[MA] Ancora terne pitagoriche
Crios
Qual e' il minimo valore di N, tale che, avendo a disposiozione i naturali
da 1 a N, si possono aggregare in 3 insiemi la cui somma dia una terna pitagorica ?
es N=7 {1,7}{2,6}{3,4,5} da' il triangolo 8-8-12, costruibile ma non pitagorico.
Giovanni Resta
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Io proverei cosi':
e' noto che tutte le terne pitagoriche sono della forma
p = k(a^2-b^2)
q = k(2 a b)
r = k(a^2+b^2)
dove k>=1 e a>b>=1
Si puo' verificare facilmente che p^2+q^2=r^2.
I numeri da 1 a N assommano a N(N+1)/2, mentre la generica
terna pitagorica ha somma p+q+r = 2ka(a+b) (ricordiamo che deve essere a>b).
E' abbastanza facile andare a fattorizzare i vari numeri triangolari
N(N+1)/2 per piccoli valori di N e vedere se il risultato puo'
essere messo nella forma 2ka(a+b).
Il minimo mi sembra si ottenga per N=15:
abbiamo N(N+1)/2 = 120 = 2^3*3*5 che si puo' scrivere come
2*(2*2)*3*(3+2) ponendo k=4 a=3 e b=2, da cui si ottiene
p=4(3^2-2^2)=20, q=4(2*2*3)=48 e r=4(3^2+2^2)=52.
Ora dobbiamo raggruppare i numeri da 1 a 15 in modo
che le somme siano 20, 48 e 52. Questo e' facile.
Per esempio:
52=15+14+13+10, 48=12+11+9+8+7+1 20=6+5+4+3+2.
Per vedere che N=15 e' il minimo:
i candidati che fanno si che N(N+1)/2 sia pari sono
N=3,4,7,8,11,12.
Inoltre N(N+1)/4 = ka(a+b), anche assumendo k=1, deve avere almeno
2 fattori primi distinti (perche' a>b).
Questo esclude N=3,4. Poi bisogna che ka(a+b) possegga 2 divisori, a e
(a+b), tali che a<a+b<2*a (sempre perche' a>b). Questo esclude
gli altri casi.
Il numero successivo per il quale mi sembra si possa fare la
scomposizione e' N=20 con N(N+1)/2 =210= 3*5*7, da cui segue che si possono
generare 2 soluzioni: k=3 a=5 b=2, k=7 a=3 b=2, che danno le 2 triple
(63, 60, 87) e (35, 84, 91) entrambe con somma 210.
Dividere i numeri da 1 a 20 in 3 set e' facile.
ad esempio: 87=20+19+18+17+13, 63=16+15+14+12+6, 60=i restanti e
91=20+19+18+17+16+1, 35=15+14+6, 84=i restanti.
Ciao,
Giovanni.
Crios
Giovanni Resta wrote:
>
(...)
> Per vedere che N=15 e' il minimo:
> i candidati che fanno si che N(N+1)/2 sia pari sono
> N=3,4,7,8,11,12.
> Inoltre N(N+1)/4 = ka(a+b), anche assumendo k=1, deve avere almeno
> 2 fattori primi distinti (perche' a>b).
> Questo esclude N=3,4. Poi bisogna che ka(a+b) possegga 2 divisori, a e
> (a+b), tali che a<a+b<2*a (sempre perche' a>b). Questo esclude
> gli altri casi.
Mmmmh... un uccellino m'ha detto che qui c'e' qcosa che non va....
Visto che praticamente ci 6 ti do' un'altra chance :
Con lo stesso problema fare anche in modo che la terna sia *primitiva*
Ciao^2.
Giovanni Resta
Giovanni Resta
Rendiamo la cosa un po' piu' difficile....
I tre insiemi devono essere ottenuti dividendo in tre tronconi i numeri
da 1 a N, tipo 1,2,3,4 5,6,7, 8,9,10,11,12.
Qui le soluzioni si diradano.... Salvo errori et omissioni,
la piu' piccola si trova con N<50, ma per le altre N>2000 !
Sotto lo spoiler le soluzioni per N<=5000.
Ciao
Giovanni.
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formato: N, la terna, i tre intervalli.
(Bella la soluzione per N=5000 tondo tondo...)
N= 35 (105,273,252) (1,14) (15,27) (28,35)
N= 2295 (176715,1235325,1222620) (1,594) (595,1680) (1681,2295)
N= 3144 (195625,1660076,3088239) (1,625) (626,1926) (1927,3144)
N= 4068 (15400,7108025,1152921) (1,175) (176,3774) (3775,4068)
N= 4128 (130816,1932680,6458760) (1,511) (512,2031) (2032,4128)
N= 4184 (1332528,1425198,5997294) (1,1632) (1633,2348) (2349,4184)
N= 4608 (7870528,2162432,586176) (1,3967) (3968,4479) (4480,4608)
N= 4692 (359128,6318557,4332093) (1,847) (848,3654) (3655,4692)
N= 4852 (68265,4596720,7108393) (1,369) (370,3054) (3055,4852)
N= 5000 (8385,2201868,10292247) (1,129) (130,2102) (2103,5000)
Crios
Ciao Giovanni.
Giovanni Resta wrote:
(...)
> per N=8 allora ho 36 = 2*k*a*(a+b) = 2*3*2*3 con k=3 a=2 b=1,
> da cui appunto si ottiene la terna (9,12,15) per N=8.
> poi 9=5+3+1, 12=8+4, 15=7+6+2
> Quindi il minimo dovrebbe essere N=8.
E' esatto.
>
> Le terne primitive si ottengono per k=1 e a e b primi tra loro e
> non entrambi dispari.
>
> ((Qui apro una parentesi: in molte fonti "informali", tipo
> pagine web, si legge una affermazione errata:
> tutte le triple pitagoriche sono della forma (s^2+t^2,s^2-t^2,2st).
> Ovviamente non e' vero. E' vero che variando s e t si possono ottenere
> tutte le triple primitive piu' svariate non primitive. Ma non si possono
> ottenere tutte le triple, per esempio e' impossibile ottenere (15,12,9).
Fin qui ci sono.
> C'e' un metodo simpatico che consente di ottenere tutte e sole le
> triple primitive, ma questo messaggio e' troppo corto per descriverlo....))
Problema interessante. Devo dire che sotto le ipotesi di a e b primi tra loro,
di parita' opposta (e a>b) mi e' gia' difficile vedere come (a^2+b^2,a^2-b^2,2ab)
possa non essere iniettiva.
Non si basera' mica sulla fattorizzazione dei numeri a^2+b^2 ?
> Quindi devo cercare N tale che N(N+1)/2=2a(a+b). Siccome
> a e b devono essere uno pari e uno dispari, i due numeri a e (a+b)
> devono essere entrambi dispari.
> Quindi N(N+1)/4 deve essere dispari.
> Salvo errori fatti come prima, direi...
:-< Qualche errorino io lo vedo...
> Mi sembra che la piu' piccola sia per N=84 da cui
> N(N+1)/2= 3570 = 2*35*51 e quindi a=35 b=16,
> da cui la terna 969, 1120, 1481.
> Ma potrei sbagliarmi....
Temo di si', io ho una soluzione + piccola.
(e anch'io amo lavorare ancora con la carta e la matita, anzi preferirei
la penna d'oca eh!eh!)
Giovanni Resta
>>triple primitive, ma questo messaggio e' troppo corto per descriverlo....))
Il metodo si basa sul fatto che data una terna primitiva vista come
vettore, esistono 3 matrici 3x3 tali che se uno moltiplica
la terna primitiva per una delle 3 matrici, ottiene una nuova
terna che e' sempre primitiva. Quindi partendo da una tripla
si ottengono infinite triple primitive. La cosa interessante
e' che hanno dimostrato che basta partire dalla (3,4,5) per ottenere
tutte le triple possibili. Vedi il link:
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
>>Quindi devo cercare N tale che N(N+1)/2=2a(a+b). Siccome
>>a e b devono essere uno pari e uno dispari, i due numeri a e (a+b)
>>devono essere entrambi dispari.
>>Quindi N(N+1)/4 deve essere dispari.
>>Salvo errori fatti come prima, direi...
Direi che sono proprio un pirla.... (NB: sto quotando un mio messaggio)
Se a e' pari e b e' dispari ovviamente non ho due numeri dispari...
devo aver avuto qualche neurone claudicante....
ci riprovo con N=55, a=22, b=13 e tripla corrispondente (315, 572, 653).
Come va ? Ormai non mi faccio piu' illusioni sul mio stato mentale....
ciao,
giovanni.
Crios
Giovanni Resta wrote:
>
> ci riprovo con N=55, a=22, b=13 e tripla corrispondente (315, 572, 653).
> Come va ? Ormai non mi faccio piu' illusioni sul mio stato mentale....
:-DD
E' quella, e' quella...
PS : ma una soluzione quasi giusta non si diceva che vale di piu' ? Io dico di si'