Senso fisico delle serie condizionatamente convergenti
Davide Venturelli
in fisica dello stato solido, per il calcolo dell'energia di Madelung,
ho incontrato una serie condizionatamente convergente, che fisicamente
rappresenta la somma dei contributi coulombiani dell'energia di tutti
gli atomi del cristallo. Il problema e' risolto attraverso il metodo di
Ewald (che fa uso della trasformazione teta e alla fine arriva a due
integrali che convergono dipendentemente dalla buona scelta di un
parametro) o da altri metodi che riarrangiano gli addendi in superfici
neutre che portano ad una successione di somme parziali che converge.
Mi chiedo io... ma che senso ha avere a che fare con serie
condizionatamente convergenti quando stiamo lavorando con equazioni
lineari dove vige il principio di sovrapposizione? L'Aschroft-Mermin
(se non ricordo male.. o forse era il Kittel) affronta in modo
abbastanza superficiale l'argomento dicendo che se non sommiamo nel
modo giusto possiamo arrivare ad una qualunque energia semplicemente
modificando le condizioni superficiali e riarrangiando i termini in
maniere diverse.
A me questa cosa non piace affatto, pero' forse ho capito male e le
serie convergono sempre, solo che piu' lentamente..
Insomma come interpretare fisicamente queste serie "condizionatamente
convergenti"?
Qualcuno ne sa qualcosa?
Ciao e grazie
Davide (3 anno n.o.)
Giorgio Pastore
Davide Venturelli wrote:
> Ciao a tutti,
> in fisica dello stato solido, per il calcolo dell'energia di Madelung,
> ho incontrato una serie condizionatamente convergente,....
> Il problema e' risolto attraverso il metodo di
> Ewald (che fa uso della trasformazione teta e alla fine arriva a due
> integrali che convergono dipendentemente dalla buona scelta di un
> parametro)...
No. per ogni valore finito del parametro convergono senza problemi.
> Mi chiedo io... ma che senso ha avere a che fare con serie
> condizionatamente convergenti quando stiamo lavorando con equazioni
> lineari dove vige il principio di sovrapposizione?
Il richiamo al principio di sovrapposizione non l' ho capito. Pero' e'
un dato di fatto che le somme coulombiane sono condizionatamente
convergenti.
>L'Aschroft-Mermin
> (se non ricordo male.. o forse era il Kittel) affronta in modo
> abbastanza superficiale l'argomento dicendo che se non sommiamo nel
> modo giusto possiamo arrivare ad una qualunque energia semplicemente
> modificando le condizioni superficiali e riarrangiando i termini in
> maniere diverse.
Non sono i soli. L' argomento e' riportato in modo oscenamente fumoso
praticamente in quasi tutti i testi di stato solido che conosco :-(
col risultato che una persona sveglia resta interdetta dal gioco di
prestigio secondo cui il metodo di Ewald (o equivalenti) trasforma una
serie da cui si potrebbe ottenere qualsiasi numero reale ad una che
converge tranquillamente ad un' unica risposta.
> A me questa cosa non piace affatto, pero' forse ho capito male e le
> serie convergono sempre, solo che piu' lentamente..
Piacere o meno, e' il dato di fatto. La convergenza e' condizionata.
Non lenta.
> Insomma come interpretare fisicamente queste serie "condizionatamente
> convergenti"?
La condizionata convergenza matematica e' reale (alla fin fine ci sono
dei teoremi a riguardo). E l' origine del risultato ambiguo puo' essere
ricostruita anche se uno ha dimenticato o non ha mai studiato il teorema
(se non ricordo male attribuibile a Dini) secondo cui la somma di una
serie condizionatamente convergente puo' essere qualsiasi numero reale
da -infinito a +infinito a secondo di come si riordinano i termini.
Prendi p. es; Il caso di un reticolo 1D con ioni a distanza uguale (c'e'
sul Kittel). L' energia coulombiana risulta proporzioanle alla somma
della serie armonica alternata:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ....
Kittel gioca sporco quando dice che la somma e' log 2. Perche' omette
di dire che il risultato e' vero solo se si sommano i termini nell'
ordine in cui sono scritti.
Ma perche' mai dovrei seguire quest' ordine ? Si puo' invece
dimostrare che posso fissare un numero K sommare i termini positivi in
ordine decrescente e poi i negativi e cosi' via in modo che la somma
tenda a K. E questo e' il cuore delle convergenza condizionata.
Che ha ovviamente un' origine fisica: il potenziale coulombiano e' a
lungo range e l' energia di un sistema macroscopico (ovvero l' energia
per particella di un sistema infinito) non sono indipendenti da come
costruisco il sistema macroscopico. In altri termini, ho una dipendenza
dalla superficie del sistema. Al limite termodinamico (sistema infinito)
la superficie non c'e' piu' ma il risultato dipende dalla sequenza di
sistemi che ho usato per raggiungere il limite.
Ci sono un paio di lavori degli anni '70 in cui si faceva vedere come,
partendo da sistemi carichi finiti di forma approssimativamente
ellissoidale, l' energia al limite infinito dipendeva crucialmente
dalle condizioni alla superficie (e quindi anche dalla forma dei
campioni). Si trattava di un piccolo tour de force fisico-matematico.
Pero' il succo fisico del discorso e' che l' energia per particella
del sistema finito dipende da un termine " di volume" ma anche da
termini legati alla forma della superficie.
Cambiare l' ordine della somma e' assimilabile a cambiare la superficie
del campione in crescita. Nulla di strano che si possa ottenere di
tutto. I metodi alla Ewald in realta' non trasformano la somma cond.
convergente in una assolutamente convergente. Bensi' presuppongono che
sia stata decisa la procedura di somma (e quindi il risultato) e a
partire da questa serie (che converge lentamente) operano in modo da
trasformarla in una o piu' serie velocemente convergenti.
Si puo' mostrare (ma non e' per nulla semplice) che il metodo di Ewald
corrisponde a sommare la serie in modo da eliminare il termine di
superficie (o come si dice spesso corrisponde a sommare celle cariche
messe all' interno di un conduttore).
Sono convinto che la parte centrale del discorso potrebbe esser resa
piu' accessibile che negli articoli originali. Pero' non sono al
corrente di tentativi seri in tal senso. Forse prima o poi dovro' fare
un tentativo io... :-)
Giorgio
Giorgio Bibbiani
Per un cristallo finito non c'e'
nessun problema di convergenza, dato che si tratta di
sommare un numero finito di termini finiti, i problemi sorgono
quando si vuole calcolare l'energia per coppia di ioni di un
reticolo idealmente infinito, facendo il limite dell'energia per
coppia di ioni con il numero di ioni che tende a infinito;
in questo caso e' evidente che il carattere della serie dipende
dall'ordine della somma, ad es. la serie divergera'
se si sommano i contributi all'interazione elettrostatica per
un dato ione in un ordine come il seguente:
I primi 10 vicini positivi
il primo vicino negativo
i successivi primi 100 vicini positivi
il successivo primo vicino negativo
i successivi 1000 vicini positivi
ecc. ecc..
Fisicamente questo equivarrebbe a "costruire" un cristallo
occupando i vari siti ionici in un ordine arbitrario, il che
naturalmente non e' praticabile concretamente, dato che
nel complesso un cristallo ionico e' approssimativamente
elettricamente neutro, per questo ha senso sommare la serie
in modo che i vari "strati" del cristallo in crescita risultino
composti "equamente" da ioni di entrambi i segni, e allora il
carattere della serie e' univocamente determinato.
Il modo migliore per rendertene conto e' provare
a implementare il calcolo numerico della costante
di Madelung per qualche semplice reticolo cristallino, con
un PC o anche semplicemente una calcolatrice
programmabile (un consiglio: se lo fai, sfrutta le simmetrie
del reticolo se non vuoi che il calcolo duri Na secondi,
con Na = numero di Avogadro :-) .
Ciao
--
Giorgio Bibbiani