Geometria dell'universo
luca
internet :
L' equazione del campo di Einstein che determina la geometria
dell'universo (senza la costante
cosmologica) e' :
Ruv - 1/2g uv R = - 8 (pi greco) G T uv
Pero' se facciamo l'ipotesi che l'universo sia omogeneo, isotropico e
a curvatura costante questa formula tensoriale (ricordando che R uv ,
g uv , T uv sono tensori, cioe' rappresentano configurazioni di
elementi e non singoli numeri), si semplifica e diventa una equazione
differenziale scalare scritta nel modo seguente :
(R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P
Dove P = densita' dell'universo = 5x10^-30 g/cm^3
R = e' uno scalare che misura la grandezza dell'universo
R' = e' la derivata di R che misura la velocita' con cui la
grandezza dell'universo cambia
K = curvatura dell'universo che puo' assumere valori K=0 K=1
K= -1
Pi greco = 3,14.................
G = costante gravitazionale = 6,67 x 10^-11 m^3 x Kg^-1 x s^-2
Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
inserire nella formula ?
E quale valore avra' la sua derivata R' ? che devo inserire nella
formula ?
Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
che K = 0 , 1 , -1
avro' 0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2 (anche se
non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
vale se pongo K =-1
Quindi nella formula (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P quel
K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Naturalmente non e' che voglio correggere la formula.......ci
mancherebbe ! E' solo per dirvi che non ho capito un cavolo e vi sarei
molto grato se qualcuno mi aiutasse a capire .
Luca
Aleph
...
> Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
> inserire nella formula ?
Dalla domanda mi pare di capire che non hai ben chiaro cosa sia
un'equazione differenziale e quale sia il senso (matematico ancor prima
che fisico) delle sue possibili soluzioni.
L'equazione che hai dato va risolta in modo da ottenere, se possibile e
conveniente, l'espressione analitica della funzione incognita R(t) in
funzione della variabile indipendente, che in questo caso � il tempo t.
A meno che non si intenda utilizzare (ma in questo caso non � necessario)
metodi di risoluzione numerica, non si procede calcolando il valore
numerico dei vari termini.
> E quale valore avra' la sua derivata R' ? che devo inserire nella
> formula ?
Vedi sopra.
> Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
> che K = 0 , 1 , -1
> avro' 0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2 (anche se
> non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
> al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
> vale se pongo K =-1
Il valore di R viene definito a partire da una condizione di
normalizzazione, che usualmente pone uguale a 1 il suo valore al tempo
presente, ovvero R(to) = 1.
Quello che dici sulla grandezza del termine di curvatura (che di solito
compare moltiplicato per c^2) � vero, ma le cose vanno in verso opposto a
quanto supponi, poich� al crescere di t (nel caso in cui sia K =/= 0) il
peso relativo di questo termine aumenta rispetto agli altri due, visto che
questi ultimi vanno a zero molto pi� velocemente.
In sintesi la curvatura (positiva o negativa che sia) diventa sempre meno
importante quanto pi� ci si avvicina al momento del big-bang.
A titolo di cronaca, in accordo al mood cosmologico del momento, k = 0 e
si ritiene esistere (ma il consenso non � unanime) un contributo dominante
della costante cosmologica all'energia complessiva dell'universo; pertanto
l'equazione di Friedmann che viene utilizzata attualemnte perde il termine
di curvatura e ne acquista uno aggiuntivo contenete la costante
cosmologica, rispetto alla versione di base da te riportata.
> Quindi nella formula (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P quel
> K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Tiene conto della eventuale curvatura su vasta scala, nel senso della
geometria degli spazi di Riemann, dell'Universo in cui viviamo.
Saluti,
Aleph
--
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Aleph
> luca ha scritto:
...
> > Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
> > che K = 0 , 1 , -1
> > avro' 0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2 (anche se
> > non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
> > al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
> > vale se pongo K =-1
...
> Quello che dici sulla grandezza del termine di curvatura (che di solito
> compare moltiplicato per c^2) � vero, ma le cose vanno in verso opposto a
> quanto supponi, poich� al crescere di t (nel caso in cui sia K =/= 0) il
> peso relativo di questo termine aumenta rispetto agli altri due, visto che
> questi ultimi vanno a zero molto pi� velocemente.
...
Sorry, questo l'ho detto male.
In realt� il termine che sicuramente va a zero pi� velocemente (come 1/R^3
per la precisione) del termine di curvatura � il termine di densit�
(quello a secondo membro).
Il primo termine a primo membro va a zero prima del termine di curvatura
solo se K = 1 (caso dei modelli di universo chiusi); se K = -1 invece i
due termini vanno a zero con la stessa velocit� (infinitesimi dello stesso
ordine per R --> oo) .
dumbo
news:aeb3fb15-74cd-49bc...@a10g2000yqn.googlegroups.com...
> Riporto qui di seguito una parte di alcune pagine trovate in
> internet :
> L' equazione del campo di Einstein che determina la geometria
> dell'universo (senza la costante cosmologica) e' :
>
> Ruv - 1/2g uv R = - 8 (pi greco) G T uv ( 1 )
>
> Pero' se facciamo l'ipotesi che l'universo sia omogeneo, isotropico e
> a curvatura costante questa formula tensoriale (ricordando che R uv ,
> g uv , T uv sono tensori, cioe' rappresentano configurazioni di
> elementi e non singoli numeri), si semplifica e diventa una equazione
> differenziale scalare scritta nel modo seguente :
>
> (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) D ( 2 )
>
> Dove D = densita' dell'universo = 5x10^-30 g/cm^3
> R = e' uno scalare che misura la grandezza dell'universo
> R' = e' la derivata di R che misura la velocita' con cui la
> grandezza dell'universo cambia
> K = curvatura dell'universo che puo' assumere valori K=0 K=1
> K= -1
> Pi greco = 3,14.................
> G = costante gravitazionale = 6,67 x 10^-11 m^3 x Kg^-1 x s^-2
> Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
> inserire nella formula ?
Ho modificato lievemente le formule che hai scritto:
per comodit� ho aggiunto i numeri di riferimento ( 1 )
e ( 2 ) e ho sostituito D a P (P � pi� adatto a indicare la
pressione).
Aggiungo, a scanso di rovinosi equivoci, che la R della ( 1 )
_non_ � la R della ( 2 ), ma probabilmente te ne eri gi� accorto.
Detto questo, vengo alla tua domanda:
> Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
> inserire nella formula ?
dipende: se K =/= 0, cio� se lo spazio tridimensionale � curvo,
R � il suo raggio di curvatura; se invece K = 0 (spazio piatto)
R � una funzione che ti dice come varia col tempo cosmico t
la distanza tra due corpi che seguono liberamente l' espansione
dello spazio.
Puoi scegliere due corpi qualsiasi purch� siano abbastanza lontani
tra loro da non influire gravitazionalmente in modo notevole
l'uno sull' altro. Qualunque coppia tu scelga, la forma della
funzione R(t) � sempre la stessa anche se il valore numerico
di R dipende dalla coppia scelta (in un certo istante t, R �
grande se i due corpi sono molto lontani, ed � meno grande
se sono meno lontani).
Nel modello che proponi (Friedmann piatto senza costante cosmica)
se la densit� della radiazione � trascurabile rispetto a quella
della materia hai D = A / R^3 ( A = costante nel tempo, perch� la massa
si conserva) e come puoi subito verificare sostituendo nella ( 2 )
hai R = B t ^ ( 2 / 3 ) dove B � una costante che dipende dalla
coppia scelta, e R � la distanza che separa i due corpi; t � il tempo
cosmico
(presumo tu sappia cosa sia).
> E quale valore avra' la sua derivata R' ? che devo inserire nella
> formula ?
lo vedi subito, �: R' = ( 2 / 3 ) B t ^ ( - 1/3 ) .
La cosiddetta costante di Hubble (che forse � meglio chiamare
parametro perch� � s� vero che � la stessa per tutte le galassie,
ma cambia nel tempo) � per definizione H = R' / R e quindi nel
nostro caso H = 2 / ( 3 t ) . Come vedi B � scomparso; la H infatti �
un parametro tipico dell' universo, e non dipende dalla coppia considerata.
D' ora in poi per costante intender� "indipendente da t ".
> Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
> che K = 0 , 1 , -1
> avro' 0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2 (anche se
> non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
> al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
> vale se pongo K =-1
> Quindi nella formula (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P quel
> K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Vedo che Aleph ti ha gi� risposto, da parte mia aggiungo solo qualche
dettaglio matematico; la trascurabilit� del termine di curvatura K / R^2
dipende dal caso che consideri; se consideri l' universo primordiale, cio�
molto antico, allora R --> 0 , perch� R � tanto pi� piccolo quanto pi�
l'universo
� giovane, e qui per giovane intendo semplicemente "vicino all'istante t = 0
in cui � cominciata l'espansione (e non dico "in cui � cominciato
l'universo"
come molti fanno, perch� non � detto che i teoremi di Hawking e
Penrose sulle singolarit� siano applicabili all'universo reale).
In tal caso la radiazione predomina sulla materia e per la legge di Stefan
hai
D = a T^4 ( T � la temperatura assoluta e a la costante di Stefan-Boltzmann)
e quindi la ( 2 ) ti d�:
( R ' ) ^2 + K = b R^2 T^4 ( 3 )
dove b = costante.
Ora, siccome l'espansione � adiabatica e quindi R T non cambia nel tempo,
la ( 3 ) ti d�:
( R' ) ^ 2 + K = q / R^2 ( 4 )
con q = costante.
E' chiaro che se R --> 0 , il secondo membro predomina
su K che � costante, e quindi puoi trascurare K e scrivere:
( R' )^2 = q / R^2 ( 5 )
che integrata ti d� la legge di espansione R / t^(1/2) = costante
e (per la TR = costante) ti d� la famosa legge che lega la temperatura
al tempo, T t^(1 / 2 ) = costante, e che finora ha resistito a tutti i
test
osservativi.
Quindi come vedi nell' universo molto antico � lecito
trascurare la curvatura K / R^2 dello spazio.
Quando per� R cresce, la materia predomina sulla radiazione
e la curvatura non � pi� trascurabile (tranne ovviamente
che nel caso euclideo, K = 0 ).
Lo vedi subito dalla ( 2 ), mettendoci dentro D R^3 = costante
(perch� DR^3 � proporzonale alla massa della materia contenuta
nel volume R^3, massa che si conserva nel tempo) ; hai
( R ' ) ^2 + K = C / R ( 6 )
C = costante
Se l'espansione progredisce verso l'infinito (R --> infinito)
il secondo membro tende a zero e ti resta, al limite:
R' = sqrt ( - K ) ( 7 )
che implica K = 0 (spazio piatto) oppure K = -1 (spazio iperbolico).
ed esclude lo spazio chiuso ( K = + 1 ) ; questo perci� non ammette
R --> infinito e infatti se integri la ( 6 ) con K = +1 ti trovi una R ( t )
che raggiunge un massimo ( = sqrt C ) e poi diminuisce fino a R = 0.
Il diagramma R - t � una cicloide.
Come vedi nel caso dominato dalla materia � impossibile
trascurare la curvatura (quando c'�) dello spazio.
Ciao
Corrado