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Problema moto unidimensionale
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Fiendfyre
Apr 7, 2013, 9:00:40 AM4/7/13
to
Non riesco a risolvere questo problema:
Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di lunghezza
L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide, perpendicolari tra loro.
Se A slitta verso sinistra con velocità costante v, si trovi la velocità di
B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
B
| \
| \
| \
| \
| \
O______________A
A scorre lungo l'asse X
B scorre lungo l'asse Y
Il segmento che unisce A con B rappresenta l'asta rigida di lunghezza L e
formano un angolo (chiamiamolo W) con l'asse X.
Non è il massimo il disegno ma si dovrebbe capire. La soluzione del problema
riportata sul libro è 0.577 v.
E' un'ora che provo a farlo e non riesco a venirne fuori. Le uniche cose che
sono riuscito a ricavare sono:
OA = LcosW
OB = LsinW
Ho provato a scrivere la legge oraria di B in funzione dell'angolo ma non
credo sia esatta:
y(W) = LsinW + V(W_f - W_i)
l'idea era quella di derivarla per trovarmi la velocità ma non mi viene
fuori nulla.
Se potete aiutarmi ve ne sono grato. :)
Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di lunghezza
L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide, perpendicolari tra loro.
Se A slitta verso sinistra con velocità costante v, si trovi la velocità di
B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
B
| \
| \
| \
| \
| \
O______________A
A scorre lungo l'asse X
B scorre lungo l'asse Y
Il segmento che unisce A con B rappresenta l'asta rigida di lunghezza L e
formano un angolo (chiamiamolo W) con l'asse X.
Non è il massimo il disegno ma si dovrebbe capire. La soluzione del problema
riportata sul libro è 0.577 v.
E' un'ora che provo a farlo e non riesco a venirne fuori. Le uniche cose che
sono riuscito a ricavare sono:
OA = LcosW
OB = LsinW
Ho provato a scrivere la legge oraria di B in funzione dell'angolo ma non
credo sia esatta:
y(W) = LsinW + V(W_f - W_i)
l'idea era quella di derivarla per trovarmi la velocità ma non mi viene
fuori nulla.
Se potete aiutarmi ve ne sono grato. :)
Giorgio Bibbiani
Apr 7, 2013, 1:01:37 PM4/7/13
to
Fiendfyre ha scritto:
d(OA)/dt = -L * sin(W) * dW/dt = -v
d(OB)/dt = L * cos(W) * dW/dt
e sostituendo nella seconda equazione il valore di dW/dt
ricavato dalla prima equazione:
d(OB)/dt = L * cos(W) * v / (L * sin(W)) = cot(W) * v,
se W = 60° si ha cot(W) = 1/ sqrt(3) e quindi:
d(OB)/dt = v / sqrt(3) ~= 0.577 v.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di
> lunghezza L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide,
> perpendicolari tra loro. Se A slitta verso sinistra con velocità costante
> v, si trovi la
> velocità di B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
>
> Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
>
> B
>> \
>> \
>> \
>> \
>> \
> O______________A
>
> A scorre lungo l'asse X
> B scorre lungo l'asse Y
>
> Il segmento che unisce A con B rappresenta l'asta rigida di lunghezza
> L e formano un angolo (chiamiamolo W) con l'asse X.
>
>
>
> Non è il massimo il disegno ma si dovrebbe capire. La soluzione del
> problema riportata sul libro è 0.577 v.
>
>
>
> E' un'ora che provo a farlo e non riesco a venirne fuori. Le uniche
> cose che sono riuscito a ricavare sono:
> OA = LcosW
> OB = LsinW
Da cui si ha, derivando le due equazioni rispetto al tempo t:
> lunghezza L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide,
> perpendicolari tra loro. Se A slitta verso sinistra con velocità costante
> v, si trovi la
> velocità di B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
>
> Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
>
> B
>> \
>> \
>> \
>> \
>> \
> O______________A
>
> A scorre lungo l'asse X
> B scorre lungo l'asse Y
>
> Il segmento che unisce A con B rappresenta l'asta rigida di lunghezza
> L e formano un angolo (chiamiamolo W) con l'asse X.
>
>
>
> Non è il massimo il disegno ma si dovrebbe capire. La soluzione del
> problema riportata sul libro è 0.577 v.
>
>
>
> E' un'ora che provo a farlo e non riesco a venirne fuori. Le uniche
> cose che sono riuscito a ricavare sono:
> OA = LcosW
> OB = LsinW
d(OA)/dt = -L * sin(W) * dW/dt = -v
d(OB)/dt = L * cos(W) * dW/dt
e sostituendo nella seconda equazione il valore di dW/dt
ricavato dalla prima equazione:
d(OB)/dt = L * cos(W) * v / (L * sin(W)) = cot(W) * v,
se W = 60° si ha cot(W) = 1/ sqrt(3) e quindi:
d(OB)/dt = v / sqrt(3) ~= 0.577 v.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Tommaso Russo, Trieste
Apr 7, 2013, 5:00:00 PM4/7/13
to
Il 07/04/2013 15:00, Fiendfyre ha scritto:
> Non riesco a risolvere questo problema:
>
> Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di
> lunghezza L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide, perpendicolari
> tra loro.
> Se A slitta verso sinistra con velocità costante v, si trovi la velocità
> di B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
Avresti fatto meglio a dire in che corso l'hai incontrato, altrimenti e'
> Non riesco a risolvere questo problema:
>
> Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di
> lunghezza L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide, perpendicolari
> tra loro.
> Se A slitta verso sinistra con velocità costante v, si trovi la velocità
> di B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
difficile indovinare quali strumenti sai gia' usare e quali invece devi
ancora incontrare.
> Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
proporzionale. Ho aggiunto una C, sopra A e alla stessa altezza di B:
> B C
> | \
> | \
> | \
> | \
> | \
> O________________A
>
> A scorre lungo l'asse X
> B scorre lungo l'asse Y
1). Sai cos'e' il centro istantaneo di rotazione C? E' il punto attorno
> A scorre lungo l'asse X
> B scorre lungo l'asse Y
al quale tutti i punti di un corpo rigido in moto su un piano ruotano a
un certo istante. La velocita' di ogni punto, in quell'istante, e'
ortogonale alla sua congiungente il punto con C. Dato che B puo'
muoversi solo lungo y, C deve avere la stessa y di B; dato che A puo'
muoversi solo lungo x, C deve avere la stessa x di A: C=(x(A),y(B)).
Attorno al centro di rotazione la barra ruota con velocita' angolare
omega, e tutti i suoi punti hanno velocita' tale che |v|=omega*r, dove
r e' la loro distanza da C. Quindi
|v(B)| = omega*x(A)
|v(A)| = omega*y(B)
da cui
|v(B)| = |v(A)| * x(A) / y(B)
= |v(A)| / tan(60°)
2). Per Pitagora,
x(A)^2 + y(B)^2 = L^2 (1)
ma anche dopo uno spostamento infinitesimo
[x(A)+dx]^2 + [y(B)+dy]^2 = L^2
x(A)^2 + 2x(A)dx + dx^2 + y(B)^2 + 2y(B)dy + dy^2 = L^2
sottraendo m.a.m. la (1)
2x(A)dx + dx^2 + 2y(B)dy + dy^2 = 0
dx^2 e dy^2 sono trascurabili in quanto infinitesimi di ordine superiore
a dx e dy, quindi
2x(A)dx + 2y(B)dy = 0
dy = - dx x(A)/y(B)
dividendo per dt
v_y(B) = - v_x(A) x(A)/y(B)
che ti da anche il segno: se A si allontana dall'origine, B vi si
avvicina, e viceversa.
(Nel frattempo, e' arrivata anche la risposta di Bibbiani: bene, ora di
metodi ne hai tre.)
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Fiendfyre
Apr 7, 2013, 4:44:39 PM4/7/13
to
Grazie per la risposta, ma non ho capito alcune cose (probabilmente perchè
il calcolo differenziale lo farò il secondo anno ad analisi II):
perchè derivi OA e OB? Da quello che ho studiato, so che derivando la legge
oraria del moto trovo la velocità, ma OA e OB sono due segmenti.
Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
il calcolo differenziale lo farò il secondo anno ad analisi II):
perchè derivi OA e OB? Da quello che ho studiato, so che derivando la legge
oraria del moto trovo la velocità, ma OA e OB sono due segmenti.
Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
Giorgio Bibbiani
Apr 11, 2013, 8:04:09 AM4/11/13
to
Fiendfyre ha scritto:
> II):
In quale corso di laurea ad Analisi I non si studiano le derivate?
Comunque da quanto scrivevi in precedenza deduco che sai
gia' cosa sono le derivate, e sai che la velocita' e' la derivata
della posizione.
> perch� derivi OA e OB? Da quello che ho studiato, so che derivando la
> legge oraria del moto trovo la velocit�, ma OA e OB sono due segmenti.
Consideriamo il calcolo della velocita' di A: stabilisco un sistema di
coordinate cartesiane x sulla retta lungo cui avviene il moto di A,
scelgo l'origine in O e allora come coordinata di posizione di A
posso prendere la lunghezza del segmento OA (uguale alla
coordinata x di A) che quindi e' una funzione del tempo,
x(t) = OA(t), e mi da' appunto la legge oraria del moto di A,
derivando rispetto al tempo la coordinata di posizione
si ottiene la velocita' (che in questo caso e' negativa)
-v = dx/dt = d(OA)/dt, analogamente per il calcolo della
velocita' di B.
> Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
Uso il teorema di derivazione delle funzioni composte:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
d(OA)/dt = d(Lcos(W(t)))/dt = L * d(cos(W(t)))/dt =
L * -sin(W(t) * dW(t)/dt (usando le notazioni di wikipedia
x starebbe per t, f() per cos() e g(x) per W(t)).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Grazie per la risposta, ma non ho capito alcune cose (probabilmente
> perch� il calcolo differenziale lo far� il secondo anno ad analisi
> II):
In quale corso di laurea ad Analisi I non si studiano le derivate?
Comunque da quanto scrivevi in precedenza deduco che sai
gia' cosa sono le derivate, e sai che la velocita' e' la derivata
della posizione.
> perch� derivi OA e OB? Da quello che ho studiato, so che derivando la
> legge oraria del moto trovo la velocit�, ma OA e OB sono due segmenti.
Consideriamo il calcolo della velocita' di A: stabilisco un sistema di
coordinate cartesiane x sulla retta lungo cui avviene il moto di A,
scelgo l'origine in O e allora come coordinata di posizione di A
posso prendere la lunghezza del segmento OA (uguale alla
coordinata x di A) che quindi e' una funzione del tempo,
x(t) = OA(t), e mi da' appunto la legge oraria del moto di A,
derivando rispetto al tempo la coordinata di posizione
si ottiene la velocita' (che in questo caso e' negativa)
-v = dx/dt = d(OA)/dt, analogamente per il calcolo della
velocita' di B.
> Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
d(OA)/dt = d(Lcos(W(t)))/dt = L * d(cos(W(t)))/dt =
L * -sin(W(t) * dW(t)/dt (usando le notazioni di wikipedia
x starebbe per t, f() per cos() e g(x) per W(t)).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
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