Paralogia delle mele
Giovanni Rana
it.hobby.enigmi. Ma naturalmente sono sicuro che le discussioni saranno
interessanti ... - .mau. ]
Buongiorno, vorrei sottoporvi il seguente giochetto che ho reputato
divertente, e spero piacerà anche a voi ( anche se non è molto difficile,
non lo classificherei come "problemino da prima media"). La paralogia si
trova nel libro di Gabriele Lolli "il riso di Talete", in cui c'è l'
enunciato ma non la soluzione( comunque non complicata). Lo riporto
testualmente:
Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
"Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso. Supponiamo
ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
colore rosso: prese n+1 mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n mele
che per ipotesi induttiva sranno rosse; quindi almeno una mela di quelle
date è rossa. Togliamo quella mela, e abbiamo di nuovo un gruppo di n mele,
che per ipotesi induttiva sono tutte rosse: quindi tutte le n+1 mele sono
rosse."
Buon divertimento e saluti a tutti.
Mardy
Giovanni Rana ha scritto nel messaggio ...
>Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
>"Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso. Supponiamo
>ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
>colore rosso: prese n+1 mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n
mele
Non ci siamo con l'ipotesi induttiva; la riporto con n = 1:
"tutti i gruppi di 1 mela hanno lo stesso colore rosso" che equivale a "ogni
mela e' di colore rosso", che, partendo da una mela rossa, e' proprio la
tesi.
Forse sarebbe stato piu' interessante con questa ipotesi induttiva (che e'
la stessa, ma non si specifica il colore): "tutti i gruppi di n mele hanno
lo stesso colore", dalla quale si puo' comunque arrivare a dimostrare la
tesi con un ragionamento analogo, ed in questo caso sarebbe piu' difficile
trovare l'inghippo.
Saluti,
Mardy
ema
Mio cuggino mi ha detto che Giovanni Rana <vita...@libero.it> scrisse:
> "Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso. Supponiamo
> ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
> colore
>
L'ipotesi induttiva e` un'ipotesi che non e` necessariamente vera.
Quindi la tesi e` vera in un mondo in cui vale questa "ipotesi
induttiva", ovvero non il nostro :-)
bye!
--
Emanuele Cesena http://www.penguinpowered.com/~ecesena
<ece...@penguinpowered.com> Attenzione all'anti-spam XXX
Notizie dai principali quotidiani:
Mamma picchia il figlio con ferro da stiro: aveva preso una
brutta piega!
Giovanni Rana
Mardy <_ma...@toglimi.geocities.com> wrote in message
czDP4.78577$xt2.9...@news.infostrada.it...
>
> Giovanni Rana ha scritto nel messaggio ...
> >Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
> >"Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso.
Supponiamo
> >ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
> >colore rosso: prese n+1 mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n
> mele
>
>
> Non ci siamo con l'ipotesi induttiva; la riporto con n = 1:
> "tutti i gruppi di 1 mela hanno lo stesso colore rosso" che equivale a
"ogni
> mela e' di colore rosso", che, partendo da una mela rossa, e' proprio la
> tesi.
> Forse sarebbe stato piu' interessante con questa ipotesi induttiva (che e'
> la stessa, ma non si specifica il colore): "tutti i gruppi di n mele hanno
> lo stesso colore", dalla quale si puo' comunque arrivare a dimostrare la
> tesi con un ragionamento analogo, ed in questo caso sarebbe piu' difficile
> trovare l'inghippo.
>
> Saluti,
> Mardy
(Quasi) perfetto, sei arrivato alla prima parte del problema, ma ora , come
già hai capito, bisogna risolvere la paralogia cambiando ipotesi induttiva.
Anche così si può sgamare facilmente la paralogia: se tu avessi in mente un
cambiamento diverso che la può rendere più difficile, fammelo sapere, così
"gioco anch' io". La riporto nella "nuova" versione:
Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
Dim.:"Si prenda una mela: un insieme di 1 mela è di certo costituito da mele
tutte dello stesso colore. Supponiamo ora per ipotesi induttiva che tutti i
gruppi di n mele siano costuiti di mele dello stesso colore : prese n+1
mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n mele che per ipotesi
induttiva saranno tutte dello stesso colore; quindi almeno una mela di
quelle date ha tale colore comune. Togliamo quella mela, e abbiamo di
nuovo un gruppo di n mele, che per ipotesi induttiva sono tutte dello stesso
colore: quindi tutte le n+1 mele sono tutte dello stesso colore."
Ciao
Giovanni Rana
ema <ece...@XXXpenguinpowered.com> wrote in message
8ekg4h$ke$1...@srv.ema.it...
>
> Mio cuggino mi ha detto che Giovanni Rana <vita...@libero.it> scrisse:
> > "Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso.
Supponiamo
> > ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
> > colore
> >
> non riesco a capire il problema.
> L'ipotesi induttiva e` un'ipotesi che non e` necessariamente vera.
> Quindi la tesi e` vera in un mondo in cui vale questa "ipotesi
> induttiva", ovvero non il nostro :-)
Non ci siamo, ema, scusa se mi permetto ma tu descrivi in modo
errato il "funzionamento" del principio d' induzione: se voglio
dimostrare che una proprietà a) vale per qualsiasi numero naturale,
(o per qualsiasi elemento di un insieme numerabile), basta che io
dimostri che vale per n=1 e poi che io dimostri che, _se_ a)
valesse per un n generico, allora varrebbe pure per n+1. _Non_
ho bisogno di sapere che a) vale davvero per ogni n, cioè che
l' ipotesi induttiva è vera, e ciò è ovvio, perchè se già sapessi che
a) vale per un n generico, allora non dovrei più dimostrare nulla.
Il vero problema era invece sul fatto che le due ipotesi induttive
" tutti i gruppi di n mele hanno lo stesso colore X " e " tutti i
gruppi di n mele sono monocromatici" son diverse (perchè?)
e solo la seconda si può assumere lecitamente nella dimostrazione
della proposizione "tutte le mele formano un insieme monocromatico".
Ma, come ho già detto a Mardy, se miglioro la paralogia facendo
uso della seconda ipotesi induttiva, dove sta adesso l' inghippo?
Ciao
Mardy
Giovanni Rana ha scritto nel messaggio ...
>
>uso della seconda ipotesi induttiva, dove sta adesso l' inghippo?
Sta nel fatto che il passaggio "vero per n => vero per n + 1" vale solo se n
> 1, in quanto ho bisogno di una stessa mela che "faccia da ponte" per il
colore tra due insiemi diversi.
Ossia non posso partire da insiemi con una mela sola e arrivare a dimostrare
che vale per insiemi di due mele.
Saluti,
Mardy
Massimo Cantu'
Giovanni Rana wrote:
> Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
> Dim.:"Si prenda una mela: un insieme di 1 mela è di certo costituito da mele
> tutte dello stesso colore. Supponiamo ora per ipotesi induttiva che tutti i
> gruppi di n mele siano costuiti di mele dello stesso colore : prese n+1
> mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n mele che per ipotesi
> induttiva saranno tutte dello stesso colore; quindi almeno una mela di
> quelle date ha tale colore comune. Togliamo quella mela, e abbiamo di
> nuovo un gruppo di n mele, che per ipotesi induttiva sono tutte dello stesso
> colore: quindi tutte le n+1 mele sono tutte dello stesso colore."
>
> Ciao
Spoiler
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
Sbaglio o il ragionamento induttivo impone di dimostrare che, se una proprieta'
vale per n elementi, deve valere anche per n+1? In tal caso, se ipotizzo di
avere n mele dello stesso colore, nessuno mi assicura che la mela aggiunta sia
dello stesso colore. Se la scelgo apposta, vuol dire che opero una divisione
sull'insieme delle mele, e quindi ho gia' che le mele non sono tutte dello
stesso colore (ce ne sara' almeno una di colore diverso); invece, se la scelgo a
caso da tutte le restanti mele, o sono molto fortunato 8-) o so gia' che,
qualunque scelta faccia, avro' una mela dello stesso colore.
Bye by Massimo 8-]
Giovanni Rana
Mardy <_ma...@toglimi.geocities.com> wrote in message
YKZP4.86578$xt2.1...@news.infostrada.it...
Perfetto (stavolta senza "quasi" )! Come vedi, anche se "migliori" la
paralogia, sempre non complicatissima rimane: scusa se insisto, ma caso
mai ti dovesse venire in mente un modo più "infame" per complicarla,
ti prego di farmelo sapere ( senza la soluzione, è chiaro).
Ciao
Giovanni Rana
Massimo Cantu' <ca...@txt.it> wrote in message 39119BCC...@txt.it...
Infatti nella paralogia io _non_ aggiungo 1 mela ad un insieme di n mele, ne
sottraggo una ad un insieme di n+1. Risolvere il paradosso non vuol dire
far vedere che con un altro ragionamento non si ha l' assurdo, ma trovare
la pecca nel ragionamento del paradosso. Facendo come fai tu si ha invece
un doppio assurdo: con due ragionamenti diversi , partendo dalle stesse
ipotesi, si arriva a due diversi risultati, invece che allo stesso!!
Comunque l' ha risolto Mardy, come ho scritto in un altro messaggio che
ho spedito, che ha giustamente notato come il ragionamento della
paralogia fosse falso per due mele (n+1=2 cioè n=1).
Ciao
GaS
"Giovanni Rana" <vita...@libero.it> wrote in message
news:NsbP4.69295$xt2.8...@news.infostrada.it...
> Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
> "Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso.
Supponiamo
> ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
> colore rosso: prese n+1 mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n
mele
> che per ipotesi induttiva sranno rosse; quindi almeno una mela di quelle
> date è rossa. Togliamo quella mela, e abbiamo di nuovo un gruppo di n
mele,
> che per ipotesi induttiva sono tutte rosse: quindi tutte le n+1 mele sono
> rosse."
> Buon divertimento e saluti a tutti.
Per usare il metodo induttivo dobbiamo ora dimostrare *che esiste* un numero
p tale che comunque prese p mele queste siano rosse, bisognerebbe per
esempio dimostrare che comunque prese 2 mele queste siano rosse e questo è
naturalmente impossibile. Se non si dimostra la veridicita della
affermazione per un caso concreto tutto il metodo casca.
GaS
ema
>> Quindi la tesi e` vera in un mondo in cui vale questa "ipotesi
>> induttiva", ovvero non il nostro :-)
> Non ci siamo, ema, scusa se mi permetto ma tu descrivi in modo
>
> errato il "funzionamento" del principio d' induzione: se voglio
> dimostrare che una proprietà a) vale per qualsiasi numero naturale,
> (o per qualsiasi elemento di un insieme numerabile), basta che io
> dimostri che vale per n=1 e poi che io dimostri che, _se_ a)
> valesse per un n generico, allora varrebbe pure per n+1. _Non_
> ho bisogno di sapere che a) vale davvero per ogni n, cioè che
> l' ipotesi induttiva è vera, e ciò è ovvio, perchè se già sapessi che
> a) vale per un n generico, allora non dovrei più dimostrare nulla.
>
gia`, hai ragione. Grazie per la precisazione.
bye!
--
Emanuele Cesena http://www.penguinpowered.com/~ecesena
<ece...@penguinpowered.com> Attenzione all'anti-spam XXX
Ultime parole famose: "Cosa succede se premo questo pulsante??".
_-^--^=-_
_.-^^ -~_
_-- --_
< >)
| |
\._ _./
```--. . , ; .--'''
| | |
.-=|| | |=-.
`-=#$%&%$#=-'
| ; :|
_____.,-#%&$@%#&#~,._____
Elrond
Rispondo a un messaggio dopo un mese, ma solo da 3 giorni, dopo anni,
mi sono deciso a sottoscrivere IFD. Un errore che mi portera' via
tempo e mi fara' soffrire inferiorita' intellettuale.
On 1 May 2000 10:51:34 +0200, "Giovanni Rana" <vita...@libero.it>
wrote:
>Tesi: "Tutte le mele hanno lo stesso colore"
>"Si prenda una mela, che avrà un certo colore, ad esempio rosso. Supponiamo
>ora per ipotesi induttiva che tutti i gruppi di n mele abbiano lo stesso
>colore rosso: prese n+1 mele, se ne togliamo una abbiamo un gruppo di n mele
>che per ipotesi induttiva sranno rosse; quindi almeno una mela di quelle
>date è rossa. Togliamo quella mela, e abbiamo di nuovo un gruppo di n mele,
>che per ipotesi induttiva sono tutte rosse: quindi tutte le n+1 mele sono
>rosse."
A me sembra che non sia minimamente rispettato il concetto di
"dimostrazione per induzione": e' "de-duzione" in due sensi, ovvero
non ci dice piu' di quanto era scritto nell'ipotesi (OK, tutta la
logica e' cosi', traduzione e non costruzione) e toglie (una mela)
invece di aggiungerla.
Il punto astuto della dimostrazione per induzione e' provare che
*se* A e' vero per n, *allora* A e' vero per n+1
Non che
se A e' vero per n, togliendo 1 da n+1 A resta vero
Mentre quest'ultimo e' lo schema della paralogia delle mele.
Invece di fare passettini avanti nell'insieme dei numeri naturali e
provare che posso sempre farne un altro, considerando cosi' le mele
do' un rassicurante sguardo indietro a cio' che so gia'.
Qui potrei rimbalzare sull'induzione, non nel senso di Peano ma in
quello di Aristotele, e potrei non avere torto, naturalisticamente, e
quindi uscendo dall'ipotesi tacita del gioco, perche' se guardo
parecchie mele e sono tutte rosse, verosimilmente sono in un frutteto
di mele rosse (o, se sono un verme, in una cassetta). E' lo stesso
motivo per cui, se una moneta vera, materiale, da' 600 volte
consecutive testa, posso pensare che lo faccia anche alla 601ma,
perche' verosimilmente e' truccata. Adatta a giochi di prestigio e non
di logica.
O cosi' mi sembra.
--
ciao,
Elrond
Mardy
Elrond ha scritto nel messaggio ...
>
>A me sembra che non sia minimamente rispettato il concetto di
>"dimostrazione per induzione": e' "de-duzione" in due sensi, ovvero
>non ci dice piu' di quanto era scritto nell'ipotesi (OK, tutta la
>logica e' cosi', traduzione e non costruzione) e toglie (una mela)
>invece di aggiungerla.
>Il punto astuto della dimostrazione per induzione e' provare che
>*se* A e' vero per n, *allora* A e' vero per n+1
>Non che
>se A e' vero per n, togliendo 1 da n+1 A resta vero
>Mentre quest'ultimo e' lo schema della paralogia delle mele.
Non colgo il senso del tuo discorso: mi sembra che tu voglia dire che la
"direzione" della dimostrazione per induzione deve andare verso gli "n"
crescenti. Secondo me invece la "direzione" non esiste; esiste semplicemente
questo fatto: se sto dimostrando che una proposizione vale per n+1, posso
sempre contare sul fatto che essa valga anche per n.
Tra l'altro la dimostrazione paralogica melosa rispetta, almeno formalmente,
questo canone; la falla nella dimostrazione sta nel fatto che il
procedimento induttivo "vero per n -> vero per n+1" cade quando n = 1, ed e'
un dettaglio che sfugge facilmente.
>di mele rosse (o, se sono un verme, in una cassetta). E' lo stesso
>motivo per cui, se una moneta vera, materiale, da' 600 volte
>consecutive testa, posso pensare che lo faccia anche alla 601ma,
>perche' verosimilmente e' truccata. Adatta a giochi di prestigio e non
Devi formalizzare il ragionamento sulla moneta: il passaggio "vero per n" ->
"vero per n+1" nel caso della moneta non e' dimostrato, mentre nel caso
delle mele sě (anche se in modo sbagliato).
Saluti,
Mardy
Elrond
On 31 May 2000 18:39:17 +0200, "Mardy" <_ma...@geocities.com> wrote:
>Non colgo il senso del tuo discorso: mi sembra che tu voglia dire che la
>"direzione" della dimostrazione per induzione deve andare verso gli "n"
>crescenti.
Si', altrimenti non dimostri una cosa che riguardi ogni numero
naturale maggiore di uno dato.
>se sto dimostrando che una proposizione vale per n+1, posso
>sempre contare sul fatto che essa valga anche per n.
Certo, "vero per N" e' un'ipotesi che posso sfruttare nel tentativo di
provare "vero per N+1"
>Tra l'altro la dimostrazione paralogica melosa rispetta, almeno formalmente,
>questo canone
Secondo me, no: non dimostra che sia vero per N+1, proprio perche' non
dice niente sulla mela aggiunta.
> la falla nella dimostrazione sta nel fatto che il
>procedimento induttivo "vero per n -> vero per n+1" cade quando n = 1, ed e'
>un dettaglio che sfugge facilmente.
Non e' rilevante che un'induzione posta in una certa forma non
funzioni per n=1, basta che funzioni definitivamente per ogni n > di
un m dato.
>>di mele rosse (o, se sono un verme, in una cassetta). E' lo stesso
>>motivo per cui, se una moneta vera, materiale, da' 600 volte
>>consecutive testa, posso pensare che lo faccia anche alla 601ma,
>>perche' verosimilmente e' truccata. Adatta a giochi di prestigio e non
>
>Devi formalizzare il ragionamento sulla moneta: il passaggio "vero per n" ->
>"vero per n+1" nel caso della moneta non e' dimostrato, mentre nel caso
>delle mele sě (anche se in modo sbagliato).
Infatti ho scritto "naturalisticamente" e "verosimilmente". Le monete
truccate sono, in rapporto alle monete totali, piu' di 1/2^600 :-)
--
ciao,
Elrond
Mardy
Elrond ha scritto nel messaggio ...
>
>
>>se sto dimostrando che una proposizione vale per n+1, posso
>>sempre contare sul fatto che essa valga anche per n.
>
>Certo, "vero per N" e' un'ipotesi che posso sfruttare nel tentativo di
>provare "vero per N+1"
Tieni presente quanto abbiamo scritto qui sopra.
>>Tra l'altro la dimostrazione paralogica melosa rispetta, almeno
formalmente,
>>questo canone
>
>Secondo me, no: non dimostra che sia vero per N+1, proprio perche' non
>dice niente sulla mela aggiunta.
Non si tratta di mela aggiunta, ma di mela tolta: parto da un gruppo di n+1
mele, di cui non so nulla; ne tolgo una e, per ipotesi induttiva (e per
quanto ho quotato piu' sopra), so che il gruppo delle n mele restanti e'
unicolore. Fin qua ci siamo, no?
Se ora io rimetto nel mucchio la mela che avevo tolto, e ne tolgo un'altra,
ottengo ancora un gruppo unicolore, sempre per induzione. L'errore nella
dimostrazione sta nel passaggio seguente: io non posso dire che i colori dei
due gruppi di n mele sono gli stessi, se non ho almeno una mela che sia
appartenuta ad entrambi, e che renda la relazione transitiva.
Ma fino a quel punto il ragionamento fila.
Saluti,
Mardy
Elrond
On 1 Jun 2000 18:31:41 +0200, "Mardy" <_ma...@geocities.com> wrote:
>>Secondo me, no: non dimostra che sia vero per N+1, proprio perche' non
>>dice niente sulla mela aggiunta.
>
>Non si tratta di mela aggiunta, ma di mela tolta: parto da un gruppo di n+1
>mele, di cui non so nulla; ne tolgo una e, per ipotesi induttiva (e per
>quanto ho quotato piu' sopra), so che il gruppo delle n mele restanti e'
>unicolore. Fin qua ci siamo, no?
No, perche' le mele sono usate in una dimostrazione per induzione con
l'ipotesi neanche tanto tacita che esse "contino" come numeri interi
positivi, ovvero siano in corrispondenza biunivoca con quelli, quindi
non tolgo una mela "generica", ma *quella* mela specifica.
>Se ora io rimetto nel mucchio la mela che avevo tolto, e ne tolgo un'altra,
Non posso farlo, rispettando il concetto dell'induzione, perche' sto
scambiando un numero intero con un altro, senza aver dimostrato che la
proprieta' (il colore) sia invariante rispetto a quella permutazione:
le mele, in questo senso, hanno un'individualita', un'etichetta in N.
Quindi puoi operare solo su *una* mela. Altrimenti, abusando di
permutazioni dei naturali, ogni proprieta' vera per un numero sarebbe
vera per tutti.
O almeno, a me cosi' pare.
--
ciao,
Elrond
Mardy
Elrond ha scritto nel messaggio ...
>
>No, perche' le mele sono usate in una dimostrazione per induzione con
>l'ipotesi neanche tanto tacita che esse "contino" come numeri interi
>positivi, ovvero siano in corrispondenza biunivoca con quelli, quindi
>non tolgo una mela "generica", ma *quella* mela specifica.
Io non vedo questa ipotesti.
>>Se ora io rimetto nel mucchio la mela che avevo tolto, e ne tolgo
un'altra,
>
>Non posso farlo, rispettando il concetto dell'induzione, perche' sto
>scambiando un numero intero con un altro, senza aver dimostrato che la
>proprieta' (il colore) sia invariante rispetto a quella permutazione:
>le mele, in questo senso, hanno un'individualita', un'etichetta in N.
Certo, ma il ragionamento non toglie individualita' alla mela: nel gruppo di
n+1 mele, tolgo la mela X; ne restano n, che hanno lo stesso colore. Tolgo
la mela Y da queste n e rimetto la mela X. Y e' rossa, e siccome anche
questo secondo gruppo e' composto di mele rosse, anche X lo e'. Convieni con
me che questo ragionamento fila sempre, eccetto il caso in cui n = 1. Vero?
>Quindi puoi operare solo su *una* mela. Altrimenti, abusando di
>permutazioni dei naturali, ogni proprieta' vera per un numero sarebbe
>vera per tutti.
Non per niente si tratta di un ragionamento errato (paralogia); il punto e'
che io dico che l'errore sta *solo* nel passaggio n->n+1, perche' tutto il
resto fila liscio.
Saluti,
Mardy
Elrond
On 3 Jun 2000 14:43:22 +0200, "Mardy" <_ma...@geocities.com> wrote:
>Elrond ha scritto nel messaggio ...
>>On 1 Jun 2000 18:31:41 +0200, "Mardy" <_ma...@geocities.com> wrote:
>>
>>No, perche' le mele sono usate in una dimostrazione per induzione con
>>l'ipotesi neanche tanto tacita che esse "contino" come numeri interi
>>positivi, ovvero siano in corrispondenza biunivoca con quelli, quindi
>>non tolgo una mela "generica", ma *quella* mela specifica.
>
>Io non vedo questa ipotesti.
Beh, se non fai una corrispondenza biunivoca tra numeri e mele, non
puoi ragionare per induzione ;-)
--
ciao,
Elrond