normale "esterna" ad una superficie

[christopher]

Salve prof,
il problema è come riconoscere se un vettore (che è funzione di
(x,y,z) è entrante o uscente dalla superficie.
le faccio un esempio:
ho S= (x,y,z) di R3: z=(x^2+y^2)^1/2 , x^2+y^2 (minoreuguale) 1. dove
il bordo è preso in senso positivo

parametrizzando la superficie mi viene che un vettore normale è:
( -x/(x^2+y^2)^1/2 ; -y/(x^2+y^2)^1/2 ; 1) ma come faccio a sapere se
è entrante o uscente dalla superficie (in questo caso mi serve uscente
dalla superficie dato che c'è orientazione positiva del bordo)

grazie :)

[Mikhail Maslennikov]

Non c'è un modo univoco per farlo. Devi visualizzare la superficie! Nel tuo esempio la risposta è però semplice. La tua superficie è un cono di altezza 1 ottenuto ruotando un segmento di bisettrice del primo quadrante del piano xz intorno all'asse z. Il vettore normale che hai calcolato è un vettore che devi pensare inizialmente applicato nell'origine del sistema di riferimento (è una terna di numeri reali!) e poi trasportato nel punto sulla superficie incriminato.

 

Prendi un punto (x,y) nel cerchio unitario centrato in O. Il punto P sulla superficie corrispondente a questa "ombra" è dato da (x,y, (x^2+y^2)^{1/2}). Il vettore normale alla superficie conica in tale punto è un vettore con la punta a quota 1 e la proiezione della punta nell'ombra da te calcolata è  

(-x/(x^2+y^2)^{1/2}, -y/(x^2+y^2)^{1/2}).

 

Questo vettore punta internamente o esternamente alla superficie conica?

 

Chiaramente  l'ombra della punta del vettore normale si trova nel quadrante opposto sul piano xy all'ombra di P (vedi segno delle relative coordinate). Riporta il vettore normale in P. Ti accorgi che punta verso l'interno della superficie. Dunque la normale è interna. Per usare quella interna, cambia il segno a tutte le componenti del vettore normale.

 

C'è un modo meno "case-by-case" di procedere, ma è laborioso. Fai piuttosto uso della visualizzazione geometrica. Gli esercizi d'esame lo permettono sempre.

 

A tra poco,

Misha

 

 

 

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Da: christopher <chri...@gmail.com>
A: ingegneriameccanica2011 <ingegneriam...@googlegroups.com>
Inviato: Gio 16 giugno 2011, 18:50:16
Oggetto: normale "esterna" ad una superficie