Soluzione esercizi aperti

[Mikhail Maslennikov]

Ciao ragazzi,

 

gli esercizi aperti che non abbiamo fatto in tempo a correggere oggi sono nei due file in allegato (in ordine sparso).

 

Misha

 

 

[Francesca rossi]

buona sera professore,
ho difficoltà a risolvere questi esercizi :
1)calcolare l'integrale curvilineo xdx+y^2dy in cui gamma(curva orientata in senso positivo) è il triangolo curvilineo di vertici (1,1) (2,2) (2,1) dove i vertici (1,1) e (2,2) sono congiunti dall'arco di curva di equazione x^2 + y^2 -4x -2y +4=0 e gli altri lati sono rettilinei.
2)calcolare l'area del dominio piano delimitato dalla curva di equazioni parametriche x=t(t/4-1) y=t(t/4-1)(t/2-1)con t compreso tra 0 e 4 estremi inclusi.
3)calcolare l'area di E  ,dominio delimitato da x^2+2y^2=1 e dal segmento di retta di estremi (1,0) (0,1/radicedi2).
4)la curva di equazioni parametriche  x=t y=1 con t appartenente tra 0 e 1 estemi inclusi ha la stessa lunghezza della curva di equazioni parametriche x=t^2 y=1 con t compreso nello stesso intervallo: V F.
inoltre vorrei sapere data una rappresentazione paramentrica di una curva cosa devo fare per sapere se è semplice e cosa per sapere se è chiusa.

 la ringrazio anticipatamente.
cordiali saluti
 
 
francesca

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Date: Tue, 14 Jun 2011 12:48:45 +0100
From: mmasle...@yahoo.it
Subject: Soluzione esercizi aperti
To: ingegneriam...@googlegroups.com

[Mikhail Maslennikov]

Ciao Francesca,

vedi sotto, punto per punto nella tua mail.

Misha

Da: Francesca rossi <france...@hotmail.it>
A: ingegneriameccanica2011 <ingegneriam...@googlegroups.com>
Inviato: Mer 7 settembre 2011, 17:22:16
Oggetto: esercizi analisi 2

buona sera professore,
ho difficoltà a risolvere questi esercizi :
1)calcolare l'integrale curvilineo xdx+y^2dy in cui gamma(curva orientata in senso positivo) è il triangolo curvilineo di vertici (1,1) (2,2) (2,1) dove i vertici (1,1) e (2,2) sono congiunti dall'arco di curva di equazione x^2 + y^2 -4x -2y +4=0 e gli altri lati sono rettilinei.

 

Misha: l'integrale fa 0, perchè la forma differenziale è esatta (essendo chiusa in tutto R^2 che è semplicemente connesso) e la curva su cui si integra è chiusa e, come saprai, l'integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva chiusa è nullo.

 

2)calcolare l'area del dominio piano delimitato dalla curva di equazioni parametriche x=t(t/4-1) y=t(t/4-1)(t/2-1)con t compreso tra 0 e 4 estremi inclusi.

 

Misha: la curva è chiusa e semplice (vedi i commenti alla domanda 4)) e delimita un dominio limitato che chiamiamo D (nota bene: t appartiene a [0,4]!). 

 

Risulta che  Area(D) = (facile, pensaci) integrale doppio su D di 1 in dxdy = (usa le formule di Gauss Green) = int curvilineo sulla frontiera di D percorsa in senso antiorario di x in dy = (risolvi l'integrale curvilineo, utilizzando la parametrizzazione assegnata che fa percorrere la curva proprio in senso antiorario) = int fra 0 e 4 di x(t) * y'(t) dt = (lascio a te il calcolo di y'(t) e l'integrazione polinomiale (facilissima))..

 

 

3)calcolare l'area di E  ,dominio delimitato da x^2+2y^2=1 e dal segmento di retta di estremi (1,0) (0,1/radicedi2).

 

Misha: come sopra Area(E) = integrale doppio su E di 1 in dxdy = int curvilineo sulla frontiera di E percorsa in senso antiorario di x in dy =

 

= integri sulla frontiera di E che è unione di due tratti curvilinei (pezzo ellittico e pezzo lineare). Devi solo parametrizzare correttamente le due curve che compongono il bordo di E e riapplicare la formula dell'esercizio precedente.

 

 

4)la curva di equazioni parametriche  x=t y=1 con t appartenente tra 0 e 1 estemi inclusi ha la stessa lunghezza della curva di equazioni parametriche x=t^2 y=1 con t compreso nello stesso intervallo: V F.

Misha: V. O applichi la semplicissima formula per la lunghezza dell'arco di curva o, più semplicemente, osservi che entrambe le parametrizzazioni descrivono il segmento orizzontale che collega il punto A=(0,1) al punto B=(1,1).

 

 

 

inoltre vorrei sapere data una rappresentazione paramentrica di una curva cosa devo fare per sapere se è semplice e cosa per sapere se è chiusa.

 

Misha: una curva gamma: [a,b] --> R^n si dice chiusa se gamma(a)=gamma(b). Dunque una semplice verifica del fatto che gli estremi della curva coincidono.

 

Sia I un intervallo della retta reale (non necessariamente chiuso e limitato). Una curva gamma: I --> R^2 (caso n=2, puoi provare a generalizzarlo con facilità) si dice semplice se presi comunque t_1 e t_2 in I (t_1 diverso t_2) risulta che gamma(t_1) è diverso da gamma (t_2).

 

In sostanza una curva è semplice se non ammette autointersezioni o sovrapposizioni con l'unica eccezione che una curva con estremi può rimanere semplice anche se chiusa (ovvero l'unica autointersezione ammissibile per curve con gli estremi che permette di mantenere la semplicità della curva è proprio quella negli estremi).

 

Per studiare la semplicità di una curva, bisogna chiedersi per quali t_1 e t_2 in I risulta gamma(t_1)=gamma(t_2)? Ovviamente se t_1=t_2 allora gamma(t_1) e gamma(t_2) sono banalmente uguali. Ma se questa uguaglianza si verifica anche per qualche altra possibile scelta di t_1 e t_2 diversi in I allora la curva non potrà essere semplice.

 

Facciamo un esempio. Sia gamma: I=[-1,1] -->R^2 data da x(t)=t^2 e y(t)=t^2.

 

Chiediamoci se gamma è semplice ovvero per quali t_1, t_2 in I risulti gamma(t_1)=gamma(t_2). Si ha

 

gamma(t_1)=gamma(t_2) se e solo se x(t_1)=x(t_2) e y(t_1)=y(t_2) (è un sistema di due equazioni nelle incognite t_e e t_2!!) se e solo se

 

t_1^2=t_2^2 (due equazioni identiche) se e solo se t_1=t_2 (lo sapevamo già) oppure t_1=-t_2. Ecco che la curva non è semplice. Infatti presi t_1 e t_2 opposti in I (e quindi diversi) risulta gamma(t_1)=gamma(t_2).

 

Domanda per te: spiega perchè se I=[0,1] la curva di prima è semplice.

Domanda 2 per te: spiega (senza fare alcun passaggio) perchè la curva gamma: [-1,1]-->R^2 con x(t)=cos(t)+t, y(t)=t è semplice.

Domanda 3 per te: come generalizzeresti al caso 3-dimensionale la definizione di semplicità di una curva.

 

Misha

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 la ringrazio anticipatamente.
cordiali saluti
 
 
francesca