Il numero piu' grande.. il maggior numero di numeri

[Roberto Corda]

Ovvero cosa la mia mente partorisce a causa dell'insonnia...

Tutti lorsignori sanno che i numeri sono infiniti, e questo e' banale,
meno banale
e' pensare a quanti numeri sono effettivamente scrivibili o d'altro
canto quale e'
il piu' grande numero (intero) scrivibile.
Il problema che mi sono posto e' il seguente: avendo a disposizione una
quantita'
finita' di tempo di spazio e di materia, che poi e' la situazione reale
dell'universo,
quanti numeri diversi si possono scrivere e/o quale e' il piu' grande
numero
scrivibile? Ho affrontato il problema da due punti diversi: quello
fisico e quello
piu' matematico relativo alla notazione.
Da una parte c'e' una quantita finita di informazione che posso
(potenzialmente)
stipare in ogni atomo, mi hanno spiegato oggi che questa e' legata in
qualche modo
alla costante di Plank e al principio di Heisenberg, e a causa di cio'
data una certa
quantita' di energia il massimo numero esprimibile e qualcosa tipo
2^(Etot/Eminima_del_bit). Se c'e' qualche fisico in ascolto potrebbe
chiarirmi questo punto.
Dall'altra, indipendentemente dal modo fisico di scrittura, pare
abbastanza ovvio
che certi metodi di notazione sono piu' efficenti di altri.
200 e' un numero piu'piccolo di 20! eppure ho speso in tutti e due i
casi solo tre
caratteri. E' anche vero che se non metto nessuna limitazione alla
notazione accettabile
vado sicuramente in contro a dei paradossi alla Godel.

"Il piu piccolo numero non esprimibile con meno di 3 righe di scritto"
e' una contraddizione se accetto la stringa come notazione accettabile.
Del resto se uso una notazione non standard devo dare ,a mio parere,
insieme
alla descrizione del numero una della notazione usata.
es 2^^4 == (2^2^2^2).

Cosa ne pensate?
Ciao, Roberto

[Gigi]

Roberto Corda ha scritto nel messaggio
<380C4602...@ntboss.tesi.dsi.unimi.it>...

>Il problema che mi sono posto e' il seguente: avendo a disposizione una
quantita'
>finita' di tempo di spazio e di materia, che poi e' la situazione reale
dell'universo,

Ne sei sicuro? Hai parlato personalmente con Stephen Hawking? :-)

>quanti numeri diversi si possono scrivere e/o quale e' il piu' grande
numero
>scrivibile? Ho affrontato il problema da due punti diversi: quello fisico e
quello
>piu' matematico relativo alla notazione.

Cito:
"Ronald Graham è stato citato nel Guiness dei primati per il numero più
grande mai usato in una dimostrazione matematica, un numero così grande da
essere quasi incomprensibile. I matematici cercano spesso di suggerire
l'estrema grandezza di un numero accostandolo a quello degli atomi
dell'universo o dei granelli di sabbia del Sahara. Il numero di Graham non
consente nessuna analogia fisica del genere. Non può essere nemmeno espresso
facendo ricorso a notazioni matematiche familiari, come, diciamo il numero 1
seguito da un'infinità di zeri. Per citarlo è stato necessario ricorrere a
una notazione speciale, con esponenti accatastati su esponenti fino a
formare una sbalorditiva torre pendente di cifre."

da "L'uomo che amava solo i numeri" di Paul Hoffman, storia di Paul Erdos,
bizzarro genio matematico di questo secolo.

Graham (ma prima di lui van der Waerden) ha costruito questo numero
incredibilmente grande usando una successione di funzioni costruite in modo
gerarchico, per mostrarti come dovrei citarti un brano di un'articolo dello
stesso Graham ma sono un po' pigro, e non ho uno scanner sottomano.
Comunque l'articolo è "La teoria di Ramsey" di R.H.Graham e J.H.Spencer, da
"Le scienze" n. 265, settembre 1990.
Lo stupefacente numero era la risposta a questa semplice domanda:
supponiamo che io cominci a scrivere i numeri interi da 1 a n su di un
foglio con due matite, una rossa ed una blu, che uso alternandole in modo
casuale, fino a quale n devo arrivare per essere sicuro che tra i numeri
scritti in rosso (o in blu) ci sia una progressione aritmetica di almeno 10
numeri?
Per progressione aritmetica intendo una sequenza di numeri equidistanziati
tra di loro (tipo 1 5 9 13...).
Il problema è ancora aperto a quanto mi risulta, se qualcuno si vuole
cimentare... Graham stesso ha messo in palio 1000 dollari a quanto sta
scritto nell'articolo.

Comunque per rispondere alla tua domanda non penso che esista un numero
massimo scrivibile, questo articolo mostra come si possano costruire molto
semplicemente delle funzioni grandi a piacere, per cui con una notazione
molto concisa come f(x), con una funzione opportunamente definita, anche per
valori molto piccoli di x ottengo numeri esageratamente grandi.

Non so se è gia parlato della teoria di Ramsey in questo NG, comunque vi
lascio con un giochino preso dallo stesso articolo, spero non sia già stato
postato:
presi i numeri interi da 1 a 9, posso colorare ciascun numero in rosso o in
blu come meglio credo, esiste una colorazione tale per cui non esista una
progressione aritmetica rossa o blu di tre numeri all'interno dei nove presi
in esame?
Tanto per capirci 1 4 7 è una progressione aritmetica di tre numeri, quindi
1,4 e 7 non potranno avere lo stesso colore.

Saluti, Gg.

[Matteo Cortese]

Ciao Roberto,
il 19-Ott-99 hai scritto:

RC> il piu' grande numero (intero) scrivibile.

Chiaramente non esiste. La dimostrazione (per assurdo) è che se scrivi quel
numero e vicino gli aggiungi "+1" ne hai scritto uno più grande (e se per
ovviare a questo ti venisse la tentazione di definirlo come limite della
successione ricorsiva x_n+1 = x_n + 1, ti faccio notare che nessuno si
aspetta che tale limite esista!)

E se il problema è la limitatezza dell'inchiostro (o della carta, o del
tempo impiegato per scriverlo...), basta ricorrere a notazioni scientifiche
o al limite inventarne di nuove.

Più interessante secondo me è trovare il più grande numero intero
rappresentabile con precisione infinita (cioè, essendo un intero, con
incertezza inferiore all'unità).

Ad esempio tutti i calcolatori possono usando la notazione "floating point"
rappresentare numeri oltre 10^300, ma di tali numeri non conservano che 7
(single prcision) o 16 (double precision) cifre decimali.

Invece per quello che riguarda gli interi propriamente detti sono
normalmente limitati dall'architettura su cui girano: 32 o 64 bit, 128 per
architetture particolari (DSP...). Con certi accorgimenti di programmazione
si arrivano a manipolare con precisione infinita anche interi più grandi
(usati ad esempio per la criptazione, o nel linguaggio COBOL ancora
ampiamente utilizzato nei software bancari).

Però un calcolatore non potrà mai manipolare un intero superiore a 2^(8n)
dove n è la sua memoria espressa in byte.

E l'uomo? qual è il più grande intero di cui può tenere a mente tutte le
cifre?

Altra domanda: qual è l'intero più grande esprimibile con qualsiasi
notazione, che sia però ancora possibile manipolare tenendo tutte le cifre?

Ciao
Matteo

[Roberto Corda]

Matteo Cortese wrote:

> Ciao Roberto,
> il 19-Ott-99 hai scritto:
>
> RC> il piu' grande numero (intero) scrivibile.
>
> Chiaramente non esiste. La dimostrazione (per assurdo) è che se scrivi quel
> numero e vicino gli aggiungi "+1"

e se non ci sta' il "+1" (se hai finito l'inchiostro, la carta, gli atomi
dell'universo)?

> x_n+1 = x_n + 1, ti faccio notare che nessuno si
> aspetta che tale limite esista!)

Gli interi sono infiniti mi pare, no? :)

> E se il problema è la limitatezza dell'inchiostro basta ricorrere a notazioni

> scientifiche
> o al limite inventarne di nuove.

Questa e' una mozione di principio non una dimostrazione." Io sono abbastanza
intelligenteda scrivere un numero piu' grande del tuo avendo a disposizione la
stessa penna e lo
stesso foglio" tu dici. Posso anche crederci per fiducia, ma non hai dimostrato
niente.
Dovresti dimostrarmi che, per dire, avendo a disposizione un terabyte di
memoria
puoi scrivere qualsiasi numero intero. O magari non *tutti* i numeri interi,ma
dato un
intero k (scrivibile con memoria infinita) puoi scriverne uno piu' grande.

> Più interessante secondo me è trovare il più grande numero intero
> rappresentabile con precisione infinita (cioè, essendo un intero, con
> incertezza inferiore all'unità).

Un intero con precisione infinita? Gli interi hanno sempre precisione
infinita...boh non capisco.

> Altra domanda: qual è l'intero più grande esprimibile con qualsiasi
> notazione, che sia però ancora possibile manipolare tenendo tutte le cifre?

Qualsiasi notazione porta a dei paradossi come facevo notare, devi mettere dei
limitialla domanda decidi tu quali.
Se nello spazio che tu mi dai io scrivo la stringa "il tuo numero con tutte le
cifre" in un certo modo ho descritto qualsiasi numero, in un certo altro,
abbastanza ovvio ma da
precisare, no.

>
>
> Ciao
> Matteo

Ciao Roberto

[Francesco Potorti`]

Se riesci a convincere un atomo a stare in uno di n possibili stati,
puoi metterci log2(n) bit di informazione (ovviamente). Se riesci a
farlo per tutti gli atomi dell'universo, basta che sommi i loro bit di
informazione, o moltiplichi i loro n.

Ma non credo sia facile stabilire quanti sono gli stati possibile
dell'universo. Quanto ho detto sopra vale se gli atomi sono
indipendenti. Cosa succede a due atomi se li avvicini o li allontani?

[Paolo Licheri]

Gigi ha scritto nel messaggio <7v1mtk$lse$1...@fe1.cs.interbusiness.it>...

[snip]

>Non so se è gia parlato della teoria di Ramsey in questo NG, comunque vi
>lascio con un giochino preso dallo stesso articolo, spero non sia già stato
>postato:
>presi i numeri interi da 1 a 9, posso colorare ciascun numero in rosso o in
>blu come meglio credo, esiste una colorazione tale per cui non esista una
>progressione aritmetica rossa o blu di tre numeri all'interno dei nove
presi
>in esame?
>Tanto per capirci 1 4 7 è una progressione aritmetica di tre numeri, quindi
>1,4 e 7 non potranno avere lo stesso colore.

Non esiste.
Considero inzialmente la coppia di cifre (4,6).
Non possono essere entrambe dello stesso colore. Infatti, se fossero (p.es.)
entrambe rosse, nessuna delle cifre (2,4,8) potrebbe essere rossa, (ciascuna
formerebbe una progressione aritmentica con 4 e 6). Ma (2,5,8) sono tra loro
in progress. arit., quindi non possono essere tutte e tre blu. Quindi 4 e 6
devono essere di colore diverso.

Con lo stesso ragionamento trovo che:
(3,5) diverse
(5,7) diverse, quindi (3,7) stesso colore.

Inizio a scrivere:
rosso blu
4 6
a questo punto la distribuzione delle cifre gia' scritte e' simmetrica
rispetto a 5, quindi scrivo 5 indifferentemente da una parte o dall'altra, e
(3,7) dalla parte opposta:
4,5 3,6,7
continuo, aggiungendo le cifre mancanti in posizione obbligata:
essendo 3,6 blu, deve essere 9 rosso; essendo 6,7 blu, deve essere 8 rosso
4,5,8,9 3,6,7
essendo 5,8 rosso , devve essere 2 blu
4,5,8,9 2,3,6,7
A questo punto la cifra ancora mancante (1) non puo' essere rossa (1,5,9),
ne' blu (1,2,3)

ciao
paolo