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Invarianza per riduzione / dilatazione
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ReBim
Sep 16, 2017, 1:20:02 PM9/16/17
to
La natura non è invariante al cambio di scala.
Una formica aumentata (nelle dimensioni lineari ) di mille volte non starebbe in piedi.
Galileo ha dato tanta importanza al fatto che la natura non è invariante alla scala, da dedicare molte sue pagine all'argomento.
Ma, giusto per riflettere:
visto che ad ogni invarianza corrisponde un principio di conservazione
Invarianza alla rotazione >> conservazione del momento angolare
Invarianza alla riflessione >> conservazione della parità
etc
se trovassimo qualche aspetto dell'universo che sia invariante al cambio di scala, quale sarebbe la grandezza che si conserva?
C'è poi il fatto che la geometria (o matematica ) frattale è autosimile.
Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
ReBim
Una formica aumentata (nelle dimensioni lineari ) di mille volte non starebbe in piedi.
Galileo ha dato tanta importanza al fatto che la natura non è invariante alla scala, da dedicare molte sue pagine all'argomento.
Ma, giusto per riflettere:
visto che ad ogni invarianza corrisponde un principio di conservazione
Invarianza alla rotazione >> conservazione del momento angolare
Invarianza alla riflessione >> conservazione della parità
etc
se trovassimo qualche aspetto dell'universo che sia invariante al cambio di scala, quale sarebbe la grandezza che si conserva?
C'è poi il fatto che la geometria (o matematica ) frattale è autosimile.
Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
ReBim
Elio Fabri
Sep 20, 2017, 4:00:03 PM9/20/17
to
ReBim ha scritto:
Se ti dicessi che neppure l'invarianza per rotazioni è vera, perché si
fa molta più fatica a sollevare un peso che a spostarlo in orizzontale,
che risponderesti?
Pensaci, e poi continuiamo.
> Ma, giusto per riflettere:
> visto che ad ogni invarianza corrisponde un principio di conservazione
> Invarianza alla rotazione >> conservazione del momento angolare
> Invarianza alla riflessione >> conservazione della parità
> etc
Ah, la divulgazione :-(
(Conosci il finale di "Rigoletto"?)
In fisica classica non c'è nessuna conservazione della parità.
Non te l'ha mai detto nessuno?
Questa è una differenza profonda tra fisica classica e quantistica.
Nella seconda è vero: a ogni legge d'invarianza è legata una legge di
conservazione.
Nella prima questo è vero nelle ipotesi dei teoremi di Noether: prima
di tutto, che si abbia non una singola legge d'invarianza, ma un
intero gruppo (di Lie) d'invarianze.
Mi spiego meglio, perché di certo non puoi aver capito.
L'invar. per riflessioni è una legge *singola*, e in fisica classica
non ti dà nessuna conservazione.
L'invar. per rotazioni non è *una*: l'invarianza sussiste per
qualunque angolo di rotazione, e magari anche per qualunque direzione
dell'asse di rotazione.
In queste condizioni hai un /gruppo/ d'invarianza, che è un gruppo di
Lie (cioè, detto alla buona, una famiglia di trasf. distinte per mezzo
di parametri come l'angolo di rotazione di cui sopra, e che si possono
comporre tra loro).
Allora, se la teoria ammette una formulazione lagrangiana, esistono
delle costanti del moto (teoremi di Noether).
Però bisognerebbe approfondire un punto essenziale: che cosa
esattamente significa "legge d'invarianza"?
Purtroppo questo è forse l'argomento più delicato e scivoloso di tutta
la fisica, quello che piuttosto spesso viene trattato in modo
approssimativo, dando per ovvie cose che non lo sono, ecc. ecc.
So benissimo che scrivendo questo passo per il solito prof. che spacca
il capello in quattro, che vuol far capire che lui sta più su del
volgo che si accontenta di spiegazioni "semplici", ecc.
Che vuoi farci? E' un rischio che ho deciso di correre.
> se trovassimo qualche aspetto dell'universo che sia invariante al
> cambio di scala, quale sarebbe la grandezza che si conserva?
Dopo ciò che ho premesso, dovrei chiederti che cosa intendi con
"invariante per cambiamento di scala".
Hai citato Galileo: verissimo, agli inizi dei "Discorsi" c'è un'ampia
discussione dell'argomento. In sostanza lui osserva che un animale
piccolo, se lo si ingrandisse in scala di solo tre volte, non starebbe
in piedi, le sue ossa non reggerebbero il peso.
Ma c'è di più: Salviati osserva:
"[...] ciò seguirebbe quando [...] lasciata la struttura delle ossa
con le medesime proporzioni, pur nell'istesso modo, anzi più
agevolmente, consisterebbono le medesime fabbriche quando con tal
proporzione si diminuisse la gravità della materia delle medesime
ossa, e quella della carne o di altro che sopra l'ossa si abbia ad
appoggiare."
Osservazione geniale, se pensiamo che ha 400 anni!
In sostanza Galileo, per bocca di Salviati, sta osservando che (in
linguaggio moderno) non ha senso parlare d'invarianza di scala in modo
vago: bisogna specificare, per ogni grandezza fisica rilevante, come
intendiamo che si trasformi, con quale potenza del fattore di scala.
In concreto: non c'è invarianza di scala se fissiamo che non cambi il
campo gravitazionale. Se invece accettiamo di scalare anche quello,
l'invarianza può sussistere.
E' vero che non è in nostro potere cambiare il campo grav. sulla
Terra; ma potremmo pensare a un altro pianeta...
In proposito ti suggerisco di leggere
http://www.sagredo.eu/candela/candel13.pdf
Ma del resto c'è un'applicazione pratica serissima: i modelli in scala
di navi ed aerei, dove bisogna scalare nel modo giusto. Per es. nel
caso di un aereo subsonico in una galleria del vento è necessario
scalare i parametri rilevanti (dimensioni, densità e velocità
dell'aria) in modo che resti lo stesso il /numero di Reynolds/.
Un altro esempio è il teorema di scala della meccanica celeste.
L'enunciato è semplice.
Immagina due sistemi solari, che differiscano nelle dimensioni per un
fattore k, nelle masse per un fattore k^3.
Allora i due sistemi sono indistinguibili se hai solo misure di angoli
e di tempo.
Il che vuol dire che l'astronomia classica (che dispone appunto solo di
angoli e di tempi) non può determinare dimensioni e masse del sistema
solare. Occorre e basta *una* misura di massa o di distanza, e allora
tutto resta determinato.
Questa non è una legge di conservazione, ma è un risultato importante
che discende da un'invarianza di scala.
Domanda che mi potresti fare, e l'anticipo: come la mettiamo col
teorema di Noether? Qui abbiamo un gruppo di trasf. (il fattore di
scala può assumere qualsiasi valore reale positivo); allora perché non
c'è la costante del moto?
Ecco il punto: qui per rispondere bisogna andare più sul tecnico.
Nel t. di N. le trasf. di cui si parla sono *trasf. delle coord.
lagrangiane*.
Questo è vero per es. nelle rotazioni, ma non nelle trasf. di scala
dei sistemi gravitazionali, dove bisogna scalare *anche le masse*, che
in una teoria lagrangiana non sono cordinate, ma parametri fissati.
Quindi siamo fuori dalle ipotesi del teorema.
> C'è poi il fatto che la geometria (o matematica) frattale è autosimile.
E' una leggenda assai diffusa che un insieme frattale sia autosimile.
Questo è vero in molti casi, ma non è richiesto nella definizione
generale di frattale.
Per fare un esempio famoso, l'insieme di Mandelbrot non è autosimile.
Lo è solo vagamente.
> Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
Sicuramente ne sono state suggerite molte, ma non saprei dire se ne
sia venuto fuori qualcosa di utile.
Però non sono particolarmente qualificato in materia. Forse nel NG c'è
chi ne sa più di me.
--
Elio Fabri
> La natura non è invariante al cambio di scala.
> Una formica aumentata (nelle dimensioni lineari) di mille volte non
> starebbe in piedi.
> Galileo ha dato tanta importanza al fatto che la natura non è
> invariante alla scala, da dedicare molte sue pagine all'argomento.
La tua prima affermazione non è corretta.
> Galileo ha dato tanta importanza al fatto che la natura non è
> invariante alla scala, da dedicare molte sue pagine all'argomento.
Se ti dicessi che neppure l'invarianza per rotazioni è vera, perché si
fa molta più fatica a sollevare un peso che a spostarlo in orizzontale,
che risponderesti?
Pensaci, e poi continuiamo.
> Ma, giusto per riflettere:
> visto che ad ogni invarianza corrisponde un principio di conservazione
> Invarianza alla rotazione >> conservazione del momento angolare
> Invarianza alla riflessione >> conservazione della parità
> etc
(Conosci il finale di "Rigoletto"?)
In fisica classica non c'è nessuna conservazione della parità.
Non te l'ha mai detto nessuno?
Questa è una differenza profonda tra fisica classica e quantistica.
Nella seconda è vero: a ogni legge d'invarianza è legata una legge di
conservazione.
Nella prima questo è vero nelle ipotesi dei teoremi di Noether: prima
di tutto, che si abbia non una singola legge d'invarianza, ma un
intero gruppo (di Lie) d'invarianze.
Mi spiego meglio, perché di certo non puoi aver capito.
L'invar. per riflessioni è una legge *singola*, e in fisica classica
non ti dà nessuna conservazione.
L'invar. per rotazioni non è *una*: l'invarianza sussiste per
qualunque angolo di rotazione, e magari anche per qualunque direzione
dell'asse di rotazione.
In queste condizioni hai un /gruppo/ d'invarianza, che è un gruppo di
Lie (cioè, detto alla buona, una famiglia di trasf. distinte per mezzo
di parametri come l'angolo di rotazione di cui sopra, e che si possono
comporre tra loro).
Allora, se la teoria ammette una formulazione lagrangiana, esistono
delle costanti del moto (teoremi di Noether).
Però bisognerebbe approfondire un punto essenziale: che cosa
esattamente significa "legge d'invarianza"?
Purtroppo questo è forse l'argomento più delicato e scivoloso di tutta
la fisica, quello che piuttosto spesso viene trattato in modo
approssimativo, dando per ovvie cose che non lo sono, ecc. ecc.
So benissimo che scrivendo questo passo per il solito prof. che spacca
il capello in quattro, che vuol far capire che lui sta più su del
volgo che si accontenta di spiegazioni "semplici", ecc.
Che vuoi farci? E' un rischio che ho deciso di correre.
> se trovassimo qualche aspetto dell'universo che sia invariante al
> cambio di scala, quale sarebbe la grandezza che si conserva?
"invariante per cambiamento di scala".
Hai citato Galileo: verissimo, agli inizi dei "Discorsi" c'è un'ampia
discussione dell'argomento. In sostanza lui osserva che un animale
piccolo, se lo si ingrandisse in scala di solo tre volte, non starebbe
in piedi, le sue ossa non reggerebbero il peso.
Ma c'è di più: Salviati osserva:
"[...] ciò seguirebbe quando [...] lasciata la struttura delle ossa
con le medesime proporzioni, pur nell'istesso modo, anzi più
agevolmente, consisterebbono le medesime fabbriche quando con tal
proporzione si diminuisse la gravità della materia delle medesime
ossa, e quella della carne o di altro che sopra l'ossa si abbia ad
appoggiare."
Osservazione geniale, se pensiamo che ha 400 anni!
In sostanza Galileo, per bocca di Salviati, sta osservando che (in
linguaggio moderno) non ha senso parlare d'invarianza di scala in modo
vago: bisogna specificare, per ogni grandezza fisica rilevante, come
intendiamo che si trasformi, con quale potenza del fattore di scala.
In concreto: non c'è invarianza di scala se fissiamo che non cambi il
campo gravitazionale. Se invece accettiamo di scalare anche quello,
l'invarianza può sussistere.
E' vero che non è in nostro potere cambiare il campo grav. sulla
Terra; ma potremmo pensare a un altro pianeta...
In proposito ti suggerisco di leggere
http://www.sagredo.eu/candela/candel13.pdf
Ma del resto c'è un'applicazione pratica serissima: i modelli in scala
di navi ed aerei, dove bisogna scalare nel modo giusto. Per es. nel
caso di un aereo subsonico in una galleria del vento è necessario
scalare i parametri rilevanti (dimensioni, densità e velocità
dell'aria) in modo che resti lo stesso il /numero di Reynolds/.
Un altro esempio è il teorema di scala della meccanica celeste.
L'enunciato è semplice.
Immagina due sistemi solari, che differiscano nelle dimensioni per un
fattore k, nelle masse per un fattore k^3.
Allora i due sistemi sono indistinguibili se hai solo misure di angoli
e di tempo.
Il che vuol dire che l'astronomia classica (che dispone appunto solo di
angoli e di tempi) non può determinare dimensioni e masse del sistema
solare. Occorre e basta *una* misura di massa o di distanza, e allora
tutto resta determinato.
Questa non è una legge di conservazione, ma è un risultato importante
che discende da un'invarianza di scala.
Domanda che mi potresti fare, e l'anticipo: come la mettiamo col
teorema di Noether? Qui abbiamo un gruppo di trasf. (il fattore di
scala può assumere qualsiasi valore reale positivo); allora perché non
c'è la costante del moto?
Ecco il punto: qui per rispondere bisogna andare più sul tecnico.
Nel t. di N. le trasf. di cui si parla sono *trasf. delle coord.
lagrangiane*.
Questo è vero per es. nelle rotazioni, ma non nelle trasf. di scala
dei sistemi gravitazionali, dove bisogna scalare *anche le masse*, che
in una teoria lagrangiana non sono cordinate, ma parametri fissati.
Quindi siamo fuori dalle ipotesi del teorema.
> C'è poi il fatto che la geometria (o matematica) frattale è autosimile.
Questo è vero in molti casi, ma non è richiesto nella definizione
generale di frattale.
Per fare un esempio famoso, l'insieme di Mandelbrot non è autosimile.
Lo è solo vagamente.
> Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
sia venuto fuori qualcosa di utile.
Però non sono particolarmente qualificato in materia. Forse nel NG c'è
chi ne sa più di me.
--
Elio Fabri
ReBim
Sep 22, 2017, 2:40:02 AM9/22/17
to
Buongiorno.
> Se ti dicessi che neppure l'invarianza per rotazioni è vera, perché si
> fa molta più fatica a sollevare un peso che a spostarlo in orizzontale,
> che risponderesti?
> Pensaci, e poi continuiamo.
>
> Ah, la divulgazione :-(
> (Conosci il finale di "Rigoletto"?)
>
Ma immagino non esprima nulla di buono, per la divulgazione.
:)
> In fisica classica non c'è nessuna conservazione della parità.
> Non te l'ha mai detto nessuno?
> Questa è una differenza profonda tra fisica classica e quantistica.
> Nella seconda è vero: a ogni legge d'invarianza è legata una legge di
> conservazione.
> Nella prima questo è vero nelle ipotesi dei teoremi di Noether: prima
> di tutto, che si abbia non una singola legge d'invarianza, ma un
> intero gruppo (di Lie) d'invarianze.
>
Ciò avviene quando la lagrangiana non dipende esplicitamente da una cord gen del sistema
In pratica, se dL/dq =0, allora dL/dq puntato = cost
Il teorema però, ovviamente, esiste solo se esiste una formulazione lagrangiana.
Voglio tentare una definizione di invarianza più generale.
Definisco invariante ogni trasformazione della quale la natura non si accorge.
La traslazione di un intero sistema isolato è invariante.
Ma lo è anche la sostituzione mutua di due elettroni in un atomo.
La riflessione dell'intero universo in uno specchio non è invariante ( perchè troverei un'opposta chiralità dei neutrini ) e dunque me ne accorgerei.
> > se trovassimo qualche aspetto dell'universo che sia invariante al
> > cambio di scala, quale sarebbe la grandezza che si conserva?
> Dopo ciò che ho premesso, dovrei chiederti che cosa intendi con
> "invariante per cambiamento di scala".
Il sistema solare, anche supposto isolato, non è invariante rispetto a questa trasformazione. Se raddoppiassi le dimensioni del sistema, la forza di attrazione gravitazionale tra il sole ed un pianeta Km1m2/d^2 varierebbe, in quanto le masse aumenterebbero con il cubo, e la distanza col quadrato.
Mi accorgerei di questa trasformazione.
Ma non è escluso, a priori, che esita un invarianza alla scala nel microscopico.
Molto bello. Davvero.
>
> > C'è poi il fatto che la geometria (o matematica) frattale è autosimile.
> E' una leggenda assai diffusa che un insieme frattale sia autosimile.
> Questo è vero in molti casi, ma non è richiesto nella definizione
> generale di frattale.
> Per fare un esempio famoso, l'insieme di Mandelbrot non è autosimile.
> Lo è solo vagamente.
Giusto.
> > C'è poi il fatto che la geometria (o matematica) frattale è autosimile.
> E' una leggenda assai diffusa che un insieme frattale sia autosimile.
> Questo è vero in molti casi, ma non è richiesto nella definizione
> generale di frattale.
> Per fare un esempio famoso, l'insieme di Mandelbrot non è autosimile.
> Lo è solo vagamente.
Avrei dovuto scrivere che _alcuni_ frattali sono autosimili ( vedi il fiocco di neve )
>
> > Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
> Sicuramente ne sono state suggerite molte, ma non saprei dire se ne
> sia venuto fuori qualcosa di utile.
> Però non sono particolarmente qualificato in materia. Forse nel NG c'è
> chi ne sa più di me.
>
ReBim
> > Ci sono applicazioni fisiche dei frattali?
> Sicuramente ne sono state suggerite molte, ma non saprei dire se ne
> sia venuto fuori qualcosa di utile.
> Però non sono particolarmente qualificato in materia. Forse nel NG c'è
> chi ne sa più di me.
>
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