SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
Ravesi Giovanni
Si è scritto abbondantemente che mentre esiste un metodo generale di
costruzione per i quadrati magici di ordine dispari, per quelli di ordine
pari vi è solo la possibilità di costruirli per tentativi.
Concordo con queste assersioni solo per il quadrato 4x4, mentre per gli
altri quadrati di ordine 2n vi è sempre la possibilità di costruirli
abbastanza agevolmente a partire da un quadrato noto (*) di ordine n.
Ecco l'esempio, generalizzabile, per la costruzione del 6x6, a partire dal
3x3.
Si costruisca il q.m. 3x3 e si dividano in quattro le sue caselle. Si
inseriscano i numeri da 1 a 4 nelle caselle ottenute dalla casella 1, da 5 a
8 in quelle ottenute dalla casella 2 e così via, fino ai numeri da 33 a 36
nelle caselle ottenute dalla 9.
Otterremo il seguente quadrato (magico solo per le diagonali maggiori: somma
= 111) nel quale le righe daranno alternativamente le somme 105 e 117 e le
colonne 108 e 114.
5 6 25 26 21 22
7 8 27 28 23 24
33 34 17 18 1 2
35 36 19 20 3 4
13 14 9 10 29 30
15 16 11 12 31 32
A questo punto sarà estremamente agevole correggere le discrepanze
scambiando tra di loro i numeri di ciascun quartetto, con la sola avvertenza
che se si scambia uno dei numeri di una delle diagonali maggiori, occorre
scambiare anche l'altro, per non scompaginare la diagonale (ad esempio, lo
scambio 5 - 7 va compensato con quello 8 - 6).
Comunque questo problema si pone solo per il 6x6; infatti la regola (non
perfettamente valida per il 6x6) è che si debbano scambiare tra di loro la
metà dei numeri fra ciascuna coppia di righe e di colonne e già dall'8x8,
ciò si può fare senza coinvolgere i numeri delle diagonali maggiori.
Dopo questi scambi, il quadrato (finalmente magico) potrebbe diventare:
7 8 26 27 22 21
5 6 25 28 24 23
33 35 20 19 3 1
36 34 18 17 2 4
14 13 12 9 31 32
16 15 10 11 29 30
Sperando di non avervi annoiato,
:-) Gianni
(*) Se n è dispari, esiste già un metodo generale di costruzione;
Se n è pari, potrà essere a sua volta costruito con il metodo che sto
esponendo;
Se n è uguale a 4, è noto e documentatissimo il q.m. 4x4.
Dario Uri
>
> SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
>
> Si è scritto abbondantemente che mentre esiste un metodo generale di
> costruzione per i quadrati magici di ordine dispari, per quelli di ordine
> pari vi è solo la possibilità di costruirli per tentativi.
Gianni, trovo un po'strana questa tua asserzione.
Metodi assolutemente generali, che producono tutti i quadrati di un
certo ordine, effettivamente non esistono, ed e' vero che per quadrati
di ordine dispari vi sono metodi semplici e di "grande" generalita' ma
si conoscono molti modi per ottenere famiglie con N pari.(N=numero di
caselle del lato)
Innanzi tutto bisogna distinguere fra due tipi :
Se N e' divisibile per 2, ma non per 4 sono detti di ordine
"semplicemente pari".
Se N e' divisibile per 4 sono detti "doppiamente pari".
Ricordo alcuni tra i vari metodi messi a punto negli anni che prendono
quasi sempre il nome del loro inventore
Per i dispari:
Bachet de Mezierac
De La Laubere
Stairstep metod
Fults' Triangular-Parallelogram
Metodo Siamese
Lozenge (J.H.Conway)
Per i semplicemente pari:
Ralph Strachery.
De La Hire.
Devedec
LUX (J.H.Conway)
Per i doppiamente pari:
Durer
Metodo della diagonale.
De La Hire
Franklin
e chissa' quanti altri.
ciao :)dario
Dario Uri
> >
> > SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
Per un'inesauribile fonte sui quadrati magici, storia, metodi, software,
risultati recenti ecc..
http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/MagicSquare.html
:)dario
Ravesi Giovanni
Dario Uri <MD4...@mclink.it> wrote in message 37BC54CD...@mclink.it...
> Ravesi Giovanni wrote:
> >
> > SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
> >
tutti i 2n non mi pare che ci siano. Come ti sembra il mio?
:-) Ciao Gianni
Mauro Fiorentini
Ravesi Giovanni wrote:
> > Innanzi tutto bisogna distinguere fra due tipi :
> > Se N e' divisibile per 2, ma non per 4 sono detti di ordine
> > "semplicemente pari".
> > Se N e' divisibile per 4 sono detti "doppiamente pari".
> >
> >
> > e chissa' quanti altri.
> > ciao :)dario
> >
> Forse sono stato un po' troppo categorico, ma sistemi generali validi per
> tutti i 2n non mi pare che ci siano. Come ti sembra il mio?
>
Sono 2 domande diverse. Sulla prima, Dario ha ragione, come sempre; i metodi
per i quadrati di lato 4n+2 sono solo un po' meno numerosi degli altri.
Potemmo forse dire che Dario ne ha omessi alcuni, ma lo sa benissimo, tanto che
parla di "molti altri". Segnalo quello dei quadrati latini ortogonali, che mi ha
permesso,
con poca fatica di costruire giusto oggi, questo (due ore di viaggio in treno
permettono
interessanti modi di perdere tempo...):
5 53 103 233
229 107 41 17
47 7 239 101
113 227 11 43
4 x 4 magico, formato da numeri primi, magico anche rispetto a qualsiasi
quaterna si trovi ai
vertici di un quadrato (non obliquo), tipo 5, 103, 239 e 47.
Il seguente (vecchio, non mio) e' invece formato da primi consecutivi, ma non ha
le
stesse proprieta'.
101 47 31 79
73 61 71 53
43 67 59 89
41 83 97 37
Forse qualcuno vuole provare a cercare con un calcolatore il quadrato 4 x 4 di
primi con la
minima costante possibile?
Per la seconda domanda, obietto sulla frase
"A questo punto sarà estremamente agevole correggere le discrepanze"
In pratica, hai ragione, pero' un "vero" algoritmo dovrebbe fornire una
procedura
di scambi fissa, o dimostrare che ne esiste almeno una che ecc... (e si
ammettono
i tentativi). Per ora hai mostrato che empiricamente funziona, ma non hai
fornito
una dimostrazione. Credo tu non sia lontano: procedi e auguri.
>
Ciao
Mauro Fiorentini
Mauro Fiorentini
Ho trovato un riferimento bibliografico sul tuo metodo:
"Magic Squares and Cubes", di Andrews, riporta a pag 163 un metodo praticamente
identico al tuo.
La fonte citata e' "Games, Ancient and Oriental" di E. Falkener, (Londra 1892, forse
Dario ce l'ha...).
Il libro asserisce che con pochi semplici scambi di righe e colonne si aggiustano
anche le somme sulle
diagonali, ma non da' altre indicazioni. L'esempio e' 6x6.
Quindi se trovi una procedura rigorosa o almeno la dimostrazione che lo scambio e'
sempre
possibile, puoi ben attribuirti la paternita' del metodo.
Buona fortuna. :-)
Mauro Fiorentini
Ravesi Giovanni
Mauro Fiorentini <mfior...@etnoteam.it> wrote in message
37C5577C...@etnoteam.it...
> Ciao Giovanni,
>
> Ho trovato un riferimento bibliografico sul tuo metodo:
> "Magic Squares and Cubes", di Andrews, riporta a pag 163 un metodo
praticamente
> identico al tuo.
> La fonte citata e' "Games, Ancient and Oriental" di E. Falkener, (Londra
1892, forse
> Dario ce l'ha...).
A Dario, che sicuramente mi legge, chiedo qualche lume
>
> Il libro asserisce che con pochi semplici scambi di righe e colonne si
aggiustano
> anche le somme sulle
> diagonali, ma non da' altre indicazioni. L'esempio e' 6x6.
> Quindi se trovi una procedura rigorosa o almeno la dimostrazione che lo
scambio e'
> sempre
> possibile, puoi ben attribuirti la paternita' del metodo.
> Buona fortuna. :-)
>
> Mauro Fiorentini
Ho riconsiderato un po' più approfonditamente il problema e per quanto
riguarda i 4n posso già darti una regola precisa.
Ecco, ad esempio, l'8x8
3 1 -3 -1 3 1 -3 -1
-1 -3 1 3 -1 -3 1 3
-3 -1 3 1 -3 -1 3 1
1 3 -1 -3 1 3 -1 -3
3 1 -3 -1 3 1 -3 -1
-1 -3 1 3 -1 -3 1 3
-3 -1 3 1 -3 -1 3 1
1 3 -1 -3 1 3 -1 -3
Per ciascun quartetto ho indicato solo la differenza dalla media del
quartetto stesso, esprimendola in mezzi.
Come si può vedere, lo scambio (sia alto-basso che destra-sinistra) va fatto
un quartetto si ed uno no, a scacchiera, il che equivale anche a dire che un
quartetto va scritto 1-2-3-4 e l'altro in ordine inverso.
Per i 4n+2, il discorso è un po' più complicato, in quanto c'è
necessariamente, per ciascuna riga e colonna, uno scambio che deve
coinvolgere mezzo quartetto.
Sto provando in diversi modi, per trovarne uno che possa essere facilmente
enunciabile
Ciao :-) Gianni
Ravesi Giovanni
Ravesi Giovanni <rav...@tiscalinet.it> wrote in message
7r10oo$a2d$1...@aquila.tiscalinet.it...
>
> P.S. Ringrazio Mario Fiorentini, per la spinta ad esaminare piů a fondo il
> problema
P.P.S. Caro Mauro, scusami per l'errore di battuta :-(
Ciao :-)))
Gianni
Ravesi Giovanni
>
> Per i 4n+2, il discorso è un po' più complicato, in quanto c'è
> necessariamente, per ciascuna riga e colonna, uno scambio che deve
> Sto provando in diversi modi, per trovarne uno che possa essere facilmente
> enunciabile
> Ciao :-) Gianni
>
aggiunte e correzioni.
Se vediamo i quartetti come unità di una matrice e li identifichiamo con la
loro posizione nella matrice stessa, gli scambi debbono essere i seguenti:
1) Scambio alto-basso destra-sinistra di tutti e quattro i numeri del
quartetto
a) Tutti i quartetti con coordinate entrambe pari od entrambe dispari
(disposizione a scacchiera) ad eccezione di 1,1; 3,3; .; n,n
2) Scambio alto-basso di una sola coppia del quartetto
a) 1,2; 1,4; ..; 1,n-3
b) 2,1; 2,3; ..; 2,n-2
c) n,n-1; n-1,n
3) Scambio sinistra-destra di una sola coppia del quartetto
a) 3,2; 5,2; ..; n,2
b) 4,1; 6,1; ..; n-1,1
c) 1,n-1; 2,n
Ovviamente, funziona anche adottando scambi diversi, ma questi scelti mi
sembra che siano abbastanza semplici da enunciare. In pratica, si invertono
i numeri sui quartetti a scacchiera (con quelle eccezioni) come per i 4n,
minimizzando le discrepanze e poi si effettua un singolo scambio per
ciascuna coppia di righe e colonne, operando solo sui quartetti che non
fanno parte delle diagonali interessate agli scambi già effettuati. In
particolare, gli scambi di un tipo avverranno su tutti i quartetti utili
delle prime 2 colonne ad eccezione dell'ultimo di ciascuna colonna e sull'
ultimo quartetto utile di ciascuna delle ultime 2 colonne, quelli dell'altro
tipo su tutti i quartetti utili delle prime 2 righe ad eccezione del primo
di ciascuna riga e sul primo quartetto utile di ciascuna delle due ultime
righe.
Ma meglio di qualunque descrizione, che rischia di diventare involuta nella
ricerca di precisione di linguaggio, ecco l'esempio per il 14x14 (ho
adottato le stesse convenzioni del mio precedente msg).
-3 -1 1 -1 3 1 -1 -3 3 1 -1 -3 3 1
1 3 -3 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3
1 -1 3 1 -1 -3 3 1 -1 -3 3 1 -1 -3
-3 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3
3 1 1 -1 -3 -1 -3 -1 3 1 -3 -1 3 1
-1 -3 -3 3 1 3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3
1 -1 3 1 -3 -1 3 1 -3 -1 3 1 -3 -1
-3 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3
3 1 1 -1 3 1 -3 -1 -3 -1 -3 -1 3 1
-1 -3 -3 3 -1 -3 1 3 1 3 1 3 -1 -3
-1 -3 3 1 -3 -1 3 1 -3 -1 3 1 1 -1
1 3 -1 -3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3 -3 3
3 1 -1 -3 3 1 -3 -1 3 1 1 -1 -3 -1
-1 -3 1 3 -1 -3 1 3 -1 -3 -3 3 1 3
Il procedimento, con l'ausilio di Excel, è stato provato fino al 98x98 e non
mi sembra che possano esserci dubbi sulla sua applicabilità generale. L'
unica eccezione è rappresentata dal 6x6 (per cercare di comprendere il
quale, mi ero infilato in una serie di vicoli ciechi). Per esso sono
necessari degli scambi aggiuntivi (Cfr. il 1° msg di questa serie).
A questo punto, sono promosso? E con che voto? ;-))
Ciao Gianni
P.S. Ringrazio Mario Fiorentini, per la spinta ad esaminare più a fondo il
problema
Dario Uri
>
> Mauro Fiorentini
> > La fonte citata e' "Games, Ancient and Oriental" di E. Falkener, (Londra
> 1892, forse
> > Dario ce l'ha...).
Ragazzi! vi ringrazio della fiducia,ma questo proprio NON ce l'ho.
Se puo' interessare, per informazioni bibliografiche, ho appoggiato la
lista dei miei libri di mat. ricreativa e dintorni in :
http://digilander.iol.it/maior2000/
Ciao :)dario
Mauro Fiorentini
Bel lavoro!
sul 4 x n mi sembra perfetto.
Io un metodo cosi' non lo conoscevo.
Suggerisco una generalizzazione:
hai 2 quadratini "base"
3 1
-1 -3
e
-3 -1
1 3
Chiamiamoli A e B:
se crei un quadrato nxn con tante A quante B per ogni riga e colonna:
:
AABB
BAAB
BBAA
ABBA
poi lo rifletti orizzontalmente e verticalmente:
AABB BBAA
BAAB BAAB
BBAA AABB
ABBA ABBA
ABBA ABBA
BBAA AABB
BAAB BAAB
AABB BBAA
ottieni un quadrato 2n x 2n, dal quale puoi ricavare un 4n x 4n col metodo che
hai indicato. Mi sembra "quadrino" anche le diagonali.
L'unica estensione e' che qualunque quadrato di A e B che soddisfi le
condizioni di cui sopra puo' essere usato.
In questi termino ha qualche punto in comune con un metodo classico, ma
non l'ho mai visto.
> Ecco l'algoritmo valido per le 4n+2, analogo a quello per le 4n, con alcune
> aggiunte e correzioni.
> Se vediamo i quartetti come unità di una matrice e li identifichiamo con la
> loro posizione nella matrice stessa, gli scambi debbono essere i seguenti:
>
> 1) Scambio alto-basso destra-sinistra di tutti e quattro i numeri del
> quartetto
> a) Tutti i quartetti con coordinate entrambe pari od entrambe dispari
> (disposizione a scacchiera) ad eccezione di 1,1; 3,3; .; n,n
> 2) Scambio alto-basso di una sola coppia del quartetto
> a) 1,2; 1,4; ..; 1,n-3
> b) 2,1; 2,3; ..; 2,n-2
> c) n,n-1; n-1,n
> 3) Scambio sinistra-destra di una sola coppia del quartetto
> a) 3,2; 5,2; ..; n,2
> b) 4,1; 6,1; ..; n-1,1
> c) 1,n-1; 2,n
Un bel guazzabuglio. Ci devo pensare. Non per capire se funziona, ma per capire
se
produce quadrati sostanzialmente diversi da un altro metodo.
Se chiami A, B, C e D i 4 quadratini base, forse puoi enunciare la tua
regola in modo piu' semplice.
C e D sarebbero
1 -1
-3 3
e
-1 -3
1 3
> Il procedimento, con l'ausilio di Excel, è stato provato fino al 98x98 e non
> mi sembra che possano esserci dubbi sulla sua applicabilità generale. L'
> unica eccezione è rappresentata dal 6x6 (per cercare di comprendere il
> quale, mi ero infilato in una serie di vicoli ciechi). Per esso sono
> necessari degli scambi aggiuntivi (Cfr. il 1° msg di questa serie).
Il 6x6 e' una brutta bestia. Sconfigge anche il metodo dei quadrati latini
ortogonali.
>
> A questo punto, sono promosso? E con che voto? ;-))
98 x 98, naturalmente!
L'ultima parola spetta a Dario. Su "Magic Squares and Cubes"
non ho visto un metodo del genere. Altri hanno provato a
"moltiplicare per 2" un quadrato n x n, ma non cosi'.
Abbiamo il "metodo Ravesi"?
> Ciao Gianni
>
> P.S. Ringrazio Mario Fiorentini, per la spinta ad esaminare più a fondo il
> problema
Di nulla. Spingere gli altri a perdere il sonno e' sempre un piacere... :-)
Continua!
Mauro Fiorentini
P.S., se vuoi , posso mandati altri dettagli, che richiedono Word o
Excel per non impazzire con i disegni. Scrivimi a mfior...@etnoteam.it
Ravesi Giovanni
>
> Se chiami A, B, C e D i 4 quadratini base, forse puoi enunciare la tua
> regola in modo piu' semplice.
> C e D sarebbero
> 1 -1
> -3 3
> e
> -1 -3
> 1 3
>
Grazie del suggerimento.
A questo punto
Q.M. 8x8
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
Q.M. 18x18
xxBxBxBxB xCxxxxxxx xxxDxDxDx
xBxBxBxBx Cxxxxxxxx xxDxDxDxD
BxxxBxBxB xCxxxxxxx xxxxxxxxx
xBxBxBxBx Cxxxxxxxx xxxxxxxxx
BxBxxxBxB xCxxxxxxx xxxxxxxxx
xBxBxBxBx Cxxxxxxxx xxxxxxxxx
BxBxBxxxB xCxxxxxxx xxxxxxxxx
xBxBxBxBx xxxxxxxxC Dxxxxxxxx
BxBxBxBxx xxxxxxxCx xDxxxxxxx
Per maggior chiarezza, o segnato separatamente i diversi tipi di scambi.
Ovviamente, i quartetti non interessati resteranno di tipo A.
Come si può vedere e più facile operare che descrivere (almeno senza il tuo
suggerimento).
Proviamo a riscrivere gli enunciati.
(omissis)
A questo punto sarà estremamente agevole correggere le discrepanze
scambiando tra di loro i numeri di ciascun quartetto.
Gli scambi sono di tre tipi .. (descrizione dei tipi di scambio + A =
quartetto non scambiato) ..
Le matrici verranno, quindi, composte da quartetti sistemati nel seguente
modo:
Le righe dispari di quartetti, come BABA...... e quelle pari come ABAB...
In più, se le righe di quartetti sono in numero dispari, valgono le seguenti
regole aggiuntive:
Il 1° quartetto della 1° riga, il 3° della 3° riga, etc. , vanno lasciati di
tipo A.
Il 2° quartetto delle righe dispari ed il 1° di quelle pari, dovrà essere di
tipo C ad eccezione delle due ultime righe, nelle quali il quartetto C
comparirà rispettivamente in ultima ed in penultima posizione.
Analogamente, il 2° quartetto delle colonne dispari ed il 1° di quelle pari,
dovrà essere di tipo D, ad eccezione delle due prime colonne, nelle quali il
quartetto D comparirà rispettivamente nella penultima e nell'ultima
posizione.
E' più chiaro ora?
:-) :-) Bye Bye
Gianni