continuità, derivabilità e differenziabilità

[leo molli]

salve prof,

ho un pò di problemi con qualche modulo, anche se questo esercizio dovrebbe essere abbastanza facile sto avendo problemi a risolverlo:

Studiare continuità e differenziabilità della funzione f (x, y) = x|y|+ y|x|
nell’aperto Q = {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1}.


per la continuità dividerei la funzione in 3 parti,

2xy per x,y>0
-2xy per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0

dopo di che farei il ilmite di tutte e tre per x che tende a 0 poi per y che tende a 0 e mi vengono tutti 0, sugli assi vale 0 quindi è continua;

per da differenziabilità farei gli stessi limiti ma per le derivate che mi vengono:

fx:
2y per x,y>0
-2y per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0


fy:
2x per x,y>0
-2x per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0

tutti i limiti per x che tende a 0 e tutti quelli per y che tende a 0 mi vengono 0 quindi mi risulta differenziabile... è giusto?

per scrivere tutti questi limiti ci si mette 1 ora! non esiste un modo più rapido?



altra mini domanda sul pretest:


L’insieme
{(x, y) : x^2 ≤ y ≤ 1} ´e un dominio normale rispetto all’asse y.
a) vero
b) falso.


mi sta chiedendo se il dominio può anche essere scritto in maniera normale rispetto ad y (che è vero) o mi sta chiedendo se il modo in cui è posto è y normale? (che è falso) mi sembra un pò ambiguo il testo...



ultima domanda:

quando faccio stokes, ad esempio su z= 2 -x^2 -y^2  con z>=0 , posso fare l'integrale sul cerchio anzichè farlo sul paraboloide... ma il versore uscente devo comunque prenderlo verso il basso? e a quel punto nell'altro integrale devo parametrizzare la circonferenza in modo tale che sia positiva se la vedo dal basso giusto?


grazie in anticipo! (se qualcun'altro tante volte volesse intervenire è ovviamente il ben venuto :-D )

Leonardo.

[Massimo Tarsitani]

1) La Moschini lo aveva svolto così:
la funzione è continua su tutto Q, ed è differenziabile su Q \ {assi}
perché sono funzioni derivabili con derivata continua.
Bisogna studiare la derivabilità lungo i 2 assi:

Asse y (x=0)
Fx(0,y) = lim (f(h,y)-f(0,y)/h = (h|y| + y|h|)/h = |y| + y|h|/h
il limite esiste solo se y=0
Fy(0,y) = lim (f(0,y+h)-(f(0,y))/h = 0

Quindi i punti dell'asse y ammettono derivata rispetto ad x solo in
(0,0)

Asse x (y=0)
Fx(x,0) = lim (f(x+h,0)-f(x,0))/h = 0
Fy(x,0) = lim (f(x,h)-f(x,0))/h = (x|h| + h|x|)/h = |x| + x|h|/h
come sopra il limite esiste solo per x=0

Quindi i punti dell'asse x non ammettono derivata rispetto ad y tranne
in (0,0)

Da tutto ciò posso dire che f non è differenziabile lungo gli assi
escluso (0,0) che devo andare a studiare a parte.

lim f(h,k) - f(0,0) -fx(0,0)h -fy(0,0)k = (h|k| + k|h|)/(h^2+k^2)^1/2
= (r^2cost|sint| + r^2sint|cost|)/r = r(cost|sint| + sint|cost|) -> 0
F è differenziabile nell'origine.

2) è un po' ambigua, io comunque metterei vero perché i punti
dell'insieme sono quelli e si può scrivere come y-normale.

3) ancora non ci sono arrivato :(

[leo molli]

grazie mille! ora ho capito la differenziabilità come viene!



c'è qualcuno che sappia come mettere quel versore in stokes?

[Mikhail Maslennikov]

Ciao Leonardo,

 

vedi sotto!

 

Misha

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Da: leo molli <mol...@gmail.com>
A: ingegneriam...@googlegroups.com
Inviato: Mar 12 luglio 2011, 17:58:17
Oggetto: continuità, derivabilità e differenziabilità

salve prof,

ho un pò di problemi con qualche modulo, anche se questo esercizio dovrebbe essere abbastanza facile sto avendo problemi a risolverlo:

Studiare continuità e differenziabilità della funzione f (x, y) = x|y|+ y|x|
nell’aperto Q = {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1}.


per la continuità dividerei la funzione in 3 parti,

2xy per x,y>0
-2xy per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0

dopo di che farei il ilmite di tutte e tre per x che tende a 0 poi per y che tende a 0 e mi vengono tutti 0, sugli assi vale 0 quindi è continua;

MISHA: i moduli non danno problema alcuno per la continuità. Il modulo di una funzione continua è una funzione continua (anche in 2D)! Dunque la continuità in tutti punti di Q è gratuita.

 

MISHA: Va bene invece dividere la funzione per casi e osservare che gli unici punti problematici per la derivabilità sono i "punti di giuntura" dei diversi casi rappresentati in questo caso bidimensionale dalle parti degli assi contenuti nel quadrato aperto Q.

 

Risultato: nell'origine hai banalmente la derivabilità, dato che la funzione vale 0 sugli assi. Le due derivate parziali della f in O esistono e sono pari a 0.

 

Sull'asse x (sulla sua porzone contenuta in Q privata dell'origine già studiata) non hai problemi di derivabilità rispetto a x, ma perdi la derivabilità rispetto a y (usa la definizione di derivata parziale della f rispetto a y in un punto del tipo (x_0, 0) con x_0 in (-1,0) union (0,1)).

 

Sull'asse y (sulla sua porzone contenuta in Q privata dell'origine già studiata) non hai problemi di derivabilità rispetto a y, ma perdi la derivabilità rispetto a x (usa la definizione di derivata parziale della f rispetto a x in un punto del tipo (0, y_0) con y_0 in (-1,0) union (0,1)).

 

Dunque la derivabilità (i.e. l'esistenza delle derivate parziali della f rispetto a x e a y) ce l'hai solo in Q privato dei tratti degli assi contenuti in Q, eccezion fatta per l'origine.

 

Infine, per quanto riguarda la differenziabilità della f. Ce l'hai sicuramente in tutti i punti di Q fuori dagli assi (per il teorema C^1). Infatti le derivate parziali che ti sei calcolato sono addirittura C^infinito in tutti i punti di tale insieme. Sugli assi (ad eccezione di O) non hai differenziabilità della f, non avendo derivabilità.

 

Cosa succede in O?

 

Usa la definizione di differenzibilità di f in O=(0,0). Hai:

 

lim (h,k)-->(0,0) di f(h,k)-f(0,0)-ah-bk / sqrt(h^2+k^2) = (a=b=0 dato che devono essere per forza pari alle derivate di f in O) =

 

lim (h,k)--> (0,0) di |h|k+k|h| / sqrt(h^2+k^2) = (in polari) lim (r, t)-->0 [ r^2 (|cos t| sin t + |sin t| cos t) ] / [r] =0!

 

Dunque la f è differenziabile anche in O!

 

Fine della storia! Vedi sotto per le altre richieste.

 

 

 

 

per da differenziabilità farei gli stessi limiti ma per le derivate che mi vengono:

fx:
2y per x,y>0
-2y per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0


fy:
2x per x,y>0
-2x per x,y<0
0 per x<0, y>0 e per x>0, y<0

tutti i limiti per x che tende a 0 e tutti quelli per y che tende a 0 mi vengono 0 quindi mi risulta differenziabile... è giusto?

per scrivere tutti questi limiti ci si mette 1 ora! non esiste un modo più rapido?

MISHA: mi sa che sei andato a vedere se le derivate parziali fossero continue. Troppo lavoro. Ricodati che se il risultato fosse negativo allora non avresti potuto concludere nulla!

 

altra mini domanda sul pretest:


L’insieme
{(x, y) : x^2 ≤ y ≤ 1} ´e un dominio normale rispetto all’asse y.
a) vero
b) falso.


mi sta chiedendo se il dominio può anche essere scritto in maniera normale rispetto ad y (che è vero) o mi sta chiedendo se il modo in cui è posto è y normale? (che è falso) mi sembra un pò ambiguo il testo...

MISHA: non è ambiguo! L'espressione tra le graffe ti descrive un certo sottoinsieme I di R^2. Ti viene chiesto se I è y-normale! Lo visualizzi e concludi. La risposta che hai dato è giusta. E' vero!

 

ultima domanda:

quando faccio stokes, ad esempio su z= 2 -x^2 -y^2  con z>=0 , posso fare l'integrale sul cerchio anzichè farlo sul paraboloide... ma il versore uscente devo comunque prenderlo verso il basso? e a quel punto nell'altro integrale devo parametrizzare la circonferenza in modo tale che sia positiva se la vedo dal basso giusto?

MISHA: se devi calcolare il flusso uscente attraverso la superficie del paraboloide del rotore di un certo campo F (di classe C^1) passi all'integrale (curvilineo) sul bordo del paraboloide (circonferenza) di F_1 dx + F_2  dy + F_3 dz = ("torni indietro") = integrale superificiale del rotore di F sul disco che abbia la circonferenza come bordo!

 

Tutto ok! In ciascuno di questi passaggi devi stare attento all'orientazione curva/superficie. Se nel primo passaggio la circonferenza viene percorsa in senso antiorario allora il vettore/versore normale al cerchio è orientato verso l'alto. Se la circonferenza viene percorsa in senso orairio allora il vettore/versore normale al cerchio è orientato versol il basso.

[leo molli]

grazie mille prof!