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Sfera di Bloch e Matrici di Pauli
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Andrea Barontini
Sep 30, 2020, 4:05:03 PM9/30/20
to
Ciao
sto leggendomi un po' di documentazione sul computer quantistico di IBM.
Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
(fatto salvo che IBM usa theta/2 e phi/2, ma direi che non cambia le
carte in gioco)
e le matrici di Pauli:
X=(0, 1; 1, 0)
Y=(0, -i; i, 0)
Z=(1, 0; 0, -1)
quello su cui sto ruminando e' quanto segue.
Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
qualcosa che senza constraints sarebbe C^2 (quindi R^4 considerando i
gradi di liberta' reali), infatti:
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1 e c2 complessi...
...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1 e
inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che in
fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu' corrispondere
all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa nello spazio 3D che
la contiene) e quindi la superficie della sfera diventa una varieta'
dimensionalmente sufficiente alla mia rappresentazione del vettore di stato.
Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da
ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli
operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore di
stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi per
esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi intorno
all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo" l'asse z)
Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase globale,
per esempio:
Y|0> = i|1>
Y|1> = -i|0>
Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro che
ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una classe
di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa fase
globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che stiamo
ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y nell'esempio sopra)...
mi verrebbe da pensare che stiamo facendo forse qualcosa di piu'
complesso e poi buttiamo via un pezzo di risultato...
Quindi mi chiedo:
1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza fase
globale?
2) se mi metto di santa pazienza e faccio tutti le moltiplicazioni
matrice-vettore per ciascuna matrice di Pauli applicata ai vettori di
base che giacciono su assi che non siano quello della rotazione sono
confidente che (al netto della fase globale) in effetti avro' inversioni
dei vettori di base (per cui |0> diventera' |1>, |+> diventera' |->, e
cosi' via...)
Pero'... c'e' un modo piu' elegante (nel senso: meno conti e piu' motivi
profondi) per dimostrare che le matrici rappresentano tali rotazioni?
Oppure e' tutta una "forzatura didattica"?
3) La curiosita' successiva sarebbe capire sempre in modo un po' "furbo"
come la matrice di Hadamard che scambia base standard con base coniugata
sia a ragion veduta definibile come rotazione intorno all'asse X+Z
PS
Professione di ignoranza profonda per permettervi di modulare
un'eventuale risposta... affamato di comprensione ho letto su Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrici_di_Pauli qualcosa che mi sembra
centrare:
"Le matrici di Pauli sono proporzionali ai generatori del gruppo SU(2),
la cui corrispondente algebra di Lie risulta essere isomorfa all'algebra
di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni."
ma non so nulla di algebre di Lie, generatori, SU(*)...insomma per me e'
arabo
Grazie!
Ciao
Andrea Barontini
sto leggendomi un po' di documentazione sul computer quantistico di IBM.
Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
(fatto salvo che IBM usa theta/2 e phi/2, ma direi che non cambia le
carte in gioco)
e le matrici di Pauli:
X=(0, 1; 1, 0)
Y=(0, -i; i, 0)
Z=(1, 0; 0, -1)
quello su cui sto ruminando e' quanto segue.
Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
qualcosa che senza constraints sarebbe C^2 (quindi R^4 considerando i
gradi di liberta' reali), infatti:
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1 e c2 complessi...
...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1 e
inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che in
fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu' corrispondere
all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa nello spazio 3D che
la contiene) e quindi la superficie della sfera diventa una varieta'
dimensionalmente sufficiente alla mia rappresentazione del vettore di stato.
Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da
ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli
operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore di
stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi per
esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi intorno
all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo" l'asse z)
Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase globale,
per esempio:
Y|0> = i|1>
Y|1> = -i|0>
Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro che
ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una classe
di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa fase
globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che stiamo
ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y nell'esempio sopra)...
mi verrebbe da pensare che stiamo facendo forse qualcosa di piu'
complesso e poi buttiamo via un pezzo di risultato...
Quindi mi chiedo:
1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza fase
globale?
2) se mi metto di santa pazienza e faccio tutti le moltiplicazioni
matrice-vettore per ciascuna matrice di Pauli applicata ai vettori di
base che giacciono su assi che non siano quello della rotazione sono
confidente che (al netto della fase globale) in effetti avro' inversioni
dei vettori di base (per cui |0> diventera' |1>, |+> diventera' |->, e
cosi' via...)
Pero'... c'e' un modo piu' elegante (nel senso: meno conti e piu' motivi
profondi) per dimostrare che le matrici rappresentano tali rotazioni?
Oppure e' tutta una "forzatura didattica"?
3) La curiosita' successiva sarebbe capire sempre in modo un po' "furbo"
come la matrice di Hadamard che scambia base standard con base coniugata
sia a ragion veduta definibile come rotazione intorno all'asse X+Z
PS
Professione di ignoranza profonda per permettervi di modulare
un'eventuale risposta... affamato di comprensione ho letto su Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrici_di_Pauli qualcosa che mi sembra
centrare:
"Le matrici di Pauli sono proporzionali ai generatori del gruppo SU(2),
la cui corrispondente algebra di Lie risulta essere isomorfa all'algebra
di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni."
ma non so nulla di algebre di Lie, generatori, SU(*)...insomma per me e'
arabo
Grazie!
Ciao
Andrea Barontini
Elio Fabri
Oct 7, 2020, 11:12:03 AM10/7/20
to
Andrea Barontini ha scritto:
I motivi sono i soliti più uno.
I soliti: altri impegni, altre domande in lista d'attesa...
Più uno: ci ho dovuto pensare un bel po' per risponderti, anche perché
non mi era tanto chiaro che cosa chiedevi.
E ho anche dovuto ristudiare qualche cosa...
Comunque eccomi qua.
> Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia:
> https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
Come raccomandazione generale, sconsiglio di usare wiki it per
argomenti scientifici.
Quanto meno per ciò che concerne le cose che conosco meglio (fis, mat)
gli articoli italiani sono o riassunti di quelli inglesi, o (cattive)
traduzioni arbitrariamente tagliate. Non di rado contengono veri e
propri errori.
In realtà i tuoi problemi hanno poco a che vedere con la fisica: sono
strettamente matematici.
Con questo non sto criticando il tuo post su isf.
Sono sicuro che ci sono più persone qui capaci di affrontare questi
problemi di quante ne troveresti su ism (e sarebbero un sottoinsieme
delle prime :-) ).
Comincio correggendo alcune inesattezze.
universale. Quando si vuole intendere il volume si parla di "palla".
E la sfera non è R^2, che è il piano (x,y): la sfera viene indicata
con S^2.
Tu volevi dire che è una varietà 2D.
> ...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1
Questo penso sia un lapsus: dovevi scrivere |c1|^2 + |c2|^2 = 1.
> inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che
> in fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu'
> corrispondere all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa
> nello spazio 3D che la contiene)
"Potrebbe al più" non significa niente: è o non è.
Comunque non è: punti sulla sfera che differiscono per una rotazione
intorno a z *sono stati diversi*.
> Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da
> ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli
> operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore
> di stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi
> per esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi
> intorno all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo"
> l'asse z)
La ragione per introdurre le matrici di Pauli la vediamo dopo.
Ti faccio notare però che anche Y esegue un "bit flip", come del resto
dici appresso.
> Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase
> globale, per esempio:
>
> Y|0> = i|1>
> Y|1> = -i|0>
Se ho capito che cosa hai in mente, il problema è un altro.
Vedremo...
> Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro
> che ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una
> classe di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa
> fase globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che
> stiamo ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y
> nell'esempio sopra)... mi verrebbe da pensare che stiamo facendo
> forse qualcosa di piu' complesso e poi buttiamo via un pezzo di
> risultato...
Qui mi sembra di vedere un po' di confusione.
I punti della sfera di Bloch mappano uno a uno (e in modo continuo:
omeomorfismo) i *raggi unitari* dello spazio C^2.
Il termine "vettori di stato" puoi usarlo solo per C^2, che è uno
spazio vettoriale sui complessi.
Gli stati (raggi unitari) invece formano una varietà reale 2D, che
*non è* uno spazio vettoriale: non sono definiti né la somma né la
moltiplicazione per uno scalare.
Tanto meno è definito il prodotto scalare, ma su questo torno dopo.
> 1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
> unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza
> fase globale?
Non è vero che ci sia *in generale* un problema di fase.
Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
scritte per C^2, non per S^2.
Dato che la sfera di Bloch non è uno spazio vettoriale, tanto meno ha
senso definirci operatori lineari, che siano X, Y, Z o qualsiasi
altro.
Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
Perciò rimando a un'altra puntata.
--
Elio Fabri
> sto leggendomi un po' di documentazione sul computer quantistico di
> IBM.
Per cominciare, scusa il ritardo.
> IBM.
I motivi sono i soliti più uno.
I soliti: altri impegni, altre domande in lista d'attesa...
Più uno: ci ho dovuto pensare un bel po' per risponderti, anche perché
non mi era tanto chiaro che cosa chiedevi.
E ho anche dovuto ristudiare qualche cosa...
Comunque eccomi qua.
> Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia:
> https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
argomenti scientifici.
Quanto meno per ciò che concerne le cose che conosco meglio (fis, mat)
gli articoli italiani sono o riassunti di quelli inglesi, o (cattive)
traduzioni arbitrariamente tagliate. Non di rado contengono veri e
propri errori.
In realtà i tuoi problemi hanno poco a che vedere con la fisica: sono
strettamente matematici.
Con questo non sto criticando il tuo post su isf.
Sono sicuro che ci sono più persone qui capaci di affrontare questi
problemi di quante ne troveresti su ism (e sarebbero un sottoinsieme
delle prime :-) ).
Comincio correggendo alcune inesattezze.
> Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
La sup. di una sfera è ... la sfera. Questa è la terminologia matematica
universale. Quando si vuole intendere il volume si parla di "palla".
E la sfera non è R^2, che è il piano (x,y): la sfera viene indicata
con S^2.
Tu volevi dire che è una varietà 2D.
> ...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1
> inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che
> in fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu'
> corrispondere all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa
> nello spazio 3D che la contiene)
Comunque non è: punti sulla sfera che differiscono per una rotazione
intorno a z *sono stati diversi*.
> Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da
> ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli
> operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore
> di stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi
> per esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi
> intorno all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo"
> l'asse z)
Ti faccio notare però che anche Y esegue un "bit flip", come del resto
dici appresso.
> Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase
> globale, per esempio:
>
> Y|0> = i|1>
> Y|1> = -i|0>
Vedremo...
> Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro
> che ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una
> classe di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa
> fase globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che
> stiamo ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y
> nell'esempio sopra)... mi verrebbe da pensare che stiamo facendo
> forse qualcosa di piu' complesso e poi buttiamo via un pezzo di
> risultato...
I punti della sfera di Bloch mappano uno a uno (e in modo continuo:
omeomorfismo) i *raggi unitari* dello spazio C^2.
Il termine "vettori di stato" puoi usarlo solo per C^2, che è uno
spazio vettoriale sui complessi.
Gli stati (raggi unitari) invece formano una varietà reale 2D, che
*non è* uno spazio vettoriale: non sono definiti né la somma né la
moltiplicazione per uno scalare.
Tanto meno è definito il prodotto scalare, ma su questo torno dopo.
> 1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
> unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza
> fase globale?
Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
scritte per C^2, non per S^2.
Dato che la sfera di Bloch non è uno spazio vettoriale, tanto meno ha
senso definirci operatori lineari, che siano X, Y, Z o qualsiasi
altro.
Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
Perciò rimando a un'altra puntata.
--
Elio Fabri
Andrea Barontini
Oct 7, 2020, 7:20:03 PM10/7/20
to
Il 07/10/20 17:09, Elio Fabri ha scritto:
> Come raccomandazione generale, sconsiglio di usare wiki it per
> argomenti scientifici.
Si si, vero, ho messo il link solo perche' volevo "mettere agli atti"
del thread un disegno della sfera di Bloch cosi' da partire tutti dallo
stesso punto.. rimedio subito ;)
https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere
> Comincio correggendo alcune inesattezze.
>> Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
> La sup. di una sfera è ... la sfera. Questa è la terminologia matematica
> universale. Quando si vuole intendere il volume si parla di "palla".
> E la sfera non è R^2, che è il piano (x,y): la sfera viene indicata
> con S^2.
> Tu volevi dire che è una varietà 2D.
>
non avevo idea che "sfera" indicasse la superficie. E meno male che ho
1,5 mezze lauree :D ... per quanto riguarda R^2 vs varieta' 2D si, hai
colto esattamente quello che intendevo e ho detto male
>> ...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1
> Questo penso sia un lapsus: dovevi scrivere |c1|^2 + |c2|^2 = 1.
>
yep, dimenticanza non bella, ma solo dimenticanza, mi e' chiara la
differenza
>> inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che
>> in fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu'
>> corrispondere all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa
>> nello spazio 3D che la contiene)
> "Potrebbe al più" non significa niente: è o non è.
> Comunque non è: punti sulla sfera che differiscono per una rotazione
> intorno a z *sono stati diversi*.
>
il "potrebbe" era per umilta' perche' stavo abbozzando una mia
interpretazione, ma credo di non essere riuscito a esprimermi in maniera
comprensibile, ci riprovo:
"l'ente fisico", il vettore di stato associato a un qbit e':
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la condizione di
normalizzazione riduce infatti a un unico grado di liberta' la
possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le fasi dei
coefficienti.
Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
del QC per rappresentare graficamente un qubit).
Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
(la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
che normalmente non si usa in quel caso).
Cosi' diciamo che, *a meno di un fattore di fase globale* che abbiamo
buttato:
|psi> = cos(theta/2)|0> + (e^i(phi)) sin(theta/2)|1>
(tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli intervalli
per theta e phi)
Mi affretto verso il mio punto:
1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di bloch,
di fatto identificato dai valori di theta e phi
2) theta e phi sono angoli geometricamente ben definiti nel momento in
cui definisco gli assi coordinati x,y,z della *palla*
3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere considerata
come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la contiente, una
volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per cui non c'e' nulla
oltre la palla
4) la fase phi del punto sulla sfera si esprime come l'angolo di
rotazione (della proiezione sul piano xy del raggio di tale punto)
intorno all'asse z
5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase, quella globale che
abbiamo buttato perche' non puo' venire rappresentata nell'ambito
"intrinseco" della sfera di Bloch, come la rotazione della palla intorno
al proprio asse z (rotazione che modifica l'orientazione degli assi x e
y rispetto allo spazio 3D in cui la palla e' contenuta)
Intendevo questo, probabilmente non particolarmente utile, ma mi sembra
che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit una
affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi globali
(che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non irrilevanti!)
Scusa se l'ho fatta troppo lunga su una cosa tutto sommato poco
importante rispetto al tema originario, ma non sapevo in che altro modo
spiegarmi.
>
>> Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro
>> che ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una
>> classe di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa
>> fase globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che
>> stiamo ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y
>> nell'esempio sopra)... mi verrebbe da pensare che stiamo facendo
>> forse qualcosa di piu' complesso e poi buttiamo via un pezzo di
>> risultato...
> Qui mi sembra di vedere un po' di confusione.
> I punti della sfera di Bloch mappano uno a uno (e in modo continuo:
> omeomorfismo) i *raggi unitari* dello spazio C^2. > Il termine "vettori di stato" puoi usarlo solo per C^2, che è uno
> spazio vettoriale sui complessi.
> Gli stati (raggi unitari) invece formano una varietà reale 2D, che
> *non è* uno spazio vettoriale: non sono definiti né la somma né la
> moltiplicazione per uno scalare.
> Tanto meno è definito il prodotto scalare, ma su questo torno dopo.
>
uhmmm... "uno a uno" faccio fatica a capirlo: la sfera di Bloch siamo
daccordo che e' una varieta' reale 2D, ma l'insieme dei raggi unitari di
C^2 a me sembra -per quello che scrivevo prima- una varieta' reale 3D...
come possono essere mappate "uno a uno" due varieta' di differente
dimensione?
>> 1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
>> unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza
>> fase globale?
> Non è vero che ci sia *in generale* un problema di fase.
> Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
> scritte per C^2, non per S^2.
Si hai assolutamente ragione, e in effetti a causa della rimozione
dell'ormai famigerata fase globale, per esempio |1> e (e^i(dummy))|1>
sono sulla sfera di Bloch lo stesso raggio e quindi si puo' dire che le
matrici di Pauli operino rotazioni di Pi *sulla sfera di Bloch* anche se
introducono fasi globali diverse da 0 nel loro codominio (tanto nel
momento in cui disegno il raggio la fase globale la ignoro).
Io mi aspettavo pero' che non dessero origine a tali fasi globali,
unicamente perche' speravo che partendo con fase globale 0, tale
rimanesse: cioe' speravo -non so neanche perche' visti i limiti di
utilizzo della sfera di Bloch- di poter applicare gli operatori di Pauli
senza che la visualizzazione del loro risultato sulla sfera di Bloch ne
comportasse la perdita di un pezzo di informazione (anche se un pezzo
non misurabile nell'ambito di un valore di espettazione): in quel caso
la visualizzazione "intrinseca" sarebbe stata piu' espressiva e quindi,
credo, potente.
Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
- non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di Bloch
che non introducano mai fasi globali nel risultato)
- oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
troppo importanti per farne a meno?
>
> Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
> scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
> Perciò rimando a un'altra puntata.
>
Grazie, ciao!
> E ho anche dovuto ristudiare qualche cosa...
> Comunque eccomi qua.
>
Grazie!
> Comunque eccomi qua.
>
> Come raccomandazione generale, sconsiglio di usare wiki it per
> argomenti scientifici.
del thread un disegno della sfera di Bloch cosi' da partire tutti dallo
stesso punto.. rimedio subito ;)
https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere
> Comincio correggendo alcune inesattezze.
>> Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
> La sup. di una sfera è ... la sfera. Questa è la terminologia matematica
> universale. Quando si vuole intendere il volume si parla di "palla".
> E la sfera non è R^2, che è il piano (x,y): la sfera viene indicata
> con S^2.
> Tu volevi dire che è una varietà 2D.
>
1,5 mezze lauree :D ... per quanto riguarda R^2 vs varieta' 2D si, hai
colto esattamente quello che intendevo e ho detto male
>> ...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1
> Questo penso sia un lapsus: dovevi scrivere |c1|^2 + |c2|^2 = 1.
>
differenza
>> inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che
>> in fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu'
>> corrispondere all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa
>> nello spazio 3D che la contiene)
> "Potrebbe al più" non significa niente: è o non è.
> Comunque non è: punti sulla sfera che differiscono per una rotazione
> intorno a z *sono stati diversi*.
>
interpretazione, ma credo di non essere riuscito a esprimermi in maniera
comprensibile, ci riprovo:
"l'ente fisico", il vettore di stato associato a un qbit e':
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la condizione di
normalizzazione riduce infatti a un unico grado di liberta' la
possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le fasi dei
coefficienti.
Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
del QC per rappresentare graficamente un qubit).
Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
(la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
che normalmente non si usa in quel caso).
Cosi' diciamo che, *a meno di un fattore di fase globale* che abbiamo
buttato:
|psi> = cos(theta/2)|0> + (e^i(phi)) sin(theta/2)|1>
(tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli intervalli
per theta e phi)
Mi affretto verso il mio punto:
1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di bloch,
di fatto identificato dai valori di theta e phi
2) theta e phi sono angoli geometricamente ben definiti nel momento in
cui definisco gli assi coordinati x,y,z della *palla*
3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere considerata
come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la contiente, una
volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per cui non c'e' nulla
oltre la palla
4) la fase phi del punto sulla sfera si esprime come l'angolo di
rotazione (della proiezione sul piano xy del raggio di tale punto)
intorno all'asse z
5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase, quella globale che
abbiamo buttato perche' non puo' venire rappresentata nell'ambito
"intrinseco" della sfera di Bloch, come la rotazione della palla intorno
al proprio asse z (rotazione che modifica l'orientazione degli assi x e
y rispetto allo spazio 3D in cui la palla e' contenuta)
Intendevo questo, probabilmente non particolarmente utile, ma mi sembra
che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit una
affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi globali
(che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non irrilevanti!)
Scusa se l'ho fatta troppo lunga su una cosa tutto sommato poco
importante rispetto al tema originario, ma non sapevo in che altro modo
spiegarmi.
>
>> Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro
>> che ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una
>> classe di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa
>> fase globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che
>> stiamo ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y
>> nell'esempio sopra)... mi verrebbe da pensare che stiamo facendo
>> forse qualcosa di piu' complesso e poi buttiamo via un pezzo di
>> risultato...
> Qui mi sembra di vedere un po' di confusione.
> I punti della sfera di Bloch mappano uno a uno (e in modo continuo:
> omeomorfismo) i *raggi unitari* dello spazio C^2. > Il termine "vettori di stato" puoi usarlo solo per C^2, che è uno
> spazio vettoriale sui complessi.
> Gli stati (raggi unitari) invece formano una varietà reale 2D, che
> *non è* uno spazio vettoriale: non sono definiti né la somma né la
> moltiplicazione per uno scalare.
> Tanto meno è definito il prodotto scalare, ma su questo torno dopo.
>
daccordo che e' una varieta' reale 2D, ma l'insieme dei raggi unitari di
C^2 a me sembra -per quello che scrivevo prima- una varieta' reale 3D...
come possono essere mappate "uno a uno" due varieta' di differente
dimensione?
>> 1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
>> unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza
>> fase globale?
> Non è vero che ci sia *in generale* un problema di fase.
> Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
> scritte per C^2, non per S^2.
dell'ormai famigerata fase globale, per esempio |1> e (e^i(dummy))|1>
sono sulla sfera di Bloch lo stesso raggio e quindi si puo' dire che le
matrici di Pauli operino rotazioni di Pi *sulla sfera di Bloch* anche se
introducono fasi globali diverse da 0 nel loro codominio (tanto nel
momento in cui disegno il raggio la fase globale la ignoro).
Io mi aspettavo pero' che non dessero origine a tali fasi globali,
unicamente perche' speravo che partendo con fase globale 0, tale
rimanesse: cioe' speravo -non so neanche perche' visti i limiti di
utilizzo della sfera di Bloch- di poter applicare gli operatori di Pauli
senza che la visualizzazione del loro risultato sulla sfera di Bloch ne
comportasse la perdita di un pezzo di informazione (anche se un pezzo
non misurabile nell'ambito di un valore di espettazione): in quel caso
la visualizzazione "intrinseca" sarebbe stata piu' espressiva e quindi,
credo, potente.
Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
- non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di Bloch
che non introducano mai fasi globali nel risultato)
- oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
troppo importanti per farne a meno?
>
> Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
> scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
> Perciò rimando a un'altra puntata.
>
Elio Fabri
Oct 12, 2020, 11:12:03 AM10/12/20
to
Andrea Barontini ha scritto:
> ...
mente dopo il mio primo post.
Ma quello che hai scritto mi porta a rivedere un po' il programma: ci
sono dei punti concettuali che vanno chiariti.
====================================
Dopo la premessa apro una parentesi.
Quella che ormai si chiama "informatica quantistica" (i.q.) è uno
sviluppo di un ramo particolare della m.q.
Si potrebbe quindi pensare che un fisico teorico (come il
sottoscritto) che la m.q. l'ha insegnata per diversi anni, debba
sapere tutto sulla materia, ma non è affatto così.
L'i.q. si è talmente svilupata (grazie alla sollecitazione delle
vicine applicazioni pratiche) che possiede ormai un suo proprio
linguaggio, una serie di teoremi, ecc. di cui lo scrivente ha al
meglio una vaga nozione.
Per esempio non so che cosa intendi con |+>, |->.
Nè ricordo che cosa sia la tua matrice di Hadamard.
Si tratta di cose banali, ma mettersi al passo richiede un po' di
lavoro che non mi sento di fare, purtroppo.
C'è anche un altro aspetto.
Non posso esserne sicuro, ma ho un'impressione.
Credo che l'i.q. abbia preso una strada un po' .... garibaldina, per
tante ragioni.
Un po' mi ricorda la m.q. com'era trattata nei primi libri che ho
studiato (Dirac escluso): libri dove lo sforzo era di rendere le cose
semplici ai fisici che in gran parte erano del tutto nuovi agli
aspetti più rigorosi della m.q. Bisognava quindi presentarla in modo
il più intuitivo possibile, senza stare troppo a pignoleggiare
sull'esattezza matematica.
Questo lo dico non per quello che scrivi tu, ma per es. per quello che
si legge su wiki, anche inglese.
L'articolo sulla sfera di Bloch per es. lascia alquanto a desiderare.
In senso opposto vanno i matematici, che si fanno un punto d'onore di
dire le cose nel modo più ermetico possibile, senza spiegare i perché
e i percome :-(
Guarda ad es. "Riemann sphere" (un altro di tanti nomi della sfera di
Bloch).
Solo nelle ultime righe potrai capire che si sta parlando del tuo
problema...
====================================
Quello che ho citato del tuo post non mi soddisfa del tutto.
Chiamare i vettori di stato "enti fisici" non mi pare chiarisca bene
il rapporto tra fisica e matematica.
Quello che si deve dire è che la m.q. (una teoria fisica) è costruita
su una struttura matematica: uno spazio di Hilbert complesso H, a n.
finito o infinito di dimensioni.
Gli elementi di H si chiamano "vettori di stato".
Nel caso dei qbit, H ha 2 dim. per un qbit, 4 per due qbit, 2^n per n
qbit.
Per ogni sistema fisico, lo stato non è però in corrisp. con un
vettore di stato, ma con un "raggio" in H, ossia con l'insieme dei
vettori che differiscono per un moltiplicatore scalare (complesso e
non nullo).
Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi di H equivale a dire che
lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo complesso, con una dim.
in meno di H.
Per 1 qbit lo spazio degli stati è la retta proiettiva complessa, che
ha 2 dim. reali.
Per 2 qbit è un P(3,C), che ha 6 dim. reali, ecc.
Come vedi ora ho riunito i due passi:
- la normalizzazione
- la fase globale arbitraria.
Messe insieme, danno un fattore arbitrario complesso.
> Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
> sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
> del QC per rappresentare graficamente un qubit).
> Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
> possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
> di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
> nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
> buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
> da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
> di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
> alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
> (la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
> che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
> che normalmente non si usa in quel caso).
Non devi, ma puoi.
E diciamolo subito: la sfera di Bloch è utile per visualizzare gli
stati, ma non ci puoi fare conti.
Questo perché non ha la struttura di spazio vettoriale e non possiede
il prodotto scalare.
O meglio, possiede un'impronta del prodotto scalare, qulla che viene
chiamata "probbilità di transizione" tra due stati.
Se ho due stati, rappresentati da due vettori di H: |u> e |v>, il
prodotto scalare è <u|v>, che non è definito sulla sfera di Bloch e
non ha signiicato fisico diretto.
Ne ha invece la prob. di trans., definita come
P(u,v) = |<u|v>|^2 / (<u|u><v|v>).
E' ovvio che P(u,v) >= 0.
Meno ovvio ma vero (disug. di Schwartz) che P(u,v) <= 1 e che P(u,v)=1
solo quando |u> e |v> appartengono allo steso raggio, ossia
rappresentano lo stesso stato.
Nota che P(u,v) dipende solo dagli stati: se poni
|u'> = c1 |u>, |v'> = c2 |v>
verifichi facilmente che
P(u',v') = P(u,v).
> (tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli
> intervalli per theta e phi)
Male :-)
E' importantissimo osservare che
1) 0 <= theta <= pi
Il theta/2 è necessario per assicurarsi che il coseno non diventi mai
megativo: 0 <= theta/2 <= pi/2.
Questo può essere un elemento di confusione: sulla sfera devi usare
theta, che va fino a pi; però nel vettore di stato figura theta/2.
> Mi affretto verso il mio punto:
> 1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di
> bloch, di fatto identificato dai valori di theta e phi
E infatti... L'ho appena scritto!
No: la colatitudine sulla sfera è theta, non theta/2.
> 3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere >
> considerata come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la
> contiente, una volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per
> cui non c'e' nulla oltre la palla
Non mi piace niente il modo in cui la metti.
Nello spirito delle sfera di Bloch gli assi sono fissi e dati prima.
La relazione tra (x,y,z) e (theta,ph)i è quella che conosci e non
scrivo.
Non c'è uno spazio "intrinseco": esiste solo R^3, lo spazio delle
terne (x,y,z).
> 5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase,
> ...
complessivo di due qbit ha un altro parametro: il peso relativo.
Devi scrivere una cosa come
cos(th0) {[cos(th1) + sin(th1) cos(phi1) |00> +
[cos(th1) + sin(th1) sin(phi1) |01>} +
sin(th0) exp(i phi0)
{[cos(th2) + sin(th12 cos(phi2) |10> +
[cos(th2) + sin(th2) sin(phi2) |11>}.
Questa è una varietà 6D che non so come diavolo si chiami ed è di
nessunissima utilità.
Molto più semplice restare in C^4 e scrivere
|s> = c00 |00> + c01 |01> + c10 |10> + c11 |11>
ricordando che c'è un fattore moltilicativo compleso che puoi
scegliere liberamente a seconda della convenienza del calcolo.
> per esempio |1> e (e^i(dummy))|1> sono sulla sfera di Bloch lo
> stesso raggio
Meglio: appartengono allo stesso raggio, quindi vengono proiettati
*nello stesso punto* sulla sfera di Bloch.
> ne comportasse la perdita di un pezzo di informazione
Invece questo è inevitabile, visto che la mappa H --> S^2 non è 1 a 1.
> (anche se un pezzo non misurabile nell'ambito di un valore di
> espettazione)
A parte che se scrivi "espettazione" fai pensare all'espettorazione :-)
A parte che a me la parola "aspettazione" non piace affatto e non credo
che neppure esista nella lingua italiana.
Ma questo non è colpa tua. Lo so che è molto usata, perché c'è una
diffusissima pigrizia mentale, per cui quando s'incontra una parola
inglese, delle due l'una: o la si lascia tale e quale (ed è il meglio
tra le due) oppure la si "traduce" in modo maccheronico.
Oltretutto già "expectation" è infelice, perché quel valore non è
niente che uno si possa atttendere.
Può anzi capitare (per un qbit è la regola) che in una misura *non
possa capitare*, se non è un autovalore dell'osservabile misurata.
Quello è solo il *valor medio* (average in inglese) della variabile
casuale definita dai possibili risultati della misura con le
rispettive probabilità.
Non sarò io a poter cambiare un cattivo uso ormai universale, ma
quanto meno mi riservo la libertà di non adeguarmici.
A parte tutto questo, dicevo, non è che la fase sia non misurabile; è
proprio *fuori* dello schema interpretativo della m.q.
Sarebbe come un'energia cinetica negativa in m.classica: semplicemente
impossibile, data la definizione.
> Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
> - non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
> operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di
> Bloch che non introducano mai fasi globali nel risultato)
> - oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
> troppo importanti per farne a meno?
Per cominciare, *non ha senso* parlare di op. unitari sulla sfera di
Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
quello che cerchi.
Il problema diventa quindi:
- c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
operatori unitari di H (ossia di C^2)?
La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
Immagino tu sappia che si chiamano così non perché Pauli le abbia
inventate (sono oggetti piuttosto ovvi per un matematico) ma perché
subito dopo la scoperta dello spin dell'elettrone fu lui che le usò per
aggiungere all'eq. di Schr. tradizionale il grado di libertà di spin.
La "vera" teoria dello spin sarebbe arrivata poco dopo: eq. di Dirac.
Ma tutto questo è fuori del nostro tema.
Dobbiamo invece capire che posto hanno le matrici di Pauli nella m.q.
dei sistemi a due stati (qbit, ma non solo).
Per questo bisogna occuparsi delle osservabili della teoria.
Certo sai che in m.q. le grandezze osservabili sono rappresentate da
operatori (matrici) hermitiani.
Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
hermitiane 2x2.
La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
anche aA+bB, con a,b reali.
La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
possono scegliere in infiniti modi.
Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
altre tre.
Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
informazione sullo stato.
Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
che Tr(I)=2.
E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
modo unico
F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
e che ogni matrice G di N si scrive
G = aX + bY + cZ.
Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
mica ovvio, però: è un teorema).
Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
conosciamo quelli su una base.
Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
definiamo
x = <s|X|s>/<s|s>
e simili per y, z.
Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
per un n. complesso qualsiasi (non zero).
Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
Si dimostra che la relazione è
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
il punto che rappresenta lo stato |s>.
Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
arrivare da solo.
La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
E per oggi basta.
--
Elio Fabri
> ...
> "l'ente fisico", il vettore di stato associato a un qbit e':
>
> |psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
>
> quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la
> condizione di normalizzazione riduce infatti a un unico grado di
> liberta' la possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le
> fasi dei coefficienti.
Premessa: credo che questa non sarà proprio la risposta che avevo in
>
> |psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
>
> quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la
> condizione di normalizzazione riduce infatti a un unico grado di
> liberta' la possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le
> fasi dei coefficienti.
mente dopo il mio primo post.
Ma quello che hai scritto mi porta a rivedere un po' il programma: ci
sono dei punti concettuali che vanno chiariti.
====================================
Dopo la premessa apro una parentesi.
Quella che ormai si chiama "informatica quantistica" (i.q.) è uno
sviluppo di un ramo particolare della m.q.
Si potrebbe quindi pensare che un fisico teorico (come il
sottoscritto) che la m.q. l'ha insegnata per diversi anni, debba
sapere tutto sulla materia, ma non è affatto così.
L'i.q. si è talmente svilupata (grazie alla sollecitazione delle
vicine applicazioni pratiche) che possiede ormai un suo proprio
linguaggio, una serie di teoremi, ecc. di cui lo scrivente ha al
meglio una vaga nozione.
Per esempio non so che cosa intendi con |+>, |->.
Nè ricordo che cosa sia la tua matrice di Hadamard.
Si tratta di cose banali, ma mettersi al passo richiede un po' di
lavoro che non mi sento di fare, purtroppo.
C'è anche un altro aspetto.
Non posso esserne sicuro, ma ho un'impressione.
Credo che l'i.q. abbia preso una strada un po' .... garibaldina, per
tante ragioni.
Un po' mi ricorda la m.q. com'era trattata nei primi libri che ho
studiato (Dirac escluso): libri dove lo sforzo era di rendere le cose
semplici ai fisici che in gran parte erano del tutto nuovi agli
aspetti più rigorosi della m.q. Bisognava quindi presentarla in modo
il più intuitivo possibile, senza stare troppo a pignoleggiare
sull'esattezza matematica.
Questo lo dico non per quello che scrivi tu, ma per es. per quello che
si legge su wiki, anche inglese.
L'articolo sulla sfera di Bloch per es. lascia alquanto a desiderare.
In senso opposto vanno i matematici, che si fanno un punto d'onore di
dire le cose nel modo più ermetico possibile, senza spiegare i perché
e i percome :-(
Guarda ad es. "Riemann sphere" (un altro di tanti nomi della sfera di
Bloch).
Solo nelle ultime righe potrai capire che si sta parlando del tuo
problema...
====================================
Quello che ho citato del tuo post non mi soddisfa del tutto.
Chiamare i vettori di stato "enti fisici" non mi pare chiarisca bene
il rapporto tra fisica e matematica.
Quello che si deve dire è che la m.q. (una teoria fisica) è costruita
su una struttura matematica: uno spazio di Hilbert complesso H, a n.
finito o infinito di dimensioni.
Gli elementi di H si chiamano "vettori di stato".
Nel caso dei qbit, H ha 2 dim. per un qbit, 4 per due qbit, 2^n per n
qbit.
Per ogni sistema fisico, lo stato non è però in corrisp. con un
vettore di stato, ma con un "raggio" in H, ossia con l'insieme dei
vettori che differiscono per un moltiplicatore scalare (complesso e
non nullo).
Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi di H equivale a dire che
lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo complesso, con una dim.
in meno di H.
Per 1 qbit lo spazio degli stati è la retta proiettiva complessa, che
ha 2 dim. reali.
Per 2 qbit è un P(3,C), che ha 6 dim. reali, ecc.
Come vedi ora ho riunito i due passi:
- la normalizzazione
- la fase globale arbitraria.
Messe insieme, danno un fattore arbitrario complesso.
> Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
> sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
> del QC per rappresentare graficamente un qubit).
> Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
> possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
> di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
> nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
> buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
> da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
> di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
> alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
> (la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
> che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
> che normalmente non si usa in quel caso).
E diciamolo subito: la sfera di Bloch è utile per visualizzare gli
stati, ma non ci puoi fare conti.
Questo perché non ha la struttura di spazio vettoriale e non possiede
il prodotto scalare.
O meglio, possiede un'impronta del prodotto scalare, qulla che viene
chiamata "probbilità di transizione" tra due stati.
Se ho due stati, rappresentati da due vettori di H: |u> e |v>, il
prodotto scalare è <u|v>, che non è definito sulla sfera di Bloch e
non ha signiicato fisico diretto.
Ne ha invece la prob. di trans., definita come
P(u,v) = |<u|v>|^2 / (<u|u><v|v>).
E' ovvio che P(u,v) >= 0.
Meno ovvio ma vero (disug. di Schwartz) che P(u,v) <= 1 e che P(u,v)=1
solo quando |u> e |v> appartengono allo steso raggio, ossia
rappresentano lo stesso stato.
Nota che P(u,v) dipende solo dagli stati: se poni
|u'> = c1 |u>, |v'> = c2 |v>
verifichi facilmente che
P(u',v') = P(u,v).
> (tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli
> intervalli per theta e phi)
E' importantissimo osservare che
1) 0 <= theta <= pi
Il theta/2 è necessario per assicurarsi che il coseno non diventi mai
megativo: 0 <= theta/2 <= pi/2.
Questo può essere un elemento di confusione: sulla sfera devi usare
theta, che va fino a pi; però nel vettore di stato figura theta/2.
> Mi affretto verso il mio punto:
> 1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di
> bloch, di fatto identificato dai valori di theta e phi
No: la colatitudine sulla sfera è theta, non theta/2.
> 3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere >
> considerata come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la
> contiente, una volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per
> cui non c'e' nulla oltre la palla
Nello spirito delle sfera di Bloch gli assi sono fissi e dati prima.
La relazione tra (x,y,z) e (theta,ph)i è quella che conosci e non
scrivo.
Non c'è uno spazio "intrinseco": esiste solo R^3, lo spazio delle
terne (x,y,z).
> 5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase,
> Intendevo questo, probabilmente non particolarmente utile, ma mi
> sembra che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit
> una affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi
> globali (che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non
> irrilevanti!)
Il fatto è che questa rappr. non serve a niente, perché lo stato
> sembra che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit
> una affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi
> globali (che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non
> irrilevanti!)
complessivo di due qbit ha un altro parametro: il peso relativo.
Devi scrivere una cosa come
cos(th0) {[cos(th1) + sin(th1) cos(phi1) |00> +
[cos(th1) + sin(th1) sin(phi1) |01>} +
sin(th0) exp(i phi0)
{[cos(th2) + sin(th12 cos(phi2) |10> +
[cos(th2) + sin(th2) sin(phi2) |11>}.
Questa è una varietà 6D che non so come diavolo si chiami ed è di
nessunissima utilità.
Molto più semplice restare in C^4 e scrivere
|s> = c00 |00> + c01 |01> + c10 |10> + c11 |11>
ricordando che c'è un fattore moltilicativo compleso che puoi
scegliere liberamente a seconda della convenienza del calcolo.
> per esempio |1> e (e^i(dummy))|1> sono sulla sfera di Bloch lo
> stesso raggio
*nello stesso punto* sulla sfera di Bloch.
> ne comportasse la perdita di un pezzo di informazione
> (anche se un pezzo non misurabile nell'ambito di un valore di
> espettazione)
A parte che a me la parola "aspettazione" non piace affatto e non credo
che neppure esista nella lingua italiana.
Ma questo non è colpa tua. Lo so che è molto usata, perché c'è una
diffusissima pigrizia mentale, per cui quando s'incontra una parola
inglese, delle due l'una: o la si lascia tale e quale (ed è il meglio
tra le due) oppure la si "traduce" in modo maccheronico.
Oltretutto già "expectation" è infelice, perché quel valore non è
niente che uno si possa atttendere.
Può anzi capitare (per un qbit è la regola) che in una misura *non
possa capitare*, se non è un autovalore dell'osservabile misurata.
Quello è solo il *valor medio* (average in inglese) della variabile
casuale definita dai possibili risultati della misura con le
rispettive probabilità.
Non sarò io a poter cambiare un cattivo uso ormai universale, ma
quanto meno mi riservo la libertà di non adeguarmici.
A parte tutto questo, dicevo, non è che la fase sia non misurabile; è
proprio *fuori* dello schema interpretativo della m.q.
Sarebbe come un'energia cinetica negativa in m.classica: semplicemente
impossibile, data la definizione.
> Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
> - non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
> operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di
> Bloch che non introducano mai fasi globali nel risultato)
> - oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
> troppo importanti per farne a meno?
Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
quello che cerchi.
Il problema diventa quindi:
- c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
operatori unitari di H (ossia di C^2)?
La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
Immagino tu sappia che si chiamano così non perché Pauli le abbia
inventate (sono oggetti piuttosto ovvi per un matematico) ma perché
subito dopo la scoperta dello spin dell'elettrone fu lui che le usò per
aggiungere all'eq. di Schr. tradizionale il grado di libertà di spin.
La "vera" teoria dello spin sarebbe arrivata poco dopo: eq. di Dirac.
Ma tutto questo è fuori del nostro tema.
Dobbiamo invece capire che posto hanno le matrici di Pauli nella m.q.
dei sistemi a due stati (qbit, ma non solo).
Per questo bisogna occuparsi delle osservabili della teoria.
Certo sai che in m.q. le grandezze osservabili sono rappresentate da
operatori (matrici) hermitiani.
Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
hermitiane 2x2.
La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
anche aA+bB, con a,b reali.
La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
possono scegliere in infiniti modi.
Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
altre tre.
Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
informazione sullo stato.
Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
che Tr(I)=2.
E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
modo unico
F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
e che ogni matrice G di N si scrive
G = aX + bY + cZ.
Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
mica ovvio, però: è un teorema).
Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
conosciamo quelli su una base.
Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
definiamo
x = <s|X|s>/<s|s>
e simili per y, z.
Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
per un n. complesso qualsiasi (non zero).
Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
Si dimostra che la relazione è
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
il punto che rappresenta lo stato |s>.
Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
arrivare da solo.
La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
E per oggi basta.
--
Elio Fabri
Elio Fabri
Oct 13, 2020, 12:30:03 PM10/13/20
to
Avevo scritto:
Se assumiamo che sia X^2 = I e X indip. da I, è facile dimostrare che
Tr(x)=0.
Infatti X^2=I implica che gli autovalori di X possono solo essere
+1 o -1. Sarebbero possibili tre casi: (+1,+1), (+1,-1), (-1,-1).
Ma il primo ci dà X=I, il terzo X=-I quindi X non indip. da I come
richesto. Rimane il secondo, e dato che la traccia è la somma degli
autovalori si ha Tr(X)=0.
--
Elio Fabri
> Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
> traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I,
> visto che Tr(I)=2.
Emendamento.
> traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I,
> visto che Tr(I)=2.
Se assumiamo che sia X^2 = I e X indip. da I, è facile dimostrare che
Tr(x)=0.
Infatti X^2=I implica che gli autovalori di X possono solo essere
+1 o -1. Sarebbero possibili tre casi: (+1,+1), (+1,-1), (-1,-1).
Ma il primo ci dà X=I, il terzo X=-I quindi X non indip. da I come
richesto. Rimane il secondo, e dato che la traccia è la somma degli
autovalori si ha Tr(X)=0.
--
Elio Fabri
Andrea Barontini
Oct 17, 2020, 8:05:03 AM10/17/20
to
Eccomi!
Scusa per il ritardo, mi sono serviti un po' di giorni perche' a ogni
punto toccato mi si apriva un mondo che, tra una cosa e l'altra, ho
cercato di ruminare un po' prima e mentre scrivevo questa mia.
Il 12/10/20 17:05, Elio Fabri ha scritto:
Cmq |+> e |-> sono la base diagonale:
|+> = (|0>+|1>)/sqrt(2) |-> = (|0>-|1>)/sqrt(2)
e Hadamard = (X+Z)/sqrt(2)
>
> C'è anche un altro aspetto.
> Non posso esserne sicuro, ma ho un'impressione.
> Credo che l'i.q. abbia preso una strada un po' .... garibaldina, per
> tante ragioni.
confermo, posso dire che la mia sensazione e' che il cuore della i.q.
sia la "i" piuttosto che la "q".. nel senso che gli interessi sembrano
essere piu' quelli "informatici" legati ai miglioramenti della
complessita' computazionale nella risoluzione algoritmica, piuttosto che
quelli fisici, relegati ai tentativi di aumentare il tempo di coerenza
(e quindi considerati da specialisti del settore - non a caso pare che
non ci sia neanche un consenso su quale sia il modo migliore di
realizzare un qubit, vedi per esempio IBM vs Xanadu).
In quest'ottica i fondamenti sono trattati piuttosto rapidamente per
fornire velocemente all'interessato i mattoncini con cui giocare; almeno
nelle trattazioni che hanno il merito di diffondere un po' di
alfabetizzazione in materia ma anche la finalita' interessata a
medio/lungo termine di creare una comunita' intorno al proprio
prodotto/progetto.
Mi sembra che esistano anche eccezioni cmq... Il Nielsen Chuang -
Quantum Computation and Quantum Information (si trova abbastanza
semplicemente anche il pdf online) direi che e' un testo che varrebbe la
pena avere in libreria... mi sembra nasca con l'idea di essere una
summa, non un testo didattico, quindi i fondamenti di QM alla base sono
ricapitolati nel primo centinaio di pagine (su 700), ma tutto sommato un
po' di cose le dice (anche se neppure li ho trovato soddisfazione al
tema di questo thread, probabilmene perche' come mi dicevi nella prima
risposta e' piu' una questione "matematica").
Io mi sto perdendo un po' dietro all'argomento perche' voglio avere un
approccio un po' piu' consapevole di una lettura ingenua, anche se so
che non posso pretendere di cogliere tutto...
>
> Quello che ho citato del tuo post non mi soddisfa del tutto.
> Chiamare i vettori di stato "enti fisici" non mi pare chiarisca bene
> il rapporto tra fisica e matematica.
> [...]
stato, e ne consideravo una parte "non ispezionabile" (la fase globale),
quindi illuminante quando, piu' sotto, scrivi con chiarezza:
> A parte tutto questo, dicevo, non è che la fase sia non misurabile; è
> proprio *fuori* dello schema interpretativo della m.q.
> Sarebbe come un'energia cinetica negativa in m.classica: semplicemente
> impossibile, data la definizione.
>
che una proiezione, al di la' di quanto sia astratta, debba portare alla
perdita di una dimensione, un po' come una palla (3D) che proiettata su
un foglio diventa un cerchio (2D)
> E diciamolo subito: la sfera di Bloch è utile per visualizzare gli
> stati, ma non ci puoi fare conti.
> Questo perché non ha la struttura di spazio vettoriale e non possiede
> il prodotto scalare.
Arrivato a questo punto mi e' chiaro che la sfera di Bloch manca di
struttura vettoriale, ma mi sembra che a qualche conto possa
*sostituirsi* (e quindi acquisire il ruolo di surrogato di tale conto)
*nel contesto specifico di cui stiamo parlando*.
Voglio dire: *nel momento in cui mi interessano solo i raggi (per tutti
i motivi che abbiamo gia' sviscerato), invece che calcolare X|psi> e poi
buttare via la fase globale posso -una volta dimostrata la
corrispondenza con le rotazioni, ma non ho fretta ;)- ruotare
"graficamente" il raggio di Pi radianti intorno all'asse x e vedere qual
e' l'orientazione del nuovo raggio, e da li ricavarne theta e phi per
poi ricostruirmi la forma analitica... ma ripeto, consapevole che sto
ottenendo il raggio e non il vettore di stato.
Per inciso questo e' uno dei motivi per cui sto cercando di
approfondire... "lavorare" con la sfera invece che con le matrici
(quando possibile) sembra avere i suoi vantaggi: per esempio quando
tecnologicamente puoi misurare solo lungo l'asse z, ma hai necessita' di
misurare lungo un altro asse generico "a", una volta che hai capito
quali rotazioni ti servono per portare "a" su z puoi ricavare quali sono
i gate da applicare prima della misura lungo z, grazie alle
"corrispondenze" tra (alcune?) matrici unitarie e le rotazioni sulla
sfera di Bloch.
(per questo che gli operatori di Pauli siano rotazioni di Pi intorno
agli assi x,y,z per me e' solo il punto di partenza... mi aspetto che a
qualsiasi matrice unitaria 2x2 sia associabile un asse di rotazione e
che l'expectation value dell'operatore associato a tale matrice sia la
proiezione del raggio sul "suo" asse di rotazione...)
> O meglio, possiede un'impronta del prodotto scalare, qulla che viene
> chiamata "probbilità di transizione" tra due stati.
>
> Se ho due stati, rappresentati da due vettori di H: |u> e |v>, il
> prodotto scalare è <u|v>, che non è definito sulla sfera di Bloch e
> non ha signiicato fisico diretto.
> Ne ha invece la prob. di trans., definita come
> P(u,v) = |<u|v>|^2 / (<u|u><v|v>).
> E' ovvio che P(u,v) >= 0.
> Meno ovvio ma vero (disug. di Schwartz) che P(u,v) <= 1 e che P(u,v)=1
> solo quando |u> e |v> appartengono allo steso raggio, ossia
> rappresentano lo stesso stato.
ma P(u,v) che significato fisico ha? Immagino tu l'abbia citato perche'
e' un'informazione interessante da avere ma non capisco a cosa serve...
transizione tra due stati generici causata da cosa? E perche' quella
formula ne e' la probabilita'? (a parte ovviamente i casi degeneri di
dipendenza lineare o ortogonalita' di u e v in cui paiono ragionevoli i
risulati 1 o 0) ...se era solo un esempio senza interesse specifico e ci
porta troppo lontano ignora pure le domande di questo blocco.
> Nota che P(u,v) dipende solo dagli stati: se poni
> |u'> = c1 |u>, |v'> = c2 |v>
> verifichi facilmente che
> P(u',v') = P(u,v).
ed e' per questo che sopra dicevi che la sfera di Bloch "possiede"
questa informazione, giusto?
>
> > (tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli
> > intervalli per theta e phi)
> Male :-)
> E' importantissimo osservare che
> [...]
si si certo, ma come ho scritto avevo la sensazione che la stavo facendo
troppo lunga attardandomi a raggiungere il punto, quindi ho
discutibilmente ma scientemente deciso di omettere la trattazione degli
intervalli dei due angoli, lasciando a una lettura attenta capire -a
seconda del contesto- quali intervalli dovessero essere presi in
considerazione
> Non mi piace niente il modo in cui la metti.
> > [...]
>> per esempio |1> e (e^i(dummy))|1> sono sulla sfera di Bloch lo
>> stesso raggio
> Meglio: appartengono allo stesso raggio, quindi vengono proiettati
> *nello stesso punto* sulla sfera di Bloch.
curiosita' terminologica, perche' hai usato l'espressione piu' di una
volta: per quale motivo hai scelto di dire "appartengono"? Forse per
ribadire che il raggio costituisce una classe di equivalenza?!
>> Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
>> - non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
>> operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di
>> Bloch che non introducano mai fasi globali nel risultato)
>> - oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
>> troppo importanti per farne a meno?
> Per cominciare, *non ha senso* parlare di op. unitari sulla sfera di
> Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
> Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
> quello che cerchi.
> Il problema diventa quindi:
> - c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
> operatori unitari di H (ossia di C^2)?
>
> La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
> Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
> Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
>
ok, aspetto con pazienza ma anche altrettanta curiosita' :)
> Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
> [...]
liberta' sono i valori reali sulla diagonale principale e le parti reali
e immaginarie dei valori a_ij con j>i per esempio
> Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
> possono scegliere in infiniti modi.
> Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
> altre tre.
scusa l'ignoranza della domanda, ma perche' I dovrebbe essere un
candidato tanto ovvio? Io da profano, riferendomi ai gradi di liberta'
identificati sopra per la matrice, sarei stato portato a pensare a
questa base:
A = (1,0;0,0)
B = (0,0;0,1)
C = (0,1;1,0)
D = (0,i;-i,0)
Oppure semplicemente I e' naturale ex-post, cioe' perche' tu gia' sai
che e' cio' che ti fara' saltare fuori le matrici di Pauli come altre
matrici della base? (lo troverei naturale e logico visto il nostro fine,
ma il fatto che tu abbia scritto "candidato naturale" mi fa venire il
dubbio che ci sia di piu', indipendente dalle matrici di Pauli)
> Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
> stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
> informazione sullo stato.
> Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
> contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
>
> Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
> traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
> che Tr(I)=2.
convenienza" dalla traccia nulla al fatto che la matrice sia uguale alla
sua inversa (X^2=I) e indipendente da I... che guarda un po' sono
condizioni rispettate da tutte e tre le matrici di Pauli
> E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
> pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
> indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
>
Ok, abbiamo quindi dimostrato che I,X,Y,Z sono una possibile base di M,
ma non sarebbe bastato dire che che sono tutte e quattro hermitiane e
indipendenti, senza stare a tirare in ballo riflessioni sulla traccia e
sul quadrato delle matrici? Cioe' voglio dire, mi sembra che siano state
utilizzate proprieta' che potevamo anche non scomodare per identificare
la base... oppure sono proprieta' che magari hanno a che fare con
l'eventuale ortonormalita'? A proposito qual e' il prodotto scalare su M?
> Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
> modo unico
> F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
> e che ogni matrice G di N si scrive
> G = aX + bY + cZ.
>
> Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
> consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
> mica ovvio, però: è un teorema).
non mi sembra di averlo mai sentito prima, ok metto in saccoccia :) Ha
un nome?
> Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
> conosciamo quelli su una base.
> Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
> Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
> valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
una delle cose che trovo interessanti e' che fino a qua non mi sembra
che nessuno dei ragionamenti fatti dipenda strettamente dal fatto che
X,Y,Z siano proprio le matrici di Pauli.. ma procedo a leggere fiducioso :)
>
> E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
> definiamo
> x = <s|X|s>/<s|s>
> e simili per y, z.
> Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
> da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
> per un n. complesso qualsiasi (non zero).
> Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
noto che qua come anche con la probabilità di transizione non hai
mancato di utilizzare nelle formule le condizioni di normalizzazione.
Nulla di male, ma perche' ne hai sentito il bisogno? Quello che voglio
dire e' che quando io scrivo un vettore di stato che mi definisce un
sistema, io do per scontato che costituisca la descrizione piu' completa
che ho di quello stato... in quel caso il vettore se non sbaglio
dovrebbe avere "per definizione" norma 1, e quindi i denominatori che ho
notato identicamente unitari; altrimenti il vettore su cui stiamo
lavorando potrebbe essere semplicemente il risultato di un operatore di
proiezione sul vettore di stato "completo". Perche' senti la necessita'
di tale generalizzazione?
> Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
> Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
>
> Si dimostra che la relazione è
> x^2 + y^2 + z^2 = 1
> e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
> il punto che rappresenta lo stato |s>.
Ecco perche' le matrici di Pauli piacciono tanto, e' per la loro
*espettorazione* che sputacchia fuori coordinate ;)
Adesso pero', come scrivevo parecchie righe sopra, mi aspetto che ci
siano matrici adatte a calcolarmi le coordinate di qualsiasi terna di
assi io scelga!
> Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
> potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
> arrivare da solo.
> La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
> entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
>
> X^2 = Y^2 = Z^2 = I
> XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
>
> E per oggi basta.
>
uhmmm sembra che l'emendamento di prima alla fine abbia "smascherato" il
proprio ruolo.... ;)
Alla prossima!
Scusa per il ritardo, mi sono serviti un po' di giorni perche' a ogni
punto toccato mi si apriva un mondo che, tra una cosa e l'altra, ho
cercato di ruminare un po' prima e mentre scrivevo questa mia.
Il 12/10/20 17:05, Elio Fabri ha scritto:
> Per esempio non so che cosa intendi con |+>, |->.
> Nè ricordo che cosa sia la tua matrice di Hadamard.
> Si tratta di cose banali, ma mettersi al passo richiede un po' di
> lavoro che non mi sento di fare, purtroppo.
nessun problema :)
> Nè ricordo che cosa sia la tua matrice di Hadamard.
> Si tratta di cose banali, ma mettersi al passo richiede un po' di
> lavoro che non mi sento di fare, purtroppo.
Cmq |+> e |-> sono la base diagonale:
|+> = (|0>+|1>)/sqrt(2) |-> = (|0>-|1>)/sqrt(2)
e Hadamard = (X+Z)/sqrt(2)
>
> C'è anche un altro aspetto.
> Non posso esserne sicuro, ma ho un'impressione.
> Credo che l'i.q. abbia preso una strada un po' .... garibaldina, per
> tante ragioni.
sia la "i" piuttosto che la "q".. nel senso che gli interessi sembrano
essere piu' quelli "informatici" legati ai miglioramenti della
complessita' computazionale nella risoluzione algoritmica, piuttosto che
quelli fisici, relegati ai tentativi di aumentare il tempo di coerenza
(e quindi considerati da specialisti del settore - non a caso pare che
non ci sia neanche un consenso su quale sia il modo migliore di
realizzare un qubit, vedi per esempio IBM vs Xanadu).
In quest'ottica i fondamenti sono trattati piuttosto rapidamente per
fornire velocemente all'interessato i mattoncini con cui giocare; almeno
nelle trattazioni che hanno il merito di diffondere un po' di
alfabetizzazione in materia ma anche la finalita' interessata a
medio/lungo termine di creare una comunita' intorno al proprio
prodotto/progetto.
Mi sembra che esistano anche eccezioni cmq... Il Nielsen Chuang -
Quantum Computation and Quantum Information (si trova abbastanza
semplicemente anche il pdf online) direi che e' un testo che varrebbe la
pena avere in libreria... mi sembra nasca con l'idea di essere una
summa, non un testo didattico, quindi i fondamenti di QM alla base sono
ricapitolati nel primo centinaio di pagine (su 700), ma tutto sommato un
po' di cose le dice (anche se neppure li ho trovato soddisfazione al
tema di questo thread, probabilmene perche' come mi dicevi nella prima
risposta e' piu' una questione "matematica").
Io mi sto perdendo un po' dietro all'argomento perche' voglio avere un
approccio un po' piu' consapevole di una lettura ingenua, anche se so
che non posso pretendere di cogliere tutto...
>
> Quello che ho citato del tuo post non mi soddisfa del tutto.
> Chiamare i vettori di stato "enti fisici" non mi pare chiarisca bene
> il rapporto tra fisica e matematica.
> Per ogni sistema fisico, lo stato non è però in corrisp. con un
> vettore di stato, ma con un "raggio" in H, ossia con l'insieme dei
> vettori che differiscono per un moltiplicatore scalare (complesso e
> non nullo).
in effetti identificavo lo stato del sistema fisico con il vettore di
> vettore di stato, ma con un "raggio" in H, ossia con l'insieme dei
> vettori che differiscono per un moltiplicatore scalare (complesso e
> non nullo).
stato, e ne consideravo una parte "non ispezionabile" (la fase globale),
quindi illuminante quando, piu' sotto, scrivi con chiarezza:
> A parte tutto questo, dicevo, non è che la fase sia non misurabile; è
> proprio *fuori* dello schema interpretativo della m.q.
> Sarebbe come un'energia cinetica negativa in m.classica: semplicemente
> impossibile, data la definizione.
>
> Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi di H equivale a dire che
> lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo complesso, con una dim.
> in meno di H.
> Per 1 qbit lo spazio degli stati è la retta proiettiva complessa, che
> ha 2 dim. reali.
> Per 2 qbit è un P(3,C), che ha 6 dim. reali, ecc.
su "spazio proiettivo complesso" mi preoccupo un po', ma colgo il punto
> lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo complesso, con una dim.
> in meno di H.
> Per 1 qbit lo spazio degli stati è la retta proiettiva complessa, che
> ha 2 dim. reali.
> Per 2 qbit è un P(3,C), che ha 6 dim. reali, ecc.
che una proiezione, al di la' di quanto sia astratta, debba portare alla
perdita di una dimensione, un po' come una palla (3D) che proiettata su
un foglio diventa un cerchio (2D)
> E diciamolo subito: la sfera di Bloch è utile per visualizzare gli
> stati, ma non ci puoi fare conti.
> Questo perché non ha la struttura di spazio vettoriale e non possiede
> il prodotto scalare.
struttura vettoriale, ma mi sembra che a qualche conto possa
*sostituirsi* (e quindi acquisire il ruolo di surrogato di tale conto)
*nel contesto specifico di cui stiamo parlando*.
Voglio dire: *nel momento in cui mi interessano solo i raggi (per tutti
i motivi che abbiamo gia' sviscerato), invece che calcolare X|psi> e poi
buttare via la fase globale posso -una volta dimostrata la
corrispondenza con le rotazioni, ma non ho fretta ;)- ruotare
"graficamente" il raggio di Pi radianti intorno all'asse x e vedere qual
e' l'orientazione del nuovo raggio, e da li ricavarne theta e phi per
poi ricostruirmi la forma analitica... ma ripeto, consapevole che sto
ottenendo il raggio e non il vettore di stato.
Per inciso questo e' uno dei motivi per cui sto cercando di
approfondire... "lavorare" con la sfera invece che con le matrici
(quando possibile) sembra avere i suoi vantaggi: per esempio quando
tecnologicamente puoi misurare solo lungo l'asse z, ma hai necessita' di
misurare lungo un altro asse generico "a", una volta che hai capito
quali rotazioni ti servono per portare "a" su z puoi ricavare quali sono
i gate da applicare prima della misura lungo z, grazie alle
"corrispondenze" tra (alcune?) matrici unitarie e le rotazioni sulla
sfera di Bloch.
(per questo che gli operatori di Pauli siano rotazioni di Pi intorno
agli assi x,y,z per me e' solo il punto di partenza... mi aspetto che a
qualsiasi matrice unitaria 2x2 sia associabile un asse di rotazione e
che l'expectation value dell'operatore associato a tale matrice sia la
proiezione del raggio sul "suo" asse di rotazione...)
> O meglio, possiede un'impronta del prodotto scalare, qulla che viene
> chiamata "probbilità di transizione" tra due stati.
>
> Se ho due stati, rappresentati da due vettori di H: |u> e |v>, il
> prodotto scalare è <u|v>, che non è definito sulla sfera di Bloch e
> non ha signiicato fisico diretto.
> Ne ha invece la prob. di trans., definita come
> P(u,v) = |<u|v>|^2 / (<u|u><v|v>).
> E' ovvio che P(u,v) >= 0.
> Meno ovvio ma vero (disug. di Schwartz) che P(u,v) <= 1 e che P(u,v)=1
> solo quando |u> e |v> appartengono allo steso raggio, ossia
> rappresentano lo stesso stato.
e' un'informazione interessante da avere ma non capisco a cosa serve...
transizione tra due stati generici causata da cosa? E perche' quella
formula ne e' la probabilita'? (a parte ovviamente i casi degeneri di
dipendenza lineare o ortogonalita' di u e v in cui paiono ragionevoli i
risulati 1 o 0) ...se era solo un esempio senza interesse specifico e ci
porta troppo lontano ignora pure le domande di questo blocco.
> Nota che P(u,v) dipende solo dagli stati: se poni
> |u'> = c1 |u>, |v'> = c2 |v>
> verifichi facilmente che
> P(u',v') = P(u,v).
questa informazione, giusto?
>
> > (tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli
> > intervalli per theta e phi)
> Male :-)
> E' importantissimo osservare che
si si certo, ma come ho scritto avevo la sensazione che la stavo facendo
troppo lunga attardandomi a raggiungere il punto, quindi ho
discutibilmente ma scientemente deciso di omettere la trattazione degli
intervalli dei due angoli, lasciando a una lettura attenta capire -a
seconda del contesto- quali intervalli dovessero essere presi in
considerazione
> Non mi piace niente il modo in cui la metti.
>
> cos(th0) {[cos(th1) + sin(th1) cos(phi1) |00> +
> [cos(th1) + sin(th1) sin(phi1) |01>} +
> sin(th0) exp(i phi0)
> {[cos(th2) + sin(th12 cos(phi2) |10> +
> [cos(th2) + sin(th2) sin(phi2) |11>}.
>
> Questa è una varietà 6D che non so come diavolo si chiami ed è di
> nessunissima utilità.
> Molto più semplice restare in C^4 e scrivere
>
> |s> = c00 |00> + c01 |01> + c10 |10> + c11 |11>
>
> ricordando che c'è un fattore moltilicativo compleso che puoi
> scegliere liberamente a seconda della convenienza del calcolo.
>
si, capisco
> cos(th0) {[cos(th1) + sin(th1) cos(phi1) |00> +
> [cos(th1) + sin(th1) sin(phi1) |01>} +
> sin(th0) exp(i phi0)
> {[cos(th2) + sin(th12 cos(phi2) |10> +
> [cos(th2) + sin(th2) sin(phi2) |11>}.
>
> Questa è una varietà 6D che non so come diavolo si chiami ed è di
> nessunissima utilità.
> Molto più semplice restare in C^4 e scrivere
>
> |s> = c00 |00> + c01 |01> + c10 |10> + c11 |11>
>
> ricordando che c'è un fattore moltilicativo compleso che puoi
> scegliere liberamente a seconda della convenienza del calcolo.
>
>> per esempio |1> e (e^i(dummy))|1> sono sulla sfera di Bloch lo
>> stesso raggio
> Meglio: appartengono allo stesso raggio, quindi vengono proiettati
> *nello stesso punto* sulla sfera di Bloch.
volta: per quale motivo hai scelto di dire "appartengono"? Forse per
ribadire che il raggio costituisce una classe di equivalenza?!
>> Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
>> - non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
>> operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di
>> Bloch che non introducano mai fasi globali nel risultato)
>> - oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
>> troppo importanti per farne a meno?
> Per cominciare, *non ha senso* parlare di op. unitari sulla sfera di
> Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
> Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
> quello che cerchi.
> Il problema diventa quindi:
> - c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
> operatori unitari di H (ossia di C^2)?
>
> La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
> Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
> Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
>
> Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
> Certo sai che in m.q. le grandezze osservabili sono rappresentate da
> operatori (matrici) hermitiani.
> Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
> l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
> hermitiane 2x2.
>
> La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
> sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
> anche aA+bB, con a,b reali.
> La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
> avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
giusto, A=A' (indico con ' la trasposta coniugata), quindi i gradi di
> operatori (matrici) hermitiani.
> Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
> l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
> hermitiane 2x2.
>
> La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
> sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
> anche aA+bB, con a,b reali.
> La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
> avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
liberta' sono i valori reali sulla diagonale principale e le parti reali
e immaginarie dei valori a_ij con j>i per esempio
> Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
> possono scegliere in infiniti modi.
> Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
> altre tre.
candidato tanto ovvio? Io da profano, riferendomi ai gradi di liberta'
identificati sopra per la matrice, sarei stato portato a pensare a
questa base:
A = (1,0;0,0)
B = (0,0;0,1)
C = (0,1;1,0)
D = (0,i;-i,0)
Oppure semplicemente I e' naturale ex-post, cioe' perche' tu gia' sai
che e' cio' che ti fara' saltare fuori le matrici di Pauli come altre
matrici della base? (lo troverei naturale e logico visto il nostro fine,
ma il fatto che tu abbia scritto "candidato naturale" mi fa venire il
dubbio che ci sia di piu', indipendente dalle matrici di Pauli)
> Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
> stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
> informazione sullo stato.
> Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
> contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
>
> Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
> traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
> che Tr(I)=2.
> Emendamento.
> Se assumiamo che sia X^2 = I e X indip. da I, è facile dimostrare che
> Tr(x)=0.
> Infatti X^2=I implica che gli autovalori di X possono solo essere
> +1 o -1. Sarebbero possibili tre casi: (+1,+1), (+1,-1), (-1,-1).
> Ma il primo ci dà X=I, il terzo X=-I quindi X non indip. da I come
> richesto. Rimane il secondo, e dato che la traccia è la somma degli
> autovalori si ha Tr(X)=0.
>
quindi -se capisco bene- l'emendamento sposta la "condizione di
> Se assumiamo che sia X^2 = I e X indip. da I, è facile dimostrare che
> Tr(x)=0.
> Infatti X^2=I implica che gli autovalori di X possono solo essere
> +1 o -1. Sarebbero possibili tre casi: (+1,+1), (+1,-1), (-1,-1).
> Ma il primo ci dà X=I, il terzo X=-I quindi X non indip. da I come
> richesto. Rimane il secondo, e dato che la traccia è la somma degli
> autovalori si ha Tr(X)=0.
>
convenienza" dalla traccia nulla al fatto che la matrice sia uguale alla
sua inversa (X^2=I) e indipendente da I... che guarda un po' sono
condizioni rispettate da tutte e tre le matrici di Pauli
> E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
> pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
> indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
>
ma non sarebbe bastato dire che che sono tutte e quattro hermitiane e
indipendenti, senza stare a tirare in ballo riflessioni sulla traccia e
sul quadrato delle matrici? Cioe' voglio dire, mi sembra che siano state
utilizzate proprieta' che potevamo anche non scomodare per identificare
la base... oppure sono proprieta' che magari hanno a che fare con
l'eventuale ortonormalita'? A proposito qual e' il prodotto scalare su M?
> Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
> modo unico
> F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
> e che ogni matrice G di N si scrive
> G = aX + bY + cZ.
>
> Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
> consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
> mica ovvio, però: è un teorema).
un nome?
> Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
> conosciamo quelli su una base.
> Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
> Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
> valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
che nessuno dei ragionamenti fatti dipenda strettamente dal fatto che
X,Y,Z siano proprio le matrici di Pauli.. ma procedo a leggere fiducioso :)
>
> E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
> definiamo
> x = <s|X|s>/<s|s>
> e simili per y, z.
> Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
> da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
> per un n. complesso qualsiasi (non zero).
> Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
mancato di utilizzare nelle formule le condizioni di normalizzazione.
Nulla di male, ma perche' ne hai sentito il bisogno? Quello che voglio
dire e' che quando io scrivo un vettore di stato che mi definisce un
sistema, io do per scontato che costituisca la descrizione piu' completa
che ho di quello stato... in quel caso il vettore se non sbaglio
dovrebbe avere "per definizione" norma 1, e quindi i denominatori che ho
notato identicamente unitari; altrimenti il vettore su cui stiamo
lavorando potrebbe essere semplicemente il risultato di un operatore di
proiezione sul vettore di stato "completo". Perche' senti la necessita'
di tale generalizzazione?
> Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
> Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
>
> Si dimostra che la relazione è
> x^2 + y^2 + z^2 = 1
> e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
> il punto che rappresenta lo stato |s>.
*espettorazione* che sputacchia fuori coordinate ;)
Adesso pero', come scrivevo parecchie righe sopra, mi aspetto che ci
siano matrici adatte a calcolarmi le coordinate di qualsiasi terna di
assi io scelga!
> Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
> potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
> arrivare da solo.
> La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
> entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
>
> X^2 = Y^2 = Z^2 = I
> XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
>
> E per oggi basta.
>
proprio ruolo.... ;)
Alla prossima!
Elio Fabri
Oct 20, 2020, 8:42:03 AM10/20/20
to
Andrea Barontini ha scritto:
già avevo in mente di dire...
Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
nome "spazio proiettivo".
Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
nostro tema.
Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
appassionante..-.
Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
italiano.
Come saprai, è lì che vieme scoperta la *prospettiva* come modo per
riprodurre sul piano del dipinto una scena tridimensionale in modo che
dia l'esatta impressione visiva della scena reale.
Ci sono molti dipinti dove si riconosce quella tecnica; il più famoso
credo sia la "Città ideale" che si tova nel Palazzo Ducale di Urbino, e
di cui non so se sia stata fatta un'attribuzione certa.
Piero della Francesca? Francesco di Giorgio Martini? O forse Leon
Battista Alberti?
Sta di fatto che quei pittori (alcuni anche matematici) stabiliscono
le regole della prospettiva, ma su base ancora empirica.
Le cose cambiano lentamente, con uno sviluppo più deciso quando la
palla passa ai matematici francesi: Desargues, Pascal, Poncelet, Monge
... che cominciano a trasformare la scoperta pittorica in un capitolo
della matematica: la *geometria proiettiva*.
Si tratta di rispondere alla domanda: che cosa accade quando una
figura che sta su un piano pi vieme *proiettata* su un altro piano
pi', non parallelo al primo, da un punto O esterno a entrambi?
La domanda ha a che fare con la pittura, perché se O è l'occhio
dell'osservatore, la figura di partenza e quella proiettata
produrranno la stessa impressione visiva.
Quindi scoprire come la figura proiettata si trasforma ci darà le
precise regole per dipingere in prospettiva.
Alcune cose (negative) sono subito evidenti:
- rette parallele su pi non lo sono più su pi': il loro punto
d'intersezione si chiamerà "punto di fuga"
- circonferenze di pi diventeranno ellissi, ma perfino parabole o
iperboli su pi': sempre coniche, del tutto diverse.
Ma questo fornisce un primo risultato *positivo*: le coniche si
trasformano in coniche (come dimostrarlo?), quindi il fatto di essere
una conica è un *invariante proiettivo*.
Eccetera...
Per gran parte dell'800 la geometria proiettiva (g.p.)si sviluppa come
capitolo a sé della matematica, e così resta anche nell'insegnamento,
fin ben avanti nel '900.
Ancora a Roma, nel 1948, agli studenti di matematica veniva insegnata
la g.p. classica; dovevano (dovevamo) fare perfino tavole di
costruzioni geometriche...
Una delle idee principali della g.p. nasce dal fatto che la relazione
di parallelismo fra rette non è invariante per proiezioni.
Ma lo diventa se si esegue un'astrazione: chiamare *punto improprio*
(punto all'infinito) la classe di equivalenza di quella relazione.
Ossia: tutte le rette parallele tra loro hanno in comune un punto: il
loro punto improprio.
(Nota che il punto improprio di una retta è uno solo: la retta
proiettiva è *chiusa*.)
Fatto questo, la relazione più generale fra rette "avere un punto in
comune" diventa invariante per proiezioni.
In due sensi:
a) Il postulato della geom. euclidea secondo cui due rette distinte
hanno sempre uno e un solo punto in comune, a meno che non siano
parallele, si enuncia senza eccezione:
"due rette distinte hanno sempre uno e un solo punto in comune"
(proprio o improprio)
Il che tra l'altro lo rende simmetrico rispetto all'altro postulato:
"per due punti distinti passa sempre una e una sola retta".
(Una caratteristica della g.p. del piano è la *dualità* tra punti e
rette.)
b) Se tre o più rette di pi passano per uno stesso punto, lo stesso è
vero per le loro proiezioni su pi'.
L'insieme dei punti impropri del piano proiettivo è la *retta
impropria*.
Non è banale chiamarla retta, perché ciò implica che in ogni
proposizione quando si parla di retta si possa intendere anche la
retta impropria.
Ma le proprietà proiettive possono essere molto più complesse.
Ti faccio l'esempio del teorema di Pascal:
Data una conica e su di essa 6 punti A,B,C,D,E,F, le intersezioni
- P di AB e DE
- Q di BC e EF
- R di CD e FA
stanno su una stessa retta.
Ed ecco un esempio di quanto detto dopra circa la retta impropria.
Come caso particolare del teorema di Pascal, se P e Q sono improppri,
lo è enche R.
Nel linguaggio della geom. euclidea questo si enuncia come teorema a
parte:
"Se AB e DE sono parallele, e così pure BC ed EF, anche CD e FA sono
parallele."
E' evidente che il teorema di Pascal appartiene alla g.p., perché fa
uso di "conica", di "appartenenza" e di "intersezione": tutti
invarianti proiettivi.
Ora nel mio excursus storico debbo cambiare discorso, e parlare della
"algebrizzazione della geometria".
Ho già detto che in origine la geometria è un capitolo a parte della
matematica, distinto dall'aritmetica e anche dall'analisi.
Tuttavia un ponte era già stato gettato da Cartesio, con l'invenzione
della geom. analitica:
- un punto è una coppia ordinata (x,y) di reali
- una curva è un'equazione cui soddisfano (x,y)
- in particolare:
-- una retta è un'eq. lineare (anche non omogenea: ax + by + c = 0)
-- una conica è un polinomio di secondo grado uguagliato a 0.
Intersezione di due curve è un punto che soddisfa il sistema delle due
equazioni, ecc.
La geom. analitica permette di trasformare qualsiasi problema
geometrico in problema algebrico o più in generale in problema di
analisi.
Ma c'è di più: non occorre disporre di un sistema di assiomi
indipendenti per la geom. euclidea: questi seguono dagli assiomi sui
reali e dai teoremi sulle funzioni di due variabili reali.
Questo procedimento di riduzione della geometria ad analisi è appunto
detto "algebrizzazione" della geometria.
(Dovrei spiegare perché si parla di algebra, ma debbo limitarmi...)
Anche nella didattica, niente più tavole, niente più figure nei libri
di geometria!
Questo processo inizia (forse) col secolo scorso ed è oggi del tutto
compiuto.
Basta vedere il contenuto dei corsi che hanno "geometria" nel titolo
:-)
Ma che cosa ha a che fare questo con la g.p.?
E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
Nella geom. analitica le coord. (x,y) sono reali, ovviamente finiti.
Come si può rappresentare un punto improprio?
Soluzione: al posto di due coordinate ne usiamo tre: (xi,eta,zeta) con
x = xi/zeta, y = eta/zeta.
Che bell'affare, dirà il lettore: usare tre coord. dove ne bastano
due, perdendo così la biunivocità...
Infatti (xi,eta,zeta) e (k*xi, k*eta, k*zeta) rappresentano lo stesso
punto, per ogni k reale non nullo.
Vero, ma poniamo zeta=0: non esiste nessuna coppia (x,y) che
corrisponda a (xi,eta,0).
Abbiamo quindi *ampliato* il piano euclideo, e si può intuire che
l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
rappresentano il piano proiettivo.
"A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
dove R' = R\{0}.
E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
stati è C^2/C'.
(Dove al solito con C' indico C\{0}.)
Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
sfera di Bloch.
Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
sono un caso particolare.
Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
coordinate.
Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
*omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
forme quadratiche.
Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
di essere una conica è invariante per proiezioni.
Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
sulle variabili.
Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
--
Elio Fabri
> su "spazio proiettivo complesso" mi preoccupo un po', ma colgo il
> punto che una proiezione, al di la' di quanto sia astratta, debba
> portare alla perdita di una dimensione, un po' come una palla (3D)
> che proiettata su un foglio diventa un cerchio (2D)
Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
> punto che una proiezione, al di la' di quanto sia astratta, debba
> portare alla perdita di una dimensione, un po' come una palla (3D)
> che proiettata su un foglio diventa un cerchio (2D)
già avevo in mente di dire...
Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
nome "spazio proiettivo".
Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
nostro tema.
Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
appassionante..-.
Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
italiano.
Come saprai, è lì che vieme scoperta la *prospettiva* come modo per
riprodurre sul piano del dipinto una scena tridimensionale in modo che
dia l'esatta impressione visiva della scena reale.
Ci sono molti dipinti dove si riconosce quella tecnica; il più famoso
credo sia la "Città ideale" che si tova nel Palazzo Ducale di Urbino, e
di cui non so se sia stata fatta un'attribuzione certa.
Piero della Francesca? Francesco di Giorgio Martini? O forse Leon
Battista Alberti?
Sta di fatto che quei pittori (alcuni anche matematici) stabiliscono
le regole della prospettiva, ma su base ancora empirica.
Le cose cambiano lentamente, con uno sviluppo più deciso quando la
palla passa ai matematici francesi: Desargues, Pascal, Poncelet, Monge
... che cominciano a trasformare la scoperta pittorica in un capitolo
della matematica: la *geometria proiettiva*.
Si tratta di rispondere alla domanda: che cosa accade quando una
figura che sta su un piano pi vieme *proiettata* su un altro piano
pi', non parallelo al primo, da un punto O esterno a entrambi?
La domanda ha a che fare con la pittura, perché se O è l'occhio
dell'osservatore, la figura di partenza e quella proiettata
produrranno la stessa impressione visiva.
Quindi scoprire come la figura proiettata si trasforma ci darà le
precise regole per dipingere in prospettiva.
Alcune cose (negative) sono subito evidenti:
- rette parallele su pi non lo sono più su pi': il loro punto
d'intersezione si chiamerà "punto di fuga"
- circonferenze di pi diventeranno ellissi, ma perfino parabole o
iperboli su pi': sempre coniche, del tutto diverse.
Ma questo fornisce un primo risultato *positivo*: le coniche si
trasformano in coniche (come dimostrarlo?), quindi il fatto di essere
una conica è un *invariante proiettivo*.
Eccetera...
Per gran parte dell'800 la geometria proiettiva (g.p.)si sviluppa come
capitolo a sé della matematica, e così resta anche nell'insegnamento,
fin ben avanti nel '900.
Ancora a Roma, nel 1948, agli studenti di matematica veniva insegnata
la g.p. classica; dovevano (dovevamo) fare perfino tavole di
costruzioni geometriche...
Una delle idee principali della g.p. nasce dal fatto che la relazione
di parallelismo fra rette non è invariante per proiezioni.
Ma lo diventa se si esegue un'astrazione: chiamare *punto improprio*
(punto all'infinito) la classe di equivalenza di quella relazione.
Ossia: tutte le rette parallele tra loro hanno in comune un punto: il
loro punto improprio.
(Nota che il punto improprio di una retta è uno solo: la retta
proiettiva è *chiusa*.)
Fatto questo, la relazione più generale fra rette "avere un punto in
comune" diventa invariante per proiezioni.
In due sensi:
a) Il postulato della geom. euclidea secondo cui due rette distinte
hanno sempre uno e un solo punto in comune, a meno che non siano
parallele, si enuncia senza eccezione:
"due rette distinte hanno sempre uno e un solo punto in comune"
(proprio o improprio)
Il che tra l'altro lo rende simmetrico rispetto all'altro postulato:
"per due punti distinti passa sempre una e una sola retta".
(Una caratteristica della g.p. del piano è la *dualità* tra punti e
rette.)
b) Se tre o più rette di pi passano per uno stesso punto, lo stesso è
vero per le loro proiezioni su pi'.
L'insieme dei punti impropri del piano proiettivo è la *retta
impropria*.
Non è banale chiamarla retta, perché ciò implica che in ogni
proposizione quando si parla di retta si possa intendere anche la
retta impropria.
Ma le proprietà proiettive possono essere molto più complesse.
Ti faccio l'esempio del teorema di Pascal:
Data una conica e su di essa 6 punti A,B,C,D,E,F, le intersezioni
- P di AB e DE
- Q di BC e EF
- R di CD e FA
stanno su una stessa retta.
Ed ecco un esempio di quanto detto dopra circa la retta impropria.
Come caso particolare del teorema di Pascal, se P e Q sono improppri,
lo è enche R.
Nel linguaggio della geom. euclidea questo si enuncia come teorema a
parte:
"Se AB e DE sono parallele, e così pure BC ed EF, anche CD e FA sono
parallele."
E' evidente che il teorema di Pascal appartiene alla g.p., perché fa
uso di "conica", di "appartenenza" e di "intersezione": tutti
invarianti proiettivi.
Ora nel mio excursus storico debbo cambiare discorso, e parlare della
"algebrizzazione della geometria".
Ho già detto che in origine la geometria è un capitolo a parte della
matematica, distinto dall'aritmetica e anche dall'analisi.
Tuttavia un ponte era già stato gettato da Cartesio, con l'invenzione
della geom. analitica:
- un punto è una coppia ordinata (x,y) di reali
- una curva è un'equazione cui soddisfano (x,y)
- in particolare:
-- una retta è un'eq. lineare (anche non omogenea: ax + by + c = 0)
-- una conica è un polinomio di secondo grado uguagliato a 0.
Intersezione di due curve è un punto che soddisfa il sistema delle due
equazioni, ecc.
La geom. analitica permette di trasformare qualsiasi problema
geometrico in problema algebrico o più in generale in problema di
analisi.
Ma c'è di più: non occorre disporre di un sistema di assiomi
indipendenti per la geom. euclidea: questi seguono dagli assiomi sui
reali e dai teoremi sulle funzioni di due variabili reali.
Questo procedimento di riduzione della geometria ad analisi è appunto
detto "algebrizzazione" della geometria.
(Dovrei spiegare perché si parla di algebra, ma debbo limitarmi...)
Anche nella didattica, niente più tavole, niente più figure nei libri
di geometria!
Questo processo inizia (forse) col secolo scorso ed è oggi del tutto
compiuto.
Basta vedere il contenuto dei corsi che hanno "geometria" nel titolo
:-)
Ma che cosa ha a che fare questo con la g.p.?
E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
Nella geom. analitica le coord. (x,y) sono reali, ovviamente finiti.
Come si può rappresentare un punto improprio?
Soluzione: al posto di due coordinate ne usiamo tre: (xi,eta,zeta) con
x = xi/zeta, y = eta/zeta.
Che bell'affare, dirà il lettore: usare tre coord. dove ne bastano
due, perdendo così la biunivocità...
Infatti (xi,eta,zeta) e (k*xi, k*eta, k*zeta) rappresentano lo stesso
punto, per ogni k reale non nullo.
Vero, ma poniamo zeta=0: non esiste nessuna coppia (x,y) che
corrisponda a (xi,eta,0).
Abbiamo quindi *ampliato* il piano euclideo, e si può intuire che
l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
rappresentano il piano proiettivo.
"A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
dove R' = R\{0}.
E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
stati è C^2/C'.
(Dove al solito con C' indico C\{0}.)
Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
sfera di Bloch.
Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
sono un caso particolare.
Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
coordinate.
Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
*omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
forme quadratiche.
Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
di essere una conica è invariante per proiezioni.
Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
sulle variabili.
Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
--
Elio Fabri
Andrea Barontini
Oct 22, 2020, 12:00:03 PM10/22/20
to
Il 20/10/20 14:35, Elio Fabri ha scritto:
> Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
> nome "spazio proiettivo".
>
> Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
> diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
> nostro tema.
> Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
> appassionante..-.
> Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
>
hai fatto bene a scrivere questo post... la mia risposta precedente
liquidava un po' sbrigativamente il tema perche' mi rendevo conto che
poteva essere una digressione che ci avrebbe allontanato dal tema
originale, e quindi non osavo chiedere anche di quello.
Pero' mi avevi incuriosito e quindi anche se non approfondiro' a stretto
giro (per mere questione di priorita' che giocoforza devo assegnare a
svariati miei interessi piu' o meno ortogonali tra loro, e che
richiedono tutti un po' di dedizione e quindi di tempo) mi fa piacere
avere delle imbeccate sull'argomento da cui in futuro potro' partire per
approfondire.
> La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
> italiano.
> [...]
Credo tu possa intuire che questa cosa che la realta' -allo stato
dell'arte di come sappiamo descriverla (m.q.)- si presenti con la
struttura di una proiezione...beh mi suscita fantasie ontologiche
sconclusionate e poco ortodosse...
Ti chiedo solo una cosa: ma tutta questa cosa dello spazio degli stati
come spazio proiettivo complesso vale anche per la meccanica quantistica
relativistica (che non conosco minimamente, e quindi la domanda potrebbe
essere anche mal posta e non essere rispondibile, in caso sorry)?
> Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
> introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
> sono un caso particolare.
> Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
> mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
> proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
> all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
> coordinate.
>
> Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
> conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
> *omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
> Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
> forme quadratiche.
questo tema delle coordinate proiettive mi appassiona di meno, almeno a
bruciapelo, perche' non intravvedo l'eventuale significato profondo che
ci sta dietro... ma lo metto da parte per il futuro, sono sicuro che
risaltera' fuori quando meno me l'aspetto
> Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
> di essere una conica è invariante per proiezioni.
> Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
> sulle variabili.
>
> Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
> Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
> pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
> Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
Ora pero' vado a ripassarmi il mio post precedente a questo tuo,
altrimenti quando mi rispondi non sono piu' sul pezzo neanche rispetto a
quello che dicevo io :)
Ciao
Andrea
> Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
> già avevo in mente di dire...
aspetto con smania ma senza pretese :)
> già avevo in mente di dire...
> Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
> nome "spazio proiettivo".
>
> Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
> diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
> nostro tema.
> Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
> appassionante..-.
> Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
>
liquidava un po' sbrigativamente il tema perche' mi rendevo conto che
poteva essere una digressione che ci avrebbe allontanato dal tema
originale, e quindi non osavo chiedere anche di quello.
Pero' mi avevi incuriosito e quindi anche se non approfondiro' a stretto
giro (per mere questione di priorita' che giocoforza devo assegnare a
svariati miei interessi piu' o meno ortogonali tra loro, e che
richiedono tutti un po' di dedizione e quindi di tempo) mi fa piacere
avere delle imbeccate sull'argomento da cui in futuro potro' partire per
approfondire.
> La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
> italiano.
> Ma che cosa ha a che fare questo con la g.p.?
> E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
> La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
> [...]
> E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
> La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
> Abbiamo quindi *ampliato* il piano euclideo, e si può intuire che
> l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
> Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
> rappresentano il piano proiettivo.
>
> "A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
> dove R' = R\{0}.
> E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
> campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
> Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
> stati è C^2/C'.
> (Dove al solito con C' indico C\{0}.)
> Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
> sfera di Bloch.
>
Ed ecco perche' scrivevi "Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi
> l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
> Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
> rappresentano il piano proiettivo.
>
> "A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
> dove R' = R\{0}.
> E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
> campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
> Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
> stati è C^2/C'.
> (Dove al solito con C' indico C\{0}.)
> Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
> sfera di Bloch.
>
di H equivale a dire che lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo
complesso, con una dim. in meno di H. " :)
Credo tu possa intuire che questa cosa che la realta' -allo stato
dell'arte di come sappiamo descriverla (m.q.)- si presenti con la
struttura di una proiezione...beh mi suscita fantasie ontologiche
sconclusionate e poco ortodosse...
Ti chiedo solo una cosa: ma tutta questa cosa dello spazio degli stati
come spazio proiettivo complesso vale anche per la meccanica quantistica
relativistica (che non conosco minimamente, e quindi la domanda potrebbe
essere anche mal posta e non essere rispondibile, in caso sorry)?
> Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
> introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
> sono un caso particolare.
> Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
> mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
> proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
> all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
> coordinate.
>
> Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
> conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
> *omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
> Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
> forme quadratiche.
bruciapelo, perche' non intravvedo l'eventuale significato profondo che
ci sta dietro... ma lo metto da parte per il futuro, sono sicuro che
risaltera' fuori quando meno me l'aspetto
> Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
> di essere una conica è invariante per proiezioni.
> Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
> sulle variabili.
>
> Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
> Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
> pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
> Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
altrimenti quando mi rispondi non sono piu' sul pezzo neanche rispetto a
quello che dicevo io :)
Ciao
Andrea
Andrea Barontini
Nov 20, 2020, 4:30:03 PM11/20/20
to
Il 22/10/20 16:24, Andrea Barontini ha scritto:
solo togliermi il dubbio: il fatto che questo thread sia morto dipende
da qualcosa che ho fatto o detto (nel qual caso inconsapevolmente)?
Ciao
Andrea
> Il 20/10/20 14:35, Elio Fabri ha scritto:
>> Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
>> già avevo in mente di dire...
>
> aspetto con smania ma senza pretese :)
>
Scusa Elio, lungi da me volerti tirare per la giacchetta, ma piuttosto
>> Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
>> già avevo in mente di dire...
>
> aspetto con smania ma senza pretese :)
>
solo togliermi il dubbio: il fatto che questo thread sia morto dipende
da qualcosa che ho fatto o detto (nel qual caso inconsapevolmente)?
Ciao
Andrea
Elio Fabri
Nov 23, 2020, 11:18:03 AM11/23/20
to
Andrea Barontini ha scritto:
Stai tranquillo e al tempo stesso scusami tu.
Sono stato distratto da altre questioni e alla fine ho dimenticato che
non avevo finito la mia risposta.
Ora dovrò ristudiare tuttto il thread, perché non ricordo più
niente...
Meglio che non faccia promesse su quando riuscirò a scrivere quello
che manca.
--
Elio Fabri
> Scusa Elio, lungi da me volerti tirare per la giacchetta, ma
> piuttosto solo togliermi il dubbio: il fatto che questo thread sia
> morto dipende da qualcosa che ho fatto o detto (nel qual caso
> inconsapevolmente)?
Acc... è passato un mese :-(
> piuttosto solo togliermi il dubbio: il fatto che questo thread sia
> morto dipende da qualcosa che ho fatto o detto (nel qual caso
> inconsapevolmente)?
Stai tranquillo e al tempo stesso scusami tu.
Sono stato distratto da altre questioni e alla fine ho dimenticato che
non avevo finito la mia risposta.
Ora dovrò ristudiare tuttto il thread, perché non ricordo più
niente...
Meglio che non faccia promesse su quando riuscirò a scrivere quello
che manca.
--
Elio Fabri
Andrea Barontini
Nov 24, 2020, 8:30:03 AM11/24/20
to
Il 23/11/20 17:13, Elio Fabri ha scritto:
> Meglio che non faccia promesse su quando riuscirò a scrivere quello
> che manca.
tranquillo, tanto anch'io mi devo rileggere un po' bene le puntate
precedenti
ciao
Andrea
> Acc... è passato un mese :-(
> [...]
> Ora dovrò ristudiare tuttto il thread, perché non ricordo più
> niente...
sei in buona compagnia ;)
> niente...
> Meglio che non faccia promesse su quando riuscirò a scrivere quello
> che manca.
precedenti
ciao
Andrea
Elio Fabri
Dec 3, 2020, 12:00:04 PM12/3/20
to
Andrea Barontini ha scritto:
discorso dotato di un filo logico...
Mi riattacco al mio post del 12/10, dove ti avevo fatto vedere che i
valori medi delle matrici di Pauli individuano un punto (x,y,z) di R^3
che sta sulla sfera di Bloch, ed è proprio il punto rappresentativo
dello stato |s> su cui si è fatto il valor medio.
Prima però sbrigo una tua perplessità sulla denominazione "prob. di
transizione" che si dà a P(u,v) = |<u|v>|^2.
Non devi interpretare alla lettera quell'espressione.
Sta solo a significare una cosa che sai benissimo.
Se |v> è lo stato del sistema a un certo istante, e si esegue una
misura di una qualche ossservabile A, il risultato sarà un autovalore
a di A e subito dopo la misura troverai il sistema in uno stato che è
autostato di A per quell'autovalore. Sia |u> il corrisp. vettore.
La probab. di questo particolare risultato è proprio P(u,v).
Non c'è altro.
La ragione per dare importanza a P(u,v) è che a differenza di <u|v>
dipende solo dagli stati, dai raggi, non dalle fasi.
Un'applicazione importante di questo fatto è un famoso teorema di
Wigner (non so se lo conosci):
"Una trasf. W uno-uno negli stati di un sistema, che conservi tutte le
P(u,v), è sempre rappresentabile nello spazio di Hilbert da un
operatore unitario o antiunitario.
Il caso antiunitario si presenta solo se W implica l'inversione del
tempo."
Questo teorema è la base della teoria della simmetria in m.q. come
teoria delle rappresentazioni unitarie di gruppi (e scusa se è poco).
Mi pareva di averti segnalato le mie lezioni
http://www.sagredo.eu/gruppi
ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
Ma torniamo alle matrici di Pauli.
Ho già introdotto lo spazio N delle matrici 2x2 hermitiane a traccia
nulla, in cui X, Y, Z formano una base.
Se G è hermtiana a traccia nulla, l'espressione
U = exp(iG) (1)
definisce una matrice unitaria.
Due parole sulla dim.
Intanto l'esponenziale di una matrice è sempre definito, per es.
mediante la serie:
exp(iG) = I + iG + (iG)^2/2! + ...
che converge sempre (anche per G non hermitiana né a traccia nulla, e
di qualunque ordine).
Poi coniugando la (1)
U^+ = exp(-iG)
e si vede che UU^+ = U^+ U = I
quindi U è unitaria.
Di più: è vero per matrici qualsiasi che
det(exp(M)) = exp(Tr(M))
e se Tr(M)=0 ne segue det(exp(M) = 1.
Quindi le matrici definite dalla (1) sono unitarie e a det=1.
E' ovvio che formano un gruppo, che si chiama SU(2).
Ciascuna matrice del gruppo è generata da una G.
Inoltre le matrici iG (non le G) formano un'algebra di Lie:
- formano uno spazio vettoriale reale
- l'insieme è chiuso rispetto al commutatore.
Infatti
[iG1,iG2] = -[G1,G2]
e il commutatore di due matrici hermitiane è antihermitiano..
Poi
Tr[iG1,iG2] = -Tr[G1,G2] = 0
perché la traccia di un commutatore è sempre nulla in quanto
Tr(G1G2) = Tr(G2G1).
Ecco la connessione: l'algebra M è l'algebra di Lie di SU(2).
(NB: l'algebra di Lie si definice per qualunque gruppo di Lie, ma non
in questo modo semplice: occorrono argomenti differenziali che qui si
possono trascurare.)
Per ciò che segue ti debbo rimandare alla lez. 11 (ultima) del già
citato
http://www.sagredo.eu/gruppi
Qui mi limito a un veloce riassunto.
Il gruppo SU(2) che è definito sopra agisce su H (spazio di Hilbert di
un sistema a due stati, vulgo qbit).
Prendiamo una U e applichiamola al generico |s>; otterremo un diverso
stato
|s'> U|s>.
Se |s> ci aveva fornito le coordinate (x,y,z) di un punto sulla sfera
di Bloch, lo stesso accadrà con |s'>. Che relazione c'è tra (x,y,z) e
(x',y',z')?
Per es.
x' = <s'|X|s'> = <s|U^+ X U|s>.
U^+ X U è hermitiana a traccia nulla, quindi appartiene a M. Dato che
X,Y,Z sono una base di M, esisteranno tre reali a,b,c tali che
U^+ X U = aX + bY + cZ
e quindi
x' = ax + by + cz.
Lo stesso vale per y' e per z'. Il tutto si sintetizza dicendo che
esiste una matrice reale che fa passare da (x,y,z) a (x',y',z').
Si dimostra (lo trovi nella citata lezione) che questa matrice è
ortogonale e ha det = 1, quindi è una rotazione di R^3.
Ecco l'annunciata relazione tra matrici di Pauli e rotazioni della
sfera di Bloch!
Nel gergo della teoria dei gruppi, le matrici ortogonali a det. 1
formano un gruppo che ha nome SO(3).
Quindi abbiamo stabilito una mappa che manda ogni elemento di SU(2) in
uno di SO(3).
Si dimostra che questa mappa è un omomorfismo 2 --> 1: due matrici di
SU(2) vanno nella stessa matrice di SO(3).
La cosa è ovvia, osservando che nella (2) (a,b,c) non cambiano se
sostituisco -U a U.
Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
--
Elio Fabri
> tranquillo, tanto anch'io mi devo rileggere un po' bene le puntate
> precedenti
Eccomi qua, con un po' di tempo e la speranza di riuscire a fare un
> precedenti
discorso dotato di un filo logico...
Mi riattacco al mio post del 12/10, dove ti avevo fatto vedere che i
valori medi delle matrici di Pauli individuano un punto (x,y,z) di R^3
che sta sulla sfera di Bloch, ed è proprio il punto rappresentativo
dello stato |s> su cui si è fatto il valor medio.
Prima però sbrigo una tua perplessità sulla denominazione "prob. di
transizione" che si dà a P(u,v) = |<u|v>|^2.
Non devi interpretare alla lettera quell'espressione.
Sta solo a significare una cosa che sai benissimo.
Se |v> è lo stato del sistema a un certo istante, e si esegue una
misura di una qualche ossservabile A, il risultato sarà un autovalore
a di A e subito dopo la misura troverai il sistema in uno stato che è
autostato di A per quell'autovalore. Sia |u> il corrisp. vettore.
La probab. di questo particolare risultato è proprio P(u,v).
Non c'è altro.
La ragione per dare importanza a P(u,v) è che a differenza di <u|v>
dipende solo dagli stati, dai raggi, non dalle fasi.
Un'applicazione importante di questo fatto è un famoso teorema di
Wigner (non so se lo conosci):
"Una trasf. W uno-uno negli stati di un sistema, che conservi tutte le
P(u,v), è sempre rappresentabile nello spazio di Hilbert da un
operatore unitario o antiunitario.
Il caso antiunitario si presenta solo se W implica l'inversione del
tempo."
Questo teorema è la base della teoria della simmetria in m.q. come
teoria delle rappresentazioni unitarie di gruppi (e scusa se è poco).
Mi pareva di averti segnalato le mie lezioni
http://www.sagredo.eu/gruppi
ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
Ma torniamo alle matrici di Pauli.
Ho già introdotto lo spazio N delle matrici 2x2 hermitiane a traccia
nulla, in cui X, Y, Z formano una base.
Se G è hermtiana a traccia nulla, l'espressione
U = exp(iG) (1)
definisce una matrice unitaria.
Due parole sulla dim.
Intanto l'esponenziale di una matrice è sempre definito, per es.
mediante la serie:
exp(iG) = I + iG + (iG)^2/2! + ...
che converge sempre (anche per G non hermitiana né a traccia nulla, e
di qualunque ordine).
Poi coniugando la (1)
U^+ = exp(-iG)
e si vede che UU^+ = U^+ U = I
quindi U è unitaria.
Di più: è vero per matrici qualsiasi che
det(exp(M)) = exp(Tr(M))
e se Tr(M)=0 ne segue det(exp(M) = 1.
Quindi le matrici definite dalla (1) sono unitarie e a det=1.
E' ovvio che formano un gruppo, che si chiama SU(2).
Ciascuna matrice del gruppo è generata da una G.
Inoltre le matrici iG (non le G) formano un'algebra di Lie:
- formano uno spazio vettoriale reale
- l'insieme è chiuso rispetto al commutatore.
Infatti
[iG1,iG2] = -[G1,G2]
e il commutatore di due matrici hermitiane è antihermitiano..
Poi
Tr[iG1,iG2] = -Tr[G1,G2] = 0
perché la traccia di un commutatore è sempre nulla in quanto
Tr(G1G2) = Tr(G2G1).
Ecco la connessione: l'algebra M è l'algebra di Lie di SU(2).
(NB: l'algebra di Lie si definice per qualunque gruppo di Lie, ma non
in questo modo semplice: occorrono argomenti differenziali che qui si
possono trascurare.)
Per ciò che segue ti debbo rimandare alla lez. 11 (ultima) del già
citato
http://www.sagredo.eu/gruppi
Qui mi limito a un veloce riassunto.
Il gruppo SU(2) che è definito sopra agisce su H (spazio di Hilbert di
un sistema a due stati, vulgo qbit).
Prendiamo una U e applichiamola al generico |s>; otterremo un diverso
stato
|s'> U|s>.
Se |s> ci aveva fornito le coordinate (x,y,z) di un punto sulla sfera
di Bloch, lo stesso accadrà con |s'>. Che relazione c'è tra (x,y,z) e
(x',y',z')?
Per es.
x' = <s'|X|s'> = <s|U^+ X U|s>.
U^+ X U è hermitiana a traccia nulla, quindi appartiene a M. Dato che
X,Y,Z sono una base di M, esisteranno tre reali a,b,c tali che
U^+ X U = aX + bY + cZ
e quindi
x' = ax + by + cz.
Lo stesso vale per y' e per z'. Il tutto si sintetizza dicendo che
esiste una matrice reale che fa passare da (x,y,z) a (x',y',z').
Si dimostra (lo trovi nella citata lezione) che questa matrice è
ortogonale e ha det = 1, quindi è una rotazione di R^3.
Ecco l'annunciata relazione tra matrici di Pauli e rotazioni della
sfera di Bloch!
Nel gergo della teoria dei gruppi, le matrici ortogonali a det. 1
formano un gruppo che ha nome SO(3).
Quindi abbiamo stabilito una mappa che manda ogni elemento di SU(2) in
uno di SO(3).
Si dimostra che questa mappa è un omomorfismo 2 --> 1: due matrici di
SU(2) vanno nella stessa matrice di SO(3).
La cosa è ovvia, osservando che nella (2) (a,b,c) non cambiano se
sostituisco -U a U.
Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
--
Elio Fabri
Andrea Barontini
Dec 6, 2020, 5:45:03 PM12/6/20
to
Il 03/12/20 17:53, Elio Fabri ha scritto:
>
> [...]
questa roba con la concentrazione che serve non prima delle vacanze di
Natale, anche perche' il materiale sui gruppi su Sagredo e' davvero
corposo (dubbio corretto, non me lo avevi ancora indicato).
Quindi per un po' staro' silenzioso, ma riappariro' ;)
Solo una cosa, anche a beneficio degli altri lettori: il link corretto
e': http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi/
Ciao e se non ci si sente prima buon Natale
Andrea
>
> [...]
> Mi pareva di averti segnalato le mie lezioni
> http://www.sagredo.eu/gruppi
> ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
> appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
> [...]
> http://www.sagredo.eu/gruppi
> ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
> appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
>
> Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
> digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
Grazie! Si :-) in effetti penso che avro' il tempo di attaccare tutta
> Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
> digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
questa roba con la concentrazione che serve non prima delle vacanze di
Natale, anche perche' il materiale sui gruppi su Sagredo e' davvero
corposo (dubbio corretto, non me lo avevi ancora indicato).
Quindi per un po' staro' silenzioso, ma riappariro' ;)
Solo una cosa, anche a beneficio degli altri lettori: il link corretto
e': http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi/
Ciao e se non ci si sente prima buon Natale
Andrea
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