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Sempre dal libro Gravitation...
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Bruno Honda
May 28, 2023, 11:41:06 AM5/28/23
to
A pagina 31 del libro c'è questa immagine :
https://ibb.co/6Bvkr0M
in cui sono simbolizzati vari eventi tramite un puntino nero,assorbimento di un fotone, emissione di un fotone, collisione tra particelle ecc.
Tutti questi accadimenti sono <eventi> .
E cosa si può dire (ad esempio) della particella -prima- che si scontri con l'altra particella ? La particella si sta muovendo liberamente nello spazio (o spaziotempo?) ,ma non si è ancora scontrata con l'altra particella, quindi per il momento non c'è stato nessun evento...
Come si definisce lo stato di questa particella ?
Sicuramente la mia domanda pecca di ingenuità che forse sarebbe meglio definirla < pecca di ignoranza> ...
Bruno
https://ibb.co/6Bvkr0M
in cui sono simbolizzati vari eventi tramite un puntino nero,assorbimento di un fotone, emissione di un fotone, collisione tra particelle ecc.
Tutti questi accadimenti sono <eventi> .
E cosa si può dire (ad esempio) della particella -prima- che si scontri con l'altra particella ? La particella si sta muovendo liberamente nello spazio (o spaziotempo?) ,ma non si è ancora scontrata con l'altra particella, quindi per il momento non c'è stato nessun evento...
Come si definisce lo stato di questa particella ?
Sicuramente la mia domanda pecca di ingenuità che forse sarebbe meglio definirla < pecca di ignoranza> ...
Bruno
Giorgio Pastore
May 29, 2023, 1:45:05 AM5/29/23
to
Il 28/05/23 14:30, Bruno Honda ha scritto:
Non è ingenua ma lecita. Un'idea alla base della RG, anche se non sempre
esplicitata, è che gli eventi costituiscano una specia di "continuo" e
quindi dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette di
usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
Giorgio
esplicitata, è che gli eventi costituiscano una specia di "continuo" e
quindi dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette di
usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
Giorgio
Bruno Honda
May 31, 2023, 11:50:04 PM5/31/23
to
di usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
Come premessa grazie per la risposta...
Provo a vedere se ho capito il senso di questo intorno di eventi.
Avevo scritto che la particella si muoveva liberamente nello spazio-tempo,
ma non si era ancora scontrata con l'altra particella (quindi per il momento non
c'è evento). Fotografiamo la situazione quando le due particelle distano tra loro ancora
di 1 metro . Ma qui interviene la Relatività Ristretta ? A seconda del sistema di riferimento
per qualcuno quel metro era 10 cm per altri 5 mm o meno ? E' questo che si deve intendere
per intorno dell'evento (che comunque a parte la diversità di misurazioni nei diversi
sistemi di riferimento, in ogni caso non è ancora avvenuto ?).
Bruno
Giorgio Pastore
Jun 1, 2023, 1:20:04 AM6/1/23
to
Il 01/06/23 02:59, Bruno Honda ha scritto:
delle distanze. Prima vengono le coordinate e dopo le distanze.
Il concetto che MTW stanno cercando di passare in quelle pagine a
parole e con le figure è che è concepibile assegnare coordinate
semplicemente sfruttando altri eventi, prima ancora di avere una metrica.
Conviene partire da un esempio geometrico (geometria dello piano, prima
di quella dello spazio-tempo).
Prendiamo un punto del piano (p.es. il vertice di un triangolo).
Possiamo assegnare a quel punto delle coordinte in molti modi diversi
prima ancora di aver introdotto un concetto di distanza. P.es. potremmo
introdurre un doppio insieme di curve tali che quelle di ciascun
insieme non si intersecano tra loro ma quelle appartenenti a due insieme
diversi lo fanno in un unico punto e parametrizzare con numeri reali
ciascuna famiglia, senza nessun collegamento a priori con distanze. I
due parametri che individuano le due curve che si intersecano
esattamente nel vertice scelto sono due possibili coordinate di quel punto.
Per funzionare questo sistema sembra richiedere che ci siano elementi
delle due famiglie di curve dappertutto. Ma siccome dal punto di vista
pratico più di un numero finito di cifre per i nostri parametri non
saremo mai in grado di darlo, basta che attorno ad ogni punto ci sia un
numero finito ma sufficientemente grande di curve.
Discorso analogo per il tempo. Non abbiamo bisogno di un orologio
preciso e neanche regolare. Ci basta un "orologio" costituito da un
fenomeno con una sua evoluzione, di cui possiamo distingure momenti
diversi. Useremo questi diversi momenti dell'evoluzione del
sistema-orologio per assegnare un parametro-tempo ad un altro fenonemo.
La scelta del parametro è però completamente arbitraria.
Come da questi parametri si passa a poter introdurre una distanza è
compito di qualcosa che segue e non coincide con la parametrizzazione:
la definizione di una metrica, ovvero di distanze (e durate di tempo).
Qui, in fisica interviene la necessità di identificare opportunamente
gli ulteriori elementi necessari per poter definire una distanza.
Intanto abbiamo introdotto punti e coordinate dei punti.
Giorgio
> Il giorno lunedì 29 maggio 2023 alle 07:45:05 UTC+2 Giorgio Pastore ha scritto:
>... Un'idea alla base della RG, anche se non sempre
>> esplicitata, è che gli eventi costituiscano una specia di "continuo" e
>> quindi dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette di
>> usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
>>
>> Giorgio
>
> Giorgio Pastore scrive : dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette
> di usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
> Come premessa grazie per la risposta...
> Provo a vedere se ho capito il senso di questo intorno di eventi.
> Avevo scritto che la particella si muoveva liberamente nello spazio-tempo,
> ma non si era ancora scontrata con l'altra particella (quindi per il momento non
> c'è evento). Fotografiamo la situazione quando le due particelle distano tra loro ancora
> di 1 metro . Ma qui interviene la Relatività Ristretta ? A seconda del sistema di riferimento
> per qualcuno quel metro era 10 cm per altri 5 mm o meno ? E' questo che si deve intendere
> per intorno dell'evento (che comunque a parte la diversità di misurazioni nei diversi
> sistemi di riferimento, in ogni caso non è ancora avvenuto ?).
Assolutamente no. Il discorso delle coordinate è "sganciato" da quello
>> quindi dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette di
>> usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
>>
>> Giorgio
>
> Giorgio Pastore scrive : dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette
> di usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
> Come premessa grazie per la risposta...
> Provo a vedere se ho capito il senso di questo intorno di eventi.
> Avevo scritto che la particella si muoveva liberamente nello spazio-tempo,
> ma non si era ancora scontrata con l'altra particella (quindi per il momento non
> c'è evento). Fotografiamo la situazione quando le due particelle distano tra loro ancora
> di 1 metro . Ma qui interviene la Relatività Ristretta ? A seconda del sistema di riferimento
> per qualcuno quel metro era 10 cm per altri 5 mm o meno ? E' questo che si deve intendere
> per intorno dell'evento (che comunque a parte la diversità di misurazioni nei diversi
> sistemi di riferimento, in ogni caso non è ancora avvenuto ?).
delle distanze. Prima vengono le coordinate e dopo le distanze.
Il concetto che MTW stanno cercando di passare in quelle pagine a
parole e con le figure è che è concepibile assegnare coordinate
semplicemente sfruttando altri eventi, prima ancora di avere una metrica.
Conviene partire da un esempio geometrico (geometria dello piano, prima
di quella dello spazio-tempo).
Prendiamo un punto del piano (p.es. il vertice di un triangolo).
Possiamo assegnare a quel punto delle coordinte in molti modi diversi
prima ancora di aver introdotto un concetto di distanza. P.es. potremmo
introdurre un doppio insieme di curve tali che quelle di ciascun
insieme non si intersecano tra loro ma quelle appartenenti a due insieme
diversi lo fanno in un unico punto e parametrizzare con numeri reali
ciascuna famiglia, senza nessun collegamento a priori con distanze. I
due parametri che individuano le due curve che si intersecano
esattamente nel vertice scelto sono due possibili coordinate di quel punto.
Per funzionare questo sistema sembra richiedere che ci siano elementi
delle due famiglie di curve dappertutto. Ma siccome dal punto di vista
pratico più di un numero finito di cifre per i nostri parametri non
saremo mai in grado di darlo, basta che attorno ad ogni punto ci sia un
numero finito ma sufficientemente grande di curve.
Discorso analogo per il tempo. Non abbiamo bisogno di un orologio
preciso e neanche regolare. Ci basta un "orologio" costituito da un
fenomeno con una sua evoluzione, di cui possiamo distingure momenti
diversi. Useremo questi diversi momenti dell'evoluzione del
sistema-orologio per assegnare un parametro-tempo ad un altro fenonemo.
La scelta del parametro è però completamente arbitraria.
Come da questi parametri si passa a poter introdurre una distanza è
compito di qualcosa che segue e non coincide con la parametrizzazione:
la definizione di una metrica, ovvero di distanze (e durate di tempo).
Qui, in fisica interviene la necessità di identificare opportunamente
gli ulteriori elementi necessari per poter definire una distanza.
Intanto abbiamo introdotto punti e coordinate dei punti.
Giorgio
Alberto Rasà
Jun 2, 2023, 7:40:05 AM6/2/23
to
Il giorno giovedì 1 giugno 2023 alle 07:20:04 UTC+2 Giorgio Pastore ha scritto:
...
...
> Prendiamo un punto del piano (p.es. il vertice di un triangolo).
> Possiamo assegnare a quel punto delle coordinte in molti modi diversi
> prima ancora di aver introdotto un concetto di distanza. P.es. potremmo
> introdurre un doppio insieme di curve tali che quelle di ciascun
> insieme non si intersecano tra loro ma quelle appartenenti a due insieme
> diversi lo fanno in un unico punto e parametrizzare con numeri reali
> ciascuna famiglia,
>
Interessante.
> Possiamo assegnare a quel punto delle coordinte in molti modi diversi
> prima ancora di aver introdotto un concetto di distanza. P.es. potremmo
> introdurre un doppio insieme di curve tali che quelle di ciascun
> insieme non si intersecano tra loro ma quelle appartenenti a due insieme
> diversi lo fanno in un unico punto e parametrizzare con numeri reali
> ciascuna famiglia,
>
Tipo la famiglia di rette y = a+x e y = b-x che si intersecano in x=(b-a)/2; y=(b+a)/2 e ad ogni coppia di parametri (a, b) corrisponde un punto di intersezione?
Ciao.
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Jun 2, 2023, 7:55:05 AM6/2/23
to
Il 02/06/23 12:17, Alberto Rasà ha scritto:
Sì. Ma pui usare qualsiasi altra famiglia. E non c'e' neanche bisogno
che sia globale (definita dappertutto). L'importante è avere un sistema
di curve locali.
Giorgio
che sia globale (definita dappertutto). L'importante è avere un sistema
di curve locali.
Giorgio
Elio Fabri
Jun 12, 2023, 4:45:05 AM6/12/23
to
Giorgio Pastore ha scritto:
> Sì. Ma puoi usare qualsiasi altra famiglia. E non c'è neanche
cassetto metaforico, non so neppure perché.
Mi accingo a esporre il mio punto di vista sulla presente discussione,
mettendo le mani avanti: non so se sarò capace di farmi capire, e una
lunga esperienza passata non m'induce all'ottimismo.
Tra l'altro c'è qualcosa di fondo che non ho capito; spero almeno che
il tentativo di parlarne mi aiuti a chiarirmi le idee.
Naturalmente stiamo parlando, anche se su un argomento specifico
(spazio-tempo e coordinate) del rapporto tra matematica e fisica.
Questione non da poco...
Un veloce accenno (forse una ripetizione) a come i matematici oggi
(diciamo da un secolo) vedono la questione.
Con l'importante eccezione di personaggi illustri come Arnol'd, i
matematici non si curano della fisica (né di niente altro al mondo).
Costruiscono le loro strutture in modo autonomo e autosufficiente.
Almeno così dichiarano, e non è questa la sede per andare più a
fondo...
In materia di spazio-tempo, la gearchia di strutture rilevante è:
- spazio topologico
- varietà topologica
- varietà differenziabile
- varietà (semi)riemanniana.
Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
presupposta quando si passa dall'alto al basso.
In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
"Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
anni fa:
("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
Ma qui voglio soffermarmi su un altro lato della questione.
La struttura matematica sopra delineata può andare oltre una pura
dipendenza logica? Può essere usata per la costruzione di concetti
(anche solo nella pura matematica)?
La domanda è chiaramente retorica, e la mia risposta è "mi sembra di
no".
Un esempio che ci tocca da vicino: la definizione di varietà
topologica.
Viene solitamente data come "uno spazio topologico che ammette aperti
omeomorfi ad aperti di R^n, tali da ricoprire l'intero spazio."
Mi soffermo solo sugli aperti omeomorfi ad aperti di R^n.
Ciò presuppone che lo spazio sia dotato di una topologia, che
definisce gli aperti. ma soprattutto richiede che un certo numero di
questi aperti possano essere messi in corrisp. biunivoca e bicontinua
con aperti di R^n (quindi dobbiamo già conoscere R^n).
Come venga stabilito codesto omeomorfimo viene lasciato alla fantasia
del matematico, ma appena ci si pensa si capisce che per poter
definire l'omeomorfismo bisogna già sapere molto sullo spazio che
vogliamo promuovere a varietà...
In poche parole, dobbiamo già conoscere su quello spazio una geometria
abbastanza ricca perché si possa vedere la corrisp. con gli aperti di
n-ple di reali.
Ossia, per definire le coordinate, dobbiamo già *avere* delle
coordinate; la definizione richiede solo di verificare l'omeomorfismo,
ma le coordinate debbono esserci già.
È quello che sottintende Giorgio, quando scrive
> P.es. potremmo introdurre un doppio insieme di curve tali che [...]
Curve? Che cosa sono le curve? Come faremo nella realtà (matematica,
bada bene) a costruire questo sistema di curve, se non dandone le
equazioni oppure caratterizzandole geometricamente?
(Esempio: potremmo in un piano prendere delle ellissi e delle iperboli
confocali; ma bisogna conoscere la geometria delle coniche, che
richiede la geometria euclidea...)
Lo stesso vale per la "famiglia di rette" di Alberto, che presuppone
la geometria analitica del piano.
L'esempio di "Gravitation", e il paragone con le città giapponesi,
funziona solo a parole; in pratica fornirebbe un sistema di coordinate
di una complicazione terribile, con cui non si potrbbe fare nessun
calcolo.
Basta guardare la realtà delle più semplici cose conosciute in RG, per
vedere che si procede in modo opposto.
Prendiamo ad es. la geom. di Schwarzschild.
Rifacciamoci all'articolo originale (esiste la trad. inglese in pdf).
Schw. parte, come Einstein, assumendo
a) simmetria sferica
b) soluzione statica
c) spazio-tempo asintoticamente minkowskiano
d) massa presente solo nell'origine.
Questo lo porta a scrivere la metrica
ds^2 = f_4 dx_4^2 - f_1 dx_1^2 -
f_2 dx_2^2/(1 - x_2^2) - f_3 dx_3^2 (1 - x_2^2) (9)
con x_1 = r^3/3, x_2 = -cos(theta), x_3 = phi, x_4 = t (f_1, f_2=f_3,
f_4 sono funzioni di x_1).
Da qui in poi S. procede a risolvere le eq. di Einstein; trova la
soluzione esatta e dimostra che la sol. approssimata di Einstein è del
tutto adeguata pr il calcolo della precessione del perielio di
Mercurio.
Questo e molte altre cose, tra cui importantissimo ai fini storici il
modo come tratta la singolarità, non sono però rilevanti ai presenti
fini.
Ciò che importa è che la scelta delle coordinate e la forma generica
della metrica discendono da considerazioni di simmetria e altre,
quindi da conoscenze che si prendono come postulati quanto allo
spazio-tempo in questione.
Così si procedeva oltre un secolo fa, ma così si procede ancor oggi.
--
Elio Fabri
> Sì. Ma puoi usare qualsiasi altra famiglia. E non c'è neanche
> bisogno che sia globale (definita dappertutto). L'importante è avere
> un sistema di curve locali.
Quello che segue l'avevo scritto diversi giorni fa, ma è rimasto in un
> un sistema di curve locali.
cassetto metaforico, non so neppure perché.
Mi accingo a esporre il mio punto di vista sulla presente discussione,
mettendo le mani avanti: non so se sarò capace di farmi capire, e una
lunga esperienza passata non m'induce all'ottimismo.
Tra l'altro c'è qualcosa di fondo che non ho capito; spero almeno che
il tentativo di parlarne mi aiuti a chiarirmi le idee.
Naturalmente stiamo parlando, anche se su un argomento specifico
(spazio-tempo e coordinate) del rapporto tra matematica e fisica.
Questione non da poco...
Un veloce accenno (forse una ripetizione) a come i matematici oggi
(diciamo da un secolo) vedono la questione.
Con l'importante eccezione di personaggi illustri come Arnol'd, i
matematici non si curano della fisica (né di niente altro al mondo).
Costruiscono le loro strutture in modo autonomo e autosufficiente.
Almeno così dichiarano, e non è questa la sede per andare più a
fondo...
In materia di spazio-tempo, la gearchia di strutture rilevante è:
- spazio topologico
- varietà topologica
- varietà differenziabile
- varietà (semi)riemanniana.
Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
presupposta quando si passa dall'alto al basso.
In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
"Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
anni fa:
("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
Ma qui voglio soffermarmi su un altro lato della questione.
La struttura matematica sopra delineata può andare oltre una pura
dipendenza logica? Può essere usata per la costruzione di concetti
(anche solo nella pura matematica)?
La domanda è chiaramente retorica, e la mia risposta è "mi sembra di
no".
Un esempio che ci tocca da vicino: la definizione di varietà
topologica.
Viene solitamente data come "uno spazio topologico che ammette aperti
omeomorfi ad aperti di R^n, tali da ricoprire l'intero spazio."
Mi soffermo solo sugli aperti omeomorfi ad aperti di R^n.
Ciò presuppone che lo spazio sia dotato di una topologia, che
definisce gli aperti. ma soprattutto richiede che un certo numero di
questi aperti possano essere messi in corrisp. biunivoca e bicontinua
con aperti di R^n (quindi dobbiamo già conoscere R^n).
Come venga stabilito codesto omeomorfimo viene lasciato alla fantasia
del matematico, ma appena ci si pensa si capisce che per poter
definire l'omeomorfismo bisogna già sapere molto sullo spazio che
vogliamo promuovere a varietà...
In poche parole, dobbiamo già conoscere su quello spazio una geometria
abbastanza ricca perché si possa vedere la corrisp. con gli aperti di
n-ple di reali.
Ossia, per definire le coordinate, dobbiamo già *avere* delle
coordinate; la definizione richiede solo di verificare l'omeomorfismo,
ma le coordinate debbono esserci già.
È quello che sottintende Giorgio, quando scrive
> P.es. potremmo introdurre un doppio insieme di curve tali che [...]
Curve? Che cosa sono le curve? Come faremo nella realtà (matematica,
bada bene) a costruire questo sistema di curve, se non dandone le
equazioni oppure caratterizzandole geometricamente?
(Esempio: potremmo in un piano prendere delle ellissi e delle iperboli
confocali; ma bisogna conoscere la geometria delle coniche, che
richiede la geometria euclidea...)
Lo stesso vale per la "famiglia di rette" di Alberto, che presuppone
la geometria analitica del piano.
L'esempio di "Gravitation", e il paragone con le città giapponesi,
funziona solo a parole; in pratica fornirebbe un sistema di coordinate
di una complicazione terribile, con cui non si potrbbe fare nessun
calcolo.
Basta guardare la realtà delle più semplici cose conosciute in RG, per
vedere che si procede in modo opposto.
Prendiamo ad es. la geom. di Schwarzschild.
Rifacciamoci all'articolo originale (esiste la trad. inglese in pdf).
Schw. parte, come Einstein, assumendo
a) simmetria sferica
b) soluzione statica
c) spazio-tempo asintoticamente minkowskiano
d) massa presente solo nell'origine.
Questo lo porta a scrivere la metrica
ds^2 = f_4 dx_4^2 - f_1 dx_1^2 -
f_2 dx_2^2/(1 - x_2^2) - f_3 dx_3^2 (1 - x_2^2) (9)
con x_1 = r^3/3, x_2 = -cos(theta), x_3 = phi, x_4 = t (f_1, f_2=f_3,
f_4 sono funzioni di x_1).
Da qui in poi S. procede a risolvere le eq. di Einstein; trova la
soluzione esatta e dimostra che la sol. approssimata di Einstein è del
tutto adeguata pr il calcolo della precessione del perielio di
Mercurio.
Questo e molte altre cose, tra cui importantissimo ai fini storici il
modo come tratta la singolarità, non sono però rilevanti ai presenti
fini.
Ciò che importa è che la scelta delle coordinate e la forma generica
della metrica discendono da considerazioni di simmetria e altre,
quindi da conoscenze che si prendono come postulati quanto allo
spazio-tempo in questione.
Così si procedeva oltre un secolo fa, ma così si procede ancor oggi.
--
Elio Fabri
Giorgio Pastore
Jun 12, 2023, 1:15:04 PM6/12/23
to
Il 12/06/23 10:22, Elio Fabri ha scritto:
....
Anche se poi ti concentri sull' altro punto, questo forse meriterebbe un
commento di approfondimento.
Resta vero che il linguaggio della fisica è matematico. Ma, rispetto ai
tempi di Galilei, forse diventa necessario dire qualcosa di più su
questa relazione tra fisica e matematica, anzi, forse occorrerebbe dire
matematiche. E qui i discorso sui reali e sul numero finito di punti può
essere fatto in modo più completo di quanto fosse possibie farlo nel
'600 (periodo precedente di molto l'elaborazione ottocentesca delle
proprietà dei reali).
Un punto poco apprezzato nella didattica e di conseguenza nell'
immaginario di ci ha avuto una formazione sulla fisica e sui modelli
matematici della stessa è come non necessariamente quello che è utile
per fare matematica in modo semplice è anche il modelo più fedele della
realtà. Una superficie di un solido reale a livello atomico perde le
proprietà di una superficie geometrica ideale. Questo è quasi banale.
Quello che trovo molto meno banale è il fatto che un modelo continuo
possa dare una ragionevole descrizione di una superficie di un
materiale, alla giusta scala. E gli esempi potrebbero diventare
rapidamente meno semplici. La meccanica statistica permette di
riprodurre le proprietà di un sistema termodinamico solo al limite di
infiniti gradi di libertà, pur non esistemdo un solido con infiniti
atomi. Gli stati elettronici di un cristallo possono essere classificati
a partire dalle rappresentazioni irriducibili del gruppo spaziale delle
traslazioni, anche se nessun cristallo finito dotato di superficie ha ua
struttura davvero invariante per traslazione. E gli esempi potrebbero
continuare.
Quello che fa funzionar tutto è la ppossibiità di vedere i modelli
analitici regolari come opportune approssimazioni di modelli meno
regolari. E' un po' l'inverso di come si presentano normalmente le cose:
un integrale numerico viene visto come un'approssimazione del concetto
analitico di integrale. Le cose possono invece funzionare in senso
inverso: un integrale analitico può esser visto come un modo di
approssimare una somma finita.
E per tornare all' argomento da cui questa discussione è partita, un
modello continuo di spazio-tempo può costituire un'utile semplificazione
per qualcosa di più complicato ma di cui non abbiamo ancora sufficiente
evidenza diretta.
Giorgio
....
> In materia di spazio-tempo, la gearchia di strutture rilevante è:
> - spazio topologico
> - varietà topologica
> - varietà differenziabile
> - varietà (semi)riemanniana.
> Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
> presupposta quando si passa dall'alto al basso.
>
> In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
> approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
> "Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
> C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
> bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
> struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
> Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
> anni fa:
> ("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
> AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
> http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
> Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
> si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
...
> - spazio topologico
> - varietà topologica
> - varietà differenziabile
> - varietà (semi)riemanniana.
> Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
> presupposta quando si passa dall'alto al basso.
>
> In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
> approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
> "Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
> C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
> bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
> struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
> Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
> anni fa:
> ("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
> AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
> http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
> Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
> si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
Anche se poi ti concentri sull' altro punto, questo forse meriterebbe un
commento di approfondimento.
Resta vero che il linguaggio della fisica è matematico. Ma, rispetto ai
tempi di Galilei, forse diventa necessario dire qualcosa di più su
questa relazione tra fisica e matematica, anzi, forse occorrerebbe dire
matematiche. E qui i discorso sui reali e sul numero finito di punti può
essere fatto in modo più completo di quanto fosse possibie farlo nel
'600 (periodo precedente di molto l'elaborazione ottocentesca delle
proprietà dei reali).
Un punto poco apprezzato nella didattica e di conseguenza nell'
immaginario di ci ha avuto una formazione sulla fisica e sui modelli
matematici della stessa è come non necessariamente quello che è utile
per fare matematica in modo semplice è anche il modelo più fedele della
realtà. Una superficie di un solido reale a livello atomico perde le
proprietà di una superficie geometrica ideale. Questo è quasi banale.
Quello che trovo molto meno banale è il fatto che un modelo continuo
possa dare una ragionevole descrizione di una superficie di un
materiale, alla giusta scala. E gli esempi potrebbero diventare
rapidamente meno semplici. La meccanica statistica permette di
riprodurre le proprietà di un sistema termodinamico solo al limite di
infiniti gradi di libertà, pur non esistemdo un solido con infiniti
atomi. Gli stati elettronici di un cristallo possono essere classificati
a partire dalle rappresentazioni irriducibili del gruppo spaziale delle
traslazioni, anche se nessun cristallo finito dotato di superficie ha ua
struttura davvero invariante per traslazione. E gli esempi potrebbero
continuare.
Quello che fa funzionar tutto è la ppossibiità di vedere i modelli
analitici regolari come opportune approssimazioni di modelli meno
regolari. E' un po' l'inverso di come si presentano normalmente le cose:
un integrale numerico viene visto come un'approssimazione del concetto
analitico di integrale. Le cose possono invece funzionare in senso
inverso: un integrale analitico può esser visto come un modo di
approssimare una somma finita.
E per tornare all' argomento da cui questa discussione è partita, un
modello continuo di spazio-tempo può costituire un'utile semplificazione
per qualcosa di più complicato ma di cui non abbiamo ancora sufficiente
evidenza diretta.
Giorgio
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