Quali solidi tassellano lo spazio?
che.ni...@gmail.com
Precisazioni:
Intendo dire: avvicinati gli uni agli altri, riempiono lo spazio senza
lasciare buchi.
Mi piacerebbe anche solo elencarli.
Mi fermerei cmq ai soli solidi convessi.
Intendo dire i solidi di un solo tipo, come il cubo. Il tetraedro e
l'ottaedro tassellano insieme lo spazio, ma non mi vanno bene perche'
sono due. Voglio i solidi di un solo tipo: un solo solido che ripetuto
uguale all'infinito riempia lo spazio infinito. Se unendo ottaedri e
tetraedri si ottiene un solo solido convesso che tassella cosi' lo
spazio, mi va bene (ma si puo'?).
Non metto limiti alla regolarita' dei solidi, se non la convessita'.
Tutte le idee sono ben accette.
Tra i solidi platonici, soltanto il cubo risponde ai requisiti.
Anche tra quelli archimedei, mi sembra che soltanto uno ce la faccia
(checche' ne dica wikipedia :o)) e forse anche tra quelli di Catalan.
Vi va di fare una garetta? Cioe', appena ve ne viene in mente uno lo
descrivete qua sotto?
Ciao
Livio
Maurizio Frigeni
> Quali solidi tassellano lo spazio?
Senza mettere dei paletti forse ce ne sono troppi. Ad esempio: prendo un
poligono che tassella il piano e considero un prisma che abbia quello
come base (è la prima cosa che mi è venuta in mente).
Maurizio
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
GaS
per dire che non sei solo nel ng :-)
Il problema è molto interessante (come anche gli altri proposti negli
ultimi giorni) ma, purtroppo, devo limitarmi quasi esclusivamente a
seguire con curiosità i risultati per la mancanza di un’immaginazione
spaziale adeguata a contribuire in modo proficuo alla discussione...
On 8 Apr, 11:30, che.nickn...@gmail.com wrote:
> Non metto limiti alla regolarita' dei solidi, se non la convessita'.
Però in questo modo si apre un mondo infinito, a questo punto è
necessario elencare anche gli infiniti casi banali; mi viene in mente,
ad esempio, gli infiniti prismi:
1) prismi con base triangolare
2) prismi con base quadrilatera convessa (contiene tutti i
parallelepipedi)
3) prismi con base pentagonale convessa che tassella il piano (una
delle 14 tipologie esistenti conosciute)
4) ecc...
Per i prismi regolari dovremmo poi comprendere tutte le infinite forme
ottenute sezionandoli in due parti congruenti attraverso un piano.
E così via.
> Tra i solidi platonici, soltanto il cubo risponde ai requisiti.
Ad essere sincero, se mi avessi fatto questa domanda non avrei saputo
"giustificare matematicamente" l'esclusione di tetraedro ed ottaedro.
Dopo averci pensato un po' penso che la giustificazione più semplice
sia l'osservazione, forse banale, che una condizione necessaria
affinché un solido possa tassellare lo spazio è che l'angolo sotteso
da due facce sia un divisore di 360°.
Per l’ottaedro tale angolo vale 2*arctan(sqrt(2))=109°,4+ e quindi non
può tassellare lo spazio
Per il tetraedro tale angolo vale 180°-angolo_ottaedro=70°,5+ e quindi
non può tassellare lo spazio
Forse era banale (soprattutto avendo i solidi fisicamente in mano), ma
ho preferito giustificare il risultato che veniva dato per
scontato :o)
> Vi va di fare una garetta? Cioe', appena ve ne viene in mente uno lo
> descrivete qua sotto?
Ci provo. Cercando di capire quale sia il solido Archimedeo che
tassella lo spazio (ancora non l'ho individuato) ho trovato questo:
prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Ciao,
GaS
GaS
> mi viene in mente ad esempio, gli infiniti prismi:
Mi scordavo di specificare che i prismi non devono essere
obligatoriamente retti ma possono essere inclinati a piacere.
Ciao
GaS
> Anche tra quelli archimedei, mi sembra che soltanto uno ce la faccia
> (checche' ne dica wikipedia :o)) e forse anche tra quelli di Catalan.
Tra i solidi di Catalan, sicuramente il Dodecaedro Rombico tassella il
piano in maniera abbastanza semplice.
Ciao,
GaS
che.ni...@gmail.com
wrote:
> <che.nickn...@gmail.com> wrote:
> > Quali solidi tassellano lo spazio?
>
> Senza mettere dei paletti forse ce ne sono troppi. Ad esempio: prendo un
> poligono che tassella il piano e considero un prisma che abbia quello
> come base (è la prima cosa che mi è venuta in mente).
Ok. Pero', adesso che li abbiamo detti, possiamo passare ad altro. :o)
Nulla ci vieta di fare poi delle sottospecie. Ad es. sembra che quelli
con facce regolari siano pochi pochi. Se imponiamo che abbiano gli
spigoli uguali (cosa buona per chi gioca con geomag) quando andiamo a
fare i prismi pentagonali allora dovremmo dire che sono solo quelli
convessi tra quelli che ho elencato qua:
http://www.geocities.com/liviozuc/pentagons.html
visto che passano gli anni e nessuno ne ha aggiunti (che mi risulti).
Ciao
Livio
che.ni...@gmail.com
> per dire che non sei solo nel ng :-)
Tu si' che sai consolare gli amici! :o)
> Il problema è molto interessante (come anche gli altri proposti negli
> ultimi giorni) ma, purtroppo, devo limitarmi quasi esclusivamente a
> seguire con curiosità i risultati per la mancanza di un’immaginazione
> spaziale adeguata a contribuire in modo proficuo alla discussione...
>
> On 8 Apr, 11:30, che.nickn...@gmail.com wrote:
>
> > Non metto limiti alla regolarita' dei solidi, se non la convessita'.
>
> Però in questo modo si apre un mondo infinito,
Piano con gli infiniti! Anche Einstein diceva di non essere sicuro
dell'infinitezza dell'universo. (In realta' diceva che ci sono solo
due cose infinite: la stupidita' umana e l'universo, ma sulla seconda
aveva dei dubbi).
> a questo punto è
> necessario elencare anche gli infiniti casi banali; mi viene in mente,
> ad esempio, gli infiniti prismi:
>
> 1) prismi con base triangolare
> 2) prismi con base quadrilatera convessa (contiene tutti i
> parallelepipedi)
> 3) prismi con base pentagonale convessa che tassella il piano (una
> delle 14 tipologie esistenti conosciute)
> 4) ecc...
>
> Per i prismi regolari dovremmo poi comprendere tutte le infinite forme
> ottenute sezionandoli in due parti congruenti attraverso un piano.
Beh, congruenti direi di no. Sul piano si puo' fare, ma nello spazio
due solidi chirali sono considerati due cose diverse, se non sbaglio.
> E così via.
>
> > Tra i solidi platonici, soltanto il cubo risponde ai requisiti.
>
> Ad essere sincero, se mi avessi fatto questa domanda non avrei saputo
> "giustificare matematicamente" l'esclusione di tetraedro ed ottaedro.
Sei in ottima compagnia. Aristotele affermò, nel suo lavoro De Coelo,
che è possibile tassellare lo spazio utilizzando solo tetraedri. E
poiche' per molti secoli si ando' avanti con l'ipse dixit, nessuno lo
mise in discussione per tanto tempo.
Ciao
Livio
che.ni...@gmail.com
Vedi, e poi dici di non avere immaginazione spaziale!
Io ci ho messo un casino a convincermene, ho costruito 4 modelli e li
ho affiancati. Soltanto allora ho capito che potevo fare un
ragionamento molto piu' semplice che penso sia il tuo. Cioe' ho
considerato un reticolo di cubi e ho costruito il dodecaedro di
Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
GaS
> > Per i prismi regolari dovremmo poi comprendere tutte le infinite forme
> > ottenute sezionandoli in due parti congruenti attraverso un piano.
>
> Beh, congruenti direi di no. Sul piano si puo' fare, ma nello spazio
> due solidi chirali sono considerati due cose diverse, se non sbaglio.
Perché no? Certo, non si può fare sempre, ma guarda, ad es.,
l'immagine (schifosa):
http://img261.imageshack.us/img261/7633/solid.th.gif
Lo stesso concetto vale, come minimo, per qualsiasi prisma a base
rettangolare e per prismi a base esagonale *abbastanza* regolari.
Ciao
GaS
>Soltanto allora ho capito che potevo fare un
> ragionamento molto piu' semplice che penso sia il tuo. Cioe' ho
> considerato un reticolo di cubi e ho costruito il dodecaedro di
> Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)
GaS
>Soltanto allora ho capito che potevo fare un
> ragionamento molto piu' semplice che penso sia il tuo. Cioe' ho
> considerato un reticolo di cubi e ho costruito il dodecaedro di
> Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)
GaS
>Soltanto allora ho capito che potevo fare un
> ragionamento molto piu' semplice che penso sia il tuo. Cioe' ho
> considerato un reticolo di cubi e ho costruito il dodecaedro di
> Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)
che.ni...@gmail.com
>
> Perché no? Certo, non si può fare sempre, ma guarda, ad es.,
> l'immagine (schifosa):
>
> http://img261.imageshack.us/img261/7633/solid.th.gif
>
> Lo stesso concetto vale, come minimo, per qualsiasi prisma a base
> rettangolare e per prismi a base esagonale *abbastanza* regolari.
>
Si', hai ragione.
che.ni...@gmail.com
Intanto ho aggiunto al nostro google group:
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
l'album foto "Tassellano lo spazio" dove possiamo mettere figure.
Ho gia' messo tre prismi, tanto per cominciare.
Maurizio Frigeni
> Ok. Pero', adesso che li abbiamo detti, possiamo passare ad altro. :o)
Va bene. Tu hai escluso ottaedro e tetraedro staccati, per� nulla vieta
di incollare insieme un ottaedro e due tetraedri per ottenere dei solidi
nuovi, che mi pare funzionino (?).
Se incollo i tetraedri su due facce opposte, ottengo un parallelepipedo
che rientra fra i prismi. Ma negli altri due casi ottengo dei solidi
nuovi: uno ha per facce 4 rombi e 4 triangoli (se non ho contato male) e
l'altro ha per facce due trapezi, due rombi e due triangoli.
che.ni...@gmail.com
wrote:
>
> Va bene. Tu hai escluso ottaedro e tetraedro staccati, per nulla vieta
> di incollare insieme un ottaedro e due tetraedri
Sono d'accordo sulle proporzioni: qualunque poliedro convesso
riusciamo a fare con tetraedri e ottaedri, condizione necessaria ma
non sufficiente e' che i tetraedri siano il doppio degli ottaedri.
> per ottenere dei solidi
> nuovi, che mi pare funzionino (?).
Funzionano. :o)
>
> Se incollo i tetraedri su due facce opposte, ottengo un parallelepipedo
> che rientra fra i prismi.
Ok
> Ma negli altri due casi ottengo dei solidi
> nuovi: uno ha per facce 4 rombi e 4 triangoli (se non ho contato male)
Pero' non e' convesso.
> e l'altro ha per facce due trapezi, due rombi e due triangoli.
Che funziona! :o) Potrebbe cmq essere ancora considerato, al limite,
un prisma rombico tagliato con due piani obliqui come suggeriva GaS.
Ciao
Livio
chenickname
> Che funziona! :o) Potrebbe cmq essere ancora considerato, al limite,
> un prisma rombico tagliato con due piani obliqui come suggeriva GaS.
Infatti, unendone due, si ottiene ancora un parallelepipedo (vedi foto).
Anche con 3 ottaedri e 6 tetraedri non ottengo altro che un semiprisma.
Guarda l'immagine cliccando http://attach.mynl.it/img?id=OTEyMg
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
GaS
> Ci provo. Cercando di capire quale sia il solido Archimedeo che
> tassella lo spazio (ancora non l'ho individuato) ho trovato questo:
> prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
> vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
> verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Livio, hai modo di costruirlo per verificare, o meno, se tassella lo
spazio?
Grazie mille,
GaS
P.S.: lo devo proprio comprare il Geomag (o, meglio, un'imitazione)
Maurizio Frigeni
> prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
> vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
> verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Questo solido si può costruire appiccicando 4 ottaedri e 8 tetraedri
regolari. Credo che funzioni, perché nella tassellazione
ottaedro/tetraedro i tetraedri sono il doppio degli ottaedri.
In generale, possiamo prendere dei "pezzi" della suddetta tassellazione,
che contengano tetraedri ed ottaedri nella giusta proporzione, ed i
solidi così ottenuti dovrebbero tassellare lo spazio. O almeno credo...
che.ni...@gmail.com
> GaS ha spiegato il 08/04/2009 :
>
> > Ci provo. Cercando di capire quale sia il solido Archimedeo che
> > tassella lo spazio (ancora non l'ho individuato) ho trovato questo:
> > prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
> > vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
> > verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
>
> Livio, hai modo di costruirlo per verificare, o meno, se tassella lo
> spazio?
Francamente non riesco proprio a vederlo. Ne ho montati due con le
sferette, ma non vedo come collegarli per riempire lo spazio. Sorry.
Sei sicuro che stiamo parlando del tetraedro troncato, 6 facce: 3
esagoni e 3 triangoli? Ricostruendo un vertice vengon fuori 3
pentagoni irregolari, 1 esagono e 3 triangoli. Come li collego?
chenickname
Ho capito, ho capito!!!
Vien fuori un prisma continuo di sez. rombica 2x2. Ogni fianco del prisma
e' fatto come in figura e funziona!
Guarda l'immagine cliccando http://attach.mynl.it/img?id=OTEyMw
che.ni...@gmail.com
> che.nickn...@gmail.com ha scritto:
>
>
>
> > On 8 Apr, 22:13, GaS <gas...@ItaliaOnLine.it> wrote:
> > > GaS ha spiegato il 08/04/2009 :
>
> > > > Ci provo. Cercando di capire quale sia il solido Archimedeo che
> > > > tassella lo spazio (ancora non l'ho individuato) ho trovato questo:
> > > > prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
> > > > vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
> > > > verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
>
> > > Livio, hai modo di costruirlo per verificare, o meno, se tassella lo
> > > spazio?
> > Francamente non riesco proprio a vederlo. Ne ho montati due con le
> > sferette, ma non vedo come collegarli per riempire lo spazio. Sorry.
> > Sei sicuro che stiamo parlando del tetraedro troncato, 6 facce: 3
> > esagoni e 3 triangoli? Ricostruendo un vertice vengon fuori 3
> > pentagoni irregolari, 1 esagono e 3 triangoli. Come li collego?
>
> Ho capito, ho capito!!!
> Vien fuori un prisma continuo di sez. rombica 2x2. Ogni fianco del prisma
> e' fatto come in figura e funziona!
Puoi vedere ora la tua tassellazione nel ng google, fatta con Kalamyt.
che.ni...@gmail.com
Una domanda nella domanda potrebbe essere:
In quanti modi diversi possiamo suddividere un cubo in pezzi uguali e
ricongiungerli tra loro in modo da formare altri solidi che continuano
a tassellare lo spazio?
C'e' un modo curioso di tagliare in due parti uguali il cubo:
ricongiungendo 8 di queste parti si ottiene il solido archimedeo
incognito :o)
Ciao
Livio
che.ni...@gmail.com
Intanto ho scoperto che:
Michael Goldberg nel 1980 ha completato il catalogo esaustivo dei
solidi che tassellano lo spazio. Non conosco i dettagli, ma apprendo
che ci sono:
27 distinti esaedri
16 eptaedri che tassellano lo spazio in 56 modi diversi
N? ottaedri che tassellano lo spazio in almeno 49 modi diversi
40 11-edri
4 13-edri
8 14-edri
1 16-edro
2 17-edri
1 18-edro
6 icosaedri
2 21-edri
5 22-edri
2 23-edri
1 24-edro
1 26-edro
A questo punto sospendo ogni velleita' di catalogarli, salvo forse
concentrasi, come dicevo, sui poliedri a spigoli uguali, giusti per
Geomag et similia.
Quelli che hanno anche le facce regolari sono solo 5:
- il cubo
- il prisma triangolare
- il prisma esagonale
- il dodecaedro rombico di Catalan
- un archimedeo (non dico ancora quale perche' a me ha dato piacere
scoprirlo)
- uno dei 92 solidi di Johnson (idem)
A questi, per continuare la serie dei convessi con spigoli uguali,
aggiungerei:
- prismi rombici
- prismi esagonali equilateri (h=1) con un certi gradi di
irregolarita' (capire quali)
- prismi pentagonali equilateri (h=1) con due angoli consecutivi che
sommano 180°
- prismi pentagonali equilateri (h=1) tipo Cairo, cioe' con due angoli
non consecutivi che sommano 180°
- prismi pentagonali con basi come queste:
http://www.geocities.com/liviozuc/pagesp/nn0a.html
- il dodecaedro elongato:
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ElongatedDodecahedronNet_700.gif
Per adesso non me ne vengono in mente altri. Se a voi si', fate un
fischio.
Ciao
Livio
GaS
> Intanto ho scoperto che:
>
> Michael Goldberg nel 1980 ha completato il catalogo esaustivo dei
> solidi che tassellano lo spazio. Non conosco i dettagli, ma apprendo
> che ci sono:
>
> 27 distinti esaedri
> 16 eptaedri che tassellano lo spazio in 56 modi diversi
> N? ottaedri che tassellano lo spazio in almeno 49 modi diversi
> 40 11-edri
> 4 13-edri
> 8 14-edri
> 1 16-edro
> 2 17-edri
> 1 18-edro
> 6 icosaedri
> 2 21-edri
> 5 22-edri
> 2 23-edri
> 1 24-edro
> 1 26-edro
A partire dalle informazioni che citi, sono finito su
http://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.html dove scopro
che, a parte i 12 dodecaedri che probabilmente ti sono sfuggiti dalla
tastiera, questo era lo stato dell'arte ante-1980, anno in cui:
"P. Engel then found a total of 172 more space-fillers of 17 to 38
faces, and more space-fillers have been found subsequently. P. Schmitt
discovered a nonconvex aperiodic polyhedral space-filler around 1990,
and a convex polyhedron known as the Schmitt-Conway biprism which
fills space only aperiodically was found by J. H. Conway in 1993
(Eppstein)."
Sembra quindi che siano molti di più di quelli elencati.
Sono stato attratto particolarmente dallo "Schmitt-Conway biprism" ma
non capisco perche non possa riempire lo spazio in maniera periodica,
probabilmente non ho capito bene come sia fatto.
> A questo punto sospendo ogni velleita' di catalogarli, salvo forse
> concentrasi, come dicevo, sui poliedri a spigoli uguali, giusti per
> Geomag et similia.
>
> Quelli che hanno anche le facce regolari sono solo 5:
>
> - il cubo
> - il prisma triangolare
> - il prisma esagonale
> - il dodecaedro rombico di Catalan
> - un archimedeo (non dico ancora quale perche' a me ha dato piacere
> scoprirlo)
> - uno dei 92 solidi di Johnson (idem)
Sapendo che è solo uno non è difficile individuarlo (per la cronaca:
per la visualizzazione dei solidi ho trovato utilissimo il sw free
"Poly Pro", http://www.peda.com/polypro/).
> A questi, per continuare la serie dei convessi con spigoli uguali,
> aggiungerei:
>
> - prismi rombici
> - prismi esagonali equilateri (h=1) con un certi gradi di
> irregolarita' (capire quali)
Una condizione sufficiente, ad es., è che abbiano due lati paralleli.
> - prismi pentagonali equilateri (h=1) con due angoli consecutivi che
> sommano 180°
> - prismi pentagonali equilateri (h=1) tipo Cairo, cioe' con due angoli
> non consecutivi che sommano 180°
> - prismi pentagonali con basi come queste:http://www.geocities.com/liviozuc/pagesp/nn0a.html
> - il dodecaedro elongato:http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ElongatedDodecahedronNet_...
Ricordiamo che i prismi non devono essere obligatoriamente retti ma
possono essere comunque inclinati.
> Per adesso non me ne vengono in mente altri. Se a voi si', fate un
> fischio.
Nel sito di cui sopra si parla di uno "squashed dodecahedron" di cui
però non trovo altre informazioni (ad es. se sia o meno un solido
convesso).
Ciao,
GaS
che.ni...@gmail.com
>
> A partire dalle informazioni che citi, sono finito suhttp://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.htmldove scopro
> che, a parte i 12 dodecaedri che probabilmente ti sono sfuggiti dalla
> tastiera, questo era lo stato dell'arte ante-1980, anno in cui:
>
> "P. Engel then found a total of 172 more space-fillers of 17 to 38
> faces, and more space-fillers have been found subsequently. P. Schmitt
> discovered a nonconvex aperiodic polyhedral space-filler around 1990,
> and a convex polyhedron known as the Schmitt-Conway biprism which
> fills space only aperiodically was found by J. H. Conway in 1993
> (Eppstein)."
>
> Sembra quindi che siano molti di più di quelli elencati.
> Sono stato attratto particolarmente dallo "Schmitt-Conway biprism" ma
> non capisco perche non possa riempire lo spazio in maniera periodica,
> probabilmente non ho capito bene come sia fatto.
Anch'io non sono certo d'aver capito giusto. Mi sembra cosi' strano
che un poliedro (convesso?) con tante facce possa tassellare da solo
lo spazio. Prima o poi riusciremo a vederne qualcuno. Su youtube si
cominciano a vedere poliedri complessi, ad es. digitando zonohedron,
ma e' pur sempre la tassellatura di molti tipi di poliedri insieme.
> Sapendo che è solo uno non è difficile individuarlo (per la cronaca:
> per la visualizzazione dei solidi ho trovato utilissimo il sw free
> "Poly Pro",http://www.peda.com/polypro/).
Lo provero'.
...
> > - prismi esagonali equilateri (h=1) con un certi gradi di
> > irregolarita' (capire quali)
>
> Una condizione sufficiente, ad es., è che abbiano due lati paralleli.
Ma e' necessaria? Non l'ho ancora capito, ma non ci ho ancora pensato
molto.
> Nel sito di cui sopra si parla di uno "squashed dodecahedron" di cui
> però non trovo altre informazioni (ad es. se sia o meno un solido
> convesso).
Neppure io. Letteralmente dovrebbe essere solo "schiacciato". In
quelle animazioni su youtube ci sono poliedri schiacciati, magari con
facce rombiche che ricordano Penrose. C'e' da pensare.
Ciao
Livio
chenickname
> > Una condizione sufficiente, ad es., č che abbiano due lati paralleli.
> Ma e' necessaria? Non l'ho ancora capito, ma non ci ho ancora pensato
> molto.
Ho meditato. :o)
Sembrava che, con i lati uguali, l'unica soluzione fosse con i lati
paralleli, e invece no!
Ciao
Livio
Guarda l'immagine cliccando http://attach.mynl.it/img?id=OTEyNw