gamma = Cp / Cv

[Romina]

ciao a tutti,
tramite un'esperienza di lab. mi è stato chiesto di calcolare il rapporto Cp
/Cv nel seguente modo:
Cp/Cv= (lnP1 - lnP2) / (ln P1 - ln P3)
ma questa formula da dove esce?
sull'Atkins, mio libro di riferimento non ho trovato niente di utile e
neanche in rete...
cmq P1, P2, P3 venivano determinate nel seguente modo:
si inserisce in un recipiente una certa quantità di gas, si arriva alla
cosiddetta "pressione di pericolo", si chiude il gas, il recipiente è
collegato ad un trasduttore di pressione e ad un voltmentro, dopo aver
chiuso il gas si attende che il dato si stabilizzi e si rileva il primo dato
che opportunamente trasformato rappresenta P1. Si apre e si chiude
velocemente una valvola ( cioè si simula un'espansione reversibile immagino)
e si prende come P2 il valore più piccolo osservato sul voltmetro, si
attende che il dato si stabilizzi e si prende P3.
ciao e grazie

[Giorgio Bibbiani]

Buongiorno, Romina ha scritto:

> ciao a tutti,
> tramite un'esperienza di lab. mi è stato chiesto di calcolare il rapporto Cp
> /Cv nel seguente modo:
> Cp/Cv= (lnP1 - lnP2) / (ln P1 - ln P3)
> ma questa formula da dove esce?
> sull'Atkins, mio libro di riferimento non ho trovato niente di utile e
> neanche in rete...
> cmq P1, P2, P3 venivano determinate nel seguente modo:
> si inserisce in un recipiente una certa quantità di gas, si arriva alla
> cosiddetta "pressione di pericolo", si chiude il gas, il recipiente è
> collegato ad un trasduttore di pressione e ad un voltmentro, dopo aver
> chiuso il gas si attende che il dato si stabilizzi e si rileva il primo dato
> che opportunamente trasformato rappresenta P1.

Quindi adesso il gas ha pressione P1 e temperatura uguale a quella ambiente Ta
(e' una temperatura assoluta)

> Si apre e si chiude
> velocemente una valvola ( cioè si simula un'espansione reversibile immagino)

E' un'espansione adiabatica perche' avviene tanto velocemente da non permettere
al gas di scambiare calore con l'ambiente, non è certamente reversibile, ma facciamo
finta di poter applicare l'equazione delle adiabatiche reversibili del gas perfetto per
questa trasformazione che portera' a uno stato caratterizzato dai valori P2 e T2 di
pressione e temperatura, quindi si avra':

1) P1 * Ta ^ (g/(1 - g)) = P2 * T2 ^ (g/(1 - g))
avendo indicato con g il rapporto Cp / Cv

> e si prende come P2 il valore più piccolo osservato sul voltmetro, si
> attende che il dato si stabilizzi e si prende P3.

Adesso il gas acquista calore dall'ambiente e raggiunge lo stato finale con i valori
P3 e Ta di pressione e temperatura, quindi applicando l'equazione di stato del
gas perfetto si ottiene:

2) P2 / P3 = T2 / Ta

Mettendo a sistema le equazioni che si ottengono dopo aver preso il logaritmo
di entrambi i membri di 1) e 2), si ha:

[lg(P1) - lg(P2)] * (1 - g) / g = lg(P2) - lg(P3)

e quindi isolando g:

g = [lg(P1) - lg(P2)] / [lg(P1) - lg(P3)]

Visto che si tratta di un'esperienza reale, mi piacerebbe conoscere i valori misurati
delle pressioni e la composizione chimica del gas, puoi postarli?

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere inserire una sottolineatura
tra nome e cognome

[Romina]

"Giorgio Bibbiani" <giorgio...@virgilio.it> ha scritto nel messaggio
news:61Vyc.319806$hc5.13...@news3.tin.it...

mi perdo già qui.... cioè, questa da dove esce?
a me cercando di ricavarla a partire dalla variaz di U del gas, viene un
risultato diverso:
dU = - P dV

e dato che consideriamo il gas ideale:

dU = Cv dT

quindi:

- P dV= Cv dT

P= nRT/V

Cv dT= nRT/V dV

Cv/T dT = nR/V dV

integro e ottengo:

Cv ln (T2/T1) = -nR ln (V2/V1)

e dato che PV = cost

Cv ln (T2/T1) = -nR ln( P1/P2)

Se chiamo:

c = Cv / nR

ln (T2/T1)^c= - ln ( P1/P2)

da cui
(T2/T1)^c=(P2/P1)
e dato che gamma = Cp/Cv e per i gas ideali Cp-Cv = nR
c= Cv/Cp-Cv
1/c= Cp-Cv / Cv= gamma -1
per cui

(T2/T1) = (P2/P1)^1/c
se poi come dici tu sostituisco

P2 / P3 = T2 / Ta(=T1) nella precedente ottengo

P2 / P3 = (P2/P1)^1/c cioè P2 / P3 = (P2/P1)^(g-1)
e quindi
ln P2 -lnP3 = g( lnP2-lnP1) -lnP2+lnP1
e quindi non mi viene la formula che cercavo originariamente , non capisco
dove sbaglio e ci ho pensato tutto il giorno ma non riesco a capire da cosa
deriva

P1 * Ta ^ (g/(1 - g)) = P2 * T2 ^ (g/(1 - g))

> Visto che si tratta di un'esperienza reale, mi piacerebbe conoscere i

valori misurati
> delle pressioni e la composizione chimica del gas, puoi postarli?

per ora ho solo i dati in mV , non ho ancora avuto voglia di convertirli in
pressioni, con i mV le gamma si avvicinano abbastanza a quelle teoriche,
convertendo in pressione mi hanno detto che vengono valori di un bel po'
inferiori ma non ho ancora provato.
i gas erano Argon e anidride carbonica.
questi sono i dati di taratura del trasduttore per fare la conversione:
Patm = 777 mmHg mV = 2.411

Vuoto= 0 mmHg mV= - 81.820

Dati per l'argon

1a misura
2a misura
3a misura
4a misura

P1 (mV)

9.043
8.870
9.328

P2
2.514
2.579
2.520
2.515

P3

4.190
4.140
4.230

?
1.64
1.63
1.65
1.66

? medio
1.645

Dati per la CO2:

1a misura
2a misura
3a misura
4a misura
5a misura

P1
8.700
9.342
9.380
9.265
9.091

P2
2.519
2.516
2.515
2.485
2.503

P3
3.726
3.847
3.860
3.817
3.801

?
1.46
1.48
1.48
1.48
1.48

? medio
1.476

ho fatto copia-incolla da excel, spero compaiano i dati, altrimenti li
riposterò prossimamente, magari già convertiti,

ciao

romina

ah, gamma teorica per l'argon è 1.67, per CO2 1.42

riciao

[Giorgio Bibbiani]

Buongiorno, Romina ha scritto:
[cut]

> > 1) P1 * Ta ^ (g/(1 - g)) = P2 * T2 ^ (g/(1 - g))
> > avendo indicato con g il rapporto Cp / Cv
>
> mi perdo già qui.... cioè, questa da dove esce?
> a me cercando di ricavarla a partire dalla variaz di U del gas, viene un
> risultato diverso:
> dU = - P dV
>
> e dato che consideriamo il gas ideale:
>
> dU = Cv dT

Cv e' la capacità termica a volume costante di n moli di gas perfetto.

>
> quindi:
>
> - P dV= Cv dT
>
> P= nRT/V
>

Cv dT= - nRT/V dV
Cv/T dT = - nR/V dV

> integro e ottengo:
>
> Cv ln (T2/T1) = -nR ln (V2/V1)
> e dato che PV = cost

[cut]

Cosa? Questa trasformazione non e' isoterma e PV non e' costante!

Invece sostituiamo nella ultima equazione V = nRT/P, e abbiamo:
Cv ln (T2/T1) = -nR ln (T2/T1) + nR ln (P2/P1), da cui
(Cv + nR) ln (T2/T1) = nR ln (P2/P1)
dividendo i due membri per nR = Cp - Cv, si ha:
[Cv/(Cp - Cv) + 1] ln (T2/T1) = ln (P2/P1), cioe'
gamma / (gamma - 1) ln (T2/T1) = ln (P2/P1), e facendo l'esponenziale
dei due membri:
(T2/T1)^[gamma / (gamma - 1)] = P2/P1, cioe':
P1 * T1^[gamma / (1 - gamma )] = P2 * T2^[gamma / (1 - gamma )]
che e' l'equazione 1) cercata.

Se il trasduttore e' lineare, ottengo con i tuoi dati
(per Ar ne manca qualcuno) valori di gamma dell'ordine
di 1.35 per Ar e 1.25 per CO2, inferiori a quelli teorici.

Riguardo ad Ar concordo con il valore gamma teorico = 5/3 = 1.67,
per CO2 la questione e' un po' piu' complicata perche' bisogna, nel calcolo
dei calori specifici, tenere conto anche dei gradi di liberta' vibrazionali che a
temperatura ambiente sono parzialmente "scongelati", e il gamma teorico
dovrebbe essere dell'ordine di 9/7 = 1.3 (2 g.d.l. vibrazionali "scongelati"),
quindi sembra che l'accordo tra teoria ed esperimento sia con questi dati
sperimentali migliore per CO2 che per Ar.

Per quale ragione i valori sperimentali di gamma risultano inferiori a quelli teorici?
Non lo so, provo ad *azzardare* un tentativo di spiegazione:
visto che l'espansione adiabatica reale e' irreversibile, il lavoro eseguito
sull'ambiente esterno durante l'espansione sarà minore di quello massimo teorico
(a causa degli attriti ecc.), quindi alla fine dell'espansione l'energia interna, la temperatura
e la pressione P2 del gas saranno maggiori di quelle teoriche, dalla formula
gamma = (lnP1 - lnP2) / (ln P1 - ln P3), vediamo che al crescere di P2
gamma diminuisce, quindi se effettivamente il valore di P2 misurato sperimentalmente
e' maggiore di quello teorico, si spiega come gamma sperimentale risulti minore
di quella teorica.
Ma perche' la discrepanza e' minore nel caso di CO2 che nel caso di Ar?
Forse perche' CO2 dovrebbe piu' propriamente essere trattato come un
gas di Van der Waals che come un gas perfetto, e nell'espansione adiabatica
le forze attrattive tra le molecole di CO2 esercitano un lavoro negativo,
di conseguenza la pressione finale del gas e' minore di quella teorica,
e cio' compensa parzialmente l'effetto precedente.
Ripeto, le precedenti sono solo "elucubrazioni" di fantasia e andrebbero verificate...

[Romina]

> > e dato che PV = cost
> [cut]
>
> Cosa? Questa trasformazione non e' isoterma e PV non e' costante!

ah, ok...trovato l'errore!
>

> Se il trasduttore e' lineare, ottengo con i tuoi dati
> (per Ar ne manca qualcuno) valori di gamma dell'ordine
> di 1.35 per Ar e 1.25 per CO2, inferiori a quelli teorici.

già, anchea me vengono così

ci penserò sopra,
grazie di tutto
romina
>
>
>