistenza del vetro non è invariante al cambio di riferimento?
In poche parole, se il gioielliere mi denuncia perché il mio vetro fa schifo come affronta la questione il CTU del tribunale?

[Giorgio Bibbiani]

Il 05/02/2024 17:31, tuc...@katamail.com ha scritto:
...

> Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo, indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema. Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non solidale al vetro? Non posso farlo così, e devo per forza ricondurmi ad un problema d’urto svolto in modo diverso? La resistenza del vetro non è invariante al cambio di riferimento?

...

Intendo che la velocità del proiettile sia sempre diretta perpendicolarmente al vetro nel riferimento K_v del vetro.

Io non ho capito bene quale sia il problema: per un dato vetro e per un dato tipo di proiettile,

nel riferimento K_v si potrà determinare la massima velocità v_max  che il proiettile potrà

avere perché non rompa mai il vetro, questa è una velocità relativa al vetro, in un altro

riferimento K nel quale vetro e proiettile abbiano entrambi velocità non nulle, per capire se

il proiettile romperà o no il vetro, basterà trasformare la velocità del proiettile da K a K_v

e poi confrontarla con v_max per poter prevedere il risultato dell'urto.

Ciao

--

Giorgio Bibbiani

[Elio Fabri]

tuc...@katamail.com ha scritto:

> Diciamo che sono un vetraio e un gioielliere mi chiede di realizzare
> un vetro antiproiettile che resista al proiettile tal dei tali
> (massa, forma, caratteristiche del materiale note).

> ...

> Questo naturalmente viene sperimentalmente verificato nel sistema di
> riferimento in cui il vetro è fermo, ed in cui il parametro che ho
> individuato è la velocità del proiettile.
>
> Se però passo ad un sistema di riferimento in cui il vetro non è
> fermo, e nemmeno il proiettile, con cosa sostituisco il parametro
> "velocità del proiettile"?

> ...
> Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo,
> indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema.
> Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non
> solidale al vetro?

> ...

> come affronta la questione il CTU del tribunale?

L'ultima frase che hai scritto è la più divertente :-)
Occorre un "consulente relativistico" :-D

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Io non ho capito bene quale sia il problema: per un dato vetro e per
> un dato tipo di proiettile, nel riferimento K_v si potrà determinare
> la massima velocità v_max  che il proiettile potrà avere perché
> non rompa mai il vetro, questa è una velocità relativa al vetro, in
> un altro riferimento K nel quale vetro e proiettile abbiano entrambi
> velocità non nulle, per capire se il proiettile romperà o no il
> vetro, basterà trasformare la velocità del proiettile da K a K_v e
> poi confrontarla con v_max per poter prevedere il risultato
> dell'urto.

Se provi a leggere questa tua frase ad alta voce, vedrai che ti
mancherà il fiato :-)

Scherzi a parte, questa è la soluzione più semplice se la vel. di v
rispetto a K_v è perpendicolare al vetro.
Altrimenti la trasf. diventa complicata e conviene seguire un'altra
strada.
Sospetto che l'OP si sia messo nella prima ipotesi (vel. perpend.)
quindi non dico di più a meno che non chieda di vedere la sol.
generale.
--
Elio Fabri

[JTS]

On 05/02/24 18:53, Giorgio Bibbiani wrote:

>
> Io non ho capito bene quale sia il problema:
>

Forse: esprimere l'invariante che si calcola con un cambio di sistema di
riferimento in una maniera tale che l'invarianza si colga dalla stessa
espressione.

[Giorgio Bibbiani]

Valga ancora l'ipotesi già espressa sulla direzione della velocità del proiettile relativa al vetro.


Io rimango ancora perplesso, la velocità che in precedenza ho chiamato v_max

è già ovviamente un invariante, per come è stata definita...

Se il problema è riconoscere "facilmente" se venga superata,

qualunque sia la scelta del riferimento relativamente al quale proiettile

e vetro possano avere velocità non nulle, si può usare la rapidità:

se relativamente a un dato riferimento il proiettile ha rapidità alpha_p

e il vetro alpha_v allora la rapidità del proiettile rispetto al vetro sarà

alpha_p - alpha_v, che si potrà immediatamente confrontare con il

suo massimo valore accettabile arctanh(v_max / c).

Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[Bruno Cocciaro]

Il 05/02/2024 17:31, tuc...@katamail.com ha scritto:
>

> Mi sono imbattuto su facebook in una questione banale, relativa alle trasformazioni di Lorentz, che mi ha portato ad un’altra questione, apparentemente altrettanto banale, e che però mi lascia in scacco.

Se ho ben capito cosa ti gira per la testa, allora dico che il tuo
problema è malposto.
Non è possibile rispondere perché manca un dato: la massa del vetro.
A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile, per
quanto, nell'ipotesi sottintesa massa del proiettile<<massa del vetro,
si ha che la massa del proiettile si può approssimativamente trascurare.

La soluzione che banalizza il problema (quella riportata da Giorgio
Bibbiani), in realtà vale solo nell'ipotesi che il vetro *non sia
resistentissimo*, cioè che, per spaccarlo, non sia necessario un
proiettile ultrarelativistico (in realtà più che ulrarelativistico, è
necessario conoscere la massa del vetro quando la velocità del
proiettile dà un gamma>>massa_vetro/massa_proiettile, potrebbe non
essere necessario se fosse soltanto gamma>>1).

Sia K il riferimento in cui è fisso il vetro, e, in K, sia p_max il
valore massimo della quantità di moto del proiettile per il quale il
vetro non si rompe. Dette m e M rispettivamente le masse di proiettile e
vetro, si ha che, in K, la velocità del centro di massa (salvo errori) è
v_cm=p_max*c/(Mc+Sqrt[m^2c^2+p_max^2]).
Si noti che, se p_max>>Mc (ipotesi che potrebbe essere soddisfatta anche
se fosse m<<M), allora si ha v_cm<~c.

Nel riferimento del centro di massa siano p_cm e P_cm le quantità di
moto rispettivmente di proiettile e vetro. Naturalmente sarà P_cm=-p_cm.
Si ottiene, sempre salvo errori,
p_cm=p_max * Mc/Sqrt[M^2c^2+m^2c^2+2McSqrt[m^2c^2+p_max^2]] (*).

Il vetro si spacca quando p_cm soddisfa la (*).
Quindi, osservando il fenomeno da un qualsiasi altro riferimento, K',
dette p' e P' le quantità di moto di proiettile e vetro in K', si
determina la quantità di moto di proiettile e vetro nel riferimento del
centro di massa, viene
p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],
e, se la p_cm(p',P') è maggiore della p_cm data dalla (*), allora il
vetro si rompe.

Dalla (*) risulta evidente che, se p_max<<Mc (come è sempre
ultraverificato per ogni situazione di proiettili e vetri reali), allora
si ha
p_cm<~p_max,
che è la soluzione proposta da Bibbiani,però, nel caso di proiettile
ultrarelativistico, cioè p_max>>Mc, si ha
p_cm<~Sqrt[Mc p_max/2]
il che rende evidente che l'ipotesi M>>m rende superflua la conoscenza
della massa M *solo* se pc_max<<Mc.

--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (Anonimo, attribuito a G.
Apollinaire)


--
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www.avg.com

[Giorgio Bibbiani]

Il 06/02/2024 19:36, JTS ha scritto:

...

> Forse: esprimere l'invariante che si calcola con un cambio di sistema di riferimento in una maniera tale che l'invarianza si colga dalla
> stessa espressione.

Sia data la precedente ipotesi sulla direzione della velocità del proiettile relativa al vetro.

Siano u_p e u_s le quadrivelocità di proiettile e specchio,

il prodotto scalare ps := u_p . u_s è invariante e, con la metrica -+++,

calcolato nel riferimento dello specchio vale -gamma(v_p),

che in modulo è una funzione crescente della velocità v_p del proiettile

e calcolato relativamente a un riferimento arbitrario permette di stabilire

se il modulo di v_p nel riferimento dello specchio risulti maggiore o no di v_max

a seconda che |ps| risulti o no maggiore di gamma(v_max).

Comunque tutti i metodi citati si equivalgono sostanzialmente, stiamo sempre

sfruttando il Princìpio di Relatività per riconoscere che la descrizione del fenomeno

si può ricondurre a quella che risulta nel riferimento dello specchio...

Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[tuc...@katamail.com]

Il giorno mercoledì 7 febbraio 2024 alle 08:10:04 UTC+1 Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il 05/02/2024 17:31, tuc...@katamail.com ha scritto:
> >

> > Mi sono imbattuto su facebook in una questione banale, relativa alle trasformazioni di Lorentz, che mi ha portato ad un’altra questione, apparentemente altrettanto banale, e che però mi lascia in scacco.
> Se ho ben capito cosa ti gira per la testa, allora dico che il tuo
> problema è malposto.
> Non è possibile rispondere perché manca un dato: la massa del vetro.

> A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile...



Grazie per la risposta, probabilmente sarei in grado di seguire la risposta inerente l'analisi con la quantità di moto, ma non l'ho fatto perchè temo di non essermi spiegato bene.
Avevo anche scritto una breve risposta ad un altro intervento ieri, spero nel frattempo non venga pubblicato perchè sembrerei davvero

Ho già esplicitamente detto che le caratteristiche del proiettile sono note (ne ho elencate alcune: massa, forma, materiale); ma implicitamente anche del vetro.

Io semplicemente ho in mente questi fatti, almeno uno dei quali deve essere sbagliato. Vorrei capire come si analizza questo problema al cambio di riferimento, ammesso sia possibile farlo, senza cambiare approccio (cioè senza fare il calcolo che mi hai gentilmente illustrato)

1) costruisco un vetro e verifico sperimentalmente che non si infrange e trattiene il proiettile tal dei tali (completamente noto) fino diciamo a 0.88c (uso velocità irrealistiche per rendere più evidente l'effetto composizione delle velocità);


2) un laboratorio non solidale al vetro verifica che il medesimo proiettile che viaggia (nel riferimento del vetro) a 0.88 c viaggia a 0.6c e il vetro a 0.6c nell'altro verso. Come può ragionare il tecnico di laboratorio che assiste all'urto se vuole prevederne l'esito avendo in mando la mia garanzia di vetraio?

Certamente può farsi i conti relativi alle condizioni sperimentali in cui il certificato è prodotto, applica Lorentz, verifica che il proiettile si muove a 0.88c e pertanto è border line rispetto alla rottura/non rottura.


Però questo mi sembra un trucco. Restando nel mio laboratorio a me verrebbe da dire che la velocità limite andrebbe paragonata alla somma delle due velocità nel mio riferimento (ossia 1.2c), ma allora evidentemente trarrei una conclusione sbagliata, perchè prevederei una catastrofica rottura.
Evidentemente quindi commetto uno o più probabilmente più errori, e non so individuarli.
Avevo già risposto in un messaggio non publicato: sì, assumo che la velocità sia ortogonale al vetro.

[Giorgio Bibbiani]

Il 07/02/2024 00:58, Bruno Cocciaro ha scritto:
...

> Non è possibile rispondere perché manca un dato: la massa del vetro.

> A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile,...

Secondo me, una volta riconosciuto che nel riferimento del vetro si definisce il valore

v_max come in precedenza, allora il problema risulta puramente di cinematica,

come da mie risposte precedenti.

...

> p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],

...

L'equazione sopra è dimensionalmente scorretta.

Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[Bruno Cocciaro]

Il 07/02/2024 16:25, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Il 07/02/2024 00:58, Bruno Cocciaro ha scritto:
> ...
>> Non è possibile rispondere perché manca un dato: la massa del vetro.
>> A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile,...
>
> Secondo me, una volta riconosciuto che nel riferimento del vetro si
> definisce il valore
>
> v_max come in precedenza, allora il problema risulta puramente di
> cinematica,
>
> come da mie risposte precedenti.

Certo, la tua risposta di oggi pomeriggio alle 16:25 è inappuntabile.
Il che prova anche che è sbagliata la mia risposta mandata poco dopo la
mezzanotte (alle 0:58).

Il punto è che i calcoli mi paiono corretti (correggo sotto errori di
battitura) quindi deve essere sbagliata la conclusione che ne traggo.
Esprimendo i risultati in termini delle v (o delle u=v/Sqrt[1-(v/c)^2]),
le masse devono semplificarsi. Ma non vedo come ciò possa accadere :-(.

> p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],

p_cm(p',P')=(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p'
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]

Ricordando la definizione di p_cm data dalla (*) del mio precedente
post, sembrerebbe che la disequazione che, in base al mio discorso,
dovrebbe certificare che il vetro non si rompe, cioè

p_cm(p',P')<p_cm
ovvero
(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p'
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]
<
p_max * Mc/Sqrt[M^2c^2+m^2c^2+2McSqrt[m^2c^2+p_max^2]]

si debba poter esprime solo in termini u_max=p_max/m, u'=p'/m e U'=P'/M
(cioè la risposta alla domanda "il vetro si rompe?" è esclusivamente
cinematica).
Anche nel caso limite p_max>>Mc (e M>>m), quando la disequazione si
approssima a
(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p'
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]
<
Sqrt[M c p_max/2]
mettendola solo in termini di u_max, u' e U' a me pare rimangano termini
in m/M e in (m/M)^2 che non vedo come possano scomparire.
Avrò sbagliato i calcoli, ma li ho controllati con Mathematica, boooh

Ciao,

[Giorgio Bibbiani]

Ho scritto:

...

> (2)  p_cm^2 =  p'_max^2 M^2 / (m^2 + M^2 + 2M Sqrt[p'_max^2 + m^2])

> cioè il massimo valore della q.d.m. che il proiettile può avere nel c.d.m.

> dipende non solo da quello che può avere in K' ma anche dalle 2 masse,

>il ché è plausibile

...


Detto meglio, dato che la velocità del sistema del c.d.m. rispetto a K'

dipende anche dai valori delle 2 masse, è prevedibile che il valore di

p_cm relativo a quel sistema dipenda anch'esso dalle 2 masse...

RiCiao

--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Il 08/02/2024 00:33, e in precedenza, Bruno Cocciaro ha scritto:
...

> Nel riferimento del centro di massa siano p_cm e P_cm le quantità di moto rispettivmente di proiettile e vetro. Naturalmente sarà P_cm=-p_cm.

...

> Quindi, osservando il fenomeno da un qualsiasi altro riferimento, K', dette p' e P' le quantità di moto di proiettile e vetro in K', si
determina la quantità di moto di proiettile e vetro nel >riferimento del centro di massa, viene

...

> p_cm(p',P')=(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p' Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]

...

Anche la formula sopra non mi sembra corretta:

consideriamo il caso limite per cui K' sia già il sistema "del c.d.m.",

cioè p' = -P', allora risulterebbe

p_cm(p',-p') = p'(-Sqrt[m^2c^2+p'^2]+ Sqrt[M^2c^2+p'^2])/(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+p'^2])

che in modulo è diverso da |p'|, come invece dovrebbe essere.

Credo che per un refuso il segno + tra gli addendi a numeratore abbia

sostituito il corretto segno -, allora la formula sopra coinciderebbe con

quella che ricavo a seguito.


I 2 quadrimomenti in K' abbiano componenti (c = 1, considero solo una dimensione spaziale)

(Sqrt[p'^2 + m^2], p') e (Sqrt[P'^2 + M^2], P'),

nel riferimento del c.d.m. nel quale la parte spaziale del quadrimomento totale è nullo hanno componenti

(Sqrt[p_cm^2 + m^2], p_cm) e (Sqrt[p_cm^2 + M^2], -p_cm)

essendo il loro p.s. invariante si ha

- Sqrt[(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)] + p' P' = -Sqrt[(p_cm^2 + m^2)(p_cm^2 + M^2)] - p_cm^2  =>

(1)  p_cm^2 = (2 p'^2 P'^2 - 2 p' P' Sqrt[(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)] + p'^2 M^2 + P'^2 m^2) /

(m^2 + M^2 - 2 p' P' + 2Sqrt [(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)]).


Verifichiamo la (1) in alcuni casi limite:

- se M = 0 e P' = 0 allora |p_cm| = 0

come deve essere perché il riferimento del c.d.m. è quello del corpo di massa m

- se p' = -P' allora |p_cm| = |p'|

come deve essere perché il riferimento del c.d.m. è K'.


Imponiamo ora che K' sia il riferimento di quiete del vetro (P' = 0) e

che allora p' assuma il valore massimo p'_max, si ottiene:

(2)  p_cm^2 =  p'_max^2 M^2 / (m^2 + M^2 + 2M Sqrt[p'_max^2 + m^2])

cioè il massimo valore della q.d.m. che il proiettile può avere nel c.d.m.

dipende non solo da quello che può avere in K' ma anche dalle 2 masse,

il ché è plausibile considerando che nella legge di trasformazione della q.d.m.

compaiono anche le masse (nella formula dell'energia, ovverosia come quadrato

invariante del quadrimomento), diversamente dal caso della velocità...


Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[Bruno Cocciaro]

Il 11/02/2024 17:23, Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Detto meglio, dato che la velocità del sistema del c.d.m. rispetto a K'
>
> dipende anche dai valori delle 2 masse, è prevedibile che il valore di
>
> p_cm relativo a quel sistema dipenda anch'esso dalle 2 masse...

scusami per il ritardo, ma deve essersi persa da qualche parte la
risposta che ti avevo mandato.
Provo a ricostruirla.

Il punto non è che p_cm dipenda dalle masse, m e M.

Il punto è che, come hai fatto notare tu correggendo quanto avevo detto
io, il problema è *cinematico*.
Quindi, detta p_cm il massimo valore della quantità di moto (del vetro o
del proiettile è la stessa cosa in valore assoluto) nel riferimento del
c.m. per il quale il vetro non si rompe,
essendo

(1) p_cm=p_max * Mc/Sqrt[M^2c^2+m^2c^2+2McSqrt[m^2c^2+p_max^2]]

dove p_max è la massima qdm del proiettile nel riferimento di quiete del
vetro per la quale il vetro non si rompe,
ed essendo che, posto che siano p' e P' le qdm di proiettile e vetro in
K', si ha che la quantità di moto del proiettile nel riferimento del
centro di massa è (questa è la formula che in prima istanza avevo
scritto sbagliata anche dimensionalmente, poi, dopo averla corretta su
tuo avviso, ci ho messo ancora un errore di segno, anche quello poi da
te rilevato)

(2) p_cm(p',P')=(-P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p'Sqrt[M^2c^2+P'^2]) /

Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]

(per inciso, naturalmente sarà P_cm(p',P')=-p_cm(p',P') )
otteniamo che la disequazione

(3) p_cm(p',P')>p_cm

significa "il vetro si rompe" (con p_cm dato da (1) e p_cm(p',P') dato
da (2)).

Ora la (3), posti
p_max=m*u_max,
p'=m*u',
P'=M*U',
eps=m/M,
b'=u'/c,
B'=U'/c,
sempre salvo errori,
si può ridurre a

(***) (b'Sqrt[1+B'^2]-B'Sqrt[1+b'^2]) /
Sqrt[(eps*Sqrt[1+b'^2]+Sqrt[1+B'^2])^2 - (eps*b'+B')^2]
>
(u_max/c) / Sqrt[1+eps^2+2epsSqrt[1+(u_max/c)^2]].

Ora, dire che il problema è cinematico equivale a dire che la (***) deve
potersi scrivere in temini di soltanto b', B' e u_max/c, cioè deve
potersi "semplificare" la eps.
E non riesco proprio a vedere come ciò sia possibile.

Questo è il mio problema. Ho cercato di fare i salti mortali con
Mathematica ma non ci sono riuscito (si fa per dire, in realtà, come è
peraltro evidente, con Mathematica riesco a fare sì e no qualce
capriola). Mi veniva sempre che la eps non poteva scomparire. Per
questo, prima del tuo intervento indiscutibile, avevo detto che il
problema era dinamico.
Però, certo, non è un gran problema. Sul fatto che la eps debba poter
scomparire dalla (***) direi che non debbano esserci dubbi. Il fatto che
io non riesca a farla scomparire può avere la semplice spiegazione che
io non so usare Mathematica :-).

[Giorgio Bibbiani]

Il 20/02/2024 01:23, Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il 11/02/2024 17:23, Giorgio Bibbiani ha scritto:
>
>> Detto meglio, dato che la velocità del sistema del c.d.m. rispetto a K'
>>
>> dipende anche dai valori delle 2 masse, è prevedibile che il valore di
>>
>> p_cm relativo a quel sistema dipenda anch'esso dalle 2 masse...
>

> ...

>
> Il punto non è che p_cm dipenda dalle masse, m e M.
>
> Il punto è che, come hai fatto notare tu correggendo quanto avevo detto io, il problema è *cinematico*.

Si suppone che il proiettile di massa m spezzi il vetro di massa M

solo se la sua velocità relativa al vetro e diretta perpendicolarmente

al vetro sia maggiore di v_max.


Siano v e V le velocità di proiettile e vetro relative a un riferimento K', allora

la velocità del riferimento del c.d.m. rispetto a K' dipende da m e M, trasformando

v e V nel riferimento del c.d.m. anche le velocità trasformate v_cm e V_cm

dipenderanno da m e M, e anche la condizione che stabilirà se per una data v_cm

il vetro allora si spezzerà dipenderà da m e M: il problema _è_ di cinematica,

ma le masse compaiono necessariamente perché abbiamo (hai...;-)

deciso di risolverlo nel riferimento  del c.d.m..


Dato che ciò che si calcola nel caso generale relativistico (risultato che ho già scritto)

deve valere anche nel limite non relativistico, provo a convincerti con il

calcolo immediato nel caso n.r.:

relativamente al riferimento del vetro, il riferimento del c.d.m. ha velocità

v m / (m + M), la velocità del proiettile trasformata al c.d.m. è v_cm = v M / (m + M),

la condizione che deve essere soddisfatta perché il vetro non si spezzi è

v_cm < v_max M / (m + M).

Come vedi, il problema rimane di cinematica, ma le masse compaiono

nella soluzione perché abbiamo arbitrariamente deciso di risolverlo

relativamente al riferimento del c.d.m..

Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Il 20/02/2024 20:20, Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il 20/02/2024 13:33, Giorgio Bibbiani ha scritto:
...
>> la velocità del riferimento del c.d.m. rispetto a K' dipende da m e M, trasformando v e V [v' e V'] nel riferimento del c.d.m. anche le
>> velocità trasformate v_cm e V_cm [v_cm(v',V') e V_cm(v',V')=-(m/M)v_cm(v',V')] dipenderanno da m e M, e anche la condizione che stabilirà se

>> per una data v_cm il vetro allora si spezzerà dipenderà da m e M
>

> No. È questo il punto.
> Dato v_max, si può determinare la v_cm massima oltre la quale il vetro si rompe. Nel caso non relativistico viene
> (1) v_cm(massima)=v_max*M/(m+M).

Nota: rispondo anche sul ng al tuo messaggio in e-mail.


Io avevo inteso che questo fosse il punto: la massima velocità che

il proiettile può assumere relativamente al riferimento del c.d.m.

dipende da m e da M, cioè supponevo che si volesse ottenere

una condizione che dipendesse _solo_ da v_cm, allora la

dipendenza da m e da M rimane.


> Dati v' e V' in K', si ha
> (2) v_cm(v',V')=(v'-V')*M/(m+M).
> La condizione che ci dice se il vetro si rompe è la
> (3) v_cm(v',V')>v_cm(massima)
> con v_cm(massima) data dalla (1) e v_cm(v',V') data dalla (2).
> Questa condizione, la (3), *non può* dipendere dalle masse perché il problema è cinematico. Infatti, nel caso non relativistico, le masse si
> semplificano banalmente:
> (***) (v'-V')*M/(m+M)>v_max*M/(m+M)<->v'-V'>v_max.

Va bene, ma allora hai semplicemente riscritto che la velocità del proiettile

relativa al vetro, ovverosia la velocità del proiettile nel riferimento del vetro,

non può superare v_max, ed è sparita la _sola_ velocità del proiettile nel riferimento

del c.d.m..

Anche nel caso relativistico, come già scritto, si ottiene un risultato

analogo in cui viene a mancare la dipendenza da m e da M,

ragionando con le rapidità o le quadrivelocità di _entrambi_

i corpi relative a un riferimento arbitrario.

Ciao

--
Giorgio Bibbiani

[Bruno Cocciaro]

Il giorno martedì 20 febbraio 2024 alle 22:40:05 UTC+1 Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Nota: rispondo anche sul ng al tuo messaggio in e-mail.

mi sembrava strano vedere la tua risposta al mio intervento senza che vedessi prima la pubblicazione dello stesso. Scusami, volevo spedire sul gruppo ma, come mi succede ogni tanto, ho spedito email all'utente invece che post al gruppo (per quanto mi riuarda, sarebbe molto meglio se Thunderbird mettesse i due tastini ben separati).

> Va bene, ma allora hai semplicemente riscritto che la velocità del proiettile
> relativa al vetro, ovverosia la velocità del proiettile nel riferimento del vetro,
> non può superare v_max, ed è sparita la _sola_ velocità del proiettile nel riferimento
> del c.d.m..
>
> Anche nel caso relativistico, come già scritto, si ottiene un risultato
> analogo in cui viene a mancare la dipendenza da m e da M,
> ragionando con le rapidità o le quadrivelocità di _entrambi_
> i corpi relative a un riferimento arbitrario.

esatto. Direi che ora ci siamo capiti fino in fondo.

Posta la mancanza sul gruppo del post al quale rispondi sopra (che era tale solo nelle intenzioni), riassumo il punto per eventuali altri lettori.

Le (1), (2), (3) e (***), che ricordi nella tua risposta del 20 feb ore 22:40:05, sono la versione prerelativistica delle (1), (2), (3) e (***) che metto nella forma generale (relativistica) nel mio post del 20 feb ore 08:25:05.

La relazione che cercavo, che, come dici, si ottiene in un attimo nella maniera segnalata da te nel post del 07 Feb ore 08:10:06, avevo avuto la "furbata" di cercarla passando per il riferimento del centro di massa. E avevo ottenuto la (***) del mio post del 20 feb ore 08:25:05, cioè

(***) (b'Sqrt[1+B'^2]-B'Sqrt[1+b'^2]) /
Sqrt[(eps*Sqrt[1+b'^2]+Sqrt[1+B'^2])^2 - (eps*b'+B')^2] >
(u_max/c) / Sqrt[1+eps^2+2epsSqrt[1+(u_max/c)^2]]

con le definizioni di b', B', u_max/c, eps riportate nello stesso post.
Siccome la soluzione segnalata da te, nella stesse notazioni, è

(**) Sqrt[1+b'^2]*Sqrt[1+B'^2] - b' B' > Sqrt[1-(u_max/c)^2]


mi chiedevo come la mia complicatissima (***) potesse ridursi alla tua molto più semplice (**), in particolare come potesse mostrarsi che nella (***) si deve poter sempificare la dipendenza da eps.


Siccome con Mathematica non riuscivo a dimostrale l'equivalenza fra le (***) e (**), e non riuscivo a vedere errori di calcolo nella (***) (in particolare non ne vedevo dopo i tuoi controlli, con segnalazione delle correzioni da apportare), mi rimaneva sempre un piccolo dubbio che stessi facendo qualche errore concettuale (cioè che potesse non essere vero che le (***) e (**) sono equivalenti) che però non vedevo come potesse esserci.

Ad ogni modo, con Mathematica, per quanto non riesca a dimostrare l'equivalenza per ogni quadrupla (b', B', u_max/c, eps), ieri ho provato a mostrare l'equivalenza numerica fra le due equazioni associate alle (***) e (**). Quella torna perfettamente per tutte le quadruple che ho provato.

> Ciao

Ciao,
Bruno Cocciaro