Compleanni nella stessa data
Max
Un quesito che sembra sia stato proposto alle olimpiadi di matematica:
Ci sono 40 persone scelte a caso.
Scommettereste che tra queste quaranta ce ne sono almeno due che fanno
il compleanno nello stesso giorno?
Perche' ?
ciao Max
Lorenzo Palombi
Quotando dyn...@iol.it che scriveva a All il 02 Jan 97 04:52:04
Soggetto: Compleanni nella stessa data
dy> Ci sono 40 persone scelte a caso.
dy> Scommettereste che tra queste quaranta ce ne sono almeno due che fanno
dy> il compleanno nello stesso giorno?
Certo, visto che la probabilita' e' oltre il 90%!!
////
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U
\_/
... Ore 11:33:31 : Meglio ora che mai !
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Darth Vader
Ciao Dyn...@iol.It!
-dyn...@iol.it- scrisse a -All- a proposito di -Compleanni nella stessa data-
d> Ci sono 40 persone scelte a caso.
d> Scommettereste che tra queste quaranta ce ne sono
d> almeno due che fanno il compleanno nello stesso giorno?
d> Perche' ?
Il problema non e` chiaro. Potrebbe trattarsi di compleanni lo stesso giorno
dell'anno (quindi 365-366 casi possibili) o lo stesso giorno mensile (31 giorni
possibili).
Nel primo caso non scommetterei, perche` avrei 40/365 di possibilita`.
Nel secondo caso scommetterei, perche` avrei 40/31 di possibilita` (piu` che
certo.)
>Ciao da -Darth Vader-
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Alessandro Lapenna
Ho trovato interessante questo quesito, perchè vengono applicate le
nozioni
di calcolo della probabilità in modo inusuale. Riassumo il ragionamento
che
ho seguito (non escludendo la possibilità di aver commesso degli errori o
che
vi siano altri modi per arrivare alla soluzione).
Calcolo innanzitutto la probabilità che non vi siano nella stanza due
persone
nate nello stesso giorno (evento complementare). Considero una persona
presente nella stanza. Mi chiedo: qual'è la probabilità che nella stanza
non vi
sia nessun altro nato nello stesso giorno della persona considerata?
Questa
probabilità vale:
(364/365)**39 (**39 sta per elevato a 39)
Questo se considero una distibuzione di probabilità alla Bernoulli, in
cui
(364/365) è la probabilità di non essere nati nel giorno in cui la prima
persona è nata. Questa probabilità viene elevata a 39, perchè 39 sono le
persone rimaste, sempre escludendo la prima persona (vi consiglio, per
chi
non la conoscesse, di rivedere la distribuzione di probabilità di
Bernoulli,
altrimenti il ragionamento potrebbe apparire un po' più difficile).
A questo punto, considero una seconda persona, diversa dalla prima. Vedo
la sua data di nascita, e mi chiedo: fra le persone rimaste (ora sono 38,
perchè escludo anche la prima persona) qual'è la probabilità che queste
non
siano nate nello stesso giorno della seconda?
La risposta è:
(364/365)**38
Ma io sto cercando la probabilità che nessuno sia nato nello stesso
giorno.
Allora ciò che devo considerare è l'evento intersezione. Vale a dire,
voglio
considerare l'evento 'nessuno è nato nello stesso giorno del primo e
nessuno
è nato nello stesso giorno del secondo'. Gli eventi sono indipendenti,
quindi
le due probabilità calcolate vanno moltiplicate.
Proseguendo il discorso, fino a considerare l'ulima persona rimasta, ho
la
seguente produttoria:
(364/365)**39 (364/365)**38...... (364/365)**1
Cioè (364/365) con l'esponente somma dei numeri da 1 a 39. Tale somma
(vedi aneddoto su Gauss) vale 40 39 / 2, cioè 780. La probabilità cercata
vale pertanto (364/365)**780 = 0.118 circa.
Ma ciò che ho calcolato è la probabilità dell'evento complementare,
quindi la
probabilità cercata è del 88.2% circa.
Val la pena scommetterci!
Alessandro Lapenna
Corrado Demi
al> From: Alessandro Lapenna <al...@eostel.it>
al> Organization: IBM SEMEA Internet Operations
Complimenti ad Alessandro per l'ottima spiegazione!
al> quindi la
al> probabilit` cercata h del 88.2% circa.
Tuttavia, ho voluto fare come San Tommaso... ed ho fatto una bella
simulazione con Excel. Per la precisione:
- 6025 righe, contenenti ciascuna 40 numeri interi casuali da 1 a 365 (le
date di nascita possibili, per 40 persone);
- in testa ad ogni riga la funzione MODA() applicata alla riga stessa;
- MODA() ritorna il valore piu' frequente nella riga (se esiste), oppure
ritorna N/A (Not Available)
- in pratica se in testa alla riga c'e' un numero --> esiste data duplicata,
altrimenti (se c'e' N/A) no.
Contando con CONTA.SE() il numero di valori maggiori di zero (nella colonna
delle funzioni MODA()) ottengo il numero di riscontri favorevoli, che diviso
per 6025 (totale campioni) mi da la stima di probabilita'.
Ricalcolando il foglio per ben 23 volte ho praticamente testato 138.575
"insiemi" di 40 persone.
Risultato: media delle stime di probabilita': 89,16%
valore minimo della stima: 88,48%
valore massimo della stima: 90,07%
Secondo voi, come si concilia il valore 89,16%, ricavato da simulazione,
con l'88,2% calcolato da Alessandro per via teorica, in maniera corretta
all'apparenza?
Insufficienza del campione? Boh?!
P.S.: Per tenere conto dell'esistenza degli anni bisestili, basta
considerare 365,25 anziche' 365 oppure no?
Ciao All
Corrado
(cd...@ctrade.it)
|Fidonet: Corrado Demi 2:331/205
|Internet: Corrad...@f205.n331.z2.fidonet.org
Paolo Marincola
Darth Vader wrote:
> Nel primo caso non scommetterei, perche` avrei 40/365 di possibilita`.
> Nel secondo caso scommetterei, perche` avrei 40/31 di possibilita` (piu` che
> certo.)
40/31??? Cioè probabilità prossima a 1.3 -- hmmm...
Ciao, e a presto
__pma__
Alessandro Lapenna
In effetti, anch'io ero perplesso all'inizio: 40 persone potrebbero
sembrare poche in confronto alle 365 possibilità di date di nascita. Ma
mi sono dovuto ricredere. Ho studiato altri casi del genere: immaginate i
numeri della tombola (90, ovviamente) e supponete di estrarre 18 numeri
rimpiazzando di volta in volta il numero preso precedentemente. Ebbene,
la probabilità di estrarre due volte lo stesso numero è pari al 87%. Se
invece, estraete 23 numeri, la probabilità di trovare un 'doppione' è del
97% circa (altissima!). Vi consiglio di provare. E non sentitevi stupidi
se fate una verifica del genere: ogni teoria scientifica deve trovare
fondamento nel reale, altrimenti a che servirebbe? Per quanto riguarda i
tuoi amici... mah... io conosco le date di nascita di una trentina di
amici (ad occhio e croce) e io stesso sono nato nello stesso giorno di
un'altra persona. Non so dirti altro...
Alessandro Lapenna
Alessandro Lapenna
Caro Corrado,
interessantissima la tua simulazione.
Sai che in questi giorni ho escogitato un modo più semplice per arrivare
al risultato richiesto, che si avvicina tantissimo ai valori che hai
trovato sperimentalmente? Non sono riuscito a capire quale delle due
teorie è quella esatta, ma il tuo esperimento mi porta a concludere che
lo sia la seconda.
Eccola:
Calcola ancora la probabilità dell'evento complementare (prob. che cioè
tutti e 40 siano nati in giorni diversi).
Considero il primo, nato in un giorno dell'anno qualsiasi. impongo che il
secondo sia nato in un giorno diverso: ho 364 casi favorevoli su 365
possibili. La probabilità che il secondo sia nato in un giorno diverso
dal primo è cioè:
364/365
Allo stesso tempo deve essere verificato che il terzo sia nato in un
giorno differente dal secondo e dal primo. Casi favorevoli: 363; casi
possibili: 365. Questa probabilità va moltiplicata per quella precedente,
visto che stiamo sempre considerando la probabilità dell'evento
intersezione (probab. che si verifichino contemporan. i due eventi).
E così via, fino al quarantesimo. In definitiva, la probabilità
dell'evento complementare vale:
(364/365) (363/365) ... (326/365)
Come si vede facilmente, ho il prodotto di 39 termini. Personalmente,
l'ho calcolato in questa forma (per me!) più semplice:
364 (39!/365**39)
39
Dove ho considerato il coefficiente binomiale (364 su 39) e l'elevazione
a potenza (365 elevato a 39).
Bene. Risultato: 0,1088. Probabilità cercata: 89,12%.
Vicinissimo quindi ai dati sperimentali di Corrado (89,16%)
Per quanto riguarda l'anno bisestile, io l'ho calcolata, ma vorrei
vederla postata da qualcun altro: mi sono stancato di scrivere! :))
Ciao a tutti,
Alessandro
Corrado Demi
On 18 Jan 1997 12:49:02 +0100, Alessandro Lapenna <al...@eostel.it>
wrote:
>Sai che in questi giorni ho escogitato un modo più semplice per arrivare
>al risultato richiesto, che si avvicina tantissimo ai valori che hai
>trovato sperimentalmente? Non sono riuscito a capire quale delle due
>teorie è quella esatta, ma il tuo esperimento mi porta a concludere che
>lo sia la seconda.
Proprio cosi'! Ho infatti trovato la pecca nella prima...
1) La prob. che nessuno sia nato il giorno in cui e' nata la prima
persona e' correttamente (364/365)**39.
2) Invece la probabilita' che nessuno dei rimanenti sia nato nel
giorno della seconda e' (363/364)**38 e non (363/365)**38 come avevi
detto. Infatti, per quanto detto al punto 1), "esaminata" la prima
persona le date possibili rimangono 364.
3) La probabilita' totale, quindi, sara':
[(364/365)**39]*[(363/364)**38]...
che e' un valore esattamente identico a quello da te calcolato nel
secondo modo.
[MODESTIA OFF]
Quindi la mia simulazione era corretta ed aveva evidenziato l'errore!
[MODESTIA ON]
>Per quanto riguarda l'anno bisestile, io l'ho calcolata, ma vorrei
>vederla postata da qualcun altro: mi sono stancato di scrivere! :))
e dai... che sono gia' pronto a simularti il bisestile!
ciao
Corrado
Marco d'Itri
Corrad...@f205.n331.z2.fidonet.org wrote:
>Secondo voi, come si concilia il valore 89,16%, ricavato da simulazione,
>con l'88,2% calcolato da Alessandro per via teorica, in maniera corretta
>all'apparenza?
>Insufficienza del campione? Boh?!
A naso direi insufficienza del generatore di numeri casuali di windows.
--
ciao,
Marco
|Fidonet: Marco d'Itri 2:332/206.10
|Internet: Marco.d'It...@p10.f206.n332.z2.fidonet.org
Marco d'Itri
Lorenzo Palombi
Quotando Corrado Demi che scriveva a All il 14 Jan 97 17:35:43
Soggetto: Re:[2]Compleanni nella stessa data
CD> Secondo voi, come si concilia il valore 89,16%, ricavato da
CD> simulazione, con l'88,2% calcolato da Alessandro per via teorica, in
CD> maniera corretta all'apparenza?
CD> Insufficienza del campione? Boh?!
In via teorica io ho ottenuto un valore piu' vicino al 90% che quello di
Alessandro, comunque mi pare che le misure siano decisamente confrontabili!!
////
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\_/
... Come disse il saggio cinese............E=mc2
|Fidonet: Lorenzo Palombi 2:332/101
|Internet: Lorenzo...@f101.n332.z2.fidonet.org
Alessandro Lapenna
Allora, il problema consiste nel determinare la probabilità che
almeno 2 fra le quaranta persone della stanza siano nate il 29
febbraio. Ovviamente questa probabilita' verra' sommata alla
probabilità già trovata (89,12%), in quanto stiamo esaminando
eventi ad intersezione nulla (vale a dire: la stessa persona o è nata
il 29 febbraio, o è nata negli altri 365 giorni).
1) Calcolo la probabilità P(nati il 29 febbraio) =
P(nati il 29 febbraio, nati in un anno bisestile) =
P(nati il 29 febbraio | nati in un anno bisestile)*P(nati in un anno
bisestile) = 1/366 * 1/4 = 6,83*10**(-4)
[evidentemente, ho considerato la probabilità condizionata (|) e
quella congiunta (,)];
2) Calcolo la probabilità che vi siano 0 persone su 40, nate il 29
febbraio (ricorrendo alla distribuzione binomiale):
P(0) = [1-6,83*10**(-4)]**40 = 0,973
3) Calcolo la probabilità che ve ne sia solo 1, su 40 nato il 29
febbraio:
P(1) = 40*6,83*10**(-4)*[1-6,84*10**(-4)]**39 = 0,0266
3) Calcolo la probabilità che vi siano almeno 2 persone nate il 29
febbraio nella stanza:
P(almeno 2 nati il 29 febbraio) = 1 - P(0) - P(1) = 4*10**(-4)
La probabilità cercata risulta quindi pari allo 0,04% circa.
Parti con la simulazione, Corrado.
Saluti,
Alessandro Lapenna
Giacomo Biardi
Uela! dyn...@iol.it, come va?
(02-Jan-97) dyn...@iol.it scriveva a All
a proposito di Compleanni nella stessa data
d> From: dyn...@iol.it (Max)
d> Organization: Italia Online
d> Un quesito che sembra sia stato proposto alle olimpiadi di matematica:
d> Ci sono 40 persone scelte a caso.
d> Scommettereste che tra queste quaranta ce ne sono almeno due che fanno
d> il compleanno nello stesso giorno?
SI
d> Perche' ?
d> ciao Max
N (persone): p (probabilita')
1: 0.00 2: 0.27 3: 0.82 4: 1.63 5: 2.71
6: 4.04 7: 5.61 8: 7.41 9: 9.44 10: 11.66
11: 14.08 12: 16.66 13: 19.39 14: 22.26 15: 25.23
16: 28.29 17: 31.43 18: 34.61 19: 37.83 20: 41.06
21: 44.28 22: 47.48 23: 50.63 24: 53.73 25: 56.77
26: 59.72 27: 62.58 28: 65.34 29: 67.99 30: 70.53
31: 72.95 32: 75.24 33: 77.40 34: 79.44 35: 81.35
36: 83.13 37: 84.79 38: 86.33 39: 87.75
>40: 89.05
41: 90.25 42: 91.34 43: 92.34 44: 93.24 45: 94.05
46: 94.78 47: 95.44 48: 96.02 49: 96.54 50: 97.01
51: 97.42 52: 97.78 53: 98.09 54: 98.37 55: 98.61
56: 98.82 57: 99.00 58: 99.15
PERCHE' SI'
366!
p = 100 * [ 1 - ______________ ]
(366-N)!*366^N
e tu scommetteresti mai col direttore della tua banca che le sue palle
diventeranno quadrate entro qualche giorno ?
Ciau!
Giacomo
|Fidonet: Giacomo Biardi 2:331/133.18
|Internet: Giacomo...@p18.f133.n331.z2.fidonet.org
Alessandro Guzzini
>Sai che in questi giorni ho escogitato un modo piy semplice per arrivare
>al risultato richiesto, che si avvicina tantissimo ai valori che hai
>trovato sperimentalmente? Non sono riuscito a capire quale delle due
>teorie h quella esatta, ma il tuo esperimento mi porta a concludere che
>lo sia la seconda.
Ho trovato questo metodo sul libro "Matematica dell' incertezza".
La probabilita' che ci siano 2 persone con la stessa data di nascita in un
gruppo di 40 e'
1-364!/(325!*365^39)
e porta circa 89,12 %
A questo punto mi chiedo: e' possibile che ci siano 2 metodi entrambi
corretti che portano a risultati diversi (seppur di poco) ?
Io credo di no, e penso che sia il secondo il metodo giusto.
Comunque a chi fosse interessato consiglio l' acquisto di quel libro che
costa solo 1.500 lire (e' della serie 100 pagine) ed e' scritto in forma
molto simpatica.
ciao
Alessandro
Luca
Non e' che per favore spiegate come si arriva alle formule che avete scritto?
Grazie 1000
Luca
Tommaso Schiavinotto
Luca (va...@ita.flashnet.it) wrote:
:
: Non e' che per favore spiegate come si arriva alle formule che avete scritto?
: Grazie 1000
: Luca
Allora invece di pensare a quante possibilita' hai di trovare due persone che
festeggiano il compleanno nella stessa data, fai il ragionamento contrario:
"Quante probabilita' di non trovarle??"
Prendiamo la data di compleanno di una persona, adesso vediamo che
probabilita' ci sono che una seconda persona non festeggi il compleanno
in quella data: (364/365)
con una terza persona sara' di (363/365), poi (362/365)
quindi arrivando in fondo si avra' che le probabilita' p che non si trovi
nessuno che festeggi il compleanno in quella data sono:
i=39
---------
| | (365-i)
p= | | -------
| | 365
i=1
Che e' equivalente alle formule che sono state scritte.
quindi la probabilita' di trovare una persona con la data di compleanno
uguale e' 1-p.
mi sembra di non aver fatto errori.....
Ciao :)
--
__ || Tommaso Schiavinotto
_ ___.-.__ /_ | ||
_ / \ _ (___ __) | | || Via. Berlinguer, 12
| |\_/ / ` (___ __) |_| || 55015 Montecarlo - Lucca
| `--. / /_ .--` '-. ======= || Tel. +39 583 276090
`---. |/ ) | .-. ._ \ .---. ||
.---' / /-. `-. `-' | `' (_.-. | || email: tom...@cln.it
`----'`-' `---'`---' .'.' || schi...@cli.di.unipi.it
.'.'_ || http://www.cli.di.unipi.it/~schiavin
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|| University of Pisa