Definizione dei sistemi di riferimento inerziali in meccanica classica
Giovanni Piredda
Ciao a tutti,
sono nuovo del gruppo; mi ha incuriosito un messaggio in cui un
frequentatore del gruppo ha dichiarato di avere riflettuto molto su come
si definiscono i sistemi inerziali in Meccanica Classica.
Ho cercato il messaggio prima di postare per poterlo citare ma purtroppo
non lo ho piu' trovato.
Ora espongo il metodo che conosco io per definire i sistemi inerziali in
m.c. (lo ho preso e un po' adattato dalla "Fisica di Berkeley") e mi
piacerebbe che qualcuno mi indicasse i punti che non sono corretti
logicamente.
Prendo un corpo; lo allontano da tutti gli altri in maniera tale che
questo corpo non interagisca con gli altri corpi ("con sufficiente
approssimazione").
Visto che questo corpo non interagisce con nessun altro, dico che la
forza che agisce su questo corpo e' nulla (e questo lo faccio
arbitrariamente, definisco cosi' la forza nulla).
Guardo come si muove il corpo e definisco un sistema di riferimento che
si muove esattamente come si muove il corpo.
Questo e' il "padre" dei sitemi di riferimento inerziali, per
definizione.
Il principio di inerzia (sperimentale) e' quindi:
prendo un altro corpo;
lo allontano come il primo da tutti gli altri corpi in maniera tale da
essere "sicuro" che la forza che agisce su di esso e' uguale a zero;
allora questo corpo si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema di
riferimento inerziale che ho definito e ho chiamato "padre".
Dato poi che la caratteristica del moto di essere rettilineo e uniforme
non cambia se il moto viene osservato da altri s.d.r che siano in moto
rettilineo uniforme rispetto a quello che e' stato definito per primo,
allora esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali.
L'unica cosa che mi viene in mente e' che allontanare un corpo da tutti
gli altri per potergli assegnare F=0 e' artificiale, ma non so come fare
diversamente.
Ciao e grazie,
Giovanni
Valter Moretti
Giovanni Piredda wrote:
> Ciao a tutti,
> sono nuovo del gruppo; mi ha incuriosito un messaggio in cui un
> frequentatore del gruppo ha dichiarato di avere riflettuto molto su come
> si definiscono i sistemi inerziali in Meccanica Classica.
Ciao, probabilmente ero io...
Credo ti riferissi a questo mio messaggio di cui riporto la parte
rilevante:
> La dinamica classica viene (modernamente) formulata
> in sistemi di riferimento detti inerziali nel modo che segue.
>
> Questi sono *definiti*, se esistono, come sistemi di
> riferimento in cui *tutti* corpi sufficientemente lontani
> tra di loro, si muovono di moto rettilineo uniforme.
>
> Il fatto che esistano tali sistemi di riferimento non e'
> per niente ovvio (prova a pensare di avere piu' di un corpo e
> te ne accorgi).
> Ora non mettiamoci a discutere se esistano o meno
> (perche' tanto non esistono rigorosamente parlando se vale
> la relativita' generale ed avrebbero significato
> solo locale [in regioni pero' "grandi" ], ma la questione
> sarebbe lunga...)
>
> Vale un teorema che dimostra che se e' dato un sistema
> inerziale K allora K' e' inerziale se e solo se e' in moto
> rettilineo uniforme rispetto a K.
>
> Veniamo alla *dinamica*.
>
> Nei sistemi *inerziali* quando i corpi di prova si avvicinano
> tra di loro, smettono di muoversi di moto rettilineo uniforme
> e accade che vale (nel senso che cio'
> si verifica sperimentalmente) *la seconda*, la *terza legge*
> della dinamica ed il *determinismo*.
>
> Questo significa che presi DUE corpi (punti materiali) ,
> esistono due costanti positive dipendenti solo dai
> corpi, m_1 e m_2, di posizioni p1 e p2
> (in realta' questo e' vero dopo che uno dei due e' stato preso
> come unita' di misura) tali che, calcolando le velocita' rispetto
> al sistema inerziale vale che
>
> P = m1v1 + m2v2 e' una costante nel moto
>
> (terza legge della dinamica in forma di conservazione
> della q.di moto)
>
> inoltre esiste una funzione (da determinarsi sperimentalmente)
> che puo' solo avere la forma (determinismo)
>
> f= f (p1-p2,v1-v2)
>
> tale che vale la seconda legge della dinamica:
>
> m1 d v1 / dt = f12 (p1,p2,v1,v2)
>
> e
>
> m2 d v2/ dt = f12 (p1,p2,v1,v2)
>
> dove f12 = f e (dalla terza legge) f21 = -f
>
> f 12 e' detta forza che il corpo 2 esercita su 1 e f21
> e' detta forza che 1 esercita su 2.
>
> Le due equazioni trovate sono equazioni differenziali
> in forma normale per cui note posizioni e velocita'
> ad un istante, il moto e' determinato (dal punto di vista
> matematico ci vuole qualche altra ipotesi, continuita'
> di f e locale lipschitzianita'). In questo senso,
> il sistema fisico *autodetermina* il suo moto in ogni
> sistema di riferimento inerziale.
>
> A questo punto si dimostra subito, dal teorema di sopra,
> che cambiando sistema di riferimento inerziale lo schema
> di sopra continua a sussistere purche' si assuma che le
> funzioni di forza siano degli *invarianti*, cioe' siano
> indipendenti dal sistema di riferimento.
>
> Per concludere si assume che valga un principio di
> *sovrapposizione vettoriale* delle forze considerando tutte le
> coppie possibili di punti se ce n'e' piu' di una.
>
> Il concetto di forza attiva newtoniana e' definito nel contesto
> di sopra (deve essere ampliato considerando sistemi vincolati
> in cui si introducono le forze reattive, ma non mi dilungo),
> in particolare una forza e' una funzione delle sole variabili sopra
> citate che deve soddisfare la seconda legge in un sistema di
> riferimento *inerziale* ecc ecc.
>
> Come si imposta la dinamica in un sistema di riferimento non
> inerziale K'?
>
> Ci si riferisce ad un sistema di riferimento inerziale
> K in cui il moto di K' e' supposto assegnato e si usa la pura
> e semplice cinematica. Se prendiamo la solita coppia di corpi
> in Kcon forza f(p1-p2,v1-v2) allora in K varra':
>
> m1a1 = f(p1-p2,v1-v2)
>
> dove a=dv/dt
>
> Visto che il moto di K' rispetto a K e' assegnato e che,
> usando la pura cinematica
>
>
> a = a' + A
>
> dove A e' "essenzialmente" l'accelerazione nota di K' in K
> ottenuta per via cinematica (in realta' bisognerebbe precisare
> introducendo le varie parti: centriPETA, Coriolis ecc..), allora
> posso scrivere
>
>
> m1 a'1 + m1A = f(p1-p2,v1-v2) ossia
>
> m1 a'1 = f(p1-p2,v1-v2) - m1A
>
> E quindi posso immaginare
>
> 1) di essere fittizziamente in un sistema inerziale
>
> 2) di interpretare -m1A come una forza (centriFUGA, ecc..)
>
> E' chiaro che in realta' stiamo forzando le cose e siamo ben fuori
> dallo schema iniziale e la nuova funzione di "forza" non e'
> una forza come quelle vere (f): dipende dal sistema di riferimento,
> non e' funzione delle posizioni e delle velocita' dei due corpi in K',
> ma contiene un riferimento ad K che non c'entra nulla con i due corpi.
> In K' il sistema meccanico non si autodetermina.
> In questo senso m1A NON e' una forza o che e' lo stesso: le forze
> fittizzie non esistono come forze, ma la loro spiegazione e' puramente
> cinematica e valutano di quanto il sistema di riferimento usato si
> discosti da uno inerziale.
>
>
Volevo fare quelche commento.
1) L'impostazione che ho dato sopra non e' assolutamente l'unica possibile
e non e'
nemmeno esente da critiche. Perche' per esempio non e' affatto detto che i
sistemi
inerziali definiti come sopra esistano. In termini assoluti NON esistono
perche'
la meccanica classica e' falsificata da quella relativistica generale.
Tuttavia sappiamo
che approssimativamente esistono perche' la meccanica classica funziona
molto bene
in moltissime situazioni.
2) Ho insistito sul quel *tutti*
> sono *definiti*, se esistono, come sistemi di
> riferimento in cui *tutti* corpi sufficientemente lontani
> tra di loro, si muovono di moto rettilineo uniforme.
>
Perche' se consideri un corpo solo riesci sempre a trovare un sistema di
riferimento in cui si muove di moto rettilineo uniforme in qualsiasi
situazione
dinamica! Se pero' ne hai piu' di uno non e' per niente evidente, e anzi in
generale
e' falso, che riesci a trovare un sistema di riferimento in cui *tutti* i
corpi che
consideri si muovono di moto rettilineo uniforme. Da questo punto di vista,
il fatto che se consideri tanti corpi *sufficientemente lontani*, ci sia un
riferimento in cui *tutti* loro si muovano di moto rettilineo uniforme e'
"un miracolo", una cosa per nulla ovvia ed e' questo il contenuto fisico
del principio d'inerzia.
3) Come avrai visto ho evitato di usare la parola "forza" nell'enunciare
il principio d'inerzia. Questo perche' secondo me produrrebbe un circolo
vizioso, dato che poi si pretende di definire il concetto di Forza usando
quello di sistema inerziale. Evidentemente non tutti sono convinti di cio'
visto che molti testi continuano ad enunciare il principio d'inerzia
usando
la parola "forza". Puo' darsi che qualcuno abbia anche ragione.
4) Dall'impostazione data risulta evidente che ci devono essere DUE tipi
di interazioni:
(a) quelle descritte da forze che "misurano" la deviazione del
moto dei corpi rispetto al moto inerziale.
(b) quelle che *costringono* i corpi "sufficientemente lontani" a
muoversi tra di loro di moto rettilineo uniforme.
Le seconde NON sono descrivibile i nell'ambito della meccanica
classica, ma forse lo sono nell'ambito della relativita' generale sotto
debite i potesi che confluiscono in parte nel "principio di Mach".
5) Le definizioni introdotte sopra, nella pratica non sono
rigorosamente applicabili se non indirettamente: e' ben difficile
sulla terra determinare un sistema inerziale "allontanando"
sufficientemente
i corpi l'uno dall'altro se non con rozze approssimazioni. Tuttavia, per
esempio, assumando che un sistema inerziale esista e quindi assumendo
la validita' della meccanica classica si ha per esempio che in un sisitema
di corpi "isolato" il centro di massa e' in moto inerziale in un sistema
inerziale. Ulteriormente, se uno dei corpi ha una massa molto piu'
grande dei rimanenti, allora occupera' un posto vicino al centro di massa.
Orbene, prendendo il sistema solare e considerandolo isolato, il sole
dovrebbe definire con buona approssimazione un sistema inerziale, almeno
piu' della terra. In effetti tale assunzione e' corroborata dalla
validita'
delle ottime previsioni della meccanica celeste per spiegare il moto dei
pianeti costruita da Newton.
In realta' si vede che nemmeno il sole e' un perfetto sistema inerziale
(perche' il sistema solare non e' isolato, ma e' nella Via Lattea e ruota
con essa...) e bisognerebbe ricorrere a precisazioni ulteriori, che pero'
non saprei la loro validita' in quanto sappiamo che la meccanica classica
su scale troppo grandi non vale ed e' sostituita dalla relativita'
generale.
In questo senso l'esistenza di un sistema che approssima un
sistema inerziale corrisponderebbe solo ad una soluzione particolare
delle equazioni di Einstein che si ha su regioni grandi ma limitate
ed e' determinata dalle masse esistenti e non riveste piu' il ruolo di
principio sostanziale ma solo di "accidente".
Torno al tuo post.
>
> Ora espongo il metodo che conosco io per definire i sistemi inerziali in
> m.c. (lo ho preso e un po' adattato dalla "Fisica di Berkeley") e mi
> piacerebbe che qualcuno mi indicasse i punti che non sono corretti
> logicamente.
>
> Prendo un corpo; lo allontano da tutti gli altri in maniera tale che
> questo corpo non interagisca con gli altri corpi ("con sufficiente
> approssimazione").
> Visto che questo corpo non interagisce con nessun altro, dico che la
> forza che agisce su questo corpo e' nulla (e questo lo faccio
> arbitrariamente, definisco cosi' la forza nulla).
> Guardo come si muove il corpo e definisco un sistema di riferimento che
> si muove esattamente come si muove il corpo.
> Questo e' il "padre" dei sitemi di riferimento inerziali, per
> definizione.
Ecco parli di "forza nulla" da subito. OK potrebbe andare perche' non
definisci il concetto di forza ma quello di foza nulla, poi bisogna
provare,
quando definisci il concetto di forza che la forza nulla corrisponde al
caso gia'
introdotto. E non ci dovrebbero essere problemi.
Invece c'e' un altro problema legato al fatto che consideri un unico
corpo!
Non c'e' fisica in quello che dici, nel senso che non c'e' modo
di stabilire "quando" e' sufficientemente "lontano" dagli altri corpi da
muoversi in moto inerziale, e poi moto *rettilineo uniforme rispetto a
chi*?
.
Devi prendere piu' corpi e allontanarli fino a quando non si muovono di
moto rettilineo uniforme *l'uno rispetto all'altro". A quel punto ti metti
in un sistema di riferimento in cui uno di questi corpi e' fermo e questo
e' sicuramente inerziale.
>
>
> Il principio di inerzia (sperimentale) e' quindi:
>
> prendo un altro corpo;
> lo allontano come il primo da tutti gli altri corpi in maniera tale da
> essere "sicuro" che la forza che agisce su di esso e' uguale a zero;
> allora questo corpo si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema di
> riferimento inerziale che ho definito e ho chiamato "padre".
>
Non e' mica detto per il motivo detto sopra...
>
> Dato poi che la caratteristica del moto di essere rettilineo e uniforme
> non cambia se il moto viene osservato da altri s.d.r che siano in moto
> rettilineo uniforme rispetto a quello che e' stato definito per primo,
> allora esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali.
>
> L'unica cosa che mi viene in mente e' che allontanare un corpo da tutti
> gli altri per potergli assegnare F=0 e' artificiale, ma non so come fare
> diversamente.
Guarda un po' se come ho fatto io ti convince di piu'.
>
>
> Ciao e grazie,
> Giovanni
Prego, ciao, Valter
Giovanni Piredda
Valter Moretti wrote:
> > La dinamica classica viene (modernamente) formulata
> > in sistemi di riferimento detti inerziali nel modo che segue.
> >
> > Questi sono *definiti*, se esistono, come sistemi di
> > riferimento in cui *tutti* corpi sufficientemente lontani
> > tra di loro, si muovono di moto rettilineo uniforme.
> >
cut
Valter,
ok, mi va bene cosi': non c'e bisogno di definire la "forza nulla" e basta fare
un'osservazione su un insieme di corpi.
Uno di questi giorni mi piacerebbe discutere anche del secondo principio; ho
letto un articolo di Lee Smolin (su una rivista divulgativa) in cui dice che se
uno cerca di definire prima la forza e poi cerca di verificare che F = ma vale
cade in un circolo vizioso.
Secondo me il circolo vizioso si riesce ad evitare definendo con attenzione le
forze in maniera statica (ad esempio definendo due forze uguali ed opposte
quelle che non cambiano il moto rettilineo uniforme del corpo su cui sono
applicate; poi ne si "gira" una, le si applica una alla volta sullo stesso
corpo, si trova che l'accelerazione e' uguale).
Ho bisogno di un po' di tempo per pensarci, ripostero' sull'argomento.
Giovanni
Valter Moretti
Giovanni Piredda wrote:
> Uno di questi giorni mi piacerebbe discutere anche del secondo principio; ho
> letto un articolo di Lee Smolin (su una rivista divulgativa) in cui dice che se
> uno cerca di definire prima la forza e poi cerca di verificare che F = ma vale
> cade in un circolo vizioso.
> Secondo me il circolo vizioso si riesce ad evitare definendo con attenzione le
> forze in maniera statica
Ciao, non credo che si riesca, perche` le forze sono funzioni
dell`"atto di moto" del punto materiale nel sistema inerziale
che consideri e quindi anche funzioni della velocita` del punto
ridursi a casi statici restringerebbe troppo la definizione di
forza.
Ciao, Valter