sezioni di Dedekind
marco©
"Chiamiamo sezione di Dedekind o sezione del campo razionale un sottinsiema
a di numeri razionali soddisfacente le seguenti proprietà:
i) a diverso dall'insieme vuoto, a diverso da Q
ii)se p appartiene ad a e q<p allora q appartiene ad a
iii)a non ha massimo
Chiamiamo numero reale una sezione di Dedekind."
Non mi è chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda
potrà sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito da
un insieme di razionali?
Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie ordinate
di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
Giorgio Pastore
provo a darti una risposta sistetica sulla questione generale:
marco© wrote:
> Da: "Lezioni di analisi matematica" di Maderna-Soardi:
...
>
> Non mi è chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
> un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda
> potrà sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito da
> un insieme di razionali?
La spiegazione euristica e' nel fatto, gia' noto ai greci, che un
numero reale puo' essere approssimato sempre meglio da numeri razionali,
sia per eccesso, sia per difetto. E di questi ce ne sono infiniti.
A questo punto, l' idea di Dedekind fu di "ribaltare" la questione e di
usare questo cone *definizione* di reali. Il risulato e' una definizione
che, per chi e' alle prime armi con questo genere di procedimenti
appare strana (come? *un* numero reale sarebbe l 'insieme di tutte le
approssimazioni razionali per difetto ? ma non era *un* numero ?)
tuttavia in matematica si e' dimostrata estremamente fruttuosa per
arrivare a delle definizioni pulite, logicamente accettabili e che non
facciano riferimento ad elementi intuitivi non definiti.
Va anche notato che la definizione mediante sezioni di Dedekind non e'
l'unica ma ce ne sono altre (comunque poco "intuitive") che sono
equivalenti a quella di D.
> Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie ordinate
> di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
Dipende dove vedi l' analogia. In un certo senso anche si' (*un* numero
complesso definito attraverso *due* reali). Da un altro si tratta di
una costruzione piu' complessa (bisticcio involontario :-) ):servono
infiniti razionali per definire un reale.
Giorgio
Tetis
scritto:
> Da: "Lezioni di analisi matematica" di Maderna-Soardi:
>
> "Chiamiamo sezione di Dedekind o sezione del campo razionale un
sottinsiema
> a di numeri razionali soddisfacente le seguenti proprietà:
>
> i) a diverso dall'insieme vuoto, a diverso da Q
>
> ii)se p appartiene ad a e q<p allora q appartiene ad a
>
> iii)a non ha massimo
>
> Chiamiamo numero reale una sezione di Dedekind."
>
> Non mi è chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
> un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda
> potrà sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito
da
> un insieme di razionali?
Non può in effetti. Quello che trovi fino a questo punto è solo un
insieme contenitore per delle approssimazioni, non un numero.
Il problema di rappresentare una procedura di approssimazione e' un problema
che nasce in geometria con la scoperta dell'irrazionalità della diagonale
del
quadrato.
I numeri razionali non forniscono una descrizione completa delle
grandezze geometriche occorre considerarne un'estensione. L'idea
di Euclide fu di caratterizzare il rapporto fra la diagonale
del quadrato ed il suo lato caratterizzando l'insieme delle approssimazioni
che erano costruibili con riga e compasso ovvero i multipli interi del
lato e le loro frazioni intere e distinguendole in approssimazioni per
eccesso e per difetto. La definizione di Euclide è differente da quella
di Dedekind in un punto delicato che spiegherò in seguito. Euclide non
ricorre mai alla nozione di insieme infinito. Si limita a dare delle
indicazioni operative di confronto che possono essere portate avanti
quanto si voglia ed applicabile alla generalità delle costruzioni
geometriche pensabili, ed a fornire un modo per caratterizzare il
rapporto fra segmenti che funzioni anche quando questi non siano
commensurabili.
Occorreva in particolare una definizione che prescindesse il più possibile
da convenzioni di approssimazione, come quella decimale, le definizioni
operative di numero reali in termini di allineamento decimale non potevano
soddisfare le esigenze di generalità di Euclide perchè avrebbero posto un
limite inaccettabile alle costruzioni geometriche.
Dicevo che un insieme di razionali non può essere considerato un
numero reale, non può quella che hai riportato e' una definizione
incompleta.
Occorre definire le operazioni sulle classi, una definizione di
equivalenza fra le classi, ed introdurre l'assioma di completezza o un suo
equivalente, senza di ciò non si può apprezzare la necessità
di questa definizione. Solo alla fine di tutto questo trova ragione
la definizione di numero reale. Nel caso di Dededink due classi si
sommano e si moltiplicano mettendo nella nuova classe tutti
i possibili prodotti e tutte le possibili somme. L'opposto di una
classe si definisce mettendo nella nuova classe gli opposti del
complementare ad eccezione dell'opposto del minimo se questo esiste.
L'equivalenza fra le due classi è definita per identità: due classi
sono uguali se contengono gli stessi elementi.
L'assioma di completezza
consiste nel dire che per una qualsiasi funzione continua
il risultato di questa funzione su un numero è ancora
descritto da una classe di Dedekind.
Rimanendo agli strumenti classici Euclide
si era accorto della necessità di considerare una buona definizione
di equivalenza fra insiemi di approssimanti cercando di ridurre al
minimo le convenzionalità e tenendo ben presente un
criterio di finitezza che al suo tempo era particolarmente importante.
Per Euclide era importante la verificabilità
in loco delle proprietà, ed era importante escludere l'infinito
attuale. Per assioma di completezza intese che date due classi
a, b si intende che sono equivalenti se per ogni numero eps razionale
esistono due numeri uno in a ed uno nel complementare di b in modo
che la loro differenza sia minore di eps. La cosa detta con un apparato
in vero molto complesso di definizioni.
Perchè serve questo rigirio? Per evitare di considerare definizioni
che potrebbero essere non controllabili nella generalità dei casi.
Per esempio evitare di definire un numero reale per mezzo di
allineamenti decimali infiniti dicendo cose come due allineamenti
sono uguali se tutte le cifre sono identiche. O due proporzioni sono
uguali se tutte le proporzioni razionali contenute sono applicabili
le une nelle altre.
> Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie
ordinate
> di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Tetis
>
> > Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie
> ordinate
> > di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
C'e' piu' somiglianza con il procedimento di costruzione
degli interi dai naturali e dei razionali dagli interi. L'analogica
sta nel fatto che anche in quel caso puoi procedere considerando
le classi ordinate di naturali, una classe di equivalenza,
un modo per sommarle uno per moltiplicarle,
uno per invertire le operazioni. Anche nel caso dei complessi
devi poi verificare le proprieta' algebriche che caratterizzano
i numeri.
Nel caso dei numeri complessi c'e' una analogia piu' sottile
da cogliere, che sta nelle motivazioni alla base delle due
costruzioni. Come i numeri reali sono costruiti per fornire
un ambiente in cui trovino posto i risultati delle operazioni
di limite, cosi' i numeri complessi sono costruiti per avere
un ambiente in cui l'operazione di soluzione delle equazioni
quadratiche ammetta soluzione.
Nel ripensare a questa cosa ho scoperto un'errore in quello
che postavo prima: le approssimazioni costruibili con riga
e compasso non sono le approssimazioni razionali. Facendo
mente locale ricordo che Euclide volle costruire una teoria
generale delle proporzioni avvisato del fatto che esistono enti geometrici
costruibili da un segmento che sono in una proporzione con questo
che non e' riconducibili a rapporti fra multipli.
Sempre su questa linea ricordo che esiste un'intera classe di
numeri che puo' essere posta in corrispondenza biunivoca con le
costruzioni ottenibili con riga e compasso, mi sembra di ricordare che
siano un sotto-insieme degli interi algebrici. Grazie a questo,
tempo piu' tardi, non troppo tempo fa fu dimostrato che la circonferenza
del cerchio non puo' essere costruita dal suo diametro con riga e compasso.
La dimostrazione consiste appunto nel mostrare che pi greco non e' un
intero algebrico. E' quello che si chiama numero irrazionale.
Questo vastissimo insieme di ricerche ha portato ad una migliore, non ancora
completa comprensione delle particolarita' logiche della definizione di
numero
reale, che e' una delle definizioni piu' difficili e dalla storia piu'
laboriosa che
il pensiero ricordi, in particolare perche' poneva un abisso fra il piano
ancora
indefinito dei numeri costruibili per via matematica con serie ed
approssimazioni
infinite e la storia precedente. I numeri di Dedekin e Cantor erano un
ambiente
di sviluppo "universale" paragonabile per la sua potenza e ricchezza interna
solamente al piano euclideo. Una mia personalissima convinzione e' che
la potenza del supporto intuitivo fornito dallo spazio euclideo abbia da un
lato rallentato la
comprensione espressione delle potenzialita' del discorso logico che era
intrinseco nella
impostazione simbolica tramite insiemi infiniti che si sviluppo' in quegli
anni, dall'altro
abbia stimolato la ricerca sul significato profondo del carattere di
"universalita'"
dei numeri infiniti.
Anche a proposito di cio' puo' essere interessante sapere che l'Ecole
Politecnique aveva una sezione
brevetti e che esisteva un ufficio per le dimostrazioni matematiche.
Giungevano
a quell'ufficio continue proposte di realizzazione di macchine per il moto
perpetuo,
e dimostrazioni per la quadratura del cerchio e la trisezione dell'angolo.
Ad un certo
punto nel corso dell'Ottocento, fu emanato un bando in cui veniva
pubblicamente fatto divieto di inoltro di note su questi tre argomenti. Fu
in quegli
anni che venne dimostrato che non era possibile quadrare il cerchio o
trisecare un
generico angolo (usando riga e compasso, e' importante specificarlo perche'
Nicia detto il siculo ovvero Nicomede, se non ricordo male, era riuscito a
pensare
una macchina per la trisezione dell'angolo ed Ippia per conto suo aveva
pensato ad
un modo per costuire una curva che consentisse la quadratura del cerchio
erano
entrambi pitagorici ribelli, ovvero avevano ad un certo punto abbandonato la
regola e divulgato parte del loro sapere) e che venne sviluppata la teoria
delle macchine
termiche.
Tetis
> di Euclide fu di caratterizzare il rapporto fra la diagonale
> del quadrato ed il suo lato caratterizzando l'insieme delle
approssimazioni
> che erano costruibili con riga e compasso ovvero i multipli interi del
> lato e le loro frazioni intere e distinguendole in approssimazioni per
> eccesso e per difetto.
Piu' correttamente l'idea di Euclide fu di caratterizzare l'identita'
fra le proporzioni di coppie di segmenti mediante una procedura
di confronto fra i multipli interi dei due segmenti di ogni coppia.
C'e' anche da osservare che in effetti costruire una frazione razionale
senza utilizzare la squadra, bensi' solo la riga ed il compasso non e'
impossibile ma e' laborioso, la difficolta' e' nel frazionare in n parti
uguali.
Ovvero nel tracciare una retta parallela per un punto assegnato usando solo
riga e compasso.
Elio Fabri
> Forse sarebbe stato piu' appropriato postare su i.s.m. ma a quest
> punto provo a darti una risposta sistetica sulla questione generale:
che qui la fisica non c'entra proprio per nulla, anche con la massima
buona volonta'...
Ma poi l'amico ha fatto di peggio: ha fatto il crosspost con ism, e
naturalmente s'e' creato un lungo thread anche li'.
Due ragioni per cui non entro nel merito, anche se qualcosina da dire
ce l'avrei.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------