Conservazione quantità di moto e spazio omogeneo e isotropo
Lurkos
quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
e sufficiente del principio di azione e reazione.
Altre fonti però precisano che quest'ultimo deriva dall'ipotesi di
omogeneità e isotropia dello spazio.
In che senso la condizione di spazio omogeneo e isotropo implica il
terzo principio della dinamica?
--
Lurkos
Enrico SMARGIASSI
> Ho sempre visto il principio di conservazione della quantità di moto (e
> quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
> e sufficiente del principio di azione e reazione.
In una meccanica puramente newtoniana, con azioni istantanee a distanza,
questo e' vero. Se pero' introduci il concetto di campo, devio tener
conto della quantita' di moto eventualmente presente nel campo stesso;
in questo caso il terzo principio della dinamica, formulato nel senso di
"azione e reazione" non e' piu' valido. La conservazione della qdm, in
altri termini, e' un principio piu' generale.
> In che senso la condizione di spazio omogeneo e isotropo implica il
> terzo principio della dinamica?
La risposta dipende dalle tue conoscenze di fisica, a che livello sei?
fadeh
> Lurkos wrote:
>
>> Ho sempre visto il principio di conservazione della quantità di moto (e
>> quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
>> e sufficiente del principio di azione e reazione.
>
> In una meccanica puramente newtoniana, con azioni istantanee a distanza,
> questo e' vero.
Mi sembra che manchi anche un pezzo, il momento delle "forze interne"
deve essere nullo. No?
Ciao,
fadeh
Lurkos
>> Ho sempre visto il principio di conservazione della quantità di moto (e
>> quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
>> e sufficiente del principio di azione e reazione.
> In una meccanica puramente newtoniana, con azioni istantanee a distanza,
> questo e' vero. Se pero' introduci il concetto di campo, devio tener
> conto della quantita' di moto eventualmente presente nel campo stesso;
> in questo caso il terzo principio della dinamica, formulato nel senso di
> "azione e reazione" non e' piu' valido. La conservazione della qdm, in
> altri termini, e' un principio piu' generale.
Effettivamente io l'ho sempre vista in ambito di meccanica, senza mai
vedere applicazioni nelle situazioni nelle quali si lavora con dei
campi.
A dire la verità, non mi viene in mente come possa associare una
quantità di moto ad un campo, a meno che tu non ti riferisca, ad
esempio, al concetto di pressione di radiazione per le onde
elettromagnetiche (*).
Del resto avevo comunque intuivo che la formulazione conservativa del
terzo principio si prestasse meglio ad essere generalizzata.
(*) dopo aver scritto questo e prima di premere invia ho controllato
Wikipedia e non mi sembra quindi di esserci andato troppo lontano.
>> In che senso la condizione di spazio omogeneo e isotropo implica il
>> terzo principio della dinamica?
> La risposta dipende dalle tue conoscenze di fisica, a che livello sei?
Direi complessivamente abbastanza buono (studio Ingegneria), sebbene a
causa della dannata riforma del 3+2 si abbia sempre di più la tendenza
a non dare il giusto peso ad alcuni concetti fondamentali o, peggio, a
trasmette una conoscenza esagerata su alcuni punti e magari carente su
altri. Non sono quindi in novellino, ma neanche un esperto mondiale,
anche perché probabilmente non mi sarebbe venuto questo dubbio.
Sicuramente la risposta è in gran parte una banalità, ma, non avendo
mai affrontato questo problema, in questo momento non mi viene in
mente una possibile soluzione (né ho trovato riferimenti validi in
rete).
--
Lurkos
Valter Moretti
Che lo spazio (di un riferimento inerziale in fisica classica o in
relatività speciale) sia omogeneo, significa che: la lagrangiana (in
realtà si può indebolire riferendosi all'azione) di un qualsiasi
sistema fisico isolato è invariante per traslazione in una ogni
direzione.
Questo fatto astratto ha una conseguenza, che entro certi limiti è
equivalente all'omogeneità dello spazio, e che ha un significato
fisico più diretto. se vale l'omogeneità dello spazio nel senso
scritto sopra allora vale anche quanto segue. Se faccio un esperimento
preparando il sistema con certe condizioni iniziali e lasciandolo
evolvere, e poi ripreparo il sistema con condizioni iniziali traslate
della traslazione comune u, allora l'evoluzione che ne viene fuori è
la stessa di prima, eccetto che è *cambiata per la sola traslazione
u*, con cui avevo traslato le condizioni iniziali.
Se la lagrangiana di un sistema fisico è invariante per le traslazioni
nella direzione u (e questo accade per principio, per ogni sistema
isolato studiato in un riferimento inerziale e per ogni direzione u)
il teorema di Noether ti assicura che esiste un "integrale primo",
cioé una grandezza conservata sui moti del sistema, associata alla
direzione u. Per definizione l'integrale primo associato alla
direzione u è la componente della quantità di moto del sistema lungo
u.
Nel caso in cui il sistema fisico sia classico ed elementare, cioé un
insieme di punti che interagiscono (istantaneamente) tra di loro, con
forze dedotte da un potenziale, si vede, facendo il conto, che
l'integrale primo che salta fuori è davvero la quantità di moto totale
del sistema come definita in meccanica classica poiettata sulla
direzione u.
Nel caso in cui il sistema è più complesso, per esempio particelle +
campi d'interazione che si propagano ed hanno la lor lagrangiana, il
teorema funziona ancora, però questa
volta l'integrale primo che viene fuori, tiene conto anche di un
contributo dovuto ai campi. Per esempio, in questo modo scopri che il
campo eletrromagnetico porta impulso...(non è l'unico modo di scoprire
ciò, ci sono modi anche più elementari...)
La cosa non è limitata alle traslazioni, il teorema di Noether vale
per tutto il gruppo delle isometrie dello spazio di Minkowski (gruppo
di Poincaré) oppure dell'analogo gruppo dello spaziotempo della fisica
classica (gruppo di Galileo). E vengono fuori 10 grandezze conservate
scalari: 3 componenti dell'impulso, 3 componenti del momento angolare
(invarianza per rotazioni), 1 l'energia (invarianza per traslazioni
temporali) + ? ne mancano 3 !
(chi sono i 3 che mancano dovuti all'invarianza sotto i 3 boost/
trasformazioni pure di Galileo?? ;- ) )
Il teorema di Noether si estende alle "simmetrie interne" (per esempio
la conservazione della carica elettrica deriva, in quest'ottica,
dall'invarianza di gauge...) che si usano in teoria dei campi
(quantistica e no)...ed ha dato il linguaggio stesso per la
formulazione delle teorie unitarie (unitarie significa che la
lagrangiana è (più o meno) invariante sotto un gruppo di tipo
"unitario") che popi hanno portato al modello standard.
Il teorema di Emmy Noether (nelle sue varie versioni) si è rivelato,
probabilmente, il teorema più importante di tutta la fisica teorica.
La storia vale con le debite modifiche anche nelle teorie quantistiche
(in tal caso non c'è più l'azione ma l'osservabile hamiltoniana, anzi
l'evolutore temporale) e in relativià generale (ma in tal caso ci
vuole il tensore energia impulso e le simmetrie di Killing), ma si
entra nel difficile e non saprei se hai voglia di sentirlo...di certo
io non ho più tempo per spiegarlo ora ;-) ).
Ciao, Valter
fadeh
> Direi complessivamente abbastanza buono (studio Ingegneria), sebbene a
> causa della dannata riforma del 3+2 si abbia sempre di più la tendenza
> a non dare il giusto peso ad alcuni concetti fondamentali o, peggio, a
> trasmette una conoscenza esagerata su alcuni punti e magari carente su
> altri. Non sono quindi in novellino, ma neanche un esperto mondiale,
> anche perché probabilmente non mi sarebbe venuto questo dubbio.
> Sicuramente la risposta è in gran parte una banalità, ma, non avendo
> mai affrontato questo problema, in questo momento non mi viene in
> mente una possibile soluzione (né ho trovato riferimenti validi in
> rete).
Non credo sia proprio una banalita' se quello che ha in mente Enrico e'
parlare di meccanica lagrangiana.
Ciao,
fadeh
cometa_luminosa
[...]
> La cosa non è limitata alle traslazioni, il teorema di Noether vale
> per tutto il gruppo delle isometrie dello spazio di Minkowski (gruppo
> di Poincaré) oppure dell'analogo gruppo dello spaziotempo della fisica
> classica (gruppo di Galileo). E vengono fuori 10 grandezze conservate
> scalari: 3 componenti dell'impulso, 3 componenti del momento angolare
> (invarianza per rotazioni), 1 l'energia (invarianza per traslazioni
> temporali) + ? ne mancano 3 !
> (chi sono i 3 che mancano dovuti all'invarianza sotto i 3 boost/
> trasformazioni pure di Galileo?? ;- ) )
Scusa, me lo puoi spiegare meglio questo fatto? Le 3 grandezze
conservate che mancano dovute alle trasf. galileiane pure non si
conoscono o lo hai posto come esercizio?
Valter Moretti
> Scusa, me lo puoi spiegare meglio questo fatto? Le 3 grandezze
> conservate che mancano dovute alle trasf. galileiane pure non si
> conoscono o lo hai posto come esercizio?
L'ho lasciato per esercizio...
Prova, è interessante
Ciao, Valter
Enrico SMARGIASSI
> Mi sembra che manchi anche un pezzo, il momento delle "forze interne"
> deve essere nullo. No?
Non mi pare, direi che basta la condizione di a/r Fi(Rj)=-Fj(Ri). Nel
caso p.es. di due particelle ($ e' l'integrale),
P=p1+p2=$(F1+F2)dt=$0dt=costante. Non mi pare che si facciano altre
ipotesi. O mi sfugge qualcosa?
fadeh
La conservazione della quantita' di moto ti dice solo che Fi(Rj)=-Fj(Ri)
in modulo e che le forze hanno verso opposto.
Ma il principio di azione e reazione dice che le forze devono agire
sulla stessa retta d'azione.
Affinche' questo sia verificato e' necessario dire che il momento
angolare di un sistema isolato si conserva, il che equivale a dire che
il momento delle forze interne e' nullo. Quest'ultimo risultato si
ottiene appunto considerando le forze interne come coppia di forze con
braccio nullo. A questo punto se il momento delle forze interne non
fosse nullo non potremmo concludere che le forze agiscono sulla stessa
retta d'azione.
Cosa ne pensi?
Ciao,
fadeh
Lurkos
La meccanica analitica l'ho studiata, ma poi mai più usata.
Non posso quindi dire di essere fresco come il giorno dopo l'esame, ma
neanche di essere a zero.
Devo però ammettere che la spiegazione di Valer Moretti, sebbene penso
valida, si basi su alcuni teoremi non trattati all'epoca e quindi devo
ammettere che mi mancano le basi per comprenderla a fondo.
--
Lurkos
Enrico SMARGIASSI
> La conservazione della quantita' di moto ti dice solo che Fi(Rj)=-Fj(Ri)
> in modulo e che le forze hanno verso opposto.
E la stessa direzione (che non e' necessariamente la congiungente tra i
centi di forza).
> Ma il principio di azione e reazione dice che le forze devono agire
> sulla stessa retta d'azione.
Non e' la versione che conosco io.
> Affinche' questo sia verificato e' necessario dire che il momento
> angolare di un sistema isolato si conserva,
Ah, ecco: puoi *dedurre* il fatto che le forze si esercitano sulla
stessa retta d'azione se aggiungi il principio della conservazione del
momento della qdm. Ma allora questa condizione (forze sulla stessa
retta) una conseguenza del III principio, non una condizione. P.es. se
avessi due particelle, la 1 in (0,0,0) e la 2 in (1,0,0), e F1=(0,1,0) e
F2=(0,-1,0), il III principio sarebbe soddisfatto ma il mom. della qdm
non sarebbe conservato.
Valter Moretti
> On 18 Set, 20:03, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
>
> > Scusa, me lo puoi spiegare meglio questo fatto? Le 3 grandezze
> > conservate che mancano dovute alle trasf. galileiane pure non si
> > conoscono o lo hai posto come esercizio?
Ciao, se fai il calcolo scopri che viene fuori un integrale primo che
se ne scrivi la legge di conservazione enuncia il "teorema del
centro di massa":
l'impulso totale diviso per la massa totale vale quanto la velocità
del centro di massa.
Classicamente non è molto interessante, ma relativisticamente lo è,
dato che la massa totale
non è più la somma delle masse...
Ciao, Valter
Elio Fabri
> Non e' la versione che conosco io.
retta d'azione.
Detto in altre parole: azione e reazione formano una coppia di braccio
nullo.
Per la storia, va detto che l'enunciato newtoniana non contiene in
modo esplicito questa asserzione. Ma sono sicuro che Newton
l'intendesse cosi', e che se si leggessero con attenzione i
"Principia" si vedrebbe che ne fa uso.
--
Elio Fabri
Enrico SMARGIASSI
> Curioso: io invece ho sempre conosciuto la versione con la stessa
> retta d'azione.
Evidentemente ne circola piu' di una versione. Pero' non vedo perche'
bisognerebbe far uso di una che contiene una limitazione che, a quanto
vedo, non e' affatto necessaria.
> se si leggessero con attenzione i
> "Principia" si vedrebbe che ne fa uso.
Be', la gravita' e' una forza centrale...
Elio Fabri
> Evidentemente ne circola piu' di una versione. Pero' non vedo perche'
> bisognerebbe far uso di una che contiene una limitazione che, a quanto
> vedo, non e' affatto necessaria.
Forse vuoi dire che "la stessa retta d'azione" segue dalla conserv.
del mom. angolare?
Se e' cosi', obietto che allora sarebbe coerente abolire del tutto la
terza legge, e parlare solo di conservazioni.
Viceversa, se le conservazioni le ricavi come teoremi, devi introdurre
la terza legge come ho detto.
> Be', la gravita' e' una forza centrale...
Si', qui ti do ragione: Newton non si occupa praticamente di altre
forze.
In realta' c'e' una parte sul moto in mezzo viscoso, ma dubito che li'
faccia uso del terzo principio. Pero' non me lo ricordo.
--
Elio Fabri
cometa_luminosa
Non ti scrivo i calcoli (sbagliati) che ho fatto, ti dico solo che non
sono ancora riuscito a far venir fuori il risultato. Ho scritto la
variazione della lagrangiana, tenendo conto che varia sia lo spazio x
che il tempo t e che x = vt...e poi non vado più avanti. Ti sarei
grato se mi spiegassi come si fa.
Ciao.
Valter Moretti
> Non ti scrivo i calcoli (sbagliati) che ho fatto, ti dico solo che non
> sono ancora riuscito a far venir fuori il risultato. Ho scritto la
> variazione della lagrangiana, tenendo conto che varia sia lo spazio x
> che il tempo t e che x = vt...e poi non vado più avanti. Ti sarei
> grato se mi spiegassi come si fa.
> Ciao.
Ciao, guarda il numero 2 in esempi 9.5 del cap. 9 delle mie dispense
di meccanica, le prime che trovi alla pagina:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Il caso relativistico è più complicato per punti materiali (a causa
del tipo di interazioni che
sono ammissibili) invece è relativamente facile per teorie di campo,
ed in tal caso entra in
gioco la componente T^00 del tensore energia impulso...
Ciao, Valter
Enrico SMARGIASSI
> Forse vuoi dire che "la stessa retta d'azione" segue dalla conserv.
> del mom. angolare?
Si', secondo me nel contesto le due cose sono equivalenti.
> Se e' cosi', obietto che allora sarebbe coerente abolire del tutto la
> terza legge, e parlare solo di conservazioni.
Infatti credo che sarebbe meglio. Mi pare che il Berkeley faccia cosi'.
Poi, se uno vuole mantenere la terza legge per scopi didattici, se ne
puo' discutere.
cometa_luminosa
> Enrico SMARGIASSI ha scritto:> Evidentemente ne circola piu' di una versione. Pero' non vedo perche'
> > bisognerebbe far uso di una che contiene una limitazione che, a quanto
> > vedo, non e' affatto necessaria.
>
> Non sono sicuro di capire il tuo pensiero.
> Forse vuoi dire che "la stessa retta d'azione" segue dalla conserv.
> del mom. angolare?
> Se e' cosi', obietto che allora sarebbe coerente abolire del tutto la
> terza legge, e parlare solo di conservazioni.
> Viceversa, se le conservazioni le ricavi come teoremi, devi introdurre
> la terza legge come ho detto.
Scusate se entro nella vostra discussione, ma a proposito della terza
legge avrei una domanda:
nel caso di interazione tra due cariche elettriche, l'azione e la
reazione sono sulle due cariche o su una delle due ed il campo
presente in quel punto?
cometa_luminosa
> Ciao, guarda il numero 2 in esempi 9.5 del cap. 9 delle mie dispense
> di meccanica, le prime che trovi alla pagina:http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Grazie,
Ciao.
Valter Moretti
> Scusate se entro nella vostra discussione, ma a proposito della terza
> legge avrei una domanda:
> nel caso di interazione tra due cariche elettriche, l'azione e la
> reazione sono sulle due cariche o su una delle due ed il campo
> presente in quel punto?
Gi� che ci siono entro anche io in questa discussione. Nel caso di
forze elettromagnetiche la terza legge, nel senso di coppia di forze
"azione e reazione", non vale pi�. Primo perch� c'� un "ritardo" tra
azione e reazione quando muovi una delle due cariche, dovuta alla
finitezza della velocit� di propagazione delle perturbazioni del
campo, ma non solo: una parte di impulso finisce nella radiazione e
non viene ricevuta dall'altra carica. Parlare di forza agente sul
campo in un punto non credo sia tanto sensato (il campo EM non si pu�
a modellizare come un continuo sottoposto a forze di volume e di
superficie...).
Quello che vale ancora � comunque la conservazione dell'impulso totale
delle due cariche pi� il campo. Da questo punto di vista si capisce
come il principio di conservazione dell'impulso sia pi� fondamentale
del principio di azione e reazione.
Ciao, Valter