approccio algebrico al cubo di Rubik
?manu*
visto che si parla di cubo di Rubik (su hobby.enigmi), volevo suggerire
a chi ha un po' di domestichezza con la teoria dei gruppi, come si
risolve il
cubo di rubik (e molti altri rompicapi).
Piuttosto che darvi un elenco di mosse che si possono fare,
vi dico come ci si puo' ricavare le possibili mosse.
Sia X l'insieme di tutte le faccie dei cubetti del cubo di Rubik. X in
pratica
e' un insieme di 9*6=54 elementi.
Consideriamo l'insieme di tutte le permutazioni degli elementi di X e lo
chiamiamo P(X) (questo insieme ha ben 54! elementi).
Ora pero' non tutte le permutazioni delle faccette sono ammissibili.
Beh, sia G
il sottogruppo di P(X) composto da tutte le permutazioni che e'
possibile fare
nel cubo di Rubik. G sara' dunque il gruppo generato dai sei elementi
di P(X) corrispondenti alle rotazioni delle facce del cubo. A posteriori
(dopo
aver risolto il cubo) si potra' dire che G ha 3^8 * 2^12 * 8! * 12!
elementi.
Dividiamo ora X in due parti: A,B. (cioe' X= A U B mentre A e B non
hanno
elementi in comune) e consideriamo due elementi (mosse del cubo) g,h
appartenenti a G tali che:
i) g(A)=A (e quindi g(B)=b)
ii) h ristretta a B e' l'identita' (cioe' h lascia invariati gli
elementi di B)
(in particolare h(B)=B e h(A)=A).
Ora consideriamo la mossa ghg'h' (con il simbolo ' denoto
l'inversa cioe' g' sarebbe g^(-1) cioe' la mossa inversa di g. dunque
ghg'h'
sarebbe il commutatore di g e h: [g,h]).
Teorema (banale ma utile!):
la mossa ghg'h' lascia invariati gli elementi di B.
lo stesso vale per la mossa hgh'g'.
dimostrazione:
ghg'h' ristretto a B e' uguale a gg' ristretto a B ma gg'=Id.
Cosa c'entra questo col cubo di Rubik? C'entra... c'entra...
Il fatto e' che tutti sono capaci di fare una faccia del cubo di Rubik
(almeno
penso...), il problema e' che per fare una seconda faccia bisogna fare
in modo
di non disfare la prima!
L'idea allora e' questa.
Mettiamo che A sia l'insieme delle faccette dei cubetti di una faccia
del cubo
(cioe' l'insieme delle nove faccette che stanno sulla faccia piu' le 12
faccette dei cubetti di bordo) e sia B = X - A.
Mettiamo che g sia una mossa (ovvero una sequenza di mosse semplici
(=rotazioni
di facce)) che scambia due cubetti della faccia in questione, senza
modificare
gli altri cubetti della stessa faccia. In generale g puo' mescolare in
qualunque modo le faccette che non stanno in A! E' molto facile trovare
una
tale mossa g.
[come trovare g: inizio]
Ad esempio, per scambiare due cubetti ad angolo, li sposto
entrambi in angoli opposti della faccia inferiore tramite una sequenza
di mosse
che chiamiamo t. Faccio anche in modo che gli altri cubetti della faccia
superiore NON vadano a finire nella faccia inferiore. A questo punto
ruoto di
180 gradi la faccia inferiore (sia h tale mossa) e faccio la mossa t'
(ricordandomi che se t era una seguenza di mosse, t' e' la sequnza
inversa
delle mosse inverse! (questa e' una applicazione pratica dell'identita'
algebrica: (ab)'=b'a') ).
Dunque ho fatto g=tht'.
La mossa g scambia i due cubetti di A che volevo scambiare, in quanto i
due
cubetti vanno in angoli opposti della faccia inferiore tramite t, quindi
vengono scambiati, e quindi t' li riporta nella faccia A ma scambiati.
gli altri cubetti della faccia A rimangono fissi dopo la mossa g, in
quanto
tali cubetti vengono spostati da t ma non da h, quindi quando applico t'
ritornano esattamente al loro posto.
I cubetti che non sono in A vengono mescolati... ma di questo ce ne
preoccupiamo dopo.
[come trovare g: fine]
Ok, dunque abbiamo una mossa g che scambia due cubetti di A lasciando
fissi gli
altri cubetti di A.
Questo puo' essere utile per fare la faccia A, ma come faccio a
scambiare due
cubetti di A senza spostare NESSUN altro cubetto?
Questo in realta' non e' possibile! Infatti si verifica facilmente che
ogni mossa semplice (rotazione di 90 gradi di una faccia) e' una
permutazione
pari di cubetti. Dunque TUTTE le permutazioni possibili dei cubetti sono
permutazioni pari!
(con discorsi analoghi a questo si puo' trovare la formula che da' il
numero di
configurazioni del cubo di Rubik (ovvero il numero di elementi di G)).
Questo significa che se vi ritrovate in mano un cubo di Rubik in
cui tutti i cubetti sono al posto giusto, tranne due che sono scambiati,
allora
tale cubo e' stato manomesso (cioe' smontato e rimontato).
Dunque quello che possiamo fare e' cercare una mossa che faccia
contemporaneamente due scambi di cubetti!
Mettiamo di voler scambiare contemporaneamente due cubetti adiacenti di
una
faccia e anche gli altri due cubetti della stessa faccia (mettiamo la
faccia
superiore).
Dunque sia h la rotazione di 180 gradi della faccia superiore.
Cosa succede se faccio la mossa ghg'h' ?
Notiamo che g e h mandano A (la faccia superiore) in A e notiamo che h
lascia
fissi gli elementi di X-A.
Per il Teoremino sopra enunciato abbiamo che i cubetti che non stanno
nella
faccia superiore rimangono fissi!!
D'altra parte cosa succede ai cubetti di A?
g scambia due di tali cubetti, quindi h scambia questa coppia di cubetti
con
gli altri due, g' dunque scambia gli altri due cubetti (che ora si
trovano al
posto dei primi due), e h' riscambia le due coppie di cubetti.
In modo del tutto analogo mi posso trovare la mossa che scambia due
coppie di
cubetti sugli spigoli del cubo, e posso trovare le mosse che
contemporaneamente
ruotano su se stessi due cubetti di vertice o due cubetti di spigolo.
Mediante queste mosse e' possibile risolvere il cubo!
Spero che questo lungo post sia stato utile (o perlomeno interessante) a
qualcuno!
Vi assicuro (per esperienza personale) che con questa tecnica ognuno
puo'
ricavarsi da solo tutte le mosse necessarie a risolvere il cubo.
?manu*
pigro
è na parola!
Dario Uri
>
> Salve,
> visto che si parla di cubo di Rubik (su hobby.enigmi), volevo suggerire
>
> a chi ha un po' di domestichezza con la teoria dei gruppi, come si
> risolve il
> cubo di rubik (e molti altri rompicapi).
> Spero che questo lungo post sia stato utile (o perlomeno interessante) a
>
> qualcuno!
> Vi assicuro (per esperienza personale) che con questa tecnica ognuno
> puo'
> ricavarsi da solo tutte le mosse necessarie a risolvere il cubo.
Descrivi la tecnica base per ottenere sequenze fondamentali.
Una volta ottenuto un metodo per la ricomposizione del CR (cubo Rubik)
un cubista piu' ambizioso, cerca di affacciarsi alle cosidette Belle
Figure, ottenute nel minor numero possibile di mosse, e qui occorre
inventarsi astuzie e trucchi veramente raffinati.
Sperando che ci sia qualcuno interessato, propongo un primo problema non
attinente al solo CR.
Quando risolto, il CR, presenta un solo colore per ogni faccia, possiamo
introdurre questa notazione:
AAA
AAA
AAA
Questo mostra lo stesso colore A, per i 9 cubetti di una faccia. La
domanda e' quante diverse facce esistono con 2 colori ?? (escluso
rotazioni e riflessioni). Ecco alcuni esempi:
AAA ABB ABB
ABA AAB ABB
AAA AAA AAA ecc.
AAB
ABB
BBB non va bene perche' corrisponde alla seconda figura.
:) dario