Teoria dei Giochi e Mishna

[Liang Rongfa]

La Teoria dei Giochi e' una branca della Ricerca Operativa che cerca di
stabilire quale comportamento debbano adottare due o piu' "enti" (persone,
animali, programmi per computer) che abbiano interessi almeno parzialmente
contrastanti per massimizzare i guadagni (o minimizzare le perdite) quando
interagiscono.

Le prime interazioni studiate sono state per l'appunto i "giochi" di
societa', in quanto l'esistenza di regole ben definite semplifica
notevolmente l'analisi; ma la teoria ha l'ambizione, spesso coronata da
successo, di studiare interazioni piu' complesse come le trattative
d'affari, la politica internazionale, la strategia militare, l'evoluzione
delle specie viventi, ecc.

Cio' che conta per news:it.cultura.ebraica e' che nel 1985 gli esperti di
Teoria dei Giochi hanno scoperto che un problema di "equa divisione"
descritto nella Mishna (Bava Metzia) era stato risolto dai tannaiti in
maniera corretta, anche se aliena al senso comune.

Il problema e' questo: un uomo sposa tre mogli, e nelle rispettive ketubbot
egli promette 100 zuz di "contraddote" (non mi ricordo il termine talmudico
per essa) alla prima moglie, 200 zuz alla seconda, 300 zuz alla terza.

Sventura vuole che l'uomo muoia senza avere un patrimonio adeguato ad
onorare le contraddoti, ed i tannaiti si sono chiesti come ripartire il
patrimonio tra le vedove.

La soluzione moderna sarebbe ripartire il patrimonio in proporzione al
credito, cosicche' la terza moglie riceverebbe il triplo della prima, che a
sua volta riceverebbe meta' della seconda.

Questa soluzione nasce dal presupposto che la soddisfazione delle vedove sia
proporzionale alla quota della contraddote che ricevono, ma e' un
presupposto non vero: se l'autorita' statale non puo' imporre la sua legge
alle vedove, le vedove meno soddisfatte cercheranno di accordarsi per
spuntare qualcosa di piu' a colei che ritengono troppo soddisfatta.

I tannaiti hanno tenuto questo in conto e sono giunti a queste soluzioni:

1) Se il "de cuius" ha un patrimonio di soli 100 zuz, si divide il
patrimonio in tre parti uguali - senza badare all'ammontare dei crediti
delle vedove. Ognuna di loro quindi riceve 33 zuz 1/3.

2) Se il "de cuius" ha un patrimonio di soli 200 zuz, la prima moglie riceve
50 zuz, le altre due ricevono 75 zuz a testa.

3) Se il "de cuius" ha un patrimonio di almeno 300 zuz, la soluzione
moderna, cioe' ripartire il patrimonio in proporzione ai crediti, ha senso.
Nel caso dei 300 zuz, la prima moglie riceverebbe quindi 50 zuz, la seconda
100 zuz, la terza 150 zuz.

La spiegazione che gli studiosi di Teoria dei Giochi danno di queste
soluzioni ricorre al concetto di "nucleolo", ovvero si presuppone che le
vedove non si alleeranno per aumentare la loro soddisfazione, ma per
diminuire la loro insoddisfazione. In altre parole, il loro scopo non e'
potersi vantare dicendo "ci e' andata bene", ma potersi consolare dicendo
"poteva andarci molto peggio".

1) Nel primo caso, se si cercasse di imporre la soluzione moderna, la vedova
meno fortunata (quella a cui si sono promessi 100 zuz) si alleerebbe con la
seconda per rosicchiare la parte della terza, che ai loro occhi apparirebbe
sproporzionata.

Dividendo l'eredita' in tre parti uguali fin dall'inizio un simile accordo
non potrebbe nascere, perche' se A proponesse a B di spartire a meta' la
parte di C, C potrebbe ribattere proponendo a B di spartire allo stesso modo
la parte di A, o ad A di spartire cosi' la parte di B. Nessuno ci
guadagnerebbe dal voler alterare la divisione.

2) Nel secondo caso la prima moglie diventerebbe il bersaglio degli attacchi
delle altre due mogli alleate. Infatti la prima moglie non puo' esigere piu'
di 100 zuz, e le altre due, se non si alleassero, dovrebbero accontentarsi
degli altri 100 zuz da dividersi in due.

Ma se esse si alleano, possono tentare di scaricare una parte della loro
insoddisfazione sulla prima moglie, che si deve quindi accontentare di 50
zuz, mentre le altre due ricevono 75 zuz a testa.

3) Nel terzo caso ogni possibile alleanza tra vedove finirebbe con
l'accordarsi sulla soluzione moderna. Tanto vale imporla a priori.

La notizia l'ho appresa leggendo l'articolo:

Theodore P. Hill
Mathematical Devices for Getting a Fair Share
American Scientist
Volume 88, Number 4 July-August 2000 pp. 325-331.

a cui corrisponde la pagina Web:

http://www.americanscientist.org/articles/00articles/hill.html

Altre fonti in Internet sono:

http://www.unisa.edu.au/maths/seminars/1998/3-3.html
http://william-king.www.drexel.edu/top/class/histf.html#AT
http://william-king.www.drexel.edu/top/class/histf.html#ref73

Quest'ultima contiene il riferimento bibliografico all'articolo che per
primo esamino' in termini moderni il problema talmudico:

Aumann, R. J. and M. Maschler,( 1985), Game Theoretic Analysis of a
Bankruptcy Problem from the Talmud, Journal of Economic Theory 36, 195-213.

Ciao a tutti.

[Federico]

Liang Rongfa ha scritto:
>
> La Teoria dei Giochi...(cut)

Per chi fosse interessato, ecco l'URL di una scheda su John Von Neumann,
geniale matematico
ebreo ungherese, fondatore della teoria dei giochi e studioso della
teoria dei calcolatori
(senza Turing e senza Von Neumann, niente computers!).
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Von_Neumann.html

Bye, Federico

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La dolcezza del mondo è una una una
Solo a lei canto al lume della luna