Sala Bingo
Luigi
nonostante la mia avversione per questo genere di giochi.
Un SUPERBINGO viene vinto se si riesce a fare Bingo entro le prime 40
estrazioni.
Ma qual è la probabilità di un tale evento per una persona che compra una
sola cartella (contenente 15 numeri)?
Indicando con la funzione comb(n,m) il numero di combinazioni di n oggetti
in m gruppi ottengo che la probabilità di effettuare Bingo dopo N
estrazioni è pari a:
p_N=comb(15,15)*comb(75,N-15)/comb(90,N)
ovvero poiché comb(15,15)=1
p_N=comb(75,N-15)/comb(90,N)
chiaramente con N>=15
ora p_40=8.7837*10^(-7) risponde alla domanda
"qual è la probabilità di fare Bingo alla quarantesima estrazione"
e non alla domanda
"qual è la probabilità di fare Bingo entro la quarantesima estrazione"
per cui pensavo di procedere in questo modo:
p_entro40=p15 + p16*(1-p15) + p17(1-p15)*(1-p16) +
p18*(1-p15)*(1-p16)*(1-p17) +...
da cui ottengo salvo errori p_entro40 2.2508*10^(-6) ovvero 1 probabilità
su 444280 circa
Ovvero i gestori della Sala si attendono il pagamento di un SUPERBINGO in
media entro la vendita di 444280 cartelle.
E' giusto?
Il secondo problema è questo:
Quanti numeri estratti devo attendere (in media) per fare Bingo?
Attraverso simulazione ottengo un risultato pari a 85
Ma qual è il metodo più rigoroso per rispondere a questa domanda?
Grazie a tutti
Luigi
www.luigicipollini.supereva.it/statistica.htm
Silvio Sergio
> Indicando con la funzione comb(n,m) il numero di combinazioni
> di n oggetti in m gruppi ottengo che la probabilità di effettuare
> Bingo dopo N estrazioni è pari a:
>
> p_N=comb(15,15)*comb(75,N-15)/comb(90,N)
>
> ovvero poiché comb(15,15)=1
>
> p_N=comb(75,N-15)/comb(90,N)
>
> chiaramente con N>=15
>
> ora p_40=8.7837*10^(-7) risponde alla domanda
> "qual è la probabilità di fare Bingo alla quarantesima estrazione"
> e non alla domanda
> "qual è la probabilità di fare Bingo entro la quarantesima
estrazione"
Al contrario!
P_40 è proprio la probabilità di fare Bingo ENTRO 40 estrazioni.
Infatti rappresenta la probabilità che in 40 estrazioni escano tutti e
15 i numeri che hai sulla cartella e 25 dei 75 che non hai sulla
cartella. In qualsiasi ordine. Mica è detto che l'ultimo estratto sia
uno dei quindici.
Se vuoi calcolare la probabilità di fare Bingo ESATTAMENTE dopo 40
estrazioni devi assicurarti di aver fatto quasi Bingo nelle prime 39
estrazioni [14 numeri buoni e 25 cattivi,
P=C(15,14)*C(75,25)/C(90,39)] e poi deve uscire proprio l'ultimo
numero utile per il Bingo [P=1/51]
> ..
> Ovvero i gestori della Sala si attendono il pagamento di un
SUPERBINGO in
> media entro la vendita di 444280 cartelle.
>
> E' giusto?
Come abbiamo visto, l'attesa media è 1/p_40=1138478 cartelle. Questo
se la distribuzione dei numeri sulle cartelle fosse uniforme. Non ho
mai giocato a Bingo, ma a Tombola non è assolutamente così, ci sono al
massimo tre numeri per decina.
Se qualcuno conosce la distribuzione ufficiale dei numeri sulle
cartelle del Bingo, potremmo provare a riconsiderare il problema col
dato corretto.
> Il secondo problema è questo:
> Quanti numeri estratti devo attendere (in media) per fare Bingo?
>
> Attraverso simulazione ottengo un risultato pari a 85
Ed è giusto.
Abbiamo detto che la probabilità di fare Bingo in N estrazioni vale
P(n)=C(15,14)*C(75,N-15)/C(90,N-1)*1/(90-N+1)
sommando n*P(n) con n=15,..,90
ottenimo M=1365/16 = 85.3125
--
Ciao, Silv:o)
Luigi
>Una serie di cose che non sto qui ad elencare.
Tutto esatto ed impeccabile. Hai ragione, evidentemente è passato un po' di
tempo da quando masticavo urne e palline a colazione, pranzo e cena...
Ma poi:
>Questo
>se la distribuzione dei numeri sulle cartelle fosse uniforme. Non ho
>mai giocato a Bingo, ma a Tombola non è assolutamente così, ci sono al
>massimo tre numeri per decina.
Non capisco. Anche se la cartella che compro avesse (per assurdo) soltanto i
numeri dall'1 al 15 (e dunque estremamente non uniforme) avrebbe le stesse
probabilità di vincere di qualsiasi altra cartella con altri 15 numeri
qualsiasi. Forse il problema sussiste nel caso compro più cartelle...?
Altro punto, che però esula dal problema combinatorio è il seguente.
Secondo te è fattibile la strategia da parte dei gestori di mettere in
sala un ceto numero di *persone fidate* (come nel caso delle aste) in modo
tale che se sono loro i vincitori non vengono pagati?
Ma tornando ad un problema combinatorio. Mi è venuto in mente ora una
domanda. In quale misura una persona che ha appena fatto cinquina è
avvantaggiata rispetto alle altre nella corsa al Bingo?
Luigi
Luigi
gioco del Bingo.
Probabilità di fare Bingo entro N estrazioni?
Probabilità di fare Bingo esattamente dopo N estrazioni?
Quanti numeri estratti devo aspettare in media prima di fare Bingo?
Dopo n estrazioni quanti numeri mi aspetto di aver spuntato nella mia
cartella?
Dopo quante estrazioni mi aspetto di fare bingo sapendo che sono già stati
estratti n numeri e sulla mia cartella ne ho spuntati k?
Quanti numeri estratti devo aspettare in media prima di fare cinquina?:
Dopo quante estrazioni avverrà il bingo sapendo che sono state vendute k
cartelle?
Dopo quante estrazioni avverrà la cinquina sapendo che sono state vendute k
cartelle?
Quando qualcuno farà bingo quanti numeri rimarranno in media non spuntati
nella mia cartella?
Quanto è avvantaggiata la cartella con k1 numeri spuntati dopo n estrazioni
rispetto ad una che ne ha spuntati k2 nella corsa al bingo?
e mille altri ancora...
Luigi