teorema del Dini

[Francesco 591]

Salve prof. Misha,

durante il corso sono stato assente ad alcune lezioni e vorrei sapere se il teorema del Dini sia stato inserito nel programma di quest'anno. Se si, mi potrebbe dire brevemente in quali tipi di esercizi si deve utilizzare o qualche suo consiglio 'operativo' ?

Grazie in anticipo per la disponibilità

Francesco

[Mikhail Maslennikov]

Ciao Francesco,

 

il teorema del Dini compare nel programma del corso di quest'anno. Devi conoscerne l'enunciato, sapere che si tratta di una condizione sufficiente (e non necessaria) perchè il luogo degli zeri di una funzione di classe C^1 su un aperto di R^2 (o R^3) possa essere localmente identificato con il grafico di una funzione C^1 della variabile x o della variabile y.

 

Le applicazioni del teorema del Dini sono ad esempio il calcolo di un limite che coinvolga la sconosciuta funzione implicita oppure lo studio della natura del punto critico (nel caso lo sia) nel cui intorno è definita la funzione implicita.

 

Dai un'occhiata ai 4 file in allegato (i 4 appelli di quest'anno del mio corso di Analisi II per ingegneria cinica) per avere un'idea su alcuni esercizi classici.

 

Un saluto,

 

Misha

 

 

Da: Francesco 591 <fran...@hotmail.it>
A: ingegneriam...@googlegroups.com
Inviato: Venerdì 9 Settembre 2011 10:35
Oggetto: teorema del Dini

[Francesca rossi]

 salve professore,
grazie mille per i suggerimenti sono stati utilissimi!
rispondo alle sue domande:
domanda 1: la curva x(t)=t^2 y(t)=t^2 è semplice nell'intervallo [0,1] perchè in esso non sono ammissibili valori negativi di t_1 e t_2 e quindi gli unici valori  di  t_1 e t_2 affinchè la condizione di semplicità sia verificata è che  le t siano uguali.
domanda 2:perchè 2pgreco non è contenuto nell'intervallo
domanda 3:forse dovrei verificare 9 uguaglianze della curva in forma parametrica....
mi potrebbe dare la definizione precisa di dominio regolare?
grazie 
francesca 

---

Date: Fri, 9 Sep 2011 10:38:02 +0100
From: mmasle...@yahoo.it
Subject: Re: teorema del Dini
To: ingegneriam...@googlegroups.com

[Mikhail Maslennikov]

Ciao Francesca, vedi sotto!

 

Misha

Da: Francesca rossi <france...@hotmail.it>
A: ingegneriameccanica2011 <ingegneriam...@googlegroups.com>
Inviato: Venerdì 9 Settembre 2011 13:24
Oggetto: RE: teorema del Dini

 salve professore,
grazie mille per i suggerimenti sono stati utilissimi!
rispondo alle sue domande:
domanda 1: la curva x(t)=t^2 y(t)=t^2 è semplice nell'intervallo [0,1] perchè in esso non sono ammissibili valori negativi di t_1 e t_2 e quindi gli unici valori  di  t_1 e t_2 affinchè la condizione di semplicità sia verificata è che  le t siano uguali.

Misha: ok

 

 

domanda 2:perchè 2pgreco non è contenuto nell'intervallo

Misha: no. La semplicità di una curva è una propietà che investe anche le curve senza estremi ovvero quelle definite su intervalli reali non necessarimente chiusi e limitati.

 

La semplicità della curva è dovuta al fatto che y(t)=t e dunque y(t_1)=y(t_2) se e solo se t_1=t_2. Il sistema x(t_1)=x(t_2) e y(t_1)=y(t_2) ammette dunque la soluzione banale t_1 = t_2 e la curva è semplice.

 

domanda 3:forse dovrei verificare 9 uguaglianze della curva in forma parametrica....

 

Misha: perchè 9? Devi controllare che il sistema di tre equazioni x(t_1)=x(t_2), y(t_1)=y(t_2) e z(t_1)=z(t_2) ammette solo la soluzione banale t_1=t_2. Le equazioni parametriche per curve immerse in R^3 sono tre!

 

mi potrebbe dare la definizione precisa di dominio regolare?

 

Misha: è un unione finita di domini normali regolari di R^2. Un dominio normale regolare di R^2 è invece un insieme della forma

 

A= {(x,y) in R^2 : x in [a,b] e f_1(x) <= y <= f_2(x)} con f_1(x) <= f_2(x) per ogni x in [a,b] e f_1 e f_2 funzioni di classe C^1[a,b]

.

grazie 
francesca 

Ciao, M.

[Francesca rossi]

salve,
vorrei essere sicura di aver capito bene la verifica della semplicità di una curva: la domanda che mi devo porre in testa è : quanti valori di t esistono affinchè l'uguaglianza di x(T_1)=x(t_2) e stessa cosa per y sia verificata? se ne esistono più di una allora non è semplice altrimenti si.
per la terza domanda non so che mi ha detto la testa...ho introdotto un'altra t e quindi  mi  venivano 9 combinazioni  possibili...
 
francesca
 
 
Date: Fri, 9 Sep 2011 13:47:53 +0100

[Mikhail Maslennikov]

si

Da: Francesca rossi <france...@hotmail.it>
A: ingegneriameccanica2011 <ingegneriam...@googlegroups.com>

Inviato: Venerdì 9 Settembre 2011 15:45

[Francesca rossi]

grazie mille
 

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Date: Fri, 9 Sep 2011 14:50:09 +0100

[Francesco 591]

Grazie :-)

Francesco

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Date: Fri, 9 Sep 2011 10:38:02 +0100
From: mmasle...@yahoo.it
Subject: Re: teorema del Dini
To: ingegneriam...@googlegroups.com