Ciao Lorenzo,
il teorema di Lagrange fornisce una CS e non una condizione sufficiene e necessaria (c'ho ripensato appena ci siamo salutati). Puoi trovare un punto (x,y, lambda) in cui il gradiente della lagrangiana si annulla (dunque un punto stazionario della lagrangiana) che sia di sella per la lagrangiana e che quindi, anche sotto l'ipotesi che il gradiente di F (vincolo) sia non nullo in tale punto, non sia nè di massimo nè di minimo per la f vincolata a F(x,y)=0. Più tardi magari ti mando un esempio che ora sono abbastanza di corsa.
Un saluto,
Misha