Variavel Complexa

[Apolito Ghosh]

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Esta publicao ideal para a iniciao anlise complexa e para ser usada em aulas sobre funes de uma varivel complexa, seja em cursos de matemtica, engenharia ou fsica. A teoria vem acompanhada de exemplos e exerccios, mais de 200, de carter computacional. Os pr-requisitos para seu melhor aproveitamento so o estudo do clculo I e II, pois preciso familiaridade com os conceitos de limite, continuidade, derivada e integral, principalmente noes de derivada parcial e sries numricas.

O texto introduz o conceito de nmeros complexos e temas fundamentais de cursos de Anlise Complexa, como funes analticas, noes bsicas da topologia do plano complexo, integrao complexa e o teorema de Cauchy, sries de Taylor e de Laurent, e singularidades isoladas de funes analticas.

A anlise complexa, tambm conhecida como a teoria das funes de varivel complexa, o ramo da matemtica que investiga as funes de nmeros complexos. Ela til em muitas reas da matemtica, incluindo geometria algbrica, teoria dos nmeros, anlise combinatria e matemtica aplicada; alm disso, ela amplamente utilizada em vrios ramos da fsica, como hidrodinmica, termodinmica e, em particular, mecnica quntica. Por consequncia, o escopo terico da anlise complexa tambm possui aplicaes nas vrias divises da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecnica e eltrica.

A teoria das funes de varivel complexa tem como um de seus principais objetivos a extenso do clculo diferencial e integral para o domnio dos nmeros complexos.[1] Seja A um conjunto de nmeros complexos. Se z \displaystyle z denota qualquer um dos nmeros do conjunto A, ento z \displaystyle z denominado uma varivel complexa. Se existe uma correspondncia entre os valores da varivel complexa z \displaystyle z para com uma outra varivel complexa w \displaystyle w para cada valor possvel de z \displaystyle z (elementos do conjunto A), ento w \displaystyle w uma funo da varivel complexa z no conjunto A e isto denotado como w = f ( z ) . \displaystyle w=f(z). O conjunto A usualmente algum domnio, chamado domnio de definio da funo w . \displaystyle w.

Algumas propriedades tpicas dos limites de funes reais tambm podem ser aplicadas s funes complexas, por exemplo:1) o limite da soma igual a soma dos limites;2) o limite do produto igual ao produto dos limites;3) o limite do quociente igual ao quociente dos limites (dado que o denominador no seja 0);...

Seja um subconjunto D do plano complexo C. Uma funo complexa uma correspondncia que associa a cada elemento z D um nico nmero w=f(z) C. As notaes mais comuns para representar uma funo complexa so:

usual considerarmos a regra de definio da funo w=f(z) sem especificar o seu domnio, nestes casos fica subtendido que o domnio da funo o maior subconjunto dos nmeros complexos no qual a aplicao w=f(z) faz sentido.

Se o domnio da funo um subconjunto dos nmeros reais e a imagem um subconjunto dos nmeros complexos, a funo w=f(z) dita funo complexa de uma varivel real. Para exemplificar considere a funo f(x,y)=x+iy com x e y nmeros reais.

Usualmente, uma funo real visualizada pelo traado de seu grfico y=f(x) em um sistema cartesiano com um dos eixos para a varivel do domnio x e outro para a varivel da imagem y.

Para funes complexas f: C C a visualizao de grficos no to simples pois o plano complexo C bidimensional ento seria necessrio um espao de quatro dimenses para traar o grfico da funo w=f(z). Como um espao de quatro dimenses no admissvel em nossas mentes, outras tcnicas so necessrias para a visualizao de grficos de funes complexas.

Um ponto P do plano z, se move descrevendo um crculo unitrio de centro na origem e no sentido anti-horrio. Se a tranformao for dada por w=f(z)=z, a imagem P' de P no plano w descreve 2 voltas completas no crculo unitrio de centro na origem no sentido anti-horrio enquanto o ponto P descreve uma volta completa no pano z.

Com isto, conclumos que enquanto o ponto P se move no plano z, a imagem P' no plano w se move sobre um crculo de raio unitrio e centro na origem pois r'=1 e enquanto P descreve um ngulo t no plano z, a imagem P' descreve um ngulo 2t no plano w.

A aplicabilidade da teoria complexa amplamente reconhecida, em especial nas reas de engenharia e fsica, razo pela qual uma disciplina sobre as funes de uma varivel complexa se faz necessria nessas reas; por outro lado, ela pode ser considerada uma abertura para o conhecimento da beleza da anlise complexa, com seus mistrios e resultados inusitados. Este livro pretende introduzir os conceitos e os resultados das funes de uma varivel complexa que permitam ao aluno de engenharia, fsica ou matemtica chegar mais rapidamente aos teoremas de Cauchy-Goursat e suas aplicaes. Ao longo dos sete captulos que compem o livro, so apresentados vrios exemplos com o objetivo de facilitar a compreenso dos conceitos e dos resultados tericos, bem como, servir de modelo para a soluo dos exerccios propostos ao final de cada captulo.

A teoria das funes de uma varivel complexa, que inclui o estudo de funes analticas, tem um papel central na matemtica, dada a sua riqueza de aspectos analtico-geomtricos. Os temas abordados refletem esta abrangncia e visam proporcionar uma formao bsica a nvel de mestrado.

I. O corpo dos nmeros complexos: definio; operaes e propriedades; topologia do plano complexo.

II. Funes analticas: sries de potncias; derivao complexa e propriedades; ramos de funes inversas; equaes de Cauchy-Riemann; transformaes de Mbius.

III. Integrao complexa: formas diferenciais; integrao de 1-formas em caminhos; integrao de 1-formas exatas e fechadas; integrao de formas fechadas em caminhos contnuos; integrao de formas fechadas ao longo de caminhos homotpicos; representao em sries de funes analticas, zeros de uma funo analtica; ndice de uma curva fechada; o teorema de Cauchy e a frmula integral de Cauchy; domnios simplesmente conexos e a verso homotpica do teorema de Cauchy; o Teorema da Aplicao Aberta; o Teorema de Goursat.

IV. Singularidades isoladas de funes analticas: zeros de funes analticas; classificao; resduos; o teorema do resduo e aplicaes; o princpio do argumento e o Teorema de Rouch; o teorema do mdulo mximo e o princpio do mximo.

V. O Teorema da Aplicao de Riemann: caracterizao dos compactos do espao das funes analticas e do espao das funes meromorfas; Teorema da Aplicao de Riemann.

VI. Imagem de funes analticas: o Teorema de Picard (little).

Este ebook uma produo do IMPA.

Esse pequeno texto orientado para um curso de graduao ou de nivelamento, introduzindo o bsico e o minimamente essencial da teoria de funes de uma variavel complexa. Nosso ponto de vista ao escrev-lo teve por foco discorrer sobre tpicos da Teoria de Cauchy da maneira mais elementar possvel, sem prejuizo do mnimo de rigor necessrio ao entendimento correto de alguns resultados sobre funes holomorfas.Os pr-requisitos exigidos so um curso usual de Clculo Real (uma e duas variveis), um curso, tambm usual, de Geometria Analtica e lgebra Linear e um pouco de treino na leitura de argumentos de cunhomatemtico. Com o objetivo de torn-lo um texto o mais independente possvel, alguns conceitos relativos ao Clculo Real so revistos no Captulo 2, onde tambm revisto o Teorema de Green. inevitvel, levando em conta a nossa proposta para essas notas, que uns poucos resultados sejam admitidos sem demonstrao. Quanto a esses, nossa escolha recaiu sobre o Teorema de Jordan, o Critrio de Convergncia de Cauchy e o Teorema dos Compactos Encaixantes. Finalmente, entendemos que deveramos apresentar pelo menos um resultado no bvio e ilustrativo do ambiente complexo; escolhemos o teorema de caracterizaao dos biholomorfismos do disco unitrio.

Funes de uma varivel complexa. A derivada complexa. Equaes de Cauchy-Riemann. Funes holomorfas. Integrao complexa. O teorema de Cauchy-Goursat. A frmula integral de Cauchy. Princpio do mdulo mximo e aplicaes. Sries de potncias. Funes analticas. Srie de Laurent. Classificao das singularidades. Teorema dos resduos e aplicaes. Transformaes conformes.

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Este livro apresenta uma abordagem clssica da teoria das funes de varivel complexa e destina-se a ser usado como texto de apoio para as aulas de Anlise Complexa e Equaes Diferenciais ou outras unidades curriculares dos cursos de Engenharia que recorram anlise complexa.

Na primeira parte do livro so apresentados os fundamentos da lgebra dos nmeros complexos, com especial nfase na interpretao geomtrica das suas propriedades. A parte principal do livro inclui os resultados clssicos do clculo diferencial e integral com funes de varivel complexa; dada especial ateno ao teorema de Cauchy e as suas consequncias, aos desenvolvimentos em sries de potncias e ao prolongamento analtico de funes de varivel complexa.

A parte final do livro dedicada transformao conforme e sua aplicao na resoluo do problema de valores na fronteira para a equao de Laplace em duas dimenses; inclui uma tabela de transformaes conformes de uso frequente.

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