effetto sagnac e relativita'
maitre Aliboron
(in maniera semplice ma non troppo) perche' l'effetto
Sagnac *non* e' in contrasto con la relativita',
contro l'opinione della vulgata?
Ho trovato per ora solo un riferimento ad un libro,
per me praticamente introvabile.
maitre Aliboron
Tetis
wrote:
> C'e' qualche riferimento on-line che spiegherebbe
> (in maniera semplice ma non troppo) perche' l'effetto
> Sagnac *non* e' in contrasto con la relativita',
Spero di non risultare offensivo: hai gi� provato a leggere wikipedia
in inglese?
> contro l'opinione della vulgata?
quale vulgata? Sono curioso perch� io ho un poco il problema opposto
di non afferrare chiaramente se Sagnac pensasse che questo effetto
avrebbe confermato l'esistenza di un etere luminifero e sulla base di
quale quadro teorico, dipende dal fatto che consideravo piuttosto che
l'effetto fosse indicativo del fatto che le equazioni di Maxwell non
sono invarianti per trasformazioni di Galileo, ma penso che gi� al
tempo di Maxwell la questione dell'azione delle trasformazioni di
Galileo sui campi, in modo da mantenere la struttura delle equazioni
fosse stata analizzata in modo molto sottile e che la proposta di
Lorentz e Poincar� di un gruppo di invarianza non galileano fosse
piuttosto problematica da conciliare sia con l'impostazione di Maxwell
che con l'ipotesi di un etere impalbabile che permea la materia.
Quindi cosa direbbe la vulgata: Sagnac propose il suo effetto a
proposito dell'ipotesi di Lorentz o di altre ipotesi di etere?
dumbo
"maitre Aliboron" <maitre....@iaciners.org> ha scritto nel messaggio
news:9b657520-7675-49e5...@c3g2000yqd.googlegroups.com...
(...)
> perche' l'effetto Sagnac *non* e' in contrasto con la relativita',
> contro l'opinione della vulgata?
e perch� dovrebbe essere in contrasto?
La vulgata di cui parli � semplicemente
il famigerato esercito dei crank di ogni
tempo e paese, non dargli importanza.
Ciao,
Corrado
maitre Aliboron
No.
> quale vulgata?
Quella secondo cui, a giudicare da quasi tutte
le pagine internet su cui sono capitato (la
vulgata), l'effetto Sagnac sarebbe la prova
definitiva contro la relativita' di E.
Quello che Sagnac pensasse del suo esperimento
non lo so e non mi interessa in questo momento.
maitre Aliboron
Tetis
> > hai gi� provato a leggere wikipedia in inglese?
>
> No.
>
> > quale vulgata?
>
> Quella secondo cui, a giudicare da quasi tutte
> le pagine internet su cui sono capitato (la
> vulgata), l'effetto Sagnac sarebbe la prova
> definitiva contro la relativita' di E.
Esplicitane qualcuna di queste pagine, almeno si sa di che discutere.
Se possibile eviterei volentieri di discutere di quello che scrive
Selleri, uno degli autori che pi� facilmente si prestano ad essere
fraintesi a proposito dell'effetto Sagnac, ma che comunque non ha mai
scritto che l'effetto Sagnac � contro la relativit� di Einstein. Dice
per� che la relativit� speciale non spiega l'effetto Sagnac,
affermazione opinabile ma argomentabile.
maitre Aliboron
Quando qualche giorno fa mi parlarono dell'effetto
Sagnac, fu in relazione ad un apparecchio per la navigazione
(una girobussola mi pare o qualcosa di simile). La persona
che me ne parlo' mi disse che questo effetto Sagnac era
controverso (riguardo la Rel.).
Cercando il funzionamento di questa girobussola sono capitato
in due o tre link che ribadivano questo aspetto controverso,
senza approfondire piu' di tanto, e poi mostravano il calcoletto
classico. Adesso non riesco a ritrovare il link, ma in particolare
ce ne era uno che insisteva un paio di volte questo fatto.
Niente di scientifico, ma sufficiente ad accendere la curiosita'.
Mi pare fosse questo, ma ne ricordo anche un altro che non trovo piu'.
http://digilander.libero.it/crombette/la_nasa_e_il_geocentrismo.htm
Puzza di crackpot? L'odore e' quello, comunque la presa di coscienza
che c'e' qualcuno (in effetti credo di avere ingigantito la mia
percezione) che ritiene questo effetto una prova contro, lo lessi qui
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2007/Ucau070306d001/
(dove c'e' anche il riferimento al libro che accennavo)
sebbene lo scrittore faccia capire chiaramente la posizione
ufficiale della comunita' scientifica (calcoli... cerco
i calcoli, datemi qualche equazione a supporto!).
Poi cercando sono capitato in effetti su questo Selleri,
che tu sembri conoscere. In particolare questo articolo,
dove alla fine ne fa un accenno.
http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti/2003/16-34Selleribari.pdf
Poi ne ho trovati un altro paio sullo stesso tono (uno
era una pubblicazione, in un giornale dal titolo che mi pare
spagnolo). Che devo dire, dall'apparenza pare un professore serio.
Ovviamente io non ho creduto un solo istante che questo
effetto fosse contro la relativita'. E' per questo che ho
chiesto approfondimenti in tale senso.
Non ho letto wikipedia perche' in genere non trovo mai quello
che cerco in quelle pagine, ma poi su wikipedia inglese ho
in effetti trovato (tra i link consigliati) qualche paginetta
di conti che con calma mi andro' a leggere.
maitre Aliboron
Valter Moretti
Ciao, ho appena fatto un po' di conti con la relativit� ritrovando
facilmente le formule di Sagnac. Non ho capito perch� dovrebbe essere
in contrasto con la relativit�, i conti riproducono le formule che a
quanto ho letto sono state testate sperimentalmente. Inoltre si legge
su wikipedia che:
The Sagnac effect is employed in current technology. One use is in
inertial guidance systems. Ring laser gyroscopes are extremely
sensitive to rotations, which need to be accounted for if an inertial
guidance system is to return correct results.
Il punto � che il calcolo fatto con la fisica classica e con la
relativit� produce lo stesso risultato a meno di infinitesimi in
omega^2r^2/c^2.
Un'altra questione � che il trattamento relativistico � un po'
complicato perch� non esiste un sistema di quiete con l'osservatore
rotante in cui si possano sincronizzare gli orologi con la procedura
di Einstein, ma dato che tale procedura � convenzionale se ne pu�
usare un'altra senza problemi...anche se bisogna conoscere bene la
relativit� per non prendere cantonate.
L'articolo di Selleri che hai postato mi pare proprio che sia una
battaglia contro mulini a vento e che riscopra l'acqua calda, tra
l'altro usando un formalismo dell'et� della pietra...
Ciao, Valter
Valter Moretti
Dice
> per� che la relativit� speciale non spiega l'effetto Sagnac,
> affermazione opinabile ma argomentabile.
Ciao, non l'ho letto ma ti credo. Ma questo vuol dire che non conosce
la relativit� quanto vorrebbe far credere... mi dispiace per Selleri
che una volta lo stimavo, prima che partisse per la tangente...
Ciao, Valter
Tetis
> Mi pare fosse questo, ma ne ricordo anche un altro che non trovo piu'.http://digilander.libero.it/crombette/la_nasa_e_il_geocentrismo.htm
>
> Puzza di crackpot? L'odore e' quello, comunque la presa di coscienza
> che c'e' qualcuno (in effetti credo di avere ingigantito la mia
> percezione) che ritiene questo effetto una prova contro, lo lessi qui
La sensazione � quella di un equivoco riguardo all'uso dei
riferimenti inerziali, "immobili rispetto alle stelle fisse", ma
ammetto di aver letto un poco sbrigativamente.
> http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2007/Ucau070306d001/
Il terzo punto anche se � interessante pu� essere fuorviante a livello
didattico e contiene almeno un'inesattezza. Non � vero, per l'effetto
Sagnac relativo ad un disco rotante rispetto ad un riferimento
inerziale, che non si possa usare la luce per sincronizzare, si pu�
usare luce che si irradia dal centro del disco per ottenere la
coordinate temporale del sistema di coordinate di Born. E con le
dovute accortezze si possono misurare anche i valori di theta e del
raggio. Usando solo segnali luminosi a condizione di potere
trasmettere i risultati delle misure effettuate al centro del disco.
Altro discorso � sincronizzare una rete satellitare, si pu� sempre
usare la luce, ma occorre fare delle calibrazioni che corrispondono
essenzialmente ad una sofisticata rilevazione topografica della
metrica, con la complicazione che la metrica in questione non �
statica e non � possibile a rigore presupporre un riferimento
inerziale, per via degli effetti di curvatura prodotti dal moto della
terra e della luna. Immagino che in pratica si usino modelli di
approssimazione incrociati ad una elaborazioni dei dati orbitali, ma
devo ammettere di non sapere come in pratica avvengano queste
calibrazioni.
> (dove c'e' anche il riferimento al libro che accennavo)
Ovvero?
> sebbene lo scrittore faccia capire chiaramente la posizione
> ufficiale della comunita' scientifica (calcoli... cerco
> i calcoli, datemi qualche equazione a supporto!).
Cosa c'� che non ti va bene nella presentazione inglese di wikipedia?
Se segui i passaggi che riguardano la trasformata di Born ed uguagli a
zero l'intervallo di tempo proprio trovi un'equazione quadratica per r
d theta/ dt. La risolvi ed ottieni due valori diversi per r d theta/
dt. Pu� giovare considerare i due riferimenti inerziali significativi
in un certo istante e confrontare le coordinate del disco. Quello che
si vede � che le coordinate sono praticamente identiche nel
riferimento inerziale solidale con il centro del disco, mentre le
coordinate di un riferimento inerziale con origine nel bordo del disco
e con velocit� quella del bordo differiscono dalle coordinate di Born
in un modo che rende conto della differente velocit� misurata.
maitre Aliboron
> battaglia contro mulini a vento e che riscopra l'acqua calda, tra
> l'altro usando un formalismo dell'et� della pietra...
A scanso di equivoci, ribadisco che personalmente
non ho mai creduto un solo istante che l'effetto di
cui sopra fosse in contrasto con la relativita'.
Cercavo solo la dimostrazione dei calcoli fatti in
maniera relativistica e non classica.
Poi, le opinioni sono come le palle: ciascuno
ha le sue. Anche Selleri, immagino.
maitre aliboron
Valter Moretti
> On 29 Ott, 07:22, maitre Aliboron <alibo...@despammed.com> wrote:
>
> > Mi pare fosse questo, ma ne ricordo anche un altro che non trovo piu'.http://digilander.libero.it/crombette/la_nasa_e_il_geocentrismo.htm
>
> > Puzza di crackpot? L'odore e' quello, comunque la presa di coscienza
> > che c'e' qualcuno (in effetti credo di avere ingigantito la mia
> > percezione) che ritiene questo effetto una prova contro, lo lessi qui
>
> � La sensazione � quella di un equivoco riguardo all'uso dei
> riferimenti inerziali, "immobili rispetto alle stelle fisse", ma
> ammetto di aver letto un poco sbrigativamente.
>
> >http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2007/Ucau070306d001/
>
> Il terzo punto anche se � interessante pu� essere fuorviante a livello
> didattico e contiene almeno un'inesattezza. Non � vero, per l'effetto
> Sagnac relativo ad un disco rotante rispetto ad un riferimento
> inerziale, che �non si possa usare la luce per sincronizzare, si pu�
> usare luce che si irradia dal centro del disco per ottenere la
> coordinate temporale del sistema di coordinate di Born. E con le
> dovute accortezze si possono misurare anche i valori di theta e del
> raggio. Usando solo segnali luminosi a condizione di potere
> trasmettere i risultati delle misure effettuate al centro del disco.
>
Ciao Tetis, quello che dici � un po' pericoloso... quello che si
critica � la sincronizzazione � la Einstein
tra coppie di orologi a distanza comune r dal centro. Questa �
impossibile.
Il problema � squisitamente di geometria differenziale: appare
un'assegnazione di sottospazi negli spazi tangenti agli eventi lungo
le linee di universo di questi orologi che non � integrabile...
La questione � subdola. Si possono definire coordinate rotanti ma NON
un sistema di riferimento rotante sincronizzato alla Einstein.
Tuttavia � possibile scegliere una differente sincronizzazione che
equivale a mettere una metrica spaziale sulle superfici a tempo
costante (tempo delle coordinate rotanti) che NON � quella indotta
dalla metrica dello spaziotempo ma che rispetta il vincolo fisico che
la velocit� della luce su un percorso chiuso � sempre c (questo �
usato per definire la distanza tra punti spazialmente separati).
Si tratta di una costruzione nota dai tempi di Adamo ed Eva...a la
trovi addirittura scritta nel Landau di teoria dei campi, anche se
incredibilmente nessuno che io conosco si � accorto dell'importanza di
tale costruzione [nella versione italiana non si capisce un emerito
c... come al solito].
Ciao, Valter
maitre Aliboron
>
> Ovvero?
Li' si cita "Relativity in Rotating Frames", Kluver Academic
Publisher.
> Cosa c'� che non ti va bene nella presentazione inglese di wikipedia?
Niente, solo che non avevo visto la pagina di wikipedia
prima di fare la domanda.
maitre Aliboron
Tetis
> On Oct 30, 3:46�am, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 29 Ott, 07:22, maitre Aliboron <alibo...@despammed.com> wrote:
>
> > > Mi pare fosse questo, ma ne ricordo anche un altro che non trovo piu'.http://digilander.libero.it/crombette/la_nasa_e_il_geocentrismo.htm
>
> > > Puzza di crackpot? L'odore e' quello, comunque la presa di coscienza
> > > che c'e' qualcuno (in effetti credo di avere ingigantito la mia
> > > percezione) che ritiene questo effetto una prova contro, lo lessi qui
>
> > � La sensazione � quella di un equivoco riguardo all'uso dei
> > riferimenti inerziali, "immobili rispetto alle stelle fisse", ma
> > ammetto di aver letto un poco sbrigativamente.
>
> > >http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2007/Ucau070306d001/
>
> > Il terzo punto anche se � interessante pu� essere fuorviante a livello
> > didattico e contiene almeno un'inesattezza. Non � vero, per l'effetto
> > Sagnac relativo ad un disco rotante rispetto ad un riferimento
> > inerziale, che �non si possa usare la luce per sincronizzare, si pu�
> > usare luce che si irradia dal centro del disco per ottenere la
> > coordinate temporale del sistema di coordinate di Born. E con le
> > dovute accortezze si possono misurare anche i valori di theta e del
> > raggio. Usando solo segnali luminosi a condizione di potere
> > trasmettere i risultati delle misure effettuate al centro del disco.
>
> Ciao Tetis, quello che dici � un po' pericoloso... quello che si
> critica � la sincronizzazione � la Einstein
> tra coppie di orologi a distanza comune r dal centro. Questa �
> impossibile.
Si, infatti, ma rilevavo solo che non c'� scritto questo e quello che
c'� scritto non � vero. La luce va benissimo per costruire la
sincronizzazione sulle isopotenziali, per la circostanza che il fronte
d'onda dell'iconale costruito dal centro corrisponde ad una superficie
isopotenziale nelle coordinate di Born, per misurare le distanze dal
centro ancora una volta la luce va benissimo e per proiettare gli
angoli misurati al centro sul bordo non va men bene. Del resto si pu�
usare anche il metro, o la luce in andata e ritorno per misurare gli
angoli, pur di saper sfruttare la misura del campo gravitazionale.
Che non sia possibile la sincronizzazione di Einstein invece �
abbastanza ovvio considerando che le linee radiali che corrispondo
alle linee di flusso del campo statico (misurabile anche
classicamente) non sono sincronizzabili coerentemente, appunto per la
presenza del campo statico, che rende differenti i potenziali in due
cerchi non concentrici (e questo esclude l'uso di orologi in lento
moto). Pi� sottilmente l'altra indicazione del fatto che non sono
sincronizzabili � la presenza di un campo di Coriolis (e questo
esclude l'uso della luce). Finch� siamo in geometria spazio temporale
piatta il potenziale centrifugo ed il potenziale vettore sono due
aspetti complementari.
> Il problema � squisitamente di geometria differenziale: appare
> un'assegnazione di sottospazi negli spazi tangenti agli eventi lungo
> le linee di universo di questi orologi che non � integrabile...
Muovendo lentamente orologi su un percorso chiuso che esca dalle
linee isopotenziali delle coordinate di Born si misura un intervallo
di tempo proprio non nullo (in pratica si tratta di usare due orologi
alla maniera del paradosso dei gemelli). Il fatto che alla fine gli
orologi non risultano pi� sincronizzati corrisponde al fatto che ci
sono inevitabilmente tratti in cui il trasporto non � parallelo. E
come dici � possibile riconoscere che questo corrisponde alla
condizione di non integrabilit� per i sottospazi trasversi associati
ai campi nel fibrato tangente. In altre parole la geometria spazio
temporale piatta ha campi di Killing incompatibili con i campi di
trasporto isometrico del sistema rotante. Ovvero le sezioni spaziali a
tempo isocrono (le circonferenze) non sono linee di flusso di alcun
campo di Killing di tipo spaziale (non sono rette), dall'altro le
sezioni temporali ad angolo costante non sono linee di flusso di alcun
campo di Killing di tipo temporale (la velocit� non � costante).
Di questo rimane una traccia a livello non relativistico: ad esempio
il campo di velocit� del disco individua un campo di sezioni spaziali
che obbedisce localmente la condizione di integrabilit� (infatti la
velocit� angolare che � il rotore del campo di velocit� � ortogonale
al campo di velocit�: in pratica risulta omega \vector omega = 0) ma
non globalmente. Il campo omega � dinamicamente misurabile anche in
relativit� ristretta, dalla forza di Coriolis, e dalla forza
centrifuga ed infatti le coordinate di Born sfruttano l'esistenza di
questo campo integrabile assegnando la coordinata angolare solidale al
sistema.
> La questione � subdola. Si possono definire coordinate rotanti ma NON
> un sistema di riferimento rotante sincronizzato alla Einstein.
> Tuttavia � possibile scegliere una differente sincronizzazione che
> equivale a mettere una metrica spaziale sulle superfici a tempo
> costante (tempo delle coordinate rotanti) che NON � quella indotta
> dalla metrica dello spaziotempo ma che rispetta il vincolo fisico che
> la velocit� della luce su un percorso chiuso � sempre c (questo �
> usato per definire la distanza tra punti spazialmente separati).
Esattamente. Comunque non mi � del tutto chiaro l'aspetto geometrico
della questione in termini di fase geometrica. In particolare non mi
sembrer� di avere compreso finch� non avr� riconosciuto il nesso fra
le forme differenziali che corrispondono al campo elettromagnetico nei
due sistemi di coordinate, e le forme differenziali che corrispondono
alle propriet� metriche dello spazio tempo, in particolare gli
integrali di circuitazione non nulli, le forme differenziali dx ^ dt e
le equazioni di continuit�. Inoltre un conto � il caso che stiamo
considerando adesso che � di campi statici ed apparenti, un altro il
caso in cui i campi corrispondano ad una geometria genuinamente
prodotta da un tensore energia impulso. Da una parte la metrica,
dall'altra i tensori elettromagnetici devono essere due aspetti
complementari della geometria dello spazio tempo in assenza di
sorgenti massive (intorno a cui il problema � che i protoni non
abbiano la stessa massa degli elettroni).
> Si tratta di una costruzione nota dai tempi di Adamo ed Eva...a la
> trovi addirittura scritta nel Landau di teoria dei campi,
che per� fa un discorso strano e non del tutto chiaro sul fatto che la
metrica ad un certo punto diventa euclidea. Dice correttamente che un
tale sistema non pu� essere realizzato da corpi reali, ma non si
capisce perch� dovrebbe essere impossibile utilizzarlo come sistema di
riferimento, non � chiaro perch� non ha prima discusso la distinzione
fra sistema di riferimento e sistema di coordinate. Infatti come
sistema di coordinate rimane del tutto legittimo, mentre come sistema
di riferimento crea dei problemi. Un problema simile si trova con le
coordinate di Rindler ed in generale ogni volta ci si trovi ad
utilizzare una qualche forma di isometria spaziale in presenza di
campi.
> anche se
> incredibilmente nessuno che io conosco si � accorto dell'importanza di
> tale costruzione [nella versione italiana non si capisce un emerito
> c... come al solito].
>
> Ciao, Valter- Nascondi testo citato
>
> - Mostra testo citato -
Tetis
> On 30 Ott, 12:14, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
Anticipo le tue proteste, cercando di correggere alcuni svarioni.
che rende differenti i potenziali in due
> cerchi non concentrici (e questo esclude l'uso di orologi in lento
> moto).
In due cerchi concentrici.
> che per� fa un discorso strano e non del tutto chiaro sul fatto che la
> metrica ad un certo punto diventa euclidea.
Non � sul fatto che la metrica diventa euclidea il commento (che non �
vero e non sarebbe possibile), ma sul fatto che "g_00 diventa
negativa. Cosa che non � ammissibile."
Questo � quello che dice testualmente Landau. Ma non si capisce in che
cosa non � ammissibile questo tipo di metrica: non comporta
degenerazione della metrica, non comporta cambio di segnatura, non
comporta problemi nel calcolo del tensore di curvatura, che nullo era
e nullo resta. Il cambio di segno � solo significativo del fatto che
la coordinata theta non pu� rappresentare un moto materiale se si
ammette che non esistono moti materiali a velocit� superiore alla
luce.
> Dice correttamente che un
> tale sistema non pu� essere realizzato da corpi reali, ma non si
> capisce perch� dovrebbe essere impossibile utilizzarlo come sistema di
> riferimento, non � chiaro perch� non ha prima discusso la distinzione
> fra sistema di riferimento e sistema di coordinate. �Infatti come
> sistema di coordinate rimane del tutto legittimo, mentre come sistema
> di riferimento crea dei problemi. Un problema simile si trova con le
> coordinate di Rindler ed in generale ogni volta ci si trovi ad
> utilizzare una qualche forma di isometria spaziale in presenza di
> campi.
>
>
>
> > anche se
> > incredibilmente nessuno che io conosco si � accorto dell'importanza di
> > tale costruzione [nella versione italiana non si capisce un emerito
> > c... come al solito].
>
> > Ciao, Valter- Nascondi testo citato
>
> > - Mostra testo citato -- Nascondi testo citato
>
> - Mostra testo citato -- Nascondi testo citato
Valter Moretti
Ciao, mi pare che parliamo di cose diverse riguardo al libraccio (la
traduzione italiana) di Landau. Comunque il mio punto di vista lo
trovi espresso nella sezione
8.4 delle mie dispense di relativit�
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica
(Con un'introduzione alla formulazione della Relativita'
generale)
No ho ancora avuto tempo di finire di scrivere quella parte. Tra
l'altro sarebbe il caso di scrivere anche sull'effetto Sagnac, dato
che � una banalit� una volta capite certe cose.
PS. Ho mandato un altro post simile ma mi pare che sia stato respinto
dal robot moderatore perch� c'era troppo testo citato...
Tetis
> Ciao, mi pare che parliamo di cose diverse riguardo al libraccio (la
> traduzione italiana) di Landau.
> Comunque il mio punto di vista lo
> trovi espresso nella sezione
> 8.4 delle mie dispense di relativit�http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
>
> �Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica
> (Con un'introduzione alla formulazione della Relativita'
> generale)
Grazie. Sai che quando escono gli appunti dei tuoi corsi � un poco
come quando esce l'ultimo disco di una star musicale apprezzata?
> No ho ancora avuto tempo di finire di scrivere quella parte. Tra
> l'altro sarebbe il caso di scrivere anche sull'effetto Sagnac, dato
> che � una banalit� una volta capite certe cose.
Ho letto la tua impostazione, se posso permettermi un consiglio per�
la questione dell'integrabilit� la esprimerei in un modo un pochino
pi� comodo. Supponiamo di avere una forma differenziale h, e due
funzioni non nulle f e g in modo che risulti f h = dg ne segue che
0 = d(f h) = df ^ h + f dh. (occorre fare attenzione alla dipendenza
del segno dalle dimensioni, ma comunque il discorso che segue non ne
risente) considerando il prodotto esterno:
0 = h ^ d(f h) = f h ^ dh
otteniamo una condizione necessaria per l'integrabilit�. Del resto f �
non nulla e quindi h ^ dh = 0 questa si chiama anche condizione di
Frobenius che dimostr� anche la sufficienza della condizione, purch�
ci si prenda la briga di completare la dimostrazione di Frobenius con
le opportune ipotesi di derivabilit�. Passando al duale di Hodge
questa condizione la puoi esprimere in altri termini *dh(e1, ... e_
{n-3},h) = 0 dove e_1 ... e_{n-3} sono campi vettoriali arbitrari,
mentre h � il campo vettoriale che vorremmo integrare. In dimensione 3
questo significa semplicemente che h e rot(h) sono ortogonali. A parte
questa escursione matematica che ha utilitit� ai fini della ricerca
del fattore integrante quando esiste, quello che interessa nel nostro
caso � che:
h = dt - \omega r^2 d\phi
ora:
dh = 2 \omega r dr ^ d\phi
e quindi la condizione necessaria per l'integrabilit� � semplicemente:
omega = 0.
Mancando della pazienza di andare a cercare la letteratura di Pfaff e
Frobenius ho cercato di ricostruire la teoria dell'integrabilit� in
particolare volevo guardare in faccia le equazioni differenziali che
permettono di costruire il fattore integrante f e che dovrebbe essere
quello che classicamente � noto come sistema di Pfaff. Ho scritto
degli appunti al riguardo qualche tempo fa. Andrebbero un poco
rivedute e le riscriverei, perch� la macchina del calcolo di Cartan �
talmente potente che arriva alle conclusioni prima che le raggiunga il
ragionamento, ma se vuoi dare un'occhiata alle mie elucubrazioni,
supportate dalla possibilit� di scrivere formule in formato tex, le
trovi qui:
http://www.scienzematematiche.it/forum/viewtopic.php?f=7&t�2&p386#p3386
> PS. Ho mandato un altro post simile ma mi pare che sia stato respinto
> dal robot moderatore perch� c'era troppo testo citato...
Tornando al discorso relativo alla sincronizzazione, quel discorso che
fai sul fatto che la velocit� della luce misurata rispetto al tempo
proprio � invariante su una circuitazione non l'ho ben capito. Si
tratta certamente di contestualizzarlo. Nel caso di uno spazio-tempo
piatto � certamente possibile definire un sistema di coordinate con
questa propriet� (un qualunque riferimento inerziale), � vero anche se
esiste una foliazione euclidea per una metrica stazionaria? In
presenza dell'ipotesi di stazionariet� localmente � sempre possibile
definire un sistema di coordinate di Fermi e in quel sistema di
coordinate mi sembra che si possa ragionar se � vero che:" usango i
righelli in quiete, applicando il principio di equivalenza, la
velocit� di circuitazione della luce � costante". Si tratta per� di
tener conto correttamente del fatto che in presenza o meno di
curvatura un sistema di coordinate di Fermi non evolve rigidamente. Ad
ogni modo dal momento che un riferimento di Fermi � composto da una
nebula di punti in caduta libera � lecito chiedersi se questi campo
vettoriale � integrabile (l'evoluzione � non collisionale), e nel caso
risulti integrabile la metrica definisce sezioni spaziali che non
necessariamente rimangono piatte al variare della coordinata
temporale. Nelle tue dispense dimostri il teorema della mappa
esponenziale che d� garanzie riguardo all'esistenza di coordinate di
Fermi nell'intorno di un punto.
Nel caso di metrica piatta le coordinate di Fermi si estendono a tutta
la variet� e coincidono con le coordinate di Einstein per il
riferimento inerziale.
Altro esempio di coordinate � quello che si ottiene lasciando in
caduta libera i punti solidali al riferimento rotante in un certo
istante di tempo universale, definiscono certamente un riferimento non
rigido, ma con sezioni euclidee conformi e per ciascun punto la
velocit� di circuitazione � costante, il campo di velocit� � infatti
integrabile e si trova facilmente che la distanza euclidea fra due
punti misurata nel riferimento inerziale del centro � modificata dal
fattore conforme universale sqrt(1 + \omega^2 t^2). Per attribuire il
giusto valore alla velocit� occorre utilizzare questo fattore ed il
tempo universale di questo sistema di coordinate coincide con quello
di Born. Comunque in generale, data la metrica � possibile predire
l'evoluzione di un esperimento.
Per il momento di pi� non so aggiungere.
Valter Moretti
> Grazie. Sai che quando escono gli appunti dei tuoi corsi � un poco
> come quando esce l'ultimo disco di una star musicale apprezzata?
ah ah ah, bella questa....
allora cosa dici di quelle di teoria spettrale, che ora sono
"completamente rinnovate"
e ammontano a la bellezza di 650 pagine? La prima parte, quella
generale sugli spazi normati e di Banach l'ho ampliata molto....
Si sono completamente d'accordo, ma non avendo messo nelle dispense
(in QUELLE dispense) n� la teoria delle forme n� il teorema di
Froebenius, ho dovuto trascrivere tutto in un linguaggio pi�
elementare e senza usare le forme. Sono d'accordo con te, che si
potrebbe usare subito Froebenius...
Sul resto che hai scritto devo leggere con calma.
Ciao, Valter
Neo
> ah ah ah, bella questa....
> allora cosa dici di quelle di teoria spettrale, che ora sono
> "completamente rinnovate"
> e ammontano a la bellezza di 650 pagine? La prima parte, quella
> generale sugli spazi normati e di Banach l'ho ampliata molto....
Ti odio... Le avevo appena stampate (solo 250 pagine per�)... :-(
Non puoi tenere un log dello stato delle dispense? :p
Grazie per averle fatte comunque
> Ciao, Valter
--
Ciao Neo
Valter Moretti
>
> Tornando al discorso relativo alla sincronizzazione, quel discorso che
> fai sul fatto che la velocit� della luce misurata rispetto al tempo
> proprio � invariante su una circuitazione non l'ho ben capito. Si
> tratta certamente di contestualizzarlo. Nel caso di uno spazio-tempo
> piatto � certamente possibile definire un sistema di coordinate con
> questa propriet� (un qualunque riferimento inerziale), � vero anche se
> esiste una foliazione euclidea per una metrica stazionaria?
Ciao, mi pare che siamo su due piani diversi. Il mio non era, in quel
punto, un ragionamento formale, era molto di pi� da considerarsi un
evidenza empirica. Se ho una nozione di percorso chiuso costruito con
regoli rigidi "piccoli" l'evidenza sperimentale � che la velocit�
della luce su tale percorso � costante indipendentemente dal moto
complessivo dei regoli. E' vero che quando costruisco un riferimento
in grande mi devo aspettare che con misure in grande ci siano dei
problemi se la metrica non � stazionaria, ma mi aspetto anche che i
problemi tendano a scomparire quanto pi� il percorso chiuso � piccolo
(al limite infinitesimo).
I cardini del ragionamento sono due. Uno � quanto ho detto sopra,
l'altro � che, usando il principio di equivalenza e passando alla
formalizzazione, anche se lo spaziotempo � curvo, si deve assumere che
le particelle di luce evolvono, nella loro storia, lungo curve di tipo
luce.
La sensatezza fisica della metrica di Minkowski prescinde
completamente dalla convenzionalit� del processo di sincronizzazione.
Si basa solo sul fatto che il processo di sincronizzazione � la
Einstein � fisicamente ammissibile, anche se non l'unico possibile.
Adottando tale processo si arriva alla costruzione della metrica di
Minkowski, in cui le particelle di luce hanno la storia descritta da,
appunto curve di tipo luce.
> In
> presenza dell'ipotesi di stazionariet� localmente � sempre possibile
> definire un sistema di coordinate di Fermi e in quel sistema di
> coordinate mi sembra che si possa ragionar se � vero che:" usango i
> righelli in quiete, applicando il principio di equivalenza, la
> velocit� di circuitazione della luce � costante".
Mi pare che le coordinate di Fermi non siano quelle che servono qui.
Le coordinate di Fermi sono coordinate attorno ad una curva di
universo in cui viene fissata anche la "rotazione" della terna
trasportata. Se ricordo bene, se la curva � una geodetica, il
trasporto di Fermi coincide con il trasporto parallelo.
Ma tutto questo mi pare che non c'entri niente con il discorso
iniziale, perch� tu stai pensando, correggimi se sbaglio, che la
metrica spaziale, cio� le lunghezze dei regoli sulle ipersuperfici a
tempo costante (per una definizione di tempo opportuna) coincida con
la metrica *indotta* da quella dello spaziotempo. Il punto � che
questo punto di vista non � sempre sostenibile, in particolare NON lo
� lavorando con le coordinate rotanti. Vediamo di fare un po' di luce
su questo punto.
Un sistema di riferimento nelle teorie relativistiche � fatto da due
enti distinti:
(a) un campo vettoriale X di tipo tempo, che individua delle curve di
universo che riempiono lo spaziotempo (o la regione considerata)
(b) una foliazione di tale regione in termini di 3-superfici di tipo
tempo. Questa foliazione � individuata da una funzione non singolare T
dallo spaziotempo in R. Le foglie della foliazione sono le
ipersuperfici
T(x)=t, per ogni valore di t. Sono lo "spazio al tempo t".
Assegnato il riferimento (X,T), ogni evento ha un posto: la curva di
universo che lo intercetta e un tempo: la superficie della foliazione
che lo intercetta (ovvero il valore di T su quella superficie).
E' naturale fare ancora una richiesta: che gli intervalli di tempo
misurati in termini del parametro delle curve integrali di X coincida
con l'intervallo di tempo misurato dalla funzione T. Questa richiesta
si scrive X(T) =1, dove X � visto come operatore differenziale.
Questa � la versione pi� generale possibile di sistema di riferimento,
quella che per esempio si usa nella teoria ADM. Il punto � ora di
mettere delle strutture metriche nel riferimento.
Lungo le curve integrali di X si conosce gi� tutto. C'� un'ascissa
curvilinea privilegiata, che in generale non coincide con il parametro
della curva integrale, che � il tempo proprio. Questa � la lunghezza
d'arco usando la metrica dello spaziotempo.
Pi� delicato � il discorso della metrica spaziale sulle superfici a T
costante. Uno potrebbe sostenere che la metrica sia automaticamente
quella indotta da quella dello spaziotempo. Ma si vede che questo
contraddice il requisito che la velocit� della luce calcolata su un
percorso chiuso valga il solito valore c, nel momento in cui si assume
anche che le particelle di luce evolvono con curve di tipo luce.
Questo � un punto centrale che non � mai chiarito sui libri ed invece
� di fondamentale importanza
dal punto di vista fisico.
Il ragionamento che porta a definire la metrica spaziale � il
seguente.
Si prende una curva integrale di X, cio� si fissa il *posto* attorno
al quale si vule determinare la metrica spaziale. Si lancia un segnale
luminoso fino ad un evento E e si rimanda indietro nello stesso
posto da cui � partito. L'evento E si trover� in un altro posto e in
un tempo t particolare (misurato dalla funzione T). La richiesta che
la velocit� di andata e ritorno sia c determina la distanza tra il
posto da cui parte il segnale ed il posto in cui si trova e.
E ovvio che si tratta di una nozione di distanza che contiene un
intervallo di tempo: per eseguire il processo passa del tempo per cui,
tutto il discorso ha senso per lunghezze "infinitesime" (in modo tale
che il tempo che intercorre nella misura � infinitesimo) e pertanto si
determina qualcosa nello spazio tangente. Facendo i calcoli si vede
che la procedura determina davvero una metrica definita positiva
(cio� riemanniana) su ogni superficie a tempo T fissato. Tale metrica
coincide con quella indotta dalla metrica dello spaziotempo se e solo
se il campo X � normale alle superfici a T fissato, altrimenti �
differente. Non solo, ma usando questa metrica, si vede che la
velocit� della luce "one-way" � DIVERSA da c e dipende da come � stato
costruito il riferimento. Invertendo la procedura si pu� dire che il
riferimento � stato costruito con una precisa procedura di
sincronizzazione "one-way".
E' evidente in tutto questo discorso quanto sia convenzionale la
procedura di sincronizzazione � la Einstein.
A cosa serve tutto cio'? Serve in certi casi in cui uno � costretto a
lavorare con sistemi di riferimento in cui le curve tangenti a X NON
siano perpendicolari alle superfici a T costante...In questa
situazione, se uno si costringe a pensare che la metrica spaziale sia
quella indotta da quella dello spaziotempo prende delle cantonate
fisiche enormi.
Il tipico caso in cui questo accade sono proprio le coordinate rotanti
di cui si discute. IN tale caso la metrica spaziale nello spazio di
quiete del riferimento che ha senso usare NON � quella indotta dalla
metrica di Minkowski, ma � quella costruita richiedendo che la
velocit� della luce calcolata su un percorso chiuso abbia valore c.
Questa � la metrica che si deve usare per discutere l'effetto Sagnac
senza fare pasticci. In effetti una volta che uno ha chiare queste
cose i calcoli acquistano un significato fisico evidente e non si
corre il rischio di dire fesserie.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> On 1 Nov, 13:41, Valter �Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
>
> > ah ah ah, bella questa....
> > allora cosa dici di quelle di teoria spettrale, che ora sono
> > "completamente rinnovate"
> > e ammontano a la bellezza di 650 pagine? La prima parte, quella
> > generale sugli spazi normati e di Banach l'ho ampliata molto....
>
> Ti odio... Le avevo appena stampate (solo 250 pagine per�)... :-(
Ciao, ma qualcosa c'� scritto di lato sulla pagina riguardo allo stato
di avanzamento. In ogni caso � pi� di un anno che sono pi� di 500
pagine, per cui la tua versione � molto vecchia. La versione attuale
credo che sar� abbastanza definitiva.
Ciao, Valter
Neo
> Ciao, ma qualcosa c'� scritto di lato sulla pagina riguardo allo stato
> di avanzamento. In ogni caso � pi� di un anno che sono pi� di 500
> pagine, per cui la tua versione � molto vecchia. La versione attuale
> credo che sar� abbastanza definitiva.
No non � vecchia ho stampato solo 7 capitoli (dall'uno al sette) che
erano quelli che mi servivano. Praticamente la parte pi� modificata �
il capitolo 2 vero?
Tetis
> On 1 Nov, 02:56, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
>
>
> > Tornando al discorso relativo alla sincronizzazione, quel discorso che
> > fai sul fatto che la velocit� della luce misurata rispetto al tempo
> > proprio � invariante su una circuitazione non l'ho ben capito. Si
> > tratta certamente di contestualizzarlo. Nel caso di uno spazio-tempo
> > piatto � certamente possibile definire un sistema di coordinate con
> > questa propriet� (un qualunque riferimento inerziale), � vero anche se
> > esiste una foliazione euclidea per una metrica stazionaria?
>
> Ciao, mi pare che siamo su due piani diversi. Il mio non era, in quel
> punto, un ragionamento formale, era molto di pi� da considerarsi un
> evidenza empirica. Se ho una nozione di percorso chiuso costruito con
> regoli rigidi "piccoli" l'evidenza sperimentale � che la velocit�
> della luce su tale percorso � costante indipendentemente dal moto
> complessivo dei regoli.
Sembra autoevidente se non fosse che l'origine ferma in un sistema di
coordinate pu� essere in moto rispetto ad un riferimento inerziale ed
in tal caso non mi pare che sia vero.
Probabilmente sono completamente fuori strada, ma per me gi� questo �
gi� un problema: la nozione di righello rigido per un moto accelerato,
ci ho messo un poco a risolverlo a modo mio e mi sembra che la mia
soluzione coincida sostanzialmente con quella che accenni pi� avanti a
proposito delle distanze misurate con la luce. Nel '93 ebbi un dubbio
che deriva dal fatto che aprii per la prima volta il libro di Pauli
sulla relativit� e cominciai a riflettere sulla nozione di moto senza
stress. Al tempo ignoravo i problemi di integrabilit�, anche perch�
ragionavo considerando una configurazione uni-dimensionale in moto in
uno spazio di Minkowski, ed effettivamente il mio scopo era quello di
definire una nozione evoluzione temporale senza stress di un mezzo.
L'idea era che l'evoluzione di un filo pu� essere espressa come una
funzione in due parametri: uno di tipo spazio, l'altro di tipo tempo,
la condizione di evoluzione senza stress la scrissi una prima volta
come segue:
g^{m,n} (D_t X_m) (D_s X_n) = 0
||D_t X|| = ||D_s X|| = 1
E' pi� una nozione di foliazione, un poco forzata con tempo proprio
come tempo universale, adatta al caso di una circonferenza rotante, ma
non a definire l'evoluzione senza stress che stavo cercando, me ne
accorsi presto, ma comunque mi fece render conto delle difficolt� che
esponi in seguito. Per controllare che la prima equazione � una
condizione ragionevole la verifico sul riferimento di Rindler senza
difficolt� (ma gi� le altre due equazioni non funzionano).
Diversamente nel caso Sagnac ti accorgi subito che per l'assegnazione:
T(t,s) = t
R(t,s) = R_0
Theta(t,s) = s/(2pi R)
Z(r,s) = 0
che corrisponde alla descrizione delle linee orarie dei punti
appartenti ad una circonferenza in quiete nel riferimento rotante,
risulta che la condizione di cui sopra non � verificata a meno che
omega = 0, infatti trovi il prodotto: 2 (R_0)^2 omega. Del resto �
ovviamente quello che occorreva presumere fin dall'inizio dal momento
che le sezioni a tempo costante sono sezioni di tipo spazio del
riferimento inerziale dell'origine, ma non del riferimento inerziale
tangente. Potrebbe trattarsi solo di una cattiva scelta della
parametrizzazione? La risposta � no.
Ad ogni modo nel caso del riferimento rotante non pu� esistere una
parametrizzazione del genere, proprio perch� c'� un'ostruzione di
carattere topologico alla sua esistenza.
Per evidenziare il problema torniamo al campo vettoriale di cui
vorremmo controllare l'integrabilit� e che risolverebbe il problema
della costruzione della parametrizzazione desiderata:
dt - \omega r^2 d\phi
adesso per� consideriamo la restrizione del campo vettoriale in una
sola dimensione, r � costante e solo phi e t sono variabili. Nota che
adesso la condizione di Frobenius � verificata localmente e localmente
il fattore integrante esiste, � ovviamente una qualsiasi costante
perch� il differenziale della forma � gi� nullo, ovvero la forma � il
differenziale di t - \omega r^2 \phi. Il problema � che questa
funzione non pu� essere estesa ad una funzione continua sulla
circonferenza perch� dipende esplicitamente dalla variabile angolare.
In termini pi� precisi: la forma differenziale � chiusa ma non �
esatta nella topologia Rx S^1.
Tornando al problema dell'evoluzione senza stress di un filo, come si
formula correttamente? Deve risultare che per una variazione
infinitesima del parametro s e del parametro t, tale da muoversi nella
direzione ortogonale al quadrivettore velocit�, risulti che la norma
quadra del vettore risultante sia indipendente da t. Con questa
definizione si verifica subito che la parametrizzazione di prima del
moto rotante � un'evoluzione senza stress. Sebbene non si possa
trovare una sezione euclidea ortogonale al campo. La condizione di
evoluzione senza stress pu� essere scritta in modo piuttosto elegante
in termini di derivata covariante esprimendo la metrica indotta sulla
variet� bidimensionale in termini delle coodinate s e t e corrisponde
a richiedere che esista una riparametrizzazione di t eventualmente
dipendente da s: t' = f(t,s),s' = s che rende statica la metrica.
Il punto chiave � che la condizione di evoluzione senza stress cos�
formulata non dice che il sistema si evolve __liberamente__, ma dice
che forzando il moto delle parti secondo la prescrizione della
funzione X^m(s,t) se lo stress interno al materiale � nullo ad un
tempo rimane nullo a tutti i tempi. Ad ogni modo � quanto basterebbe
ed occorrerebbe per parlare di un metro naturale in moto, un sistema
di piccoli righelli che conservano la loro lunghezza naturale senza
accumulare stress elastici.
E' vero che quando costruisco un riferimento
> in grande mi devo aspettare che con misure in grande ci siano dei
> problemi se la metrica non � stazionaria,
Mentre ad esempio nel caso del riferimento rotante in cui la metrica �
stazionaria non ci sarebbero problemi? Purtroppo continuo a non capire
la premessa e cerco pi� avanti di spiegarti perch� e quale � il mio
punto di vista. Probabilmente ho solo bisogno di rileggere con calma
quello che dici tu e fare qualche esempio.
> ma mi aspetto anche che i
> problemi tendano a scomparire quanto pi� il percorso chiuso � piccolo
> (al limite infinitesimo).
:-)))
> I cardini del ragionamento sono due. Uno � quanto ho detto sopra,
> l'altro � che, usando il principio di equivalenza e passando alla
> formalizzazione, anche se lo spaziotempo � curvo, si deve assumere che
> le particelle di luce evolvono, nella loro storia, lungo curve di tipo
> luce.
Questo invece � chiarissimo. Certamente le curve di tipo luce, non
necessariamente geodetiche, sono quelle per le quali gli intervalli
infinitesimi hanno pseudo-quadrato nullo.
> La sensatezza fisica della metrica di Minkowski prescinde
> completamente dalla convenzionalit� del processo di sincronizzazione.
> Si basa solo sul fatto che il processo di sincronizzazione � la
> Einstein � fisicamente ammissibile, anche se non l'unico possibile.
> Adottando tale processo si arriva alla costruzione della metrica di
> Minkowski, in cui le particelle di luce hanno la storia descritta da,
> appunto curve di tipo luce.
E' chiaro.
> > In
> > presenza dell'ipotesi di stazionariet� localmente � sempre possibile
> > definire un sistema di coordinate di Fermi e in quel sistema di
> > coordinate mi sembra che si possa ragionar se � vero che:" usango i
> > righelli in quiete, applicando il principio di equivalenza, la
> > velocit� di circuitazione della luce � costante".
>
> Mi pare che le coordinate di Fermi non siano quelle che servono qui.
> Le coordinate di Fermi sono coordinate attorno ad una curva di
> universo in cui viene fissata anche la "rotazione" della terna
> trasportata. Se ricordo bene, se la curva � una geodetica, il
> trasporto di Fermi coincide con il trasporto parallelo.
Le coordinate di Fermi somigliano ad un sistema di coordinate spaziali
localmente inerziale intorno ad un orologio in caduta libera. Non �
vero comunque che un sistema di coordinate di Fermi evolva in un
sistema di coordinate di Fermi � solo una nozione locale intorno ad un
evento come lo � quella di coordinate normali intorno ad un punto di
una variet�. Ma ai fini della misura delle velocit� la loro esistenza
ed il loro utilizzo � sinonimo di applicazione del principio di
equivalenza. Ogni punto ha un sistema di coordinate normali intorno,
ma solo in spazi a curvatura costante si prolungano ragionevolmente
bene. Permettono di misurare in modo naturale quanto la variet� si
scosti dalla variet� lorentziana.
> Ma tutto questo mi pare che non c'entri niente con il discorso
> iniziale, perch� tu stai pensando, correggimi se sbaglio, che la
> metrica spaziale, cio� le lunghezze dei regoli sulle ipersuperfici a
> tempo costante (per una definizione di tempo opportuna) coincida con
> la metrica *indotta* da quella dello spaziotempo.
No, non sto pensando questo. La lunghezza dei regoli non ha nulla a
che vedere, in generale, n� con la distanza fra punti a "tempo"
costante n� con la costruibilit� di sezioni spaziali statiche. Questo
era quello che avevo realizzato abbastanza faticosamente nel '93
appunto, studiando il problema della conservazione della distanza
infinitesima in un sistema in movimento. Conservo un apprezzamento
intuitivo delle conclusioni per�, dovrei faticare per scrivere come si
misura la distanza percorsa da un oggetto in movimento, luce compresa,
ma partirei dalla formulazione infinitesima del principio di
equivalenza e quindi dall'invarianza della velocit� della luce in un
riferimento infinitesimo in caduta libera. Ammettendo inoltre il
limite dell'iconale per la propagazione della luce fonderei la nozione
di distanza su quella di tempo proprio dei punti in caduta libera e
sul tempo di andata e ritorno della luce.
Il punto � che
> questo punto di vista non � sempre sostenibile, in particolare NON lo
> � lavorando con le coordinate rotanti. Vediamo di fare un po' di luce
> su questo punto.
Questo � chiaro, appunto.
> Un sistema di riferimento nelle teorie relativistiche � fatto da due
> enti distinti:
> (a) un campo vettoriale X di tipo tempo, che individua delle curve di
> universo che riempiono lo spaziotempo (o la regione considerata)
> (b) una foliazione di tale regione in termini di 3-superfici di tipo
> tempo. Questa foliazione � individuata da una funzione non singolare T
> dallo spaziotempo in R. Le foglie della foliazione sono le
> ipersuperfici
> T(x)=t, per ogni valore di t. Sono lo "spazio al tempo t".
>
> Assegnato il riferimento (X,T), ogni evento ha un posto: la curva di
> universo che lo intercetta e un tempo: la superficie della foliazione
> che lo intercetta (ovvero il valore di T su quella superficie).
>
> E' naturale fare ancora una richiesta: che gli intervalli di tempo
> misurati in termini del parametro delle curve integrali di X coincida
> con l'intervallo di tempo misurato dalla funzione T. Questa richiesta
> si scrive X(T) =1, dove X � visto come operatore differenziale.
Cio� come dire che imponiamo l'esistenza di orologi speciali che
indicano il tempo del riferimento a prescindere dal tempo naturale
misurato dagli orologi ideali.
> Questa � la versione pi� generale possibile di sistema di riferimento,
> quella che per esempio si usa nella teoria ADM. Il punto � ora di
> mettere delle strutture metriche nel riferimento.
>
> Lungo le curve integrali di X si conosce gi� tutto. C'� un'ascissa
> curvilinea privilegiata, che in generale non coincide con il parametro
> della curva integrale, che � il tempo proprio. Questa � la lunghezza
> d'arco usando la metrica dello spaziotempo.
Certo.
> Pi� delicato � il discorso della metrica spaziale sulle superfici a T
> costante. Uno potrebbe sostenere che la metrica sia automaticamente
> quella indotta da quella dello spaziotempo.
No, appunto.
> Ma si vede che questo
> contraddice il requisito che la velocit� della luce calcolata su un
> percorso chiuso valga il solito valore c, nel momento in cui si assume
> anche che le particelle di luce evolvono con curve di tipo luce.
D'accordo, ma questo non esclude che il tempo misurato da un orologio
ideale e le lunghezze misurate da metri ideali, in un riferimento
accelerato possano avere rapporto diverso dalla velocit� della luce
calcolata sul percorso chiuso. Dico che se uso orologi ideali e
righelli entrambi in caduta libera per misurare gli spostamenti della
luce intorno ad ogni punto da cui la luce passa questa velocit� � vero
che la velocit� � sempre c, ed � vero per il principio di equivalenza,
ma ho delle riserve, anzi la certezza di ottenere in generale
risultati diversi, nel caso di misure fatte con orologi ideali e
righelli ideali accelerati.
> A cosa serve tutto cio'? Serve in certi casi in cui uno � costretto a
> lavorare con sistemi di riferimento in cui le curve tangenti a X NON
> siano perpendicolari alle superfici a T costante...In questa
> situazione, se uno si costringe a pensare che la metrica spaziale sia
> quella indotta da quella dello spaziotempo prende delle cantonate
> fisiche enormi.
Infatti.
Elio Fabri
> Sul resto che hai scritto devo leggere con calma.
Pero' da un'occhiata superficiale ho trovato parecchie somiglianze
(anche in quello che avevi scritto tu in precedenza) con un mio
scritto "privato" di qualche anno fa.
Nel caso aveste voglia di darci un'occhiata, tenete presente che era
scritto solo per me ed era incompleto.
Ma m'interessa comunque se ci trovate errori o cose criticabili.
Lo troverete da domani in
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/rotante.pdf
--
Elio Fabri
Tetis
> Ciao, mi pare che parliamo di cose diverse riguardo al libraccio (la
> traduzione italiana) di Landau. Comunque il mio punto di vista lo
> trovi espresso nella sezione
> 8.4 delle mie dispense di relativit�http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
>
> �Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica
> (Con un'introduzione alla formulazione della Relativita'
> generale)
Allora, brevemente: ho cercato di capire un poco pi� quantitativamente
come stanno le cose. Ho calcolato la velocit� usando da un lato la
variazione della coordinata theta rispetto alla coordinata temporale
che diciamo "localmente sincrona". Questo equivale a mettersi in
coordinate di Fermi o anche ad usare le sezioni ortogonali al campo di
traslazione temporale. Ho quindi calcolato, in accordo alla
definizione radar delle distanze infinitesime l'elemento di lunghezza
che corrisponde a questa variazione di coordinata theta. A questo
punto, come tautologico, la velocit� della luce � effettivamente c, ma
fa bene all'autostima algebrica verificarlo prendendo le formule dal
Landau o dalle tue dispense. La lunghezza misurata dai righelli
adagiati nel riferimento fra un punto a coordinata theta ed un punto a
coordinata theta', certamente non ha a che fare con l'elemento di
lunghezza a t costante, semplicemente perch� occorre considerare il
pezzetto infinitesimo. Da ultimo ho calcolato il tempo proprio che
trascorre fra il momento iniziale ed il momento fin cui il raggio di
luce viene ricaptato ed ho usato la lunghezza misurata dai righelli.
Se calcolo il rapporto fra i due numeri ottengo c-omega.r o c+omega.r
a secondo della direzione di moto. Come � giusto che sia dal momento
che sull'orologio nel punto theta ha agito un campo gravitazionale e
quindi mentre la luce viaggiava � come se l'orologio si fosse sempre
mosso rispetto ad un riferimento inerziale tangente.
Dopo aver fatto questo ho riletto tutto d'un fiato quello che mi avevi
risposto. Sebbene nella linea generale mi � chiaro il senso di tutto
quello che dici ci sono delle frasi qua e l� che non mi convincono.
Una � quella che scrivevi all'inizio:
> Se ho una nozione di percorso chiuso costruito con regoli rigidi "piccoli" l'evidenza sperimentale � che la velocit� della luce su tale percorso � costante > indipendentemente dal moto complessivo dei regoli.
Allora: il punto chiave � che l'evidenza sperimentale � che in ogni
punto del percorso la velocit� della luce misurata in un riferimento
tangente equivalente ad un riferimento inerziale � c (per costruzione
potremmo dire, ma in vero perch� la costruzione rispecchia una
evidenza empirica che � in sostanza alla base del principio di
equivalenza). Trovavo fuorviante l'affermazione che la velocit�
misurata su un percorso chiuso � c, ma alla fine tu stesso dici che
questo non � vero.
> Non solo, ma usando questa metrica [quella indotta sulle sezioni a tempo costante], si vede che la velocit� della luce "one-way" � DIVERSA da c e
> dipende da come � stato costruito il riferimento. Invertendo la procedura si pu� dire che il riferimento � stato costruito con una precisa procedura di
> sincronizzazione "one-way". E' evidente in tutto questo discorso quanto sia convenzionale la procedura di sincronizzazione � la Einstein.
Qui il punto che rimaneva aperto � che il problema persiste anche se
usi non la metrica indotta, ma proprio la misura fornita dai regoli ed
il tempo misurato dall'orologio ideale che rimane nel punto che ha
emesso il segnale, questo � un dato oggettivo che non ha direttamente
a che fare con la sincronizzazione. Ma in effetti scrivevi anche:
> La sensatezza fisica della metrica di Minkowski prescinde completamente dalla convenzionalit� del processo di sincronizzazione. Si basa solo sul fatto > che il processo di sincronizzazione � la Einstein � fisicamente ammissibile, anche se non l'unico possibile. Adottando tale processo si arriva alla
> costruzione della metrica di Minkowski, in cui le particelle di luce hanno la storia descritta da, appunto curve di tipo luce.
che � per l'appunto ci� che sostengo.
Ma rimango con un dubbio. Sembra che esiste un altro tipo di
problematica sviluppando la struttura matematica della relativit� ed �
una problematica generale della geometria differenziale, si vede che
la struttura ammette delle libert� in pi�, riguardo alla connessione,
di quante se ne utilizzino in pratica, sembra che finch� si rimane su
un piano di fisica classica l'arbitrariet� di questa scelta non
comporti conseguenze osservabili (eccetto per un punto che � gi�
problematico in fisica classica e che � la scelta simmetrica del
tensore degli sforzi in elettromagnetismo). Ad ogni modo a livello
atomico intervengono gli spin seminteri. E si usano orologi che fanno
uso di spin. Prevedere l'effetto del campo sugli spin � una questione
pratica importante ed a qualcuno potrebbero essere venuti dei dubbi
circa il modo in cui la connessione funzioni per gli spin. Landau ad
esempio accenna in modo un poco sibillino ad una questione fin dalle
prime pagine dedicate alla relativit� generale nel suo libraccio,
riassumendo egli dice: un conto � il principio di equivalenza, un
altro il modo in cui lo si esplicita nella teoria e se ne tiene conto
nella dinamica.
Valter Moretti
Ciao, scusa ma, per impegni improvvisi, non ho tempo di proseguire
questa discussione davvero interessante
ora, spero di riprenderla pi� avanti. Mi dispiace davvero perch� mi
interessava!
Ciao, Valter
Tetis
Beh, quando possibile, nel frattempo spero di riuscire a capire meglio
la seguente questione: se il sistema che produce il segnale luminoso
comincia a muoversi liberamente lungo una geodetica subito dopo, e
viene poi raggiunto dalla luce � vero o no che in tal caso il percorso
� legato al tempo proprio misurato dall'orologio dalla relazione
spazio = c * tempo? Quello che so per certo � che se il sistema di
coordinate � definito su una variet� piatta allora la risposta �
affermativa. Se invece � definito su una variet� curva mi sembra
ragionevole, ma la dimostrazione non mi sembra ugualmente semplice.
Tetis
rotante. La forma differenziale dt - d\theta con t reale e \theta
definito in S1, � una forma chiusa, ma non � esatta, in altre parole �
solo localmente integrabile, ma non � globalmente integrabile. Il
difetto di integrabilit� � anzi una misura dello sfasamento fra il
tempo misurato dall'orologio in quiete ed il tempo nel quale la luce
percorrerebbe la lunghezza propria del circuito se questa lunghezza
fosse solidale ad un riferimento inerziale. Questo tempo pu� risultare
in eccesso o in difetto secondo la direzione del moto.
Infine riguardo alla questione delle correnti: la prima cosa che ho
pensato, nell'immediato, � che � vero che la quantit� di carica fissa
(i nuclei del reticolo conduttore) residente sul circuito deve
rimanere la stessa, se il conduttore viene forzato dallo stato di
quiete allo stato di rotazione, ma nulla garantisce che rimanga
invariata la quantit� di carica mobile. Del resto questa � una
risposta sbrigativa ma che sollecita a chiedersi in che modo si
intende porre in rotazione il filo. Ed infatti: consideriamo una
situazione in cui in ogni riferimento tangente "ad una carica fissa"
appaia che la densit� di carica locale � nulla, ovviamente la densit�
di carica rispetto a questo riferimento tangente non sar� nulla negli
altri punti del cilindro, ma al contrario deve risultare ovunque
maggiore di zero, come si vede facilmente da considerazioni
geometriche nello spazio 2+1 dimensionale: le linee orarie delle
cariche sono eliche su un cilindro retto sezionato obliquamente dal
piano a tempo costante del riferimento tangente. Detto questo rimane
da studiare la questione sul piano dinamico si pu� pensare al
riferimento tangente al generatore e studiare cosa succede se abbiamo
un generatore di corrente o un generatore di potenziale. La prima cosa
che mi vien da pensare � che abbiano ancora una volta un ruolo le
circuitazioni degli integrali sulle sottovariet� piane associate al
campo di traslazione temporale. Ma questo per il momento lo rimando.
Analogamente riguardo alla spira rettangolare dove circola una
corrente, supponendo di osservarla da un sistema in moto traslatorio
succede che:
1) il lato dove la corrente procede concorde al moto del centro della
spira mostra densit� di carica differente dalla densit� di carica sul
lato opposto, nel riferimento solidale alla carica campione (in moto
relativo rispetto alla spira).
2) la densit� di carica nel riferimento solidale al generatore � nulla
(perch� questo fatto non pu� dipendere dalla circostanza che la si
stia guardando da un altro sistema :-) in virt� del non banale
principio di realt�).
Del resto non mi sembra si possa dar per certo che il filo in
movimento avrebbe la stessa lunghezza apparente del filo in quiete nel
riferimento inerziale (come �, in parte, chiarito dal problema delle
molle, in pratica se le molle venissero accompagnate in modo da
rimanere equidistanti dal centro e senza stress il raggio dovrebbe
risultare diminuito di un fattore gamma, del resto a conseguenza della
non integrabilit� locale del sistema di sezioni sincrone sulla variet�
3d (tempo, raggio, theta), una evoluzione globale senza stress
interni a causa dell'accelerazione del disco non � possibile: in
parole semplici se vengono lasciate senza stress le molle tangenziali,
sorge per necessit� una compressione nelle molle radiali) � anche vero
che nel caso del filo abbiamo una differenza proprio per via della
corrente, ma comunque tutto questo mi sembra di secondaria importanza
rispetto all'argomento di prima.
Si pu� descrivere comunque un esperimento differente da quello
suddetto: consideriamo il sistema composto di due cilindri in moto
rotatorio relativo in un riferimento inerziale, sui quali sono poste
delle quantit� di cariche prestabilite uguali e contrarie e poi
poniamo il tutto in rotazione, i raggi dei due cilindri dovessero
risultare modificati. Mi aspetto che risultino modificati in questo
modo: il cilindro che era inizialmente fermo sar� contratto per un
fattore:
gamma(om r)
dove r � il suo raggio quando � in rotazione, il cilindro che era
inizialmente in moto rotatorio sar� contratto di un fattore:
gamma(om r) * (1+om om' r^2 /c^2)
per la legge di composizione delle velocit�, e si pu� quindi fare in
modo che i due raggi nella configurazione di rotazione simultanea
siano uguali. Adesso la questione diventa: dal momento che direi che
le cariche rimangono identiche, la corrente risulta definita solo
dalla differenza di velocit� e quindi obiettivamente c'� soltanto una
corrente, un poco differente da quella iniziale (e da quella che si
produrrebbe con una trasformata di Lorentz per via della variazione
del raggio), ma nessuna carica: allora nel riferimento inerziale, in
cui la carica esterna � rimasta ferma, questa configurazione non crea
forze di sorta.
Del resto nel riferimento tangente, per quanto possa apparire strano
dovr� pure risultare che non agiscono forze, comunque � interessante
notare che in tal caso deve esserci un effetto di compensazione fra i
campi elettrici e magnetici. Lo si vede dalla circostanza che nel
riferimento tangente i campi elettrici delle due distribuzioni non
risultano pi� compensati, e questo a casua del fatto che nelle sezioni
spaziali sincrone rispetto al campo del tempo del riferimento tangente
le distribuzioni di cariche pertengono a due cilindri a sezione retta
ellittica ma a causa della rotazione la distribuzione di carica sui
due cilindri non � pi� neutra. Per capire questo basta pensare che le
curve orarie dei due cilindri sono eliche di passo differente, allora
nel riferimento tangente abbiamo sezioni oblique del cilindro il
risultato � che vedremo ancora due ellissi coincidenti, ma non neutri
e con corrente diversa da punto a punto, in accordo all'equazione di
continuit�.
Tetis
> Valter �Moretti ha scritto:> Sul resto che hai scritto devo leggere con calma.
>
> Io non ci provo neppure, tanto so che non mi riuscirebbe.
> Pero' da un'occhiata superficiale ho trovato parecchie somiglianze
> (anche in quello che avevi scritto tu in precedenza) con un mio
> scritto "privato" di qualche anno fa.
>
> Nel caso aveste voglia di darci un'occhiata, tenete presente che era
> scritto solo per me ed era incompleto.
> Ma m'interessa comunque se ci trovate errori o cose criticabili.
A quanto pare ho fatto un poco di confusione con un precedente invio.
Quello che volevo chiederti � se la condizione di integrabilit� la
scegli per particolari ragioni di comodit� rispetto alla condizione di
Frobenius: d\sigma ^ \sigma = 0. Ad esempio � pi� pratica ai fini di
cercare di integrare la forma, oppure per ragioni di principio, ad
esempio perch� � pi� indicata nel caso di pseudo-metriche, oppure
ancora chess�? Ad esempio � una condizione di carattere globale,
anzich� locale?
Sempre sulla condizione di integrabilit� ad un certo punto dici che
una forma differenziale in una variet� bidimensionale � sempre
integrabile. Questo per� � vero solo localmente, mentre globalmente un
controesempio � dato, ad esempio, proprio dalla metrica del
riferimento rotante quando si scelga di considerare la metrica su una
restrizione unidimensionale. La variabile angolare non � una funzione
continua su S^1 e quindi la forma che corrisponde al differenziale
della coordinata angolare � chiusa ma non � esatta.
Il difetto di integrabilit� � anzi una misura dello sfasamento fra il
tempo misurato dall'orologio in quiete ed il tempo nel quale la luce
percorrerebbe la lunghezza propria del circuito se questa lunghezza
fosse solidale ad un riferimento inerziale. Questo tempo pu� risultare
in eccesso o in difetto secondo la direzione del moto.
Per il resto: sintetizzando pi� possibile, e rimandando all'altro post
gi� inviato per alcuni dettagli. Per la questione del "paradosso?" ho
pensato che la risposta pi� naturale � che effettivamente il
generatore fornisce la differenza di cariche mobili necessarie
affinch� nel riferimento tangente il conduttore rimanga localmente
neutro dal che segue che nel riferimento inerziale di partenza la
densit� di carica non � nulla. E' criticabile l'ipotesi che il filo si
mantenga della stessa lunghezza, ma la contrazione non sembra avere un
ruolo. Nel caso in cui effettivamente si voglia pensare ad una
quantit� totale di carica mobile invariata siamo in presenza di una
condizione fisicamente differente da quella di un circuito
alimentato.